一般の p 進簡約群の表現論への導入

一般の

_p

進簡約群の表現論への導入

平賀郁

2013/09/04

により既約表現が分類されていたが, このとき h∆iit _=h∆0 ii t_{· | det(·)|}νi となるように二乗可積分表現_h∆0 iit をとることができる. つまりhmitは h∆0 1i t_{· | det(·)|}ν1 × · · · × h∆0 li t_{· | det(·)|}νl の特別な部分商としてとらえられる. ここで ν1 =· · · = νk1 > νk1+1 =· · · = νk2 >· · · と νi を並べて                n1 . .. nk1    . .. . .. . ..             の形の放物部分群の表現 ( h∆0 1i t_{× · · · × h∆}0 k1i t)_(_h∆0 k1+1i t_{× · · · × h∆}0 k2i t)_{ · · ·} を一次元指標で捻ったものからの誘導表現の商として _hmit _{が得られる.} 行列成分と分類 Definition 0.3. v ∈ V , ˇw∈ ˇV に対して fv, ˇw(g) = (π(g)v, ˇw) と定め、これを行列成分と呼んでいた. ユニタリ超カスプ表現_{⇐⇒ 全ての行列成分は compactly supp.} 二乗可積分表現_{⇐⇒ 全ての行列成分は} ∫ ZG\G |fv, ˇw(g)|2 dg < +∞ をみたす 緩増加表現_{⇐⇒ 全ての行列成分は} ∫ ZG\G |fv, ˇw(g)| 2+ dg < +∞ ∀ > 0 をみたす (但し ZG は G の中心)

行列成分 + Levi 部分群への制限  定数項 class exponent uukkkkkkkk kkkkkkk exponent ((R R R R R R R R R R R R R R Jacquet module の情報 行列要素の遠方挙動 Example 0.4. G = GL2 B = 上半三角行列 のとき. 表現 Steinberg =h{| · |−12,| · | 1 2}it _IG B1 trivial exponent δ− 1 2 B 1 = δB0 δ 1 2 B 二乗可積分 緩増加 ₋ δB ( a b 0 c ) =|ac−1|F Remark 0.5. 行列要素の挙動を調べる為に、特別な緩増加表現の特別 な行列要素 Ξ と比較をする. G = GLn のときには π = IGB1 の両側 GLn(oF) 不変な行列要素が Ξ である. Remark 0.6. 通常は Ξ により緩増加表現を定義する.

絡作用素と表現の分類 Example 0.7 (GL の場合). σ1 =h∆1it: GLn1 の二乗可積分表現 σ2 =h∆2it: GLn2 の二乗可積分表現 σ = σ1  σ2 P = ( GL(n1) ∗ GL(n2) ) L = ( GL(n1) GL(n2) ) σ0 = σ2  σ1 P0 = ( GL(n2) ∗ GL(n1) ) L0 = ( GL(n2) GL(n1) ) このとき σ1× σ2 = IPGσ ' σ2× σ1 = IGPσ0 である. いま w = ( In2 In1 ) とすると σ0, L0 は w で σ, L を移したものである. x∈ L0 = wLw−1 −→ w−1xw∈ L σ0(x) = wσ(x) = σ(w−1xw) また w−1P0w = {( GL(n1) 0 ∗ GL(n2) )} は P と同じ Levi 部分群 L をもっている. このとき次のような絡作用素 が定義される. σ1 × σ2 = IPGσ R(w,σ)_// R_{w−1P 0w|P}(σ)SSSSS _))S S S S S S S S S IPG0wσ = σ2× σ1 IG w−1P0wσ OO

Rw−1P0w|P(σ) は次の形で定義される. Rw−1P0w|P(σ) = rw−1P0w|P(σ)−1Jw−1P0w|P(σ) Knapp–Stein–Silberger 理論 緩増加表現の分類については次が知られている. Theorem 0.8. G の緩増加表現は二乗可積分表現 σ からの誘導表現 IGPσ の部分表現となる. しかもこのような σ は Weyl 群の作用を除いて一意 的である. Definition 0.9. Wσ ={w ∈ W (L)| wσ ' σ} W_σ0 ={w ∈ Wσ| R(w, σ) はスカラー作用素 } Rσ = Wσ/Wσ0 Theorem 0.10. {R(w, σ)| w ∈ Rσ} は EndG ( I_PGσ) の基底となる. この結果を endoscopy と関係した形に定式化する. 以下 G は quasi-split であるとする. Definition 0.11. 絡作用素を上手く定義することにより Rσ の IPGσ へ の作用が定まる. Rσ y IPGσ よって IG Pσ を Rσ × G の表現とみなすことができる. Theorem 0.12. Rσ× G の表現として IGPσ =⊕µ∈Π(Rσ)µ πµ と分解する. ここで対応 Π(Rσ) ={Rσ の既約表現} −→ {IPGσ に現れる既約許容表現} µ 7→ πµ は１対１である.

Remark 0.13. 各 w∈ Rσ に対して ∑ µ trace µ(w)· J(πµ) が “良い” virtual character となる. Example 0.14 (G = SL2 の例). χ を F× の指標で χ6= 1, χ2 = 1 となるものとする. A = {( a a−1 )} b = {( a ∗ a−1 )} σ : ( a a−1 ) 7→ χ(a) とし I_BGσ の分解を考える. このとき w = ( 0 1 −1 0 ) とすると Rσ ={±I2,±w} /{±1} ' Z/2Z であるので I_BGσ = 1 π++ sgn π− となる. このとき Rσ の各元に対して I2 : J (π+) + J (π−) w : J (π+)− J(π−) が” 良い” virtual character となる.

