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幾何学特論第四講義資料

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今回は，都合により提出物の受付をいたしません．申し訳ありません．

前回までの訂正

• 講義資料7, 2ページ，下から4行目：(1)–(3)の性質⇒(1), (2), (4)の性質

授業に関する御意見

• もし時間があれば7-2のパズルのヒントをください． 山田のコメント：あとで，覚えていたら．

• 先生はパズルがすきですか? 山田のコメント：あまり

8 定曲率空間

■曲線に沿うベクトル場と共変微分 多様体

から多様体

への可微分写像

に対して，微分 写像

をまた

と書くことがある．この節では，式が「ごちゃごちゃ」になることを避 けるために後者の記号を用いる．

数直線上の区間

から多様体

への可微分写像を

の曲線という．パラメータ（

の座標）を

と書く とき，曲線

に対して

˙

γ(t) :=γ_∗ (d

dt )

t

∈T_γ(t)M

を

の速度ベクトル という．

の局所座標

を用いて

x^j(t))

と書けば，

˙

γ(t) =∑

j

dx^j dt (t)

( ∂

∂x^j )

γ(t)

=∑

j

dx^j dt

∂

∂x^j

である．

曲線

に沿うベクトル場とは，可微分写像

で

（

はベクト ル束の射影）を満たすものである．局所座標を用いれば，

(8.1) X =∑

j

X^j(t) ( ∂

∂x^j )

γ(t)

X^j:I^C→^∞R

と書ける．とくに，速度ベクトル

は

に沿うベクトル場を与えている．

多様体

上に（捩れのない）線型接続

が与えられているとする．座標系

に関する接続係数を

とするとき，曲線

に沿う

のようなベクトル場

の

方向の共変微分を

(8.2) ∇_dt^dX :=∑

j



dX^j dt +∑

i,k

Γ^j_ikdxⁱ dt X^k



(

∂

∂x^j )

γ(t)

と定める．

■平行移動 曲線

に沿うベクトル場

が

接続

^に関して

に沿って平行

である，と は

が恒等的に成り立つことである．

命題

多様体

上の可微分曲線

と，任意の

に対して

に沿って平行なベ クトル場

で

となるものが唯一存在する．

証明：X = (X¹, . . . , X^m)は線型常微分方程式

(8.3) dX^j

dt +∑

i,k

Γ^j_ikdxⁱ

dt X^k= 0 (j= 1, . . . , m) の初期条件X^j(a) =v^j (v^j はvの成分)を満たす解である．

2011年11月29日

定義

多様体

上の曲線

の始点を

とおくとき，写像

は命題

の結論に現れるベクトル場

を

に沿う平行移動という．

命題

平行移動

は線型同型写像である．

証明：方程式 (8.3)は線型方程式であるから線型性が従う．さらにγ の逆向きの曲線はPγの逆写像を与えるの

で，同型が言える．

命題

曲線

に対して

，

とおく．このとき

に対して

∇vY = lim

t→0

P_t⁻¹Y(γ(t))−Y(p) t

である．ただし

は

に関する平行移動である．

■測地線 以下では，リーマン多様体

のリーマン接続について考える．

定義

曲線

が測地線

である，とは

が成り立つことである．

M

の局所座標系

を用いると，

が測地線であるための条件は

(8.4) d²x^j

dt² +∑

k

Γ^j_ikdxⁱ dt

dx^k

dt = 0 (j= 1, . . . , m)

である．これを測地線の方程式という．これは，平行移動の方程式と違って非線型なので，解が大域的に存在 するとは限らない．解の存在と一意性の定理より

命題

任意の点

と

に対して，

となる測地線

がた だ一つ存在する．ただし

は十分小さい正の数である．

命題

測地線

の速度ベクトル

の大きさは一定である．

証明：∇がリーマン接続であることから d

dthγ,˙ γ˙i= 2

∇d/dtγ,˙ γ˙

= 0 である．

とくに「測地線である」ということは曲線のパラメータの取り方に依存するが，

が測地線なら，定数

に 対して

も測地線である．以下，とくに断らない限り，測地線

は弧長によりパラメータづけられてい るとする：

定理

リーマン多様体

上の

点

を結ぶ曲線のうち，長さが最小のもの（すなわち長さ

の 曲線）は測地線である．

証明は後回しにする．定理

の仮定を満たす測地線

を

と

を結ぶ最短測地線という．

定理

の定理

リーマン多様体

に対して，次は同値である：

(1)

