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第２５章 磁場による力と磁性体

ローレンツ力

磁界の強さ

磁界と電界の違いは？ 電界 単位面積当たりの電気力線の本数に比例 磁界 単位面積当たりの磁力線の本数に比例 力 ₌ 電荷 × 電界の強さ

F = qE

力 ₌ 磁荷？ × 磁界の強さ

F = qvB

（後述） 電界と力の関係から調べてみる・・・

磁界中のコイルと磁束

図_{a)のように、面積Sの１回巻きコイルを} の磁力線が貫くときを考える。こ のような磁力線の数を磁束（_{magnetic flux）}と呼び、_{[Wb（ウェーバー）]という} 単位で表す。また、単位面積あたりの磁束を磁束密度といいBで表すと、 = BSとなる。一般的に磁界を表すときは、この磁束密度Bを用いる。 図_{b)のように、磁界}Bに対してコイルが の角度を持つとき、 ₌ BScosと なる。 また、磁界の強さをHとすると、 ₌ ₀SHとなる。 B S  B S   a) 磁界に対して垂直 b) 傾き の位置 S: コイルの断面積  : コイルを貫く磁 力線（磁束）  : コイル面と磁界 のなす角 B: 磁束密度

ローレンツ力

磁束密度 _B の磁界の中で、図の ように磁界と垂直な方向に荷電粒子 を速度 v で移動させると、これらと 垂直な方向に電荷の大きさ _q に比 例した力が発生する。この力をロー レンツ力（電磁力）という。 F qvB N S 力

と を含む面の法線ベクトルを とすると、

ローレンツ力

負の電荷の場合、力の働く方向は 逆になる。 磁界と荷電粒子の速度が垂直で ない場合、ローレンツ力は磁束密度 と速度の作る平行四辺形の面積に 比例した力となる。よって、 負の電荷に働く力 磁界と速度が垂直でない場合  磁束密度 B 速度 v sin F qvB    cos a b a b   a b a b  sin 力 _F vsin  _  _ sin F qv B q v B    n ※内積と外積 _ v B n

磁界中の荷電粒子の動き

一様な磁界 _{B の中に、磁界に垂} 直に荷電粒子が速度 _{v で進入した} 場合を考える。 荷電粒子は速度と磁界に垂直な 方向にローレンツ力 _{F を受ける。荷} 電粒子の電荷を _{q、質量を m とする} と、 より、 また、ニュートンの法則より、速度と 加速度の方向が垂直なため、進行 方向の速度は変えないで、向きだけ 変える運動、すなわち等速円運動を する。このとき、円運動の半径を _{r と} すると、 より、 F ma qvB  qvB a _{m v}2 _qvB a r  m mv r qB 

電流に働く力

電流は電子の流れなので、まわり に磁界があると力を受けることにな る。断面積 _S の導線の長さ



の区 間にのみ一様な磁束密度 _B がある。 左から右に電流を流すと、各電子に は速度と磁界とに垂直な力が働く。 電流に働く力は、この各電子に働く 力の和となる。電子の電荷を _e とす ると、各電子に働く力 _F は、 である。磁界がある部分の導線の体 積は _S



であり、電子の密度を _n と すると、電子の総数は _nS



となる。 よってこの区間に加わる力 _F は、 となる。電流は _{I = nevS なので、} と表すことができる。 F evB F envBS



F BI



磁束密度 _B 速度 _v 電流 _I 力 _F

フレミングの左手の法則

1) 中指、人差し指、親指の長い方 から、電磁力 2) 親指、人差し指、中指がそれぞ れ、_F（力）_B（磁束密度）_I（電流） Iから_Bに右ねじ方向にして、_F（親 指）を進行方向にする。

ブラウン管

最近、見られなくなってきているが、 ブラウン管ディスプレイが電子と磁 界と力の関係をよく表している例で ある。 ブラウン管後部にある電子銃では、 フェラメントから放出させた電子を電 荷によって加速する。加速された電 子を磁界によって上下左右に曲げ ることで、ブラウン管全面に塗られた 赤、緑、青の蛍光物質を発行させる。 1秒当たり30フレーム（画像）を525本 の走査線で表現し、まずは奇数行 目に、次に偶数行目に走査すること で残像を使って継ぎ目のない画像に しているが、これはちらつきの原因 にもなっている。

