章 指数関数と対数関数

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章 指数関数と対数関数

BASIC

220 （1）log₂128 =mとおくと   2^m= 128   2^m= 2⁷

 よって，m= 7であるから，与式=7

〔別解〕

  与式= log₂2⁷

= 7 log₂2

= 7·1 =7

（2）log¹

41 =mとおくと

³1 4

´_m

= 1   

³1 4

´_m

=

³1 4

´₀

 よって，m= 0であるから，与式=0

（3）log_0.10.001 =mとおくと   0.1^m= 0.001   0.1^m= 0.1³

 よって，m= 3であるから，与式=3

〔別解〕

  与式= log_0.1(0.1)³

= 3 log_0.10.1

= 3·1 =3

（4）log₃ 1

81 =mとおくと   3^m= 1

81   3^m= 1

3⁴   3^m= 3⁻⁴

 よって，m=−4であるから，与式=−4

〔別解〕

  与式= log₃ 1 3⁴

= log₃3⁻⁴

=−4 log₃3

=−4·1 =−4

（5）log₂0.25 =mとおくと   2^m= 0.25

  2^m= 1 4   2^m= 1

2²   2^m= 2⁻²

 よって，m=−2であるから，与式=−2

〔別解〕

  与式= log₂ 25 100

= log₂ 1 4

= log₂ 1 2²

= log₂2⁻²

=−2 log₂2

=−2·1 =−2

（6）log₁₆2 =mとおくと   16^m= 2   (2⁴)^m= 2¹   2^4m= 2¹

 よって，4m= 1であるから，与式= 1 4

〔別解〕

  与式= log₁₆√⁴ 16

= log₁₆16¹⁴

= 14 log₁₆16

= 14 ·1 = 1 4

 または，底の変換を学習した後であれば   与式= log₂2

log₂16

= 1

log₂2⁴

= 1

4 log₂2

= 1

4·1 = 1 4

（7）log₇√⁵

7 =mとおくと   7^m=√⁵

7   7^m= 7¹⁵  よって，m= 1

5 ^{であるから，与式}= 1 5

〔別解〕

  与式= log₇7¹⁵

= 15 log₇7

= 15 ·1 = 1 5

（8）log₂√⁵

2³=mとおくと   2^m=√⁵

2³   2^m= 7³⁵  よって，m= 3

5 ^{であるから，与式}= 3 5

〔別解〕

  与式= log₂2³⁵

= 35 log₂2

= 35 ·1 = 3 5 221 （1）  与式= log₃³

6· 3 2

´

= log₃3²

= 2 log₃3

= 2·1 =2

（2）  与式= log₂ 12 6

= log₂2 =1

（3）  与式= log₁₀

³75 13 ÷ 15

26

´

= log₁₀³ 75 13 · 26

15

´

= log₁₀10 =1

（4）  与式= log₂ 56 7

= log₂8

= log₂2³

= 3 log₂2

= 3·1 =3

（5）  与式= log₂54−log₂12³

= log₂ 54 12³

= log₂ 2×3³ (2²×3)³

= log₂ 2×3³ 2⁶×3³

= log₂ 1 2⁵

= log₂2⁻⁵

=−5 log₂2

=−5·1 =−5

（6）  与式= log₄(√ 7 +√

5)(√ 7−√

5)

= log₄(7−5)

= log₄2

= log₄√ 4

= log₄4¹²

= 12 log₄4

= 12 ·1 = 1 2 222 （1）  左辺= log_a 1

N¹³

= log_aN⁻¹³

=−1

3 log_aN=右辺

（2）  左辺= log_aM^mn

= m

n log_aM =右辺

（3）  左辺= log_a(LM·M N·N L)

= log_aL²M²N²

= log_a(LM N)²

= 2 log_aLM N =右辺 223 （1）  与式= log₅√

2 + log₅(√ 8)³

= log₅√

2 + log₅8√ 8

= log₅√

2 + log₅16√ 2

= log₅(√ 2·16√

2)

