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Twisted volume reduction in large N QCD

M. Okawa with A. Gonzalez-Arroyo

ラージ

N QCD

の時空縮約モデルを、

twist

境界条件のもとで考える

話の内容

１）

Twisted Eguchi Kawai model

２） Large N QCD with adjoint quark

３） Large N QCD with adjoint quark

2 f N = 1 f N =

Plan of talk

●

Twisted Eguchi-Kawai model

for pure SU(N) gauge theory

●

large N QCD with two adjoint fermions

●

large N QCD with one adjoint fermion

● Eguchi-Kawaiモデル（1982年）

Eguchi-Kawaiモデルは通常のWilson gauge theoryから リンク変数の時空依存性を無視して得られる。

(

† †

)

, , , , , , 1 exp d W x x x x x x x Z dU _µ bN Tr I U _µU _{µ ν}U _{ν µ}U _ν µ µ ν≠ = + +     = _ − − _    

∏

∑ ∑

∫

(

† †

)

2 1 1 exp , d EK Z dU bN Tr I U U U U b g N µ µ ν µ ν µ µ ν≠ =     = _− − _ =    

∏

∑

∫

同様にWilson loopも次のように定義される。

(

)

(

)

, , , ( ) ( ) W x x x EK W C Tr U U U W C Tr U U U µ µ ν ρ ρ µ ν ρ + − = ⋅ = ⋅   , x U _µ →U_µ

Eguchi 、Kawai は、EKモデルの持つ 対称性

が自発的に破れていなければ、 large N limit で、Wilson loopが満たす運動 方程式（SD-equation) が２つの理論で等しくなることを示した。

2つの理論の運動方程式はopen loopの期待値を除いて等しい。

通常のWilson gauge theoryでは、open loopの期待値はlocal gauge不変性に より、0になる。

一方、Eguchi-Kawaiモデルの作用は の変換に対して不変なの で、この対称性が自発的に破れていなければ、open loopの期待値は0になる。

μ ν

しかし、Bhanot, Heller, Neuberger はこの対称性が自発的に破れていること を示した。（1982年）

作用を 0 にする configuration は次の関係式を満たす。

従って は、対角行列になる。 その固有値を （𝝰=1,N） とすると、 Bhanot, Heller, Neuberger は、弱結合相では は、ばらばらの値を取るよ り、同じ値をとる方が安定であることを示した。

従って は、単位行列に比例しており

● Twisted Eguchi-Kawaiモデル（1983年）

_{Eguchi-Kawaiモデルは、格子点が１点の通常のWilson gauge} theoryに周期的境界条件を課したものと考えられる。

Gonzalez-Arroyo, Okawa は周期的境界条件の代わりに、twisted境界条件を課した

twisted EK モデルを考えた。 具体的には、L を正の整数として を考える

(

† †

)

1 d TEK S bN Tr I Z U U U U_{µν µ ν µ ν} µ ν≠ = =

∑

− 2 exp i , , Z k Z Z L µν =  π  νµ = − µν µ ν>   k , L : co-prime, k/L fixed as we go 2 N = L → ∞ (0) (0) (0)† (0)† (0) (0) (0) (0) ( ) 0 v Tr I z U U U U U U z U U µν µ ν µ ν µ µν µ ν − = ∴ =

具体的に は、 ‘t Hooft matrices , から作ることができる Γ_µ 2 1 1 0 1 0 1 2 , , exp 1 1 0 L L L z i P Q z z L z π −             _{ }     = ⋅ = = _{ }   _{ }  _⋅  _⋅           _{ } L P Q_L L L L L P Q = zQ P 1 2 3 4 L L k L L k k L L L k k L L P I Q P Q P Q Q Q Γ = ⊗ Γ = ⊗ Γ = ⊗ Γ = ⊗ : N N µ Γ × , : L L P Q L L× 行列 行列、 N = L2 , k z ν µ µ ν µ ν Γ Γ = Γ Γ >

4 ( ) Z L 対称性 のオーダーパラメーターは Tr U( _µ ) ,  = 1 (L −1) classical vacuum U_µ(0) = Γ_µ に対して (0) ( ) ( ) 0, 1 ( 1) Tr U_µ  = Tr Γ =_µ  =  L − U_µ → zU_µ

