の 双有理作用の量子化

互いに素な

^{に対する拡大アフィン}

群の直積

m−1) × W(e A⁽¹⁾

n−1)

^の 双有理作用の量子化

黒木玄

東北大学数学教室

日本数学会2013年3月20日〜23日 京都大学

2013/03/22 Version 1.1

2013

年

月

日

何をやったか

梶原・野海・山田

で構成された

^への

m−1) ×W(e A⁽¹⁾

n−1)

の双有理作用

↓

↓

が互いに素な場合の量子化

↓

適切な非可換性を持つ

整域

の分数斜体

^への

m−1)×W(e A⁽¹⁾

n−1)

^の作用

(1)

適切な非可換性の発見は難しい問題だった.

(2) Am,n

は量子群

^{を用いて構成される}

という双対性が成立している.

(

量子

系との関係

e W(A⁽¹⁾

n−1) ×W(e A⁽¹⁾

n−1)

^{の作用があるとき}

W(A⁽¹⁾

n−1)

^{の格子部分}

の作用を時間発展とみなせ

m−1)

の作用をその時間発展の対称性とみなせる

これを

への双有理作用の場合に適用すれば,

様々な

差分版の

系とその対称性が得られ,

その量子化は

差分版の量子

系になる.

(m, n) = (3,2) −→⁽

^量子

2g

型

系

互いに素な

^{上記の大幅な一般化}

非可換な代数

の定義

m, n

は互いに素であると仮定する.

0 < me < n

^は

^での

^{の逆元であるとし}

は

での

の逆元であるとする.

(例えば (m,n) = (3,5)

^のとき

^と

の定義：

B = {(µmodm, µmodn) | 0 ≦ µ < mme }^. p_µν = 

q if(µmodm, νmodn) ∈ B, 1 if(µmodm, νmodn) < B. q_µν = (p_µν/p_µ−1,ν)² ∈ {1, q^±2}^.

次ページでこの定義を例で説明する

非可換な代数

の定義

(m,n) =(3,5)のときme = 2であり, [p_µν] =





q 1 1 q 1

1 q 1 1 q

q 1 q 1 1



, [q_µν] =





1 1 q⁻² q² 1

q⁻² q² 1 q⁻² q² q² q⁻² q² 1 q⁻²



. (m,n) =(5,3)のときme = 2であり,

[p_µν]=









q 1 q q q 1

1 q q

q 1 q q q 1







, [q_µν] =









1 q⁻² q² 1 q² q⁻² q⁻² 1 q²

q² q⁻² 1 1 q² q⁻²







. 双対性:(3,5)と(5,3)の[q_µν]たちは互いに相手の転置.

非可換な代数

の定義

q_µν

たちから

上の代数

を定めよう.

Am,n :=⁽

以下の生成元と関係式で定まる

^上の代数

生成元:

基本関係式：

x_i+m,k = rx_ik, x_i,k+n = sx_ik (

準周期性

双対性:

A

^{型の拡大アフィン}

群の定義

W(e A⁽¹⁾

m−1) := ⟨r₀, r₁, . . . , r_m−1, ω⟩( S_m ⋉ Z^m),

基本関係式

r²

i = 1, r_ir_j = r_jr_i (j . i,i+ 1 (modm)), r_ir_i+1r_i = r_i+1r_ir_i+1, ωr_iω⁻¹ = r_i+1 (r_i+m = r_i).

W(e A⁽¹⁾

n−1)

^{の生成元を}

^{の代わりに}

^と書く:

W(e A⁽¹⁾

n−1) = ⟨s₀,s₁, . . . , s_n−1, ϖ⟩( S_n ⋉ Zⁿ), Ore

整域

の分数斜体

への

m−1)×W(e A⁽¹⁾

n−1)

の代数自己同型作用を構成したい.

主定理

主定理

梶原・野海・山田

と 見掛け上完全に同じ公式で分数斜体

への

m−1)×W(e A⁽¹⁾

n−1)

の代数自己同型作用を構成できる.

注意: 非自明なのは, そのようにして構成した作用が実 際に

の代数自己同型作用になっていること, すなわち, 作用が

の基本関係式を保つことで ある.