= log₅32

= log₅2⁵=5 log₅2

（2）  与式= log₂12²−4 log₂2

= log₂(2²×3)²−log₂2⁴

= log₂ 2⁴×3² 2⁴

= log₂3²=2 log₂3

（3）  与式= log₄

√6·√

√ 10 15

= log₄

r(2×3)·(2×5) 3×5

= log₄√ 2²

= log₄√ 4

= log₄4¹²

= 12 log₄4 = 1 2

（4）  与式= log₁₀15¹² + log₁₀8¹³ −log₁₀36¹⁴

= log₁₀ (3×5)¹²×(2³)¹³ (2²×3²)¹⁴

= log₁₀ 3¹² ×5¹² ×2 2¹² ×3¹²

= log₁₀5¹² ×2¹⁻¹²

= log₁₀5¹² ×2¹²

= log₁₀(5×2)¹²

= log₁₀10¹²

= 12 log₁₀10 = 1 2

（5）  与式= log₃5¹² + log₃6³² −log₃30¹²

= log₃ 5¹² ×(2×3)³² (2×3×5)¹²

= log₃ 5¹² ×2³² ×3³² 2¹² ×3¹² ×5¹²

= log₃2³²⁻¹² ×3³²⁻¹²

= log₃2·3 =log₃6 224 （1）  左辺= log_ab· log_ac

log_ab · log_ad log_ac

= log_ad=右辺

（2）  左辺= 1 log_aa log_aab

= log_aab log_aa

= log_aab 1

= log_aab

= log_aa+ log_ab

= 1 + log_ab=右辺

（3）※ 証明のために，まず次の2つを示しておきます．

 a >0, b >0, a= 1, b^\ = 1^\ とする．

  °¹ log_ab= 1 log_ba   °² a^logab=b  °¹ について

  底の変換公式により     log_ab= log_bb

log_ba

= 1

log_ba  °² について

  a^logab=mとおき，これを対数を用いて表すと    log_ab= log_am

 よって，m=bであるから，a^logab=b

〔証明〕

  左辺=a^{logloga ba c}

=a^{logab·log1a c}

=a^logab·logca °¹より

= (a^logab)^logca

=b^logca °²より

=右辺

225 （1）  与式= log₈27· log₈4 log₈3

= log₈3³· log₈2² log₈3

= 3 log₈3· 2 log₈2 log₈3

= 6 log₈2

= 6 log₈8¹³

= 6· 1

3 log₈8 =2

（2）  与式= log₃4· log₃125

log₃8 · log₃9 log₃5

= log₃2²· log₃5³

log₃2³ · log₃3² log₃5

= 2 log₃2· 3 log₃5

3 log₃2 · 2 log₃3 log₃5 =4

（3）  与式= (log₂1−log₂3)· log₂8

log₂3 · log₂27 log₂9

=−log₂3· log₂2³

log₂3 · log₂3³ log₂3²

=−log₂3· 3 log₂2

log₂3 · 3 log₂3

2 log₂3 =−9 2

226 （1）  x= 1のとき，y= 0

  x= 5のとき，y= log₅5 = 1

 グラフは，y軸を漸近線とし，2点(1, 0),(5, 1)を通る単 調に増加する曲線となる．

5 1

1 x

y

O

（2）  x= 1のとき，y= 0   x= 5のとき，y= log¹

55 =−1

 グラフは，y軸を漸近線とし，2点(1, 0),(5, −1)を通る 単調に減少する曲線となる．

5

−1

1 x

y

O

（3） この関数のグラフは，y= log¹

2xのグラフをy軸について 対称移動したものである．

  x=−1のとき，y= 0   x=−2のとき，y= log¹

2 2 =−1

 グラフは，y軸を漸近線とし，2点(−1, 0),(−2, −1)を 通る単調に増加する曲線となる．

−2

−1

−1 x