ラングランズ分類 Theorem 0.15. G の任意の表現は IGPσλ の特別な既約部分商として表される。ここで σλ = σ⊗ eλ で σ は緩増加表現であり, eλ _{はある（ユニタリとは限らない）一次元} 指標. ラングランズ対応 Example 0.16 (GL の場合). 超カスプ表現 _{←→ WF} の既約表現 二乗可積分表現 _{←→ WF × SU2} の既約ユニタリ表現 緩増加表現 _{←→ WF × SU2} のユニタリ表現 許容表現 _{←→ WF × SU2} の完全可約な表現 これらは φ : WF × SU2 // &&N N N N N N N N N N N GLn(C) × WF xxpppppp ppppp WF の同値類として記述される. 一般の簡約代数群群では L-群L_{G への写像 L-群の定義はルー} ト系を使う. φ : WF × SU2 // &&M M M M M M M M M M M M LG = bGo WF xxqqqqqq qqqqq WF の同値類を L-parameter と呼び, これで既約許容表現を記述する.

一般の簡約群の場合には次の問題がある. (1) φ に対応する既約許容表現は１つではない. (2) 緩増加表現でなければ L-parameter による分類が関手性の観点か らみてうまくいっていないことがある. 以下この問題について説明する. (1) φ に対応する既約許容表現は１つではない. Definition 0.17. φ に対応する既約許容表現の集合を L-packet と呼び Πφ= Πφ(G) と表す. Example 0.18 (G = SL2 の例). 先ほどの SL2 の例に戻る. このとき Rσ × G の表現として I_BGσ = 1 π++ sgn π− であった. この場合の L-parameter は φ : WF × SU(2) −→ GL2(C) × WF −→ bG = P GL2(C) × WF w× u 7→ ( χ(w) 1 ) × w であり L-packet は Πφ={π+, π−} である. いま Sφ= π0 ( Cent(φ, bG) ) =   1, ( 1 −1 )_  'Rσ なので Rσ に対応する L-群側の対象として Sφ が得られる. よって {Sφ の既約表現 1, sgn} ←→ Π(φ) = {π+, π−} となる.

一般の簡約代数群の緩増加表現の場合も Sφ によりパケットを記述する ことができると予想されている. Theorem 0.19. G の既約許容表現 π の指標 J (π) は Greg ={g ∈ G| g の固有多項式は重根をもたない.} 上の locally constant 関数として表される. また, 原点の近くでは J(π) は次のように表される. J (π)(g) = ∑ u: unipotent 軌道 cu(π) ˆJ (u, g) Sφ による分類の説明をするために, 上記の例をより精密に考察する. Example 0.20 (G = SL2 の例).

E/F : ２次拡大体で ker χ = NE/FE× をみたすもの

U (1) = U (1)E/F = ker[NE/F : E× −→ F×]

このとき, J (π+) + J (π−) : stable distribution J (π+)(x)− J(π−)(x) = { ∆(x)(1(x) + 1(x)), x の固有値は E×− F× に入る 0, x の固有値は E× に入らない が成り立つ. Remark 0.21. 上記の関係は distribution の間の関係として G の invariant distribution J (π+)− J(π−) U (1) の stable distribution TranG U (1) OO J (1) TranG U (1) OO ととらえることができる. Remark 0.22. Sφ の指標が TranGU (1) による持ち上げの係数として現れ ている.

Remark 0.23 (Existence of transfer). ここで TranG_{U (1)} を定める為には, 下の一番右のようにテスト関数の側の対応をつければよい. G の invariant distribution J (π+)− J(π−) Cc∞(G) 軌道積分による対応  U (1) の stable distribution TranG U (1) OO J (1) TranG U (1) OO C_c∞(U (1)) Remark 0.24. 後半の部では U (2), U (3) のパケットについて説明する が、この場合は次のような対応関係を使う. GL(2, E) GL(3, E) :パラメータを定める U (2) base change OO U (3) base change OO U (1)× U(1) standard endoscopy OO U (2)× U(1) standard endoscopy OO :パケットの中身を記述する. (2) L-parameter が関手性と上手くいかない場合がある. 緩増加表現とは限らない表現に対しては上の問題がある. このときには 大域的な保型表現に局所因子として現れると想定される表現に限って A-パケットを記述する.

Definition 0.25. A-パケット Πψ は A-parameter ψ ψ : WF × SU2× SU2 −→LG に対応する既約許容表現の集合である. Remark 0.26. 一般には Πψ 1:1 ←→ {Sφ の既約表現_} とはならないこともあり得る.

後半の部では U (2), U (3) の場合を具体的に説明する. U (3) では次のよ うな例がある. 1) 超尖点表現と二乗可積分表現（超尖点表現ではない）が同じ L-パ ケット に入る例. 2) L-パケットと A-パケットが異なっている例. 3) 同値でない A-parameter ψ, ψ0 で Πψ∩ Πψ0 6= ∅ となるものの例.