作用を定める具体的な公式は次ページ以降で見せる

r_i, ω

^{の作用の具体形}

W(e A⁽¹⁾

m−1) = ⟨r₀,r₁, . . . ,rm−1, ω⟩の作用の定義は以下の通り: r_i(x_il) = x_il −s⁻¹c_i,l+1 −c_i+1,l+2

P_i,l+1 = sP_ilx_i+1,lP⁻¹

i,l+1, r_i(x_i+1,l) = x_i+1,l +s⁻¹c_il −c_i+1,l+1

P_il = s⁻¹P⁻¹

il x_ilP_i,l+1, r_i(x_jl) = x_jl (j . i,i+1 (modm)), ω(x_jl)= x_j+1,l. ただしc_ik,P_ikを以下のように定義しておく:

c_ik = x_ikx_i,k+1· · ·x_i,k+n−1, P_ik =

∑n

l=1

l−1

z }| { x_ikx_i,k+1· · ·x_i,k+l−2

n−l

z }| { x_i+1,k+lx_i+1,k+l+1· · ·x_i+1,k+n−1.

s_k, ϖ

^{の作用の具体形}

W(e A⁽¹⁾

n−1)= ⟨s₀,s₁, . . . ,s_n−1, ϖ⟩の作用の定義は以下の通り: sk(xjk) = xjk −r⁻¹d_j+1,k− d_j+2,k+1

Q_j+1,k = rQ⁻¹

j+1,kxj,k+1Qjk, s_k(x_j,k+1) = x_j,k+1+ r⁻¹d_jk− d_j+1,k+1

Q_jk = r⁻¹Q_j+1,kx_jkQ_jk, s_k(x_jl) = x_jl (l . k,k+1 (modn)), ϖ(x_jl)= x_j,l+1, ただしd_ik,Q_ik を以下のように定義しておく:

d_ik = x_i+m−1,k· · ·x_i+1,kx_ik, Q_ik =

∑m

j=1

m−j

z }| { x_i+m−1,k+1· · ·x_i+j+1,k+1x_i+j,k+1

j−1

z }| { x_i+j−2,k· · ·x_i+1,kx_ik.

構成と証明について

(1) Am,n

の基本関係式への

の入れ方はかなり非自明 である. その非自明な

の入れ方をどのようにして見 付けたのか

答:

の

部分代数から

を構成した.

(2)

どのようにして

の作用が

の基本関係式 を保つことを証明するのか

答:

と類似の方

法を使う.

の作用の具体形は

のそれと本質的に同

じなので

の作用が基本関係式を保つことを示せば十

分であり,

の作用は本質的に

^の形で

構成できるので,

は基本関係式を保つことがわかる.

A^m,n

と量子群の関係

の定義

Bm,n

は生成元

ik, b^±1

ik (i, k ∈ Z⁾

^{と以下の基本関係式} で定義される

上の代数であるとする:

a_i+m,k = r^′a_ik, a_i,k+n = s^′a_ik, b_i+m,k = r^′b_ik, b_i,k+n = s^′b_ik, a⁻¹

ik a_ik = a_ika⁻¹

ik = 1, b⁻¹

ik b_ik = b_ikb⁻¹

ik = 1, a_ikb_ik = q⁻¹b_ika_ik, a_ikb_i−1,k = qb_i−1,ka_ik, a_ikb_jl = b_jla_ik

(j . i,i− 1 (modm)or l . k(modn)), a_ika_jl = a_jla_ik, b_ikb_jl = b_jlb_ik.

Bm,n ≒ ⁽U_q(bgl_m)^⊗n

の

部分代数の像)

A^m,n

と量子群の関係

R(z) :=

∑m

i=1

(q− z/q)E_ii⊗ E_ii+∑

i,j

(1− z)E_ii⊗ E_{j j}

+∑

i<j

((q− q⁻¹)E_{i j} ⊗E_ji+(q− q⁻¹)zE_ji⊗ E_{i j})

,

L_k(z) :=









a_1k b_1k a_2k ...

... b_m−1,k

b_mkz a_mk









とおくと

R(z/w)L_k(z)¹L_k(w)² = L_k(w)²L_k(z)¹R(z/w), L_k(z)¹L_l(w)² = L_l(w)²L_k(z)¹ (k . l (modn)).

A^m,n

と量子群の関係

^の実現

Am,nの生成元 x_ik はBm,nの中で実現される: Am,n ⊂Bm,n,

x_ik =a_ik(b_ikb_i+1,k+1· · ·b_{i+mme −1,k+emm−1})⁻¹, r= r^′1−mme , s= s^′1−emm.

Bm,nには次のゲージ変換が代数自己同型として作用する:

a_ik 7→ g_ika_ikg⁻¹

i,k+1, b_ik 7→ g_ikb_ikg⁻¹

i+1,k+1, L_k(z) 7→ g_kL_k(z)g⁻¹

k+1

ここで g_ik = g_i+m,k = g_i,k+n ∈ F^′×, g_k = diag(g_1k, . . . ,g_mk).

