トロピカル曲線上の線形系と有理写像について

修 士 論 文

トロピカル曲線上の線形系と有理写像について

首都大学東京 大学院理工学研究科 数理情報科学専攻 学修番号 

15878308

片倉 雄輝

1

代数曲線

X

Λ

Φ

: X → P

Λ

P

Riemann–Roch

([1],[2])

トロピカル曲線は連結な距離付きグラフである．トロピカル曲線

C

D

R(D) := { f : C

| D + div(f ) ≥ 0 }

と定める．

C

C

x ∈ C

x

x

f

div(f)

R(D)

R(D)

トロピカルベクトル空間は半加群にすぎないので極小生成系をとる．R(D)の極小生成系 は有限集合になる

([1])

3

R(D)

D

1

R

f

, . . . , f

∈ R(D)

| D |

Λ

トロピカル射影空間

T P

d

f ̸ = −∞

V (f ) := { x ∈ T P

| f

x

2

f (x) = −∞}

と定める．また

C

D

L(D)

L(D)

φ

div(φ

) = D + div(f

)

div(φ

)

V (φ

)

V (φ

)

V (X

)

V (φ

)

→ V (X

)

∈ ∈

x 7→ (φ

(x) : · · · : φ

(x))

これらは貼り合って

Φ

: C → T P

V (φ

)

{ φ

̸ = −∞}

Λ

Φ

: C → T P

この有理写像を用いることで次のような古典的な結果と同様の性質が示される．

例

1.1 C

S

2

P, Q

2

D = 2P + 2Q

Φ

T P

2

例

1.2

1

4

C

このとき

C

C

Λ

Φ

T P

2

3

図

1

構成した有理写像では，以下のように線形系の元と超平面の引き戻しが対応する．

定理

1.3 D

C

R

f

, . . . , f

∈ R(D)

R

| D |

Λ

Λ

F

Φ

: C → T P

H

Φ

H + F ∈ Λ

Λ

D

T P

H

D

= Φ

H

+ F

例

1.4

2

2

K

K

1

R(K)

3

| K |

| K |

Φ

図

2

謝辞

本研究を進めるにあたり，多大なるご指導ご助言を賜りました小林正典准教授に敬意を 表すとともに，厚く御礼を申し上げます．また，日頃から様々な相談に乗ってくれた同じ 研究室のメンバーに感謝の意を表します．

2

2.1

定義

2.1

R

⊕ , ⊙

x, y

x ⊕ y := max { x, y }

x ⊙ y := x + y

と定める．

注意

2.2 (R, ⊕ , ⊙ )

⊕ , ⊙

結合法則

(x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z), (x ⊙ y) ⊙ z = x ⊙ (y ⊙ z),

x ⊕ y = y ⊕ x, x ⊙ y = y ⊙ x,

分配法則

x ⊙ (y ⊕ z) = (x ⊙ y) ⊕ (x ⊙ z).

(R, ⊕ , ⊙ )

R

⊙

0

また

⊕

R

注意

2.3 T := R ∪ {−∞}

x ∈ T

−∞

x ⊕ ( −∞ ) = x, ( −∞ ) ⊕ x = x, ( −∞ ) ⊕ ( −∞ ) = −∞ , x ⊙ ( −∞ ) = −∞ , ( −∞ ) ⊙ x = −∞ , ( −∞ ) ⊙ ( −∞ ) = −∞ .

よって

T

⊕

−∞

−∞

⊙

⊕

以下、簡単のため

“x + y” = x ⊕ y, “xy” = x ⊙ y

例

2.4 “3 + 4” = 4, “3 × 4” = 7.

2.2

定義

2.5

F (x

, . . . , x

) = “ ∑

(i1,...,in)∈I

a

x

· · · x

”

= max { a

+ i

x

+ · · · + i

x

| (i

, . . . , i

) ∈ I }

∈ R，I

N

注意

2.6 Λ

“1x

+ 1x + 1” = “1x

+ 1” = max { 3x + 1, 1 }

以下，簡単のため定数項以外の

0

“0x

+ 0x + 0”

“x

+ x + 0”

定義

2.7

n

d

F

V (F ) := { x ∈ R

| F

x

}

を

F

d

n = 2

注意

2.8 F

V (F ) = ∅

アフィン空間での定義をトロピカル射影空間にも拡張することができる．

2.3

定義

2.9 T

T

(x

, . . . , x

), (y

, . . . , y

) ∈ T

, λ ∈ T

“(x

, . . . , x

) + (y

, . . . , y

)” := (“x

+ y

”, . . . , “x

+ y

”)

“λ(x

, . . . , x

)” := (“λx

”, . . . , “λx

”)