TEK model と格子ゲージ理論の満たす運動方程式（SD equation)はlarge N limit で等しくなる。

したがって、２つの理論は非摂動論的に等価であると考えられる。 A. Gonzalez-Arroyo and M. O. (1983年） k = 1

相互作用があると、すべての vertex に外線の運動量に依存した phase factor が現れる。

Planar diagramでは、これらのphase factor は完全にキャンセルする。

Non-planar diagram ではphase factor は残るが、large N limit で、

phase factor は激しく振動し Non-planar diagram からの寄与をサプレスさせる。

no phase factor remains

exp ( ) L 0 dp _ik L f p  →_ →∞

∫

1 mod( ) k k = L Ｎが有限なTEK model のプロパゲーターは、有限の体積 を持つ 格子ケージ理論のプロパゲーターと一致する。 はSU(N)行列の自由度。 4 2 V = L = N 2 N

2003年、 T. Ishikawa と M. O は N>100 、 k=1 の時、 ( ) 0 Tr U_µ ≠ ( ) P = Tr U_µ 中間結合領域で となることを発見した。

対称性は 4 ( )

Z L

N

≥

360

さらに、 k = 2 の時は

なぜ は破れるのか ? M. Teper, H. Vairinhops (2007) k=1 A. Gonzalez-Arroyo, M. O. (2010) general k 4 ( ) Z L 対称性が破れている相では、 の固有 値は、互いに引合い同じ値を持つ。 結果的に 4 ( ) Z L U_µ (0) N U_µ  I ２つのconfiguration と のどちらが実現するかは

energy gap と entropy との競合で決まる

(0) 3 2 ( ) log( ) 2 F U_µ = Γ =_µ bN N (0) 2 2 2 ( _N ) 12 1 cos k log( ) F U I bN bN N L µ = =  −  π  +     µ Γ N I µ Γ _IN

(0) (0) ( _N ) ( ) F F U_µ I F U_{µ µ} ∆ ≡ = − = Γ 2 2 1 2 12 1 cos log( ) 2 k bN bN N L π  _{ } = _ − _{ } −    

● を固定し としたとき、 b → ∞ ∆ >F 0 (weak coupling limit) 2 / 2 0 F N ∆ _ − < (0) N U_µ = I wrong vacuum が実現してしまう / k L 我々のプロポーザル を固定しながら、 の極限をとる。 ただし と は互いに素 2 N = L → ∞ 2 (11 / 48 )log( ) b  π N ( ) L a b L k , , L N k ● b k, を固定し としたとき、 N = L2 → ∞ 同時に とする。 すると、物理的なサイズ は固定される。

ここまでは摂動論的な議論であり、あまり信用できない。 非摂動論的な研究が必要である。 対称性は の時破れるL > 0 0 : ( ) k = Z L 対称性は の時破れるL >10 4 ( ) Z L 対称性は の時破れる_L >₁₈ 2 : ( ) k = Z L 対称性は の時破れる_L > ₂₈ 3 : ( ) k = Z L 対称性は の時破れる_L > ₃₇ 4 : ( ) k = Z L この数値シミュレーション結果は以下のことを示唆している。 1: ( ) k = Z L 対称性は の時、破れない。1 9 k L >

しかし、同時に k はあまり大きく取りすぎてはいけない。 実際 の時、 を と取ると

しかし

この場合、 , つまり

Non-commutative field theory の tachyonic instability

と関係しているかもしれない？

いずれにしても、 を大きな値にとるのは、

non planer diagrams をサプレスさせるにも望ましい。

1 2 L k = − 17, 19, 21, 23 ( ) 0 Tr U_µ = Tr U( _µ2) ≠ 0 2k = − =L 1 1 (mod )L k = 2 k exp ( ) L 0 dp _ik L f p  →_ →∞

∫

1 mod kk L  =    L

k/L > 1/9 とし、 k を大きく保ったまま L を無限大に持って行く。 ただし L と k は互いに素。 我々の計算は主に次のパラメーターセットで行った。 _

289

17

5

7

529

23

7

10

841

29

9

13

1369

37 11 10

N

L

k

k

__________________ __________________ __________________ __________________ ___________________ 結果として、すべての場合に となっている。k L/  0.3

2

1 / N (1,1)

2 1 / N 1 / N2 (4,4) 0.36 W b = W(4,4) TEK b = 0.37 1369 841 529 289

TEKモデルが非摂動論的に正しいとすれば、連続理論での 弦定数が計算できるはずである。

TEKモデルでは, Wilson loop _{W R T( , )} は次のように定義される。

(

† †

)

( , ) RT R T R T W R T = Z_µν Tr U U U_{µ ν µ} U_ν  σRT + ⋅⋅⋅ 従って、弦定数 は Creutz ratio から次のように求められる ( ' 0.5, ' 0.5) ( ' 0.5, ' 0.5) ( ', ') log ( ' 0.5, ' 0.5) ( ' 0.5, ' 0.5) W R T W R T R T W R T W R T χ = − + + − − + − − + 2 4 2 ( ', ') ' ' R R R R γ η χ = +σ + σ ここで は半整数。 ( ', ')R T χ ', ' R T