Bm,nのゲージ不変部分代数B^gauge_m,n は x_ik たちとb^±1

all = ∏m i=1

∏n

k=1b^±1

ik で生成される: B^gauge_m,n = ⟨

{x_ik}i,k∈Z, b^±1

all

⟩

alg = Am,n[b^±1

all] ≒Am,n

証明法

生成元の余積による像

L(z) := L₁(r^′n−1z)L₂(r^′n−2z)· · ·Ln−1(r^′z)Ln(z). とおくと,

L(z) =









A₁ B₁ ... ...

A₂ ... ...

... B_m−1

0 ^Am







+ z











... ... ... ...

... ... ... ...

... ... ... ...

B_m ... ... ...











+· · · ,

A_i = a_i1a_i2· · ·a_in, B_i =

∑n

k=1

a_i1· · ·a_i,k−1b_ika_i+1,k+1· · ·a_i+1,n.

このとき,F_i := A⁻¹

i B_i たちは A⁽¹⁾

m−1型 q-Serre関係式を満たす.

ゆえにVerma関係式 F^λ

iF^λ+µ

i+1F^µ

i = F^µ

i+1F^λ+µ

i F^λ

i+1を満たす.

証明法

^{を補整して得られる}

F_i

と

の相性は悪いので,

を次のように定める:

φi := v_i1F_i, v_ik := b_ikb_i+1,k+1· · · b_{i+nn˜ −1,k+nn˜ −1}.

この

と

の相性は良い.

中心元

を

と書き,

^とおく.

˜

r_i

の作用を

^{で定める.}

代数自己同型であることが明らかな

の作用の構成:

r_i(x) = φ^α_i^∨i ˜r_i(x)φ^−α_i ^∨i .

証明

補足

以上の説明は数学的に厳密ではない

厳密な説明は

http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/20100630 WxW.pdf

にある.

のような非整数べきの正当化については

を見よ

このスライド原稿も次で公開してある

http://www.math.tohoku.ac.jp/˜kuroki/LaTeX/20130322WxW.pdf

「拡大アフィン

群の直積 双有理作用の 量子化」

をググれば見付かるはず.

Lax

表示

^作用素

W(e A⁽¹⁾

m−1) ×W(e A⁽¹⁾

n−1)

の

たちへの作用は 梶原・野海・山田

と 全く同様の

表示を持つ.

非可換な場合であっても可換の場合と同様にして

表示から

^{の作用が拡大アフィン}

群の直積の基本関係式を満たすことが導かれる

L

作用素:









x_ik 1

x_i+1,k ...

... 1

r^−kz x_i+m−1,k







 .

Lax

表示

^の作用

r_i

の作用の

表示:

r_i(X_1k) = G⁽ⁱ⁾

k X_1k(G⁽ⁱ⁾

k+1

)−1

.

ここで

G⁽ⁱ⁾

k = 1+ s⁻¹c_ik − c_i+1,k+1

P_ik E_i+1,i (i = 1, . . . ,m−1), G⁽⁰⁾

k = 1+ r^k−1z⁻¹s⁻¹c_mk − c_m+1,k+1 P_mk E_1m. E_{i j}

^は

^{の行列単位を表わす}

Lax

表示

^の作用

s_k

の作用は次の条件で一意に特徴付けられる

s_k(X_il) = X_il (l . k, k+ 1 (modn)), s_k : d_ik ↔ d_i+1,k+1.

ここで

すなわち

は

の

対角成分の

右から左への

積であった

の作用は

と

を交換するだけで, 積

とそれら以

外の

たちを保つという条件で特徴付けられる.

できていることのまとめ

互いに素な

に対する梶原・野海・山田

が構成した

^への

m−1)×W(e A⁽¹⁾

n−1)

の双有理作用を量子化.

その作用の

表示も量子化できている.

基礎になる非可換代数

は量子群

の

部分代数のある像のゲージ不変部分代数

として構成できる.

m

と

の交換に関する双対性が存在する.

W(e A⁽¹⁾

m−1)×W(e A⁽¹⁾

n−1)

^の

^{への作用が代数自}

己同型作用になっていることを示すことは非自明

非整数べき

^{の方法を使う.}

できていないこと

W(e A⁽¹⁾

m−1)×W(e A⁽¹⁾

n−1)

の双有理作用の量子化の 量子

^{函数の構成.}

arXiv:1206.3419

で扱っているケース

任意の量 子展開環に対応する場合) には量子

^{函数が構成} されており, その正則性

が証明されて いる

量子

函数の正則性の証明には表現論にお ける

の理論を使う!

しかし

m−1) ×W(e A⁽¹⁾

n−1)

^{の双有理作用の量子}

化の場合には正しい量子

^{函数の定義が何である}

かさえ何もわかっていない.