定義

2.10 x, y ∈ T

\ { ( −∞ , . . . , −∞ ) }

∼

x ∼ y ⇔

λ ∈ R

x = “λy”

補題

2.11

∼

証明

x, y, z ∈ T

= “0x”

x ∼ x

x ∼ y ⇔

λ ∈ R

x = “λy” ⇒ y = “

x” ⇒ y ∼ x

x ∼ y

y ∼ z ⇔

λ

, λ

∈ R

= “λ

y”, y = “λ

z” ⇒ x =

“λ

λ

z” ⇒ x ∼ z

∼

2

2.12

T P

:= T

/ ∼

n

F (x

, . . . , x

) = “ ∑

(i0, ..., in)∈I

a

x

· · · x

”

d

[X

:

· · · : X

] = [Y

: · · · : Y

] ∈ T P

λ ∈ R

Y

= λ + X

F (Y

, . . . , Y

) = max { a

+ i

Y

+ · · · + i

Y

| (i

, . . . , i

) ∈ I }

= max { a

+ i

(λ + X

) + · · · + i

(λ + X

) | (i

, . . . , i

) ∈ I }

= max { a

+ (i

+ · · · + i

)λ + i

X

+ · · · + i

X

| (i

, . . . , i

) ∈ I }

= dλ + max { a

+ i

X

+ · · · + i

X

| (i

, . . . , i

) ∈ I }

= “d

F (X

, . . . , X

)”

より

F (X

, . . . , X

)

F (Y

, . . . , Y

)

したがって，

F

(X

, . . . , X

)

(Y

, . . . , Y

)

F (X

, . . . , X

) = −∞ ⇔ F (Y

, . . . , Y

) = −∞

である．したがって，次を定義できる．

定義

2.13 F ̸ = −∞

d

V (F ) := { x ∈ T P

| F

x

F (x) = −∞}

を

d

注意

2.14

2.7

2.4

定義

2.15

1

定義

2.16

C

D

D = a

x

+ · · · + a

x

(a

, . . . , a

∈ Z, x

, . . . , x

∈ C, n ≥ 0, x

, . . . x

)

C

Div(C)

D

x

ord

(D)

さらに，

D

deg(D)

deg(D) := a

+ · · · + a

で定める．

a

, . . . , a

≥ 0

D

D ≥ 0

D

Supp(D) = { x

∈ C | a

̸ = 0 }

D

また

C

K

K := ∑

x∈C

(val(x) − 2)x (val(x) := x

と定める．

定義

2.17 C

f : C → T

f (x) = −∞

≡ −∞

x ∈ C

ord

(f) := x

div(f) := ∑

x∈C

ord

(f) x

を

f

C

f

x

ord

(f) ≥ 0

定義

2.18 D

C

R(D) := { f : C

| D + div(f) ≥ 0 }

定理

2.19 ([1]) R(D)

定義

2.20 D, D

C

D, D

C

f

D − D

= div(f )

D ∼ D

| D | := { D

∈ Div(C) | D

≥ 0, D ∼ D

}

D

定義

2.21 f

, . . . , f

∈ R(D)

⟨ f

, . . . , f

⟩ := { “

∑

i=0

a

f

” ∈ R(D) | a

∈ T }

定義

2.22 D

C

f

, . . . , f

∈ R(D)

⟨ f

, . . . , f

⟩ ) ⟨ f

, . . . , f ˇ

, . . . , f

⟩ ( ∀ i)

R

:= ⟨ f

, . . . , f

⟩ ⊂ R(D)

Λ

を

Λ := { D + div(f) ∈ | D | | f ∈ R

}

定義

2.23 D

C

Λ ⊂ | D |

Bs Λ = ∩

D^′∈Λ

Supp(D

)

定義

2.24

Λ ⊂ | D |

F

F := ∑

x∈C

min

ord

(D

)x

定義

2.25 D

C

D

r(D)

r(D) := max { k ∈ Z

| deg(E) = k

E

| D − E | ̸ = ∅}

で定める．

定義

2.26

C

g

g := dim H

(C, R)

注意

2.27

C

E, V

C

g

g = #E − #V + 1

3

以下，

C

定義

3.1 { U

}

C

∩ U

̸ = ∅

U

∩ U

g

g

(i) g

= 0

(ii) U

∩ U

∩ U

g

= “g

g

”

を満たすとき

{ g

}

{ U

}

注意

3.2

0 = g

= “g

g

” = g

+ g

g

= − g

定義

3.3 { g

}

{ U

}

∪

i∈I

(U

× T )

∼

(z

, t

) ∈ U

× T , (z

, t

) ∈ U

× T

(z

, t

) ∼ (z

, t

) ⇔ z

= z

t

= “g

(z

)t

”

