超曲面上の有理曲線族の研究

(1)

超曲面上の有理曲線族の研究

古川勝久

^序

本論文の主たる目的は,射影空間Pⁿのd次超曲面X=Xd⊂Pⁿに対する Mor^(d_c ⁻¹⁾(P¹,X)=

(

f :P¹→X

¯¯¯¯

¯

degf^∗(OX(1))=c,

f_d^∗₋₁:H⁰(Pⁿ,OPⁿ(d−1))→H⁰(P¹,f^∗(OPⁿ(d−1))) is surjective )

なるP¹からXへの射の族のなすquasi-projective variety (各々の射f ∈Mor^(d_c ⁻¹⁾(P¹,X)に応じて,X上の有理曲線C=f(P¹)⊂Xを得られる)についての研究である.

その起端はつぎに述べる結果にあり, これは超曲面 X ⊂ Pⁿ 上の直線族のなす多様体 F(X) =

©l∈G(1,Pⁿ)|l⊂Xª

(Fano scheme)に関するもので, 標数 0の場合は [Barth and Van de Ven, 1978/79] により示され,一般標数の場合は[Kollár, 1996, V.4.3]により示された:

Theorem A([Barth and Van de Ven, 1978/79], [Kollár, 1996, V.4.3]). LetX⊂Pⁿ be a hypersurface of degreed, Then

(a) F(X)= ;for generalXifd>2n−3.

(b) F(X) is smooth of dimension 2n−3−dfor generalXifdÉ2n−3.

(c) F(X) is connected for anyXifdÉ2n−4, except whenX⊂P³is a smooth quadric.

定理(A)では超曲面上の直線(つまりdegree 1の有理曲線)のなす多様体についてsmoothであるのか,あるい

はexpected dimensionを持つのか,などを調査して居るわけであるが,対してここでひとつの一般化を試みる.

(2)

即ち:

Question. 定理(A)の前提において,直線に代て超曲面上のcÊ1次有理曲線(つまりdegree 1のみではない,一

般のdegreecをもつ有理曲線)について考察すると,いかなる命題のなりたつか. なにかの条件のもとで有理曲

線のなす多様体について, smoothであることやexpected dimensionを持つことやを示すことができるのかどうか.

この設題に対する回答として得られたのが,つぎの定理である:

Theorem 1.1. 基礎体は一般の標数をもつこととし,またさらに次の条件の内いづれかを満たすとする(条件につ

いての詳細は(2.10)を参照せよ):

(1.1.a) c=2かつdÊ2, (1.1.b) c=3かつdÊ3, (1.1.c) c=4かつdÊ4, (1.1.d) dÊ6.

このとき¡_n+d

d

¢Êcd+1であり,かつc(n+1−d)+n−4Ê0であるなら,X ⊂Pⁿ なるgeneral hypersurface of degreedに対して, Mor^(d_c ⁻¹⁾(P¹,X)はsmoothでありexpected dimensionc(n+1−d)+(n−1)をもつことがわかる.

如何にしてこの定理を示すことができたかを述べよう.

はじめに,超曲面X 上の直線族F(X)の一般化として, degreecÊ1をもつ有理曲線C⊂Xに対する,P¹からC への射の全体Morc(P¹,X)を考察した.ただし,このままではある困難が生ずるため,その解消のために開部分多様体Mor^(d_c ⁻¹⁾(P¹,X)⊂Mor_c(P¹,X)を取り,そこに制限して考察をつづけることとした.

研究の手法としては,定理(A)におけるKollárの方法を応用したのだが,直線から曲線に研究の対象がひろがるために,そのままでは方法を上手く適用できない部分がある.その概略は以下の様になる(§ 2.2.1も参照):

各 f ∈Mor^imm_c (P¹,Pⁿ)とそれにより定まるc次有理曲線C をとるときに,C をふくむd次超曲面X⊂Pⁿ(X はh∈ker[f_d^∗:H⁰(Pⁿ,OPⁿ(d))→H⁰(P¹,f^∗(OPⁿ(d)))]の零点集合として定められる)に対し,それが導くNormal bundle間の射δf(X) :NC|Pⁿ→NX|Pⁿを対応させるk-linear map

δf : kerf_d^∗→Hom_O

P1(f^∗NC|Pⁿ,f^∗(OPⁿ(d)))

の全射性が必要となる.それは直線の場合(c=1)は自明であるのに対し((2.8)を参照),一般に曲線の場合(cÊ1) は自明ではない.

