原子核の殻エネルギーの現象論的模型
親松 和浩
原子核の半古典模型を元にして殻エネルギーを計算する現象論的な手法の開発と計算例を報告する。
一粒子エネルギーから殻エネルギーを導出する処方には小浦等の質量公式で用いたものを簡単化したも のを用いる。核子の一粒子ポテンシャルは球対称とし、半古典計算で得た陽子中性子分布から計算する。
一粒子ポテンシャルに含まれる3つのパラメータの値は208Pbの一粒子エネルギーを再現するように決 定した。殻効果の補正の結果、原子核の魔法数と球形原子核の質量を良く再現することができたが、魔 法数からずれた変形核領域でむしろ悪くなった。今後は原子核変形の取り扱いが最重要課題となる。
1まえおき
原子核は正の電荷を持つ陽子と電荷を持たない中性子からなる量子力学的多体系である。そ の大きさや束縛エネルギーはだいたい半古典的な液滴模型で記述できるが、殻エネルギーと呼 ばれる量子力学的効果によって、元素や同位体ごとの様々な個性が生まれる。本研究では半古 典的なTho皿as・Fermi（トーマス・フェルミ）模型を拡張して、殻エネルギーを現象論的に 評価する方法を検討する。この方法は元々、高密度物質中での特異な原子核形状の存在可能性
を議論するために開発されたものである［1，2］。
電気的に中性な原子（中性原子）は、正の電荷を帯びた大きさが10−12Cln程度の原子核とそ の周りの10−8cm程度の範囲に負の電荷を持つ電子が分布したものである。陽子と中性子は電 荷以外の性質がほぼ同じなので、まとめて核子と呼ばれる。核子の質量は電子質量の約2000 倍であり、原子質量のほとんどは原子核に集中している。以下では原子核の束縛エネルギーを MeV＝106 eV単位（1MeV＝1．6×10−13 J）で表し、長さの単位にはf血＝10−15 mを用いる。
核子の大きさと原子核の大きさはそれぞれ1 imおよび10 finのオーダーである。
原子質量は核子と電子の質量の総和にほぼ等しいが、質量MとエネルギーEの等価性
（E＝Mc2）から、核子と電子の相互作用のエネルギーが原子質量に小さな補正を与える。そこ で、陽子数Z中性子数N（質量数、4ニZ≠ノV）をもっ中性原子の質量を
M（Z，2V）＝（mμ＋m。）Z＋rrtn 1V＋ETF（Z， N）＋E、h。u（Z， IV）・ （1）
と近似する。ただし、Mp、 Mn、 m．はそれぞれ陽子、中性子、電子の質量である。式（1）の ETF（Z， N）がZとNの滑らかな関数で表される半古典的なエネルギーであり、E，h。tt（Z、 N）が 残りの量子力学的効果による殻エネルギーである。本研究ではETF（Z，2v）をThomas・Fermi模 型によって計算する。
殻エネルギーL 。h．，ll（Z， N）とはどういうものかという感覚をつかむために、質量測定値［3］か
ら第2節で紹介するThomas Fermi模型で計算した質量計算値
A41TF（Z， N）＝ （mp十γπe）2「十γTL． INr十ETF（Z，∧り （2）
を差し引いた量を図1に示す。この図から、Z＝28，50，82， N＝28，50，82，126で質量測定値が計 算値よりも飛び抜けて小さくなることが分かる。このように、近傍の原子核よりの極端に安定 になる原子核の陽子数、中性子数を魔法数という。原子核の魔法数は、
2，8，20，28，50，82，126 （3）
であるが、図1の質量の情報からは2，8，20の魔法数は分からない。これらは、閉殻原子の電 子数
2，10，18，36，54，86 （4）
とは異なる。この違いは、原子核ではスピン軌道力がかなり強いことによる。
原子核の束縛エネルギーは8×．4MeV程度であるので、．4の小さな軽い核を除けば、せ いぜい十数MeV程度の大きさの殻エネルギーはそれほど大きくない。しかし、殻エネルギー は元素や同位体の個性を与えるため、元素の起源を探る宇宙物理的な観点からも、核分裂／核 融合エネルギー利用という工学的な観点からも極めて重要になる。
本研究では、半古典原子核モデルを拡張して、量子力学的効果である殻エネルギーを計算す る現象論的モデルを構築し、その有用性を検討したい
2原子核のThomas−Fermi模型
質量や半径といった原子核のマクロな性質は半古典的なThomas・Fermi模型でよく記述で きる。本研究では、中性子星の超高密度物質中の原子核の研究や、核物質の経験的状態方程式 の研究で用いた模型を用いる［1，4］。
相互作用エネルギーの大部分は、密度が一様な核物質（陽子と中性子だけからなる仮想的な 物質）のエネルギー密度で表すことができる。中性子密度nn、陽子密度np、全核子密度
η＝η，、＋npである一様核物質のエネルギー密度をC（ nn，np）と書く。原子核は一様核物質と異な るので、密度の非一様性によって生じるエネルギーが加わる。本研究では、半古典的エネルギ ーを以下の式で近似し
醐N）一 迥辮G⑭・吋古1晒）12・：何れ 讐P （・）
と書く。ここで、θは素電荷、nn（r）．ηp（r），η（r）は、それぞれ、点rにおける中性子、陽子、全
核子の密度である。式（2）の第1項は一様核物質の状態方程式（（Tt・n，ηρ）で表される主要（バル
ク）項、第2項は密度の非一様性によって生じる密度勾配項、第3項は電荷密度の非一様性に
よって生じるクーロンエネルギー項である。密度勾配項は核力の到達距離が有限である効果を