リーマン計量から定まる距離

に関して

は完備である．

(2) M

上の一つの点

を固定したとき，任意の

に対して

となる測地線

の定義域が

全体まで拡張される．

(3) M

上の任意の点

と任意の

に対して

となる測地線

の定義域が

全 体まで拡張される．

(4) M

上の任意の相異なる

点

を結ぶ最短測地線が存在する．

(5) M

上の一つの点

を固定したとき，閉距離球

^{はコンパクト．}

(6) M

上の，任意の発散する道の長さは無限大である．

■空間型

ユークリッド空間

定義

完備なリーマン多様体で，断面曲率が一定であるようなものを空間型

という．

例

ユークリッド空間

のリーマン接続（レビ・チビタ接続）を

とすると，標準座標系に関

して

となっている．すなわち，標準座標系はアファイン座標系となっているから，

の曲率テンソ ルは消える．したがって

の断面曲率は恒等的に

となる．また，測地線が直線となるので，

の定理より

は完備．

したがって，

は単連結かつ平坦な空間型である．

■写像に沿う共変微分 平坦でない空間型を具体的に調べるために，曲線に沿う共変微分を一般化する．

定義

多様体

から

への可微分写像

に対して

に沿うベクトル場とは，可微分写像

X:M →T N (π◦X =f)

のことである．

さらに，

に対して

を満たす

上の曲線

を用いて

∇vX =∇d/dtX◦γ

と定める．右辺は

の取り方によらない．

補題

定義

の状況で，

の接続

の捩率が消えているなら，

∇Xf_∗Y − ∇Yf_∗X =f_∗[X, Y]

が成り立つ．

■球面 正の定数

に対して

M =Sⁿ(r) :=



p= (p¹, . . . , pⁿ⁺¹)

hp,pi=

n+1∑

j=1

(p^j)²=r²



⊂Rⁿ⁺¹

とおくと，これはユークリッド空間

の部分多様体である．

の計量から誘導される

の計量

を

とする．

点

における接空間

は

内のベクトル

の直交補空間である．すなわち，次の直交直和 分解

(8.5) Rⁿ⁺¹=T_pM⊕Rp

がある．

ベクトル場

は，包含写像

に沿ったベクトル場である．ユークリッド空間の 標準接続を

と書き，ベクトル場

に対して

を

にしたがって

DYX :=∇YX+h(X, Y)p ∇YX ∈T M, h(X, Y)∈R

と分解する．とくに，

であるが，左辺は

なので，

すなわち，

(8.6) ∇YX:=DYX+ 1

r²hX, Yip

を得る．

補題

式

で定まる

^{は誘導計量}

に関するリーマン接続である．

証明：まず∇XY(p)∈T_pM であることを示す．式(8.6)の両辺にpを内積するとh∇XY,pi= 0となる．こ こでTpM ={p}^⊥に注意すれば結論がわかる．

さらに，リーマン接続の性質

∇XY − ∇YX= [X, Y], XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi を示せばよい．

このリーマン接続

の曲率テンソルを計算する．

は

の平坦な接続であることと

^{がリーマン接続} であることに注意すれば，

R(X, Y)Z =∇X∇YZ− ∇Y∇XZ− ∇[X,Y]Z

=D_X∇YZ+ 1

r²hX,∇YZip

−D_Y∇XZ− 1

r²hY,∇XZip−D_[X,Y]Z− 1

r²h[X, Y], Zip

=D_XD_YZ+ 1

r²D_XhY, Zip+ 1

r²hX,∇YZip

−D_YD_XZ− 1

r²D_Y hX, Zip− 1

r²hY,∇XZip

−D_[X,Y]Z− 1

r²h[X, Y], Zip

=DXDYZ−DYDXZ−D_[X,Y]Z + 1

r²

(XhY, Zip+hY, ZiDXp−Y hX, Zip− hX, ZiDYp− h[X, Y], Zip)

+ 1 r²

(hX,∇YZip− hY,∇XZip)

= 1 r²

(hY, ZiX− hX, ZiY)

である．このことから

の断面曲率が

になることがわかる．

さらに，

はコンパクトであるから，

の定理より完備．したがって

は完備単連結 な空間型である．

以下，簡単のために

とし，

と書く．このリーマン多様体の測地線を求めよう．点

と

は互いに直交する

の単位ベクトルである．そこで

γ(t) := (cost)p+ (sint)v

とおけば，

は

上の曲線となっている．実際，

∇d/dtγ˙ =D_γ˙γ˙ +hγ,˙ γ˙iγ= ¨γ+γ= 0.

■双曲空間 球面と同じことを，ミンコフスキー空間の「球面」で行えば，負曲率空間型を構成することがで きる．

まず，ミンコフスキー空間

のレビ・チビタ接続は，

のリーマン接続

と全く同じものである ことに注意する．正の定数

に対して

Hⁿ(r) :=

{

p∈Lⁿ⁺¹| hp,pi=−1

r², p⁰>0 }

とおく．ただし

とおき，ミンコフスキー内積は第一座標が負の符号に対応するようとって いる．

ここで，

のミンコフスキー内積を

に制限すると，これは

のリーマン計量

を与えてい る．球面の場合とほぼ同様に

∇XY :=DXY − 1

r²hX, Yip

とおけば，

^が

のリーマン接続であることがわかる．この曲率テンソルを計算すれば

が，負の 定曲率

をもつ単連結リーマン多様体であることがわかる．

さらに，

のとき，点

における単位接ベクトル

をとると，

だから

は，

を速度

で出発する

上の測地線である．とくに

の定義域は

だから，完備性が言える．