y

O

（4） この関数のグラフは，y = log₂xのグラフをx軸方向に

−1平行移動したものである．

  x= 0のとき，y= 0

  x= 1のとき，y= log₂(1 + 1) = 1

 グラフは，y=−1を漸近線とし，2点(0, 0),(1, 1)を通 る単調に増加する曲線となる．

1 1

−1 x

y

O

（5） y = log₂{−(x−1)}であるから，この関数のグラフは，

y= log₂(−x)のグラフをx軸方向に1平行移動したもので ある．

  x= 0のとき，y= 0

  x=−1のとき，y= log₂{−(−1−1)}= 1

 グラフは，y= 1を漸近線とし，2点(0, 0),(−1, 1)を通 る単調に減少する曲線となる．

−1 1

1 x

y

O

（6）  y= log₂4 + log₂x

= log₂2²+ log₂x

= 2 log₂2 + log₂x

= log₂x+ 2

 よって，この関数のグラフは，y= log₂xのグラフをy軸 方向に2平行移動したものである．

  x= 1のとき，y= 2

  x= 2のとき，y= log₂2 + 1 = 3

 グラフは，y軸を漸近線とし，2点(1, 2),(2, 3)を通る単 調に増加する曲線となる．

1 2

2 3

1 4

x y

O

 ※ y= 0のとき，4x= 1より，x= 1 4 227 （1）  1

125 = 1

5³ = 5⁻³  25√³

5 = 5²·5¹³ = 5⁷³ であるから，定義域は   5⁻³<=x <5⁷³

 y= log₅xは単調に増加するので   log₅5⁻³<= log5x <log₅5⁷³  すなわち

  log₅5⁻³<=y <log₅5⁷³   −3 log₅5<=y < 7

3 log₅5  よって，−3<=y < 7

3

（2）  √1

27 = 1

(3³)¹² = 1 3³² =

³1 3

´³

2

 √⁴

27 = (3³)¹⁴ = 3³⁴ = (3⁻¹)⁻³⁴ =³ 1 3

´₋³

4

であるから，定義域は   

³1 3

´³

2 < x <

³1 3

´₋³

4

 y= log¹

3xは単調に減少するので   log¹

3

³1 3

´³

2 >log¹

3x >log¹

3

³1 3

´₋³

4

 すなわち   log¹

3

³1 3

´³

2 > y >log¹

3

³1 3

´₋³

4

   3 2 log¹

3

1

3 > y >−3 4 log¹

3

1 3  よって，−3

4 < y < 3 2

228 （1） 

log₇2√

6 log₇5 log₇√ 20

↓ ↓ ↓

log₇√

24 log₇√

25 log₇√ 20  y= log₇xは，単調に増加するので

  log₇√

20<log₇√

24<log₇√ 25  よって

  log₇√

20<log₇2√

6<log₇5

（2） 

log¹

50.3 log¹

5

1

4 log¹

5

2 7

↓ ↓ ↓

log¹

50.3 log¹

50.25 log¹

50.285· · ·  y= log¹

5xは，単調に減少するので   log¹

50.3<log¹

5 0.285· · ·<log¹

50.25  よって

  log¹

50.3<log¹

5

2

7 <log¹

5

1 4 229 （1） 真数条件より，x >0· · ·°¹

  log₄x²= 1  対数の定義より

  x²= 4¹= 4   x=±2  °¹より，x= 2

〔別解〕

 真数条件より，x >0· · ·°¹   log₄x²= 1 log₄4   log₄x²= log₄4  よって

  x²= 4   x=±2  °¹より，x= 2

（2） 真数条件より，

(x−1>0 · · ·°¹ x >0 · · ·°²  °¹ より，x >1

 よって，x >1· · ·°³   log₂(x−1)x= 1  対数の定義より   (x−1)x= 2¹= 2   x²−x−2 = 0   (x+ 1)(x−2) = 0   x=−1, 2

