4
章 指数関数と対数関数
§1 指数関数 (p.37〜p.42)BASIC
194
（1） ±√ 7
√7
−√ 7
y=x2 7
x y
O
（2） √3 7
√3
7 y=x3 7
x y
O
（3） ±√ π
√π
−√ π
y=x2 π
x y
O
（4） √3 π
√3
π y=x3 π
x y
O
（5） ±√4 12
√4
−√4 12 12
y=x4 12
x y
O
（6） √5 12
√5
12 y=x5 12
x y
O
（7） √3
−16 =−√3 16
−√3 16
y=x3
−16 x y O
（8） なし y=x4
−16 x y O
195 （1） 与式=√4 27×3
=p4 33×3
=√4
34= (√4 3)4=3
（2） 与式= 3 r4
5 ×1250
= 3 r4
5 ×(2·54)
=p3
22·2×53
=p3
(2×5)3
=√3
103= (√3
10)3=10
（3） 与式= 3 r24
3
=√3 8
=√3
23= (√3 2)3=2
（4） 与式=√3 62p3
24×3
=p3
(2×3)2×(24×3)
=p3
(22×32)×(24×3)
=p3 26×33
=p3
(22)3×33
=p3
(4×3)3
=√3
123= (√3
12)3=12
（5） 与式=
√4
543
√4
24
= 4 s
(2×33)3 23×3
= 4
r23×39 23×3
=√4
38=p4 (32)4
=√4
94= (√4 9)4=9
（6） 与式= 3
√147×63 7
= p3
(3×72)×(32×7) 7
= 3
√33×73 7
= p3
(3×7)3 7
=
√3
213 7 = (√3
21)3 7
= 217 =3
（7） 与式= 4
√27×9×162
√4
65
= 4 s
33×32×(2×34) (2×3)5
= 4 r
2×39 25×35
= 4 r34
24
=r³4 3 2
´4
= µ
4
r3 2
¶4
= 3 2
（8） 与式= 3 r 5
1000
3
r 25 1000
= 3 r
5
103 × 52 103
= 3 s
53 (103)2
= 3 s
53 (102)3
=r³3 5 100
´3
= µ
3
r 5 100
¶3
= 5 100 = 1
20
（9） 与式= 3 q
6√ 6×√
62÷p3 (−3)3
= 3 q
(√
6)3×6÷(−3)
=
√6×6
−3 =−2√ 6
（10） 与式= µ √3
81√3 9
√3
9 − 6
√3
9
¶3
= µ √3
92×9−6
√3
9
¶3
= µ √3
93−6
√3
9
¶3
=
µ9−6
√3
9
¶3
= µ 3
√3
9
¶3
= 33 (√3
9)3 = 27 9 =3 196 （1） 与式=x−2·3·(−1)
=x6
（2） 与式=x2+1y1+(−2)
=x3y−1 または， x3 y
（3） 与式=x1−(−2)y−2−1
=x3y−3 または， x3 y3
（4） 与式= 2−3(x−1)−3
= 123x−1·(−3)
= x3 8
（5） 与式= x−3 x2·(−1)
= x−3 x−2
=x−3−(−2)
=x−1 または， 1 x
（6） 与式= 102(x3)2(y−2)2 53(x−1)3(y2)3
= 100x3·2y−2·2 125x−1·3y2·3
= 4x6y−4 5x−3y6
= 45x6−(−3)y−4−6
= 4
5x9y−10 または， 4x9 5y10
（7） 与式= (x13 +y−13)
× {(x13)2−x13y−13 + (y−13)2}
= (x13)3+ (y−13)3
=x+y−1 または， x+ 1 y 197 （1） 与式=√4
a12
=a124 =a3
（2） 与式= a
√5
a3
= a a35
=a1−35 =a25
（3） 与式= 1 a56
=a−56
（4） 与式=a−37·(−4)
=a127
（5） 与式= (a−56)3
=a−56·3
=a−52
（6） 与式= 3 p
a34
= (a34)13
=a34·13
=a14 198 （1） 与式=a1000375
=a38 =√8 a3
（2） 与式=a−1210
=a−65 =√5 a−6
（3） 与式=a−0.75
=a−10075
=a−34 =√4 a−3
（4） 与式=a−(−1.75)
=a175100
=a74 =√4 a7
（5） 与式=a1510 ×a107
=a1510+107
=a2210
=a115 =√5 a11
（6） 与式= a107 a1310
=a107−1310
=a−106
=a−35 =√5 a−3