しかしながら研究に結果として, (3.11)においてこの全射性をしめすことに成功し,ここにおいて定理(1.1)で述べた条件のもと, Mor^(d_c ⁻¹⁾(P¹,X)がsmoothであり,かつexpected dimensionをもつことが示された.

さて,定理(1.1)には,標数を0とする場合に,類似する先行結果としてつぎのものがある.これはX のHilbert

schemeの開部分多様体であるところの,X 上の滑かなc次有理曲線全体R_c(X)⊂Hilb_{c t+1}(X/k)についてのもの

である:

Theorem B([Harris, Roth, and Starr, 2004, Theorem 1.1],標数は0とする). Letn>2 be an integer and letdbe a positive integer such thatd<ⁿ⁺₂¹. For a general hypersurfaceX⊂Pⁿof degreedand for every integercÊ1, the schemeRc(X) is an integral, local complete intersection scheme of dimension (n+1−d)c+(n−4).

それでは,定理(1.1)と定理(B)とを比較してみよう:

(a) 定理(1.1)はMor^(d_c ⁻¹⁾(P¹,X)を考察の対象とし,その点で制限がある.一方で定理(B)はRc(X)そのものを対象とする.ただし,dÀ0であればMor^(d_c ⁻¹⁾(P¹,X)=Mor^imm_c (P¹,X)=©

f ∈Morc(P¹,X)¯¯f : immersionª

(3)

なる等号がなりたつ((4.12)を参照).

(b) 定理(1.1)は一般の標数についての命題であり,定理(B)は標数0のみについての命題である.

(c) 定理(1.1)には“dÊ6”などの条件が必要である.

(d) 定理(B)には“d<ⁿ⁺¹₂ ”なる条件が必要である.

(e) 導かれる命題の一部が“expected dimensionをもつ”ことである点は変らない. ただし他方で,定理(1.1) は“smoothness”を示すのに対して,定理(B)は“integral, local complete intersection”であることを示す.

まとめると定理(1.1)は, (a)有理曲線の範囲を小さくとる制限と(c) “dÊ6”などの条件とがあるが,一方で(b) 一般の標数である点と, (d)条件“d<ⁿ⁺₂¹”の制限をもたない点とにおいて優れて居る.

2

^本論

2.1 ^I, ^I^]^および M^] ^{の構成方法}

Deﬁnition - Proposition 2.1. 0<r<n, 0<cとしてV =H⁰(Pⁿ,O_Pⁿ(1)),W =H⁰(P^r,O_P^r(1))とおく. このとき Morc(P^r,Pⁿ)⊂P∗(Hom(V,S^cW))なるquasi-projective variety of dimension (n+1)¡_c₊_r

r

¢−1が存在して,

ev :P^r×kMorc(P^r,Pⁿ)→Pⁿ なる写像がさだまる.

以下M=Morc(P^r,Pⁿ)と表すことにする.

Proof. H₌Hom(V,S^cW),M=P∗(H)と表記する.M^の上の^sheaf^の全射H^∗_⊗_kO_M→O_M⁽¹⁾^および^k^-linear mapV×H_→S^cW により

ε:V⊗kO_M(−1)→V⊗kH_⊗kO_M→S^cW⊗kO_M (2.1.1) なるM^{上の写像を得て,}これをp:P^r×kM=P(W⊗kO_M⁾→M^{でひきもどし,}またW_P(W_⊗_k_O

M)→O_P(W_⊗_k_O_M)(1) を使用することで,P^r×kM上の写像:

ε⁰:p^∗(V⊗kO_M(−1))→p^∗(S^cW⊗kO_M)→S^c(O(1))=O(c) をえられる.ここでV =n

(x,f)∈P¹×kM^¯¯¯ε⁰_(x,_f₎: surjectiveo

とおき,M=M^\^p((P¹×kM^{) \}^V⁾^{とさだめると,}ε⁰ はM^{の上で全射となる.}故に[Hartshorne, 1977, II, Prop. 7.12]から,写像ev :P(W_M)→P(V_M)→P(V)がみちびかれる.