反映したもので、β安定核の場合、表面エネルギーの半分を与える［4］。
︵﹀ΦΣ︶uトΣ−qxΦΣ
10
5 0
石ぎi i1∵・・≡：；： 零：：；i1i
一10
一15 20
i：1：：IIISii『
il：！；ii！1
璽
40 60 80 proton number Z
Ill；lf：．
100
︵﹀ΦΣ︶﹂ト〒︒×ΦΣ ︵﹀ΦΣ︶﹂↑Σ−︒×ΦΣ
10
5 0
一5裏．湾
一10
一15
10 5 0
一5
一10
一15
20 40
顎阜
◎
60 80 100
neutron number N
苧離c
120 140 160
璽
50
週
♂㌔ポ・
N S 嚇 略1
・e ?奄秤ft
100 150 200
mass number A
250
図1殻エネルギーの評価値の例。質量測定値【31から第2節のThomas−Fermi模型での質量計算値
を引いたものである。この図にはN，Z≧8の核種のうち、本研究での殻エネルギー計算が不
安定になった14核種を除く1579核種のデータを示す。
一様核物質のエネルギー密度ε（Ttn，nρ）は、運動エネルギー密度t（nn，・np）とポテンシャルエネ ルギー密度V（？｝n ， np）の和として表す。
c（nrt，nl，）＝t（nn，np）十v（nn、np）・ （6）
運動エネルギー密度￡（n，n，γLp）は自由なFermi（フェルミ）ガスの運動エネルギー密度とする。
伽，パ（・T・）・／3（，焦鳩β＋，㌫W〕・ （・）
一様核物質のポテンシャルエネルギー密度v（n。．np）は対称核物質のポテンシャルエネルギー 密度Vs（71）と中性子物質のポテンシャルエネルギー密度〜砥η）を用いて表す。
v（n，、，・・。）＝［1−（1−2x）2］Vs（・）＋（1−2・・）2・・。（・）． （8）
ここで、砂＝πp／（nn＋np）は陽子の混在度である。式（8）は陽子混在度依存性に関する多体計算 結果を良く再現する近似である【5］。
対称核物質と中性子物質のポテンシャルエネルギー密度には以下の関数形を用いる。
v・（n）一頑1芸i。一（・ぽ・，41 ： ，；n （・）
結局、式（5）のETFには7つの相互作用パラメータが含まれる。それらは、一様核物質のポテン シャルエネルギー密度のa1，・a2，α3，b1，b2，b3と、原子核表面で効く核力の到達距離の効果を表す Foである。これらのパラメータの値は安定原子核の質量と半径を再現するように選ぶ［1，4】。こ こでは典型例として文献［1］のModelIV（文献［2］で殻エネルギー評価を行わなかった）を用い、
表1にその値を示す。核物質の状態方程式（対称核物質と中性子物質の核子あたりのエネルギ ーc（nn，7Zp）／？1）を図2に、飽和パラメータを表2に示す。図2から、本研究の状態方程式は第 一原理多体計算の典型的な結果［6］とよく一致していることが分かる。密度分布に関しては、陽 子と中性子では独立にとるが、球対称性を仮定し、簡単のため次のような関数で近似する。
n・（r）一｛1 1［i一ぱ：1：1 ω
ここで、Z＝71，pは陽子（p）と中性子（n）を区別する添字で、 rは中心からの距離、η；nは中心密 度、＆は分布半径、tiは表面の厚みを与えるパラメータである。本研究ではこれらの密度分布 パラメータの値を変化させて式（5）のEアFの値を最小化する。
31粒子ポテンシャル
原子核の殻エネルギーは、核子の一粒子エネルギーε∫pから導出する。核子の一粒子エネル ギーespは以下のシュレディンガー方程式を解いて求める。陽子に対しては
C蒜・・u（・）・＋・VLs（r）・v・・ （・・））ψω一酬 （・・）
表1経験的状態方程式E（nn，np）と密度勾配項のパラメータの値 α1 α2 a3 bl b2 bll Fo
（M・V㎞3）（M・Vfm6）（fm3）（M・V㎞3）（M・V fm6）（㎞3）（M・V fm5）
一475．62 2366．6 3．7347 −202．69 627ユ5 1．5863 68．650
表2経験的状態方程式E（7・。、np）の飽和パラメータ。飽和密度TLO、飽和エネルギー・・w・、非圧縮率Ko、
対称エネルギーS・、対称エネルギーの密度微分パラメータLを示す［4］。
n。（f・n3）ω。（MeV）κ 。（MeV）S・（MeV）L（MeV）
0．158 一16．1 221 31．3 41．1
50 40 30 9 20 §
三10
0
一10
一一model IV
FP
一20
0．0 0．1 0．2 0．3 0．4 n（fm−3）
図2対称核物質（x＝0．5）及び中性子物質（x＝0）の経験的状態方程式（1核子あたりのエネルギー w＝c／n）。実線は本研究で用いる文献｛11のmodel IVである。比較のために第一原理多体計 算の典型的な結果（FP）［6］も示す。
中性子に対しては
（ h2−2m。△＋σ（「）・v・S（r））ψω一es・th（r） （・2）
である。ここで、ψ（r）は一粒子波動関数である。U（r），VLS（r），Vc（r）は一粒子ポテンシャルの、
それぞれ、中心力、スピン軌道力、クーロン力部分であり、球対称であることを仮定した。一 粒子ポテンシャルU（r），VLS（r）は陽子と中性子では異なるが、記述の簡単のため式（11）と（12）
では特に明示していない。
一様核物質中での核子の一粒子ポテンシャルは
δv（ nn，nrJ）
（i ：n，P）， （13）
Uo＝
tini
20 t（r）＋Vc（r）
0
2 0
一