199 （1） 与式=a14 ×a12
=a14+24
=a34 または √4 a3
（2） 与式=a23 ×a45
=a1015+1215
=a2215 または 15
√a22
（3） 与式= a·a16 a12
=a66+16−36
=a46
=a23 または √3 a2
（4） 与式= a23 a16
=a46−16
=a36
=a12 または √ a 200 （1） x= 0のとき，y=
³8 5
´0
= 1 x= 1のとき，y=
³8 5
´1
= 85 グラフは，2点(0, 1),
³ 1, 8
5
´
を通り，単調に増加する曲 線となる．
1
8 5
1
x y
O
（2） x= 0のとき，y=³ 5 8
´0
= 1 x= 1のとき，y=³
5 8
´1
= 58 グラフは，2点(0, 1),³
1, 5 8
´
を通り，単調に減少する曲 線となる．
1
5 8
1
x y
O
（3） x= 0のとき，y= 30= 1 x= 1のとき，y= 31= 3
グラフは，2点(0, 1),(1, 3)を通り，単調に増加する曲線 となる．
1 3
1
x y
O
（4） x= 0のとき，y=
³1 3
´0
= 1 x= 1のとき，y=³
1 3
´1
= 13 グラフは，2点(0, 1),³
1, 1 3
´
を通り，単調に減少する曲 線となる．
1
1 3
1
x y
O
201 （1） y= 21·2x
= 2x+1
よって，この関数のグラフは，y = 2xのグラフを，x軸方 向に−1平行移動したものである．
1
−1 1 2
x y
O
（2） y= 2x 21
= 2x−1
よって，この関数のグラフは，y= 2xのグラフを，x軸方 向に1平行移動したものである．
1 2
2 1
x y
O
（3） この関数のグラフは，y= 2xのグラフを，x軸に関して対 称移動したものである．
2
−2 1 1
−1
x y
O
（4） y= 2−1·2−x
= 2−1−x
= 2−(x+1)
よって，この関数のグラフは，y= 2−xのグラフを，x軸 方向に−1平行移動したものであり，y = 2−xのグラフは，
y = 2xのグラフをy軸に関して対称移動したものであるか ら，y= 2xのグラフをy軸に関して対称移動し，x軸方向に
−1平行移動したものである．
−1 2
−2
1
x y
O
（5） y= 21·2−x
= 21−x
= 2−(x−1)
よって，この関数のグラフは，y= 2−xのグラフを，x軸 方向に1 平行移動したものであり，y = 2−x のグラフは，
y = 2xのグラフをy軸に関して対称移動したものであるか ら，y= 2xのグラフをy軸に関して対称移動し，x軸方向に 1平行移動したものである．
−1 1
1 2
x y
O
（6） y=−(2−1)3−x
=−2x−3
よって，この関数のグラフは，y = 2xのグラフを，x軸方 向に3平行移動したグラフをx軸に関して対称移動したもの である．
−1 1
3 x
y
O
202 （1） 33x= 8113 33x= (34)13 33x= 343 よって 3x= 4
3 x= 4 9
（2） (23)2x−4= 21 23(2x−4)= 21 よって
3(2x−4) = 1 6x−12 = 1 6x= 13 x= 13
6
（3） 5−x= 12512 5−x= (53)12 5−x= 532 よって −x= 3
2 x=−3
2
（4） 3x=Xとおく．ただし，X >0 (3x)2−4·3x+ 3 = 0
X2−4X+ 3 = 0 (X−1)(X−3) = 0 よって，X= 1, 3
X = 1のとき，3x= 1より，x= 0
X = 3のとき，3x= 3より，x= 1 したがって，x= 0, 1
（5）
³1 2
´x
=Xとおく．ただし，X >0
n³1 2
´xo2
−2
³1 2
´x
−8 = 0 X2−2X−8 = 0 (X+ 2)(X−4) = 0 X >0より，X = 4
³1 2
´x
= 4 (2−1)x= 22 2−x= 22
よって，−x= 2であるから，x=−2 203 （1） 2x< 1
23 2x<2−3
底は2で1より大きいので x <−3
（2） 2x−1>23
底は2で1より大きいので x−1>3
x >4
（3） 33x−4>(32)2x 33x−4>34x
底は3で1より大きいので 3x−4>4x
−x >4 x <−4
（4） 1 5x >52 5−x>52
底は5で1より大きいので −x >2
x <−2
CHECK
204 （1） 与式= (−√3
64)·(−√5 32)
=√3 43·√5
25
= (√3 4)3·(√5
2)5
= 4·2 =8