2

1 /

R

'

2 4 2 ( ', ') ' ' R R R R γ η χ = +σ +

連続理論での弦定数を求めるため、TEKモデルで とし、 ’t Hooft カップリングの逆 b を６点取って、連続極 限をとった。 このシステムは時空体積が の通常の格子ゲージ理論 に対応している。 比較のため、通常のSU(N)格子ゲージ理論で 格子上で、 として連続理論の弦定数を求めた。 0.36, 0.365, 0.37, 0.375, 0.38, 0.385 b = 2 841 29 N = = 4 29 V = 4 32 V =

3, 4, 5, 6, 8

N

=

9 k =

連続理論での弦定数 の比較 Λ_MS / σ 2

841 29

N = =

TEK model with and LGT with N = 3, 4, 5, 6, 8

Plan of the talk

●

Twisted Eguchi-Kawai model

for pure SU(N) gauge theory

●

large N QCD with two adjoint fermions

Large N QCD with adjoint fermions

２つのアジョイントフェルミオンを持つSU(N)ゲージ理論は N の値に関係なくコンフォーマルな理論だと思われている。 実際、くりこみ群の 関数を、‘t Hooft カップリング で 展開した時の最初の２つ係数は N によらない。

2

f

N

=

0 ₂ 1 ₄ 0 1 4 11 16 17 , 24 192 11 0 2.75 4 17 0 1.08 16 f f f f N N b b b N b N

π

π

− − = = < → < = > → > = ●

asymptotic free

●

infrared fixed point

β

2

g N

λ

=

β 関数 λ 0 0 0 b < 1 0 b >

●Twisted reduced model of large N QCD

with two adjoint Wilson fermions ゲージ群として を考える

(

† †

)

1 1 f N d j W j j S bN Tr Z U U U U_{µν µ ν µ ν} D µ ν ψ ψ ≠ = = =

∑

+

∑

2 exp i , , Z k Z Z L µν =  π  νµ = µν∗ µ ν>   2 ( ), SU N N = L 4 † 1 1 (1 ) adj (1 ) adj W D _µ U_{µ µ} U_µ µ κ γ γ =   = −

∑

_ − + + _ 周期的境界条件に対応している 0 k = 0 k ≠ twist 境界条件に対応している † adj j j U_µ ψ =U_µψ U_µ k , L : 互いに素, , 0 (1 / 1 / c) / 2 m = κ − κ

フェルミオンを含まない

Eguchi-Kawai model (k=0)

で Z(N)対称性 が破れるのは、 の固有値間に引力が働き合い、結果として

となることに起因している。

Kovtun, Unsal, Yaffe

および

Bringoltz, Koren, Sharpe

は

アジョイントフェルミオンの動的効果は の固有値間に 斥力を生じさせ、その結果 k=0 の理論でも Z(N) 対称性は 破れないことを示した。

しかし, k=0 の理論は非常に大きな finite N corrections を持ってしまう A. Gonzalez-Arroyo & M. O. (2013) U_µ (0) N U_µ  I U_µ

Finite N correction

を調べるため、 で

N

を と変化させながらシミュレーションを行ない、内部エネルギー

を計算した。 2 ( ), SU N N = L 25, 49, 81, 121,169, 225, 289 ( 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ) N L = =

† † ( ) E = Z_µν Tr U U U U_{µ ν µ ν}

† † ( ) E = Z_µν Tr U U U U_{µ ν µ ν} 0 (1 / 1 / c) / 2 m = κ − κ 0.35 b =

0.5460(2) E =

2

0.5460 4.47 /

0.5702(1) E =

2

0.5700(2) 4.17 /

Twist

境界条件（ ）のもとでの finite N correction ● 周期的境界条件（ ）にくらべ、著しく小さい

0

k

≠

0

k

=

●

pure gauge theory

で対称性の破れが起こる の値を とすると、 の時、finite N correction は となる。 2

/

a b N

+

+

c

N

<

N

c

N

N

弦定数の計算 とし、２つの の値 で を変えながら弦定数を計算した。 我々のモデルは、 の格子ゲージ理論に対応している

0.35, 0.36

b

=

2 289 17 , 5 N = = k = 4

17

V

=

κ

● の場合、 , Hybrid Monte Carlo 法が使える。

シミュレーションは、ＫＥＫのHitachi SR16000 で行った。 One node: 32 cores power 7,

peak speed 980 GFlops 256 GB shared memory

Sustained speed は 約 600 GFlops

( 日立のＳＥさんに助けて貰いました）

2

f

N =

relevant

な質量項 で支配される赤外固定点では、 質量の次元を持つすべての物理量は でゼロになる。 特に質量の２乗の次元を持つ弦定数 は と振る舞う。ここで、 は赤外固定点での質量異常次元である。