補題

3.4

∼

証明

t

= g

(z

) + t

= 0 + t

= t

(z

, t

) ∼ (z

, t

)

(z

, t

) ∼ (z

, t

)

z

= z

t

= g

(z

)+t

t

= − g

(z

)+t

t

= g

(z

) + t

(z

, t

) ∼ (z

, t

)

(z

, t

) ∼ (z

, t

)

(z

, t

) ∼ (z

, t

)

z

= z

= z

t

= g

(z

) + t

t

= g

(z

) + t

t

= g

(z

) + g

(z

) + t

= g

(z

) + t

よって

(z

, t

) ∼ (z

, t

)

∼

2

定義

3.5 { U

}

C

{ g

}

{ U

}

∼

{ g

}

L = ∪

i∈I

(U

× T )/ ∼

π : L → C

C

注意

3.6

定義

3.7 π : L → C

C

s : C → L

x ∈ C

π ◦ s(x) = x

s

L

注意

3.8 s

U

s

U

∋ x → (x, s

(x)) ∈ U

× T

と表される．貼り合わせ条件から，

x ∈ U

∩ U

s

(x) = “g

(x)s

(x)” = g

(x) + s

(x)

が成り立つ．逆に

U

s

{ s

}

{ s

}

L

定義

3.9 s = { s

}

L

s

U

s

div(s)

div(s) |

:= div(s

)

V (s) := Supp(div(s))

定義

3.10 D

C

D

C

{ U

}

U

ψ

D |

= div(ψ

)

= “ψ

/ψ

”

{ g

}

L(D)

D

命題

3.11 D

C

f ∈ R(D)

C

L(D)

φ

div(φ) = D + div(f)

証明 

D

C

{ U

}

U

ψ

D |

= div(ψ

)

“ψ

f”

U

x ∈ U

∩ U

“ψ

(x)f (x)” = “ ψ

(x)

ψ

(x) ψ

(x)f(x)”

を満たす．したがって，φ

:= { “ψ

f ” }

L(D)

div(φ) |

= div(“ψ

f”) |

= D |

+ div(f ) |

div(φ) = D + div(f )

2

4

補題

4.1 D

C

R(D)

f

, · · · , f

R

= ⟨ f

, . . . , f

⟩ ⊂ R(D)

| D |

Λ

φ

C

L(D)

div(φ

) = D + div(f

)

Bs Λ =

∩

i=0

V (φ

)

証明

⊂

∈

∩

i=0

V (φ

) ⇐⇒ ord

(div(φ

)) = ord

(D) + ord

(f

) >

0 ( ∀ i)

D

∈ Λ

“

∑

i=0

a

f

” ∈ R

D

= D + div(“

∑

i=0

a

f

”)

l := min

(ord

(f

))

ord

(D

)

= ord

(D) + ord

(“

∑

i=0

a

f

”)

≥ ord

(D) + l > 0

x ∈ Bs Λ

Bs Λ ⊃

∩

i=0

V (φ

)

2

定義

4.2 D

C

f

, . . . , f

∈ R(D)

⟨ f

, . . . , f

⟩ )

⟨ f

, . . . , f ˇ

, . . . , f

⟩ ( ∀ i)

R

= ⟨ f

, . . . , f

⟩ ⊂ R(D)

Λ ⊂ | D |

φ

L(D)

div(φ

) = D + div(f

)

(φ

)

V (X

)

V (φ

)

→ V (X

)

∈ ∈

x 7→ (φ

(x) : · · · : φ

(x))

これを貼り合わせたものを

Φ

: C \ Bs Λ → T P

x ∈ Bs Λ

U

ord

(div φ

) (i = 0, . . . , n)

φ

U

∋ x 7→ (“ φ

(x)

φ

(x) ”, . . . , “ φ

(x)

φ

(x) ”) ∈ T

∼ = V (X

)

Φ

: C → T P

さらに

F

Λ

Φ

: C → T P

≥ 0

C

{ V

}

V

h

F |

= div(h

)

と表せる．正則関数の組

η := { h

}

L(F )

div(η) = F

∩

V (“

”) = ∅

V (

)

→ V (X

)

∈ ∈

x 7→ (“

” : · · · : “

”)

と定め，これらを貼り合わせたものを

Φ

: C → T P

Φ

= Φ

定義

4.3 f : X → Y

D

Y

D

{ (V

, ψ

) }

f (X)

D

{ U

}

) ⊂ V

|

: U

→ V

{ (U

, ψ

◦ f |

) }

X

f

D

f

D

定理

4.4 D

C

f

, . . . , f

∈ R(D)

