助教 藤田遼（表現論）
私は複素有限次元単純Lie代数やそのルート系に付随して生じる代数系（量子
群やHecke代数など）の表現論を研究しています。特に，表現の成す圏の構造や
異なる代数系の表現論の間のつながり，それらの背景にある幾何学的対象に着目 しています。現在の中心的な研究対象はアフィン量子群の表現論です。アフィン 量子群は理論物理における可解格子模型とそこに登場するR行列の研究において 80年代に導入された代数系であり，アフィンLie代数の普遍包絡環の量子変形を 与えます。その有限次元表現の成す圏では，基礎となる単純Lie代数の有限次元 表現の圏と比べて，完全可約性とテンソル積の対称性が共に崩れているため，よ り複雑で興味深い現象が見られます。
Lie代数がADE型のときは，中島による箙多様体を用いてアフィン量子群の 表現を幾何学的に実現する手法が確立されています。私は論文[2,3]において、こ の手法を用いて，Dynkin箙に付随する量子アフィン型Schur-Weyl双対性関手を 研究しました。この関手は箙Hecke代数と呼ばれるアフィンHecke代数の変種の 表現をアフィン量子群の表現に結びつけるもので，Kang-柏原-Kimによって導入 された一般的構成の重要な例として得られます。元々はR行列の特異性の情報を もとに純代数的に構成されるものですが，私はそれとは独立に箙多様体を用いた 幾何学的別構成を与え，表現のクラスを適切に制限した上で関手が圏同値を導く ことを示しました。論文[5]では，同様の手法を用いて，ADE型アフィン量子群 の基本表現の間のR行列の特異性がDynkin箙の直既約表現の間の拡大群の次元 に対応することを示し，そこから基本表現の間のR行列の分母を統一的に書き下 す簡明な公式を得ました。
ADE型ではない残りのBCFG型アフィン量子群の表現論については，主に 上述の幾何学的手法が使えないという理由により，未解決の問題が多く残ってい ます。一方で近年，複数のグループによる研究の進展によって，BCFG型アフィ ン量子群の表現論はそのDynkin図形を展開（unfolding）して得られるADE型 アフィン量子群の表現論との間に密接な関係を持つことが分かってきました。私 の現在の研究は，この未だミステリアスな関係ついての理解を深め，BCFG型を 含めたアフィン量子群の表現論についてより系統的な理解を得ることを目標とし ています。この方向で最近行ったSe-jin Ohとの共同研究[6]では，BCFG型の 表現論で重要な役割を担う量子Cartan行列が、展開されたADE型のルート系 とそのWeyl群の組合せ論で記述できることを示しました。その応用として，更 にDavid Hernandez，大矢浩徳とも共同で行った研究[7]では，q指標環の変形を 与える量子Grothendieck環について，BCFG型とそれを展開したADE型の間 に非自明な同型を構成し，これを用いてBCFG型の量子Grothendieck環の標準 基底に関する正値性およびB型の場合に既約q指標の決定アルゴリズムの有効性
（Kazhdan-Lusztig予想の類似）を証明しました。
1. Tilting modules of affine quasi-hereditary algebras. Adv. Math., 324:241–
266, 2018.
2. Affine highest weight categories and quantum affine Schur-Weyl duality of Dynkin quiver types. Preprint, arXiv:1710.11288.
3. Geometric realization of Dynkin quiver type quantum affine Schur-Weyl duality. Int. Math. Res. Not. IMRN, (22):8353–8386, 2020.
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4. (with Michael Finkelberg) Coherent IC-sheaves on typeAn affine Grass- mannians and dual canonical basis of affine typeA1. Represent. Theory, 25:67–89, 2021.
5. Graded quiver varieties and singularities of normalized R-matrices for fun- damental modules. Preprint, arXiv:1911.12693.
6. (with Se-jin Oh) Q-data and representation theory of untwisted quantum affine algebras. Comm. Math. Phys., 384(2):1351–1407, 2021.
7. (with David Hernandez, Se-jin Oh, and Hironori Oya) Isomorphisms among quantum Grothendieck rings and propagation of positivity. Preprint, arXiv:2101.07489.
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