アンペールの実験

２本の自由に動く金属棒を２本の 金属台に乗せ、電流_I1、_I2を同じ向き に流すと、２本の金属棒は互いに引 き寄せあう。すなわち、互いの金属 棒には引力_Fが働いてることとなる。 これはなぜだろう？ 金属棒_{1に着目して、ローレンツ力} を考えてみると、ちょうど金属棒_1の まわりに磁界_B2があるのと同じ状態 となる。つまり、電流_I2によって、金 属棒_{1のまわりに磁界B2}ができたこ とがわかる。 I₁ I₂ 電流_I2、金属棒同士の距離_r、金属 棒の長さ_{lを変化させると、これらの} 関係とローレンツ力の関係は、 となり、ここから電流_Iが距離_rのとこ ろにつくる磁界_Bは、 となることがわかる。



r F I₁ I₂



r F B₂ 2 1 2 ₁ 0 2 2 ₂ 1 I F B I I r   







0 2 I B r   

２つの直流電流に働く力

電流は磁界をつくり、磁界は電流 に力を及ぼす。したがって、電流の 間には互いに力が働くことになる。 距離 _{d 離れて長さ}



の２つの直流 電流をおく。電流２が電流１につくる 磁束密度は、 である。一方、この磁束密度によっ て電流が受ける力は、_{F = BI}



より、 となる。 0 2 2 ₂ I B d    0 1 2 2 1 ₂ I I F B I d   







右ねじの法則による左手の法則の確認

I S N 弱め 合う 強め 合う S N

電流によるトルク

導線が図のように長方形の場合に、 この電流に働く力を考える。_{a の部} 分に働く力は、 となり、_{c の部分でも同じため、oo'を} 中心としたトルクを発生する。 例えば、下図のように角度  だけ 回転した状態で考えると、 このトルクは _{a の部分では、} となる、_{c の部分も同様に考えると、} 全体で、 というトルクが発生する。長方形の 面積は _{S = h}



なので、これは、 と書くことができる。この式は長方形 だけでなく、円形など他の一般的な 形の電流でも成り立つことが知られ ている。 この原理を利用したのがモーター である。 a



c b d B h I F F o o' F BI



2 sin a h BI   



 sin BIh  



 sin ISB    b、_d h B a c F F 

直流モーター

図のようなフレームに直流の電流 を流すと、磁界から力を受ける。ブラ シによって、回転しても常に同じ方 向 に 電 流 が 流 れ る よ う に す る と 、 モーターは同一方向に回転する。 N S ブラシ 電流

実際のモーター

長方形のモーターではトルクが弱 いため、実際にはこれをコイルにし て強めている。 また磁界との角度によってトルク が変化してしまうのを防ぐために、 図のように磁石となる部分を３つ以 上にして、いつでも回転する力が働 くようにしている。

地磁気方位センサ

図はフラックスゲート（Flux gate）型の 地磁気方位センサの構造である。高透 磁率材料のトロイダルコアとその励磁コ イル、およびコアの外側から囲む形で巻 線される直交検出コイル X から構成さ れる。コアは数kHzの交流により過飽和 励磁され磁心X₁、X₂部分の検出コイル には交流磁界によって発生する磁束密 度 B_A による電圧が誘起する。この誘起 電圧 V_X1 と V_X2 は大きさが等しく、互い に逆極性であることから検出コイル X 全 体では出力電圧はゼロとなる。ここで、 地磁気のような外部からの磁界 B_S が作 用すると、_X1、_X2部分の磁界はそれぞ れ B_A + B_S、B_A  B_S となり、その差に比 例した電圧が検出コイル X から出力さ れる。出力電圧の大きさは外部からの 作用磁界の大きさに比例し、作用磁界 が地磁気のみであれば、作用する地磁 気の磁心断面に対する角度に応じて出 力磁界が変化する。 トロイダルコア B_A B_A 励磁コイル 磁心部分_X1 磁心部分_X2 地 磁 気 検出コイル I_A

ホール効果（ホール素子）

左図のような導体に電流 _{I を流し、これと垂直方向に磁束密度 B の磁界} があったとき、導体内の自由電子はローレンツ力 _FL によって運動方向が曲 げられる。その結果、導体の下面が負に、上面が正に帯電するので、導体 内に上面から下面への電界 _{E が発生する。電界 E による力 eE はローレン} ツ力 _FL と釣り合い、電子が直進するようになる。これより、右図のように導 体の上下面間に、流した電流 _{I や加えた磁界に比例した電位差（ホール電} 圧）_{V が生じる。なお、導体がp型半導体の場合はキャリアが正孔（ホール）} のために、電界 _{E がn型半導体と逆方向になる。いずれも発生した電位差} V を測定することによって、磁界の大きさや強さを知ることができる。 ローレンツ力による自由電子の変動 ホール電圧の発生 v F_L V v F_L I I eE B B

磁界に関するクーロンの法則

本来、磁荷は存在しないが、磁気 双極子の端だけに注目すると、あた かも単極のみの磁荷が存在するよ うに見なすことができる。仮にこのよ うな磁荷 _{qm1[Wb] と qm2[Wb] が存} 在すると仮定した場合、これらの間 に働く力 _{F[N] は、} と表すことができる。これを磁界に対 するクーロンの法則という。 磁界強度 _{H[N/Wb] を用いると、} と表すことができる。 1 2 2 0 1 4 m m q q F r   m F q H q_m1 q_m2 r F F