Remark2.2. f ∈Mに対し,ε⁰|f :V⊗kO_P¹→O_P¹(1)はsheafの全射であることがbase point freeである事実に対応する.

Deﬁnition - Proposition 2.3. 各0Édに対してHd= |OPⁿ(d)|と置く.このとき,d次超曲面とそこにふくまれる c次曲線への射との対による多様体:

I=©

(X,f)∈H_d×M^¯¯^f⁽P¹)⊂Xª が存在する. さらにm:=max©

dim imf_d^∗¯¯f ∈M^ªとしてM^]:=©

f ∈M^¯¯dim imf_d^∗=mª

とさだめることにすると,¡_n₊_d

d

¢−m>0であるならI^]:=I|_M^]はP^¡^n+d^d ^¢⁻^m⁻¹-bundle onM^]^{となることがわかる.}

Proof. はじめに(2.1.1)によりM^上の写像

ε^d: (S^dV⊗kO_M⁾⁽−d)→S^d(S^cW⊗kO_M⁾→S^cdW⊗kO_M

(4)

を定義する.これはf :P¹→Pⁿに対し

f_d^∗=ε^d|f :H⁰(Pⁿ,OPⁿ(d))→H⁰(P¹,O_P¹^(cd)) をさだめる写像である.さてε^dはY =Hd×kM'P∗((S^dV⊗kO_M)(−d))の上の写像

E:S^cdW^∗⊗kOY →(S^dV^∗⊗kO_M^(d))⊗_O_MOY →OY(1) を決定するが,これによりI:=Z₊(imE(−1))⊂Y をさだめることができる.

ここでπ_M:I →M^{とすると,} ^f ∈M^をとればπ⁻_M¹(f)=P∗(ker(ε^d)|f)のなりたつことがわかる. 実際,I|f は im[H⁰(E|f) :H⁰(S^cdW^∗⊗kOH_dZ)なるH_dの一次式でさだまるlinear subspaceであり,他方H⁰(E|f)なる写像はε^d|f のdualとなるので(2.4)によりI|f =P(cokerH⁰(E|f))=P∗(ker(ε^d)|f)であることがわかる.

さてmの定義からker(ε^d)はM^]上locally free sheafとなるが,このとき上の議論からf ∈M^]のﬁberを比較すればI|_M^]=P∗(ker(ε^d)|_M^])の成立することが示される.

Lemma2.4. L=P(U)⊂P(V)をlinear subvarietyとするとき, ker(V →U)はLを定義する一次式となる.

Remark2.5. (2.5.a) I の各irreducible componentJに対して, codim(J,Md)É¡_cd₊_r

r

¢となる.

(2.5.b) ∃f ∈M s.t. f₁^∗: surjectiveならばm=¡_cd₊_r

r

¢となる.逆はなりたつとは限らない.

(2.5.c) I^]⊂I について:I^]=I とは限らないが,I^]³M^{にはなる.}

(2.5.d) M=Mor1(P^r,Pⁿ)のときI=P∗(ker(ε^∗))=I^],m=¡_d+r

r

¢である.

Remark2.6. 主にsmoothな有理曲線を対象とするため,以後r=1,m=cd+1,¡_n₊_d

d

¢Êcd+1として議論する.

このときはM^]⊂Mîmm^となり^((4.7)^を参照),^特に^dÀ0であればM^]=Mîmm^{となることがわかる}^((4.12)^を参照).また, “]”は実際はdに依存するものなので,それを明示するときにはM^(d)^,Î^(d)の様に表すこととする.

2.2 Smoothness of πH

2.2.1 ^概要

本節(2.9)におけるZ⁰を考察することは, [Kollár, 1996, V.4.3]によるアイデアである. ここではZ⁰のcodi-

mensionをみる必要があるのだが,そのためにはδf なるk-linear mapの全射性を必要とする. これは[Kollár,

1996, V.4.3]における様に直線を考察するのであれば自明であるが((2.8)を参照),本研究の対象である有理曲線に

ついて見るときには自明ではない.最終的には(3.11)にて,いくつかの条件のもとでその全射性をしめす.

2.2.2 Codimension of the singular locus ofπH

cÊ0,dÊ1に対しM=Mor_c(P¹,Pⁿ),H= |OPⁿ(d)|とさだめ,またI,I^],M^]などは(2.3), (2.6)によるものとする.

