第 7 章指数関数と対数関数

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第

^{章 指数関数と対数関数}

電気電子工学では，非常に大きな数値から非常に小さな数値まで幅広く扱う．し たがって，取り扱いを容易にするためには，本章で学ぶ対数や指数を用いる．これ らは，関数としても重要で三角関数とともに十分理解しておく必要がある．

7.1

指数法則

a̸= 0

^，

^で，

^，

が実数のとき，次の指数法則が成り立つ．

a^maⁿ=a^m+n a^m

aⁿ =a^m−n (a^m)ⁿ=a^mn (ab)ⁿ=aⁿbⁿ



 (7.1)

また，

と定義されている．

[

例

2³ = 1 8

(3) 8⁻²³ = (2³)⁻²³ = 2⁻²= 1 2² = 1

4

(4)a²³ ×a⁵² ÷a¹⁶ =a^23+52−16 =a^4+156−1 =a¹⁸⁶ =a³

また，次のような累乗根は指数を使って次のように表すことができる．

√n

a=aⁿ¹ (7.2)

[

^例

a=a¹²

【例題

】 次の式を簡単にせよ．

(1) 1¹² + 8²³ + 5⁰ (2) √³ 4× 1

√2

【解】

4× 1

√2 = (2²)¹³ ×2⁻¹² = 2²³ ×2⁻¹² = 2²³⁻¹² = 2⁴⁻⁶³ = 2¹⁶

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第

章 指数関数と対数関数

7.2

指数関数のグラフ

y =a^x

で 表 さ れ る 関 数 を

を 底と す る 指 数 関 数 と い う．た だ し ，

は

^{でない正の実数 とする．指数関数}

^{のグラフを図}

^と図

^に示す．

1

0 x

y a> 1

y=a^x

図

指数関数のグラフ

1

0 x

y

<a< 1

y=a^x 0

図

^{指数関数のグラフ}

指数関数

は次の性質がある．

(1)

定義域

の範囲

は 実数全体，値域

の範囲

は 正の実数全体 である．

(2)

^{グラフは点}

^を通り，

^{軸を漸近線とする．}

(3) a >1

^のとき，

^{が増加すれば}

も増加する．すなわち単調増加であり，

x₁ < x₂ ⇐⇒ a^x1 < a^x2

0< a <1

のとき，

が増加すれば

は減少する．すなわち単調減少であり，

x1 < x2 ⇐⇒ a^x1 > a^x2

が成り立つ．

7.3

対数の性質

任意の正の数

に対して，

を満たす

の値はただ

つ定まる．この

を

と表し，

を底とする

の対数といい，

をこの対数の真数という．した がって，対数と指数の関係は次のようになる．

a^p =N ⇐⇒ p= log_aN (7.3)

ここで，

^，

^である．

^，

より，次の等式が得られる．

log_a1 = 0, log_aa= 1

同様にして，式

^より，

log_aa^p =p

7.4.

常用対数と自然対数

指数法則と対数の定義から，対数について次の性質が導かれる．

log_aM N = log_aM+ log_aN (7.4)

log_aM

N = log_aM −log_aN (7.5)

log_aM^r =rlog_aM (7.6)

log_ab= log_cb

log_ca (7.7)

【例題

^{】 式}

^{を証明せよ．}

【解】

，

とおくと，

M =a^p, N =a^q

であるから，

．

したがって，

【例題

^{】 式}

^{を証明せよ．}

【解】

^{とおくと，}

M =a^p, M^r=a^rp

であるから，

7.4

常用対数と自然対数

対数関数

において，

のとき，

を常用対数と呼ぶ．ま た，

のとき，

を自然対数という．

を 自然対数の底

と呼ぶ

．自然対数は微分や積分などを用いて関数の計算を行ったり，性質を調べ るのに都合がよく，底

^{を省略して，単に}

と書くことが多い．また，電卓の 表示などでは次のように表示することもある．

log_ex=ℓnx

【例題

】 次の各式を満たす

の値を求めよ．

(1)x¹⁴ =√ 5

(2) log₁₀(x−2) + log₁₀(x−5) = 1

【解】

^両辺の

^{を取ると，}

^，

4logx= 1

2log 5

^．

1第14章 式(14.3)参照

50

第

章 指数関数と対数関数

^より，

x²−7x= 0

^または

ここで，対数関数の真数は正であるから，与式より，

したがって，解は

のみである．

【例題

^】

^，

として，次の値を求めよ．

(1) log₁₀600 (2) log₁₀50

【解】

= 2 + 0.3 + 0.48 = 2.78

(2) log₁₀50 = log₁₀¹⁰⁰₂ = log₁₀10²−log₁₀2 = 2−0.3 = 1.7

7.5

対数関数のグラフ

y = log_ax

で表される関数を

を底とする対数関数という．ただし，

で ある．対数関数と指数関数は逆関数の関係があるから，対数関数

^のグラ フは，図

^，

に示すように，指数関数

^{のグラフを直線}

^に関して 対称移動したものとなる．

1

0 x

y a> 1

y=a^x y=x

y=log_ax

図

^{対数関数のグラフ}

0 x

y

y=a^x

y=x

<a< 1 0

1 y=log_ax

図

対数関数のグラフ

対数関数

^{は次の性質がある．}

(1)

^{定義域は 正の実数全体，値域は 実数全体 である．}

(2)

グラフは点

を通り，

軸を漸近線とする．

(3) a >1

のとき，

が増加すれば

も増加する．すなわち単調増加であり，

x1 < x2 ⇐⇒ log_ax1 <log_ax2

0< a <1

^のとき，

^{が増加すれば}

は減少する．すなわち単調減少であり，