*

γ

q m

ψψ

0

q

m

→

* 2/(1 ) q

m

γ

σ

+



σ

スケーリング則の導出法 * ( ) ( ) dm m d

µ

µ

γ

µ

µ

= − * * 0 0 ( ) ( ) m

µ

µ µ

−γ γ m

µ

∴ = RG invariant mass を で定義する。 M _{m M( )} = _M および とすると

µ

0 = M 1 a

µ

₌ − * 1 * 1 ( ) _q m a− = m = a−γ M +γ * 1/(1 ) ( _q) aM am +γ ∴ = 質量の次元を持つすべての物理量 は に比例することが 示せるので X M M * 1/(1 ) ( ) X q aM ∝ am +γ

しかし、 positive hermitian Wilson Dirac operator の最低固有値 は簡単に計算できる。 2 2 5 ( _W ) Q = D

γ

4 † 1 1 (1 ) adj (1 ) adj 2 2 W q D _µ U_{µ µ} U_µ m _µ µ µ κ γ γ κ κ γ =   = −

∑

_ − + + _ = + ∂ + ⋅⋅⋅ W D 今までのところ、ハドロン相関関数の計算には成功していない。 2 2 4 m_q λ = κ

λ

(2 ) q m λ κ ∴ =

2 2 4 m_q

λ = κ

通常のQCDでは、 は以下の様に振る舞うと考えられる。 しかし、 の時にはそうはならない。実際 とすると、 となり１にはならない。 一方、 の時は、通常の

qcd

と同じに となる。 (1 1 ) / 2 q c m = κ − κ q m

2

f

N

=

(

)

(

(

)

)

(2 ) 1 1 1 1 1 q c c m = λ κ = A κ − κ δ + B κ − κ 0.914(1) δ =

1

f

N

=

δ =1.0010(5)

σ

2 2

289 17

,

0.35

N

=

=

=

L

b

=

q

m

弦定数 を関数 で

fit

する。結果は

* 2/(1 )

(1

)

q q

Am

γ

B m

σ

₌

+

₊

σ

*

0.064(3)

0.24(3)

0.70(15)

A

B

γ

=

= −

=

q

m

q

m

σ

*

0.36

0.44(4)

b

γ

=

=

Plan of the talk

●

Twisted Eguchi-Kawai model

for pure SU(N) gauge theory

●

large N QCD with two adjoint fermions

_{Large N QCD with adjoint fermions}

adjoint fermion を１つ持つSU(N)ゲージ理論は large N 極限で、 ランク２反対称表現の fundamental fermion を２つ持つ理論と 同等であることが示せる。

(Armoni, Shifman, Veneziano, Kovtun, Unsal, Yaffe) の時、後者の理論は２フレーバーＱＣＤと同等であり、

我々のモデルは Corrigan-Ramond large N limit に対応している。

従って、

adjoint fermion

を持つ

reduced model

は

confining theory

であると考えられる。

1

f

N

=

3 N =

1

f

N

=

σ

2 2

289 17

,

0.35

N

=

=

=

L

b

=

q

m

q

m

σ

0.35

b

=

1

f

N

=

2

f

N

=

σ

q

m

0.36

b

=

1

f

N

=

2

f

N

=

結論

ラージNQCDの時空縮約モデルを、twist境界条件のもとで考えた。

・ Twisted Eguchi-Kawai model

reduced

モデルが通常の格子ゲージ理論を再現するための

twist

条件について考察し、数値シミュレーションにより連続理論 での弦定数が正しく計算されることを示した。

・ Large N QCD with adjoint quark

conformal な理論であることを示した。質量異常次元 の計算を

始めたが、まだ確定的な値を得るには至っていない。

・ Large N QCD with adjoint quark confining な理論であることを示した。 2 f N = 1 f N = *

γ

残された問題 ● の小さいところで、弦定数の精度良い計算を行い、質量異常 次元 を決定する。このためには, より大きな N での計算や 格子上でのreduced model を考える必要性がある。 ●

ハドロン相関関数の計算。

● や の研究。 ●

overlap fermion

を用いた研究

。

1 / 2 f N = q

m

*

γ

4 2 3 / 2