Lemma2.7 (cf. [Kollár, 1996, V.4.3.7]). f ∈M^imm^をとり,対応する有理曲線をC⊂Pⁿ とし,またX⊂PⁿをC をふくむd次超曲面であるとする.このとき,

δf(X) :H⁰(P¹,f^∗NC|Pⁿ)→H⁰(P¹,f^∗NX|Pⁿ) なる写像がさだまり,また

(2.7.a) P=f(Q)∈Cをとる.このときX is singular atPiffδf(X)⊗k(Q)=0.

(2.7.b) XはCの上ではsmoothであるとする.このときπH:I^]→Hが(f,X)にてsmoothであることとδf(X) が全射であることとが同値になる.

(5)

Remark2.8. ここに表れる

δf : kerf_d^∗→Hom_O

P1(f^∗NC|Pⁿ,f^∗(OPⁿ(d)))

なるk-linear mapはKollárの手法を一般化する際の鍵となる.詳細は§ 3にて別に議論する.

ただし[Kollár, 1996, V.4.3]における研究対象であるところのc=1の場合(f(P¹)が直線となる)には,δf の対応は単純になる:実際,標準の座標f :P¹→Pⁿ; (t,u)7→(t,u, 0, . . . , 0)をとれば`=f(P¹)⊂Pⁿ を含む任意のd次超曲面X⊂Pⁿは

h=z2h2+ ··· +znhn deghi=d−1 なるd次多項式により書くことができて,このとき

δf(h)=(f^∗h₂, . . . ,f^∗h_n)∈Hom_O

P1(f^∗N`|Pⁿ,f^∗(OPⁿ(d)))=H⁰(P¹,O_P¹^(d−1))^⊕ⁿ⁻¹ の成立つことがわかるので.

Proof. はじめに図式(3.1.2)からX のpでsmoothなることとδf(X)p=0となることとが同値であることがわかる. つぎにπH がsmoothであるためには(dπH)₍_f_,X₎:T₍_f_,X₎I^]→T_(f_,X₎Hが全射であればよく,そのためにはker((dπH)₍_f_,X₎)がexpected dimensionc(n+1−d)−(n−1)をもてばよい.B=π⁻_H¹(X)とおけば[Hartshorne, 1977, II, prop.8.10, prop.8.11]より

ΩI|M→ΩH|M→ΩI|H|M=ΩM→0

なるB 上のexact sequenceが存在するのでker((dπH)(f,X))=TfB であることがわかる. 一方B=π⁻_H¹(X)= Mor^]_c(P¹,X)なのでker((dπH)(f,X))=TfMor^]_c(P¹,X)であり, [Kollár, 1996, I.2.16]からその次元はh⁰(f^∗TX)に一致する.以上まとめて

πHis smooth at (f,X)⇐⇒h⁰(f^∗TX)=c(n+1−d)−(n−1)

h⁰(f^∗TX)=c(n+1−d)−(n−1)⇐⇒h¹(NC|X)=0⇐⇒δf(X) is surjective.

なる関係が得られる.

ai ¯¯f^∗NC|Pⁿ=L_n−1

i=1O_P¹^(ai)ª

であるとする.このとき I⁰=n

(f,X)∈I^] ¯¯X is smooth alongf(P¹) o

, Z⁰=©

(f,X)∈I⁰¯¯πH is not smooth at (f,X)ª

なるものをさだめると,M^(d⁻¹⁾に制限すればcodim(Z⁰,I⁰)|_M(d−1)Êc(n+1−d)−n−3のなりたつことがわかる.

Remark2.10. (3.11)によりdÊ3であるか,あるいはc=2かつdÊ2であるかとすると,f ∈M^(d⁻¹⁾は全射となる.また(4.6)によりmaxaiÉ3c−2であることはわかるので,dÊ^2(3c_c⁻²⁾=6−⁴_c であれば条件(2.9.b)は満たされる.さらに[Kaji, 1985, 2.8]によれば,f ∈Mor^imm_c (P¹,P³)に対して

(maxa_iÉ3c−5 if p6=2 maxaiÉ3c−4 if p=2

超曲面上の有理曲線族の研究

超曲面上の有理曲線族の研究

目次

序

本論

^序

^本論