（2） 与式= −3 √3 33
= 3·(√3 3)3
= 3·3 =9
（3） 与式=√3 16×2
=p3 24×2
=√3 25
=p3 23×22
=√3 23×√3
22
= (√3
2)3×√3
4 =2√3 4
（4） 与式= p3
(23)2 p4
(32)2
= p3
(22)3
√4
34
= 3
√43
√4
34
= (√3 4)3 (√4
3)4 = 4 3
（5） 与式= 10√3 0.63
= 10(√3 0.6)3
= 10·0.6 =6
（6） 与式= 3√3
24×3×81
= 3p3
(23×3)×3×(34)
= 3p3 23×36
= 3p3
23×(32)3
= 3p3 (2×9)3
= 3√3 183
= 3(√3 18)3
= 3·18 =54 205 （1） 正しい
（2） 正しくない a=−1のとき，左辺= 1, 右辺=−1
（3） 正しい
（4） 正しい
（5） 正しい
（6） 正しくない a <0またはb <0のとき，右辺を満たす 実数が存在しない．
（7） 正しくない a <0のとき，右辺を満たす実数が存在し ない．
（8） 正しくない a= 1のとき，左辺= 1, 右辺=−1
（9） 正しい
206 （1） 与式= 1 a2·a13
= 1
a2+13
= 1a73 =a−73
（2） 与式=a·a34
=a1+34 =a74
（3） 与式= p
a43
= (a43)12
=a43·12 =a23
207 （1） 与式=a43−12
=a86−36
=a56 =√6 a5
（2） 与式= a43 a56
=a43−56
=a86−56
=a36 =a12 =√ a
（3） 与式= a35 a2
=a35−2
=a35−105
=a−75 =a−75 =√5 a−7 208 （1） 与式= a13 ×a12
a56
=a13+12−56
=a26+36−56
=a0=1
（2） 与式= µa13
a14
¶5
×a16
= (a13−14)5×a16
= (a124−123 )5×a16
= (a121 )5×a16
=a125 ×a16
=a125+16
=a125+122
=a127 = 12√ a7
（3） 与式= a12 ×a121 a13 ×a14
= a12+121 a13+14
= a126+121 a124+123
= a127 a127 =1 209 （1） 与式= (x−1)2−(y−1)2
x−1+y−1
= (x−1+y−1)(x−1−y−1) x−1+y−1
=x−1−y−1= 1 x − 1
y
（2） 与式= 3a (4a2)−12
= 3a
4−12(a2)−12
= 3a 4−12a−1
= 3·4−(−12)a1−(−1)
= 3·412a2
= 3·(22)12a2
（3） 与式= 223(a2)23 ·213(a−1)13
= 223 ·213 ·a43 ·a−13
= 223+13 ·a43−13
= 21a1=2a
（4） 与式= (a−12)2+ 2·a−12 ·a12 + (a12)2
=a−1+ 2·a−12+12+a1
=a−1+ 2·a0+a
=a−1+ 2 +a= 1
a + 2 +a 210 （1） y= 32·3x
= 3x+2
よって，この関数のグラフは，y= 3xのグラフを，x軸方 向に−2平行移動したものである．
（2） y=−(3−1)x
=−3−x
よって，この関数のグラフは，y= 3xのグラフを，原点に 関して対称移動したものである．
（3） y= 3·(3−1)x+ 1
= 3·3−x+ 1
= 31−x+ 1
= 3−(x−1)+ 1
よって，この関数のグラフは，y= 3xのグラフを，y軸に 関して対称移動し，x軸方向に1，y軸方向に1平行移動し たものである．
（4） y=−3x 33
=−3x−3
よって，この関数のグラフは，y= 3xのグラフを，x軸方 向に3平行移動し，x軸に関して対称移動したものである．
211 （1）
³1 3
´x
=X とおく．ただし，X >0 9
n³1 3
´xo2
−28
³1 3
´x
+ 3 = 0 9X2−28X+ 3 = 0
(9X−1)(X−3) = 0 よって，X= 1
9, 3 これは，X >0を満たす．
X = 1
9 のとき，
³1 3
´x
= 19 =³ 1 3
´2
より，x= 2 X = 3のとき，
³1 3
´x
= 3より (3−1)x= 3
3−x= 31
よって，−x= 1であるから，x=−1 したがって，x=−1, 2
（2） 2x=Xとおく．ただし，X >0 (2x)2−6·2x−16 = 0 X2−6X−16 = 0 (X+ 2)(X−8) = 0 X >0より，X = 8