R

| D |

Λ

Λ

Φ

: C → T P

T P

H = “

∑

i=0

a

X

”

Φ

H + F ∈ Λ

Λ

D

T P

H

D

= Φ

H

+ F

証明

Φ

(V (X

))

⊃ V (“

”)

{ U

}

U

g

D |

= div(g

)

と表せる．また正則切断

φ

: C → L(D)

φ

= { “g

f

” }

div(φ

) |

= div(“g

f

”) |

= D |

+ div(f

) |

である．同様に，

C

{ V

}

V

h

F |

= div(h

)

と表せる．また正則切断

η : C → L(F )

η = { h

}

div(η) |

= div(h

) |

である．ここで，

C

{ V (“

”)

∩ U

∩ V

}

V (“

”)

∩ U

∩ V

で制限することに注意する．したがって，

Φ

H |

η”)^c∩Uα∩Vλ

= div (

“ 1

φj

η

∑

i=0

a

φ

η ” )

|

η”)^c∩Uα∩Vλ

= div (

“

∑

i=0

a

φ

” )

|

η”)^c∩Uα∩Vλ

− div(η) |

η ”)^c∩Uα∩Vλ

= div (

“

∑

i=0

a

g

f

” )

|

η ”)^c∩Uα∩Vλ

− div(h

) |

η”)^c∩Uα∩Vλ

= (D + div(“

∑

i=0

a

f

”) − F ) |

η ”)^c∩Uα∩Vλ

である．よって，

Φ

H = D+div(“ ∑

i=0

a

f

”) − F

Φ

H = Φ

H = D + div(“ ∑

i=0

a

f

”) − F ∈ Λ − F

D

∈ Λ

“

∑

i=0

a

f

” ∈ R

D

= D + div(“

∑

i=0

a

f

”)

T P

H

H

= V (“

∑

i=0

a

X

”)

Φ

H

= D + div(“ ∑

i=0

a

f

”) − F

D

= D + div(“

∑

i=0

a

f

”)

Φ

H

= D

− F

Φ

H

= Φ

H

= D

− F

2

この有理写像の応用例として次のような性質が示される．

例

4.5

K

Φ

l

l

P

l

P

l

C

l

l

l

P

P

C

C

, C

K = P

+ P

(i) C

S P

Q

P

R

このとき

r(K) = 1

| K |

| K |

([3])

C

f

, f

, f

∈ R(K)

0

− 1

− 1

− 1 f

− 1

− 1

− 1

0 f

f

また

f

(P

) = 0, f

(P

) = − l

, f

(P

) = 0

f

, f

, f

R(K )

Φ

: C

→ T P

Φ

(R) Φ

(P

) Φ

(P

)

Φ

(S)

ここで

Φ

(S) = (0 : − l

−

: 0), Φ

(P

) = (0 : − l

: 0), Φ

(P

) = ( − l

: 0 : 0), Φ

(R) = ( − l

−

: 0 : 0)

| K |

T

T

im Φ

Φ

(T

)

Φ

(T

)

超平面

H

C

T P

このとき，

Φ

H = T

+ T

C

T

T

im Φ

T P

Φ

(T

) = Φ

(T

)

H

このときは，Φ^∗_K

H

= T

+ T

最後に超平面切断全体を図示する．

T P

(ii) C

P

P

S Q R

このとき，

R(K ) = 1

C

f

, f

, f

∈ R(K)

まずそれぞれの傾きを次のように定める

0

0

− 1

− 1

− 1

− 1

0

0

0 − 1 0

− 1

f

f

f

このとき

Φ

: C

→ T P

Φ(S)

Φ(Q)

Φ(R)

ここで

Φ

(S) = (0 : −

: 0), Φ

(P

) = (0 : 0 : 0), Φ

(Q) = (0 : 0 : −

) = (

:

: 0), Φ

(P

) = (0 : 0 : 0), Φ

(R) = ( −

: 0 : 0)

例

4.6 C

l

P

Q

D = 2P + 2Q

f

, f

, f

, f

∈ R(D)

− 1 − 1

− 1 − 1

0 − 2

− 2

− 2 0

− 2

P P P P

Q Q

Q Q

R S

また，

f

(P ) = −

, f

(P ) =

, f

(P ) = 0, f

(P ) = 0

f

, f

, f

, f

R(D)

D+ div(f

) = 4P

D+ div(f

) = 4Q

D+ div(f

) = 4R

D + div(f

) = 4S

“f

f

” = “f

+ f

”

“f

+ f

” = “ l 2 f

f

”

F := “X

X

+ X

+ X

” G := “X

+ X

+ l

2 X

X

”

とすると，

im Φ

⊂ V (F ) ∩ V (G)

im Φ