 °³より，x= 2

〔別解〕

 真数条件より，

(x−1>0 · · ·°¹ x >0 · · ·°²  °¹ _より，x >1

 よって，x >1· · ·°³   log₂(x−1)x= 1 log₂2   log₂(x−1)x= log₂2  よって

  (x−1)x= 2   x²−x−2 = 0   (x+ 1)(x−2) = 0   x=−1, 2

 °³より，x= 2

（3） 真数条件より，

(4x−7>0 · · ·°¹ x+ 1>0 · · ·°²  °¹ より，x > 7

4  °² より，x >−1  よって，x > 7

4 · · ·°³   log₃ 4x−7

x+ 1 =−1  対数の定義より    4x−7

x+ 1 = 3⁻¹= 1 3   3(4x−7) =x+ 1   12x−21 =x+ 1   11x= 22

  x= 2

 これは，°³を満たすので，x= 2

〔別解〕

 真数条件より，

(4x−7>0 · · ·°¹ x+ 1>0 · · ·°²  °¹ より，x > 7

4  °² より，x >−1  よって，x > 7

4 · · ·°³   log₃ 4x−7

x+ 1 =−log₃3   log₃ 4x−7

x+ 1 = log₃3⁻¹   log₃ 4x−7

x+ 1 = log₃ 1 3  よって

   4x−7

x+ 1 = 1

3   3(4x−7) =x+ 1   12x−21 =x+ 1   11x= 22

  x= 2

 これは，°¹を満たすので，x= 2

（4） 真数条件より，

(x−1>0 · · ·°¹ x−2>0 · · ·°²  °¹ より，x >1

 °² より，x >2  よって，x >2· · ·°³

  log_0.5(x−1)(x−2) =−1  対数の定義より

  (x−1)(x−2) = 0.5⁻¹=

³1 2

´₋₁

= 2   x²−3x+ 2 = 2

  x²−3x= 0   x(x−3) = 0   x= 0, 3  °³より，x= 3

〔別解〕

 真数条件より，

(x−1>0 · · ·°¹ x−2>0 · · ·°²  °¹ より，x >1

 °² より，x >2  よって，x >2· · ·°³

  log_0.5(x−1)(x−2) =−log_0.50.5   log_0.5(x−1)(x−2) = log_0.50.5⁻¹   log_0.5(x−1)(x−2) = log_0.5³

1 2

´₋₁

  log_0.5(x−1)(x−2) = log_0.52  よって

  (x−1)(x−2) = 2   x²−3x+ 2 = 2   x²−3x= 0   x(x−3) = 0   x= 0, 3  °³より，x= 3

230 （1） 真数条件より，x+ 1>0すなわち，x >−1· · ·°¹    log₃(x+ 1)>2 log₃3

log₃(x+ 1)>log₃3² log₃(x+ 1)>log₃9  底が1より大きいので

  x+ 1>9   x >8

 これと°¹より，x >8

（2） 真数条件より，x−1>0すなわち，x >1· · ·°¹   log₂(x−1)<3 log₂2

log₂(x−1)<log₂2³ log₂(x−1)<log₂8  底が1より大きいので   x−1<8

  x <9

 これと°¹より，1< x <9

（3） 真数条件より，2x−1>0すなわち，x > 1 2 · · ·°¹   0 log₂2<log₂(2x−1)<1 log₂2

log₂2⁰<log₂(2x−1)<log₂2¹ log₂1<log₂(2x−1)<log₂2  底が1より大きいので

  1<2x−1<2   2<2x <3   1< x < 3

2

 これと°¹より，1< x < 3 2

（4） 真数条件より，

(x²−1>0 · · ·°¹ x+ 1>0 · · ·°²  °¹ より

  (x+ 1)(x−1)>0   x <−1, 1< x  °² より，x >−1  よって，x >1· · ·°³

  log₁₀(x²−1)<log₁₀10 + log₁₀(x+ 1) log₁₀(x²−1)<log₁₀10(x+ 1)  底が1より大きいので

  x²−1<10(x+ 1)   x²−10x−11<0   (x+ 1)(x−11)<0   −1< x <11

 これと°³より，1< x <11

231 （1）与式= log₁₀ 2 10

= log₁₀2−log₁₀10

= 0.3010−1

=−0.6990

（2）与式= log₁₀2³·3

= log₁₀2³+ log₁₀3

= 3 log₁₀2 + log₁₀3

= 3·0.3010 + 0.4771

=1.3801