有限体上の代数曲線 y 2 = x l + a および y 4 = x l + a の有理点の勘定 Counting points of the curves

(1)

有限体上の代数曲線 y ² = x ^l + a および y ⁴ = x ^l + a の有理点の勘定 Counting points of the curves

y ² = x ^l + a and y ⁴ = x ^l + a over a ånite åeld

数学専攻　安田　賢祐

Kensuke

YASUDA

序

論文は３節からなっている．第１節は導入部であり，

Jacobi

和の定義，巾剰余記号の定義，さらに，

ax ^m + by ⁿ = c

によって定義された代数曲線の合同ゼータ函数に関する

Davenport-Hasse

の定理，

Jacobi

^{和に関する}

Stickelberger

の定理について手短かに復習する．第２節と第３節が本論である．第２節では代数曲線

y ² = x ²³ + a

に関連して

23

乗剰余記号と

2

乗剰余記号によって定義される

Jacobi

和を，第３節では代数曲線

y ⁴ = x ²³ + a

に関連して

23

乗剰余記号と

4

乗剰余記号によって定義される

Jacobi

和を取り扱う．当研究室では

２００４年度　尾崎永児

[6]

y ⁴ = x ³ + a

２００５年度　三上修平

[8]

y ² = x ⁵ + a, y ⁴ = x ⁵ + a

２００６年度　久木宮到

[9]

y ² = x ⁷ + a, y ⁴ = x ⁷ + a

２００７年度　原優

[10]

y ² = x ¹¹ + a, y ⁴ = x ¹¹ + a

２００７年度　藤川晋

[11]

y ² = x ¹³ + a, y ⁴ = x ¹³ + a

２００７年度　松本紀彦

[12] y ² = x ¹⁷ + a, y ⁴ = x ¹⁷ + a

２００７年度石田将之

[13]

y ² = x ¹⁹ + a, y ⁴ = x ¹⁹ + a

と代数曲線

y ² = x ^l + a, y ⁴ = x ^l + a

に関連する

Jacobi

和について結果を集積して来た．本論文では，これまでの研究でそれぞれの場合に示されていたいくつかの補題をより一般的な形に整理し，

さらに，

l = 23

に対する結果を付け加えることが出来た．本論文の主結果は下記の定理１と定理２であるが，前者は超楕円曲線

y ² = x ²³ + a

^{に，後者は代数曲線}

y ⁴ = x ²³ + a

^{に関連している．}

1 いくつかの補題

補題

1.1. n

を整数

(> 2)

，

ê = e ^2ôi=n

，

K = Q (ê )

とし，

p

を

n

と素な

K

の素イデアル，

Z

を

Gal(K= Q )

における

p

^{の分解群とする．}

q = N p

^とおき，

ü

を

ã 7! ê ã

p ë

n

によって定義される有限体

F ^q

の乗法的指標とする．このとき，

J (ü ⁱ ; ü ^j ) 2 K ^Z

．

(

^証明

)

巾剰余記号の定義から，

K

^の整数

ã

^に対して

ã

^Npⁿ^Ä¹

ë ê ã

p ë

n mod p

．

õ 2 Z

とすれば，

õ (p) = p

なので，

õ (ã )

^Npⁿ^Ä¹

ë õ ( ê ã p

ë

n ) mod p

^．したがって，

õ (J (ü ⁱ ; ü ^j )) = õ Ä X

ã

2Fq

ü ⁱ (ã )ü ^j (1 Ä ã ) Å

= X

ã

2Fq

ü ⁱ (õ (ã ))ü ^j (õ (1 Ä ã )) = J (ü ⁱ ; ü ^j )

．

これから結論を得る．

1

(2)

系

1.2.

補題

1.1

の仮定の下で，さらに，

f

を

( Z =n Z )

^Ç における

p

の位数とする．

f

が偶数で

p ^{f =2} ë Ä 1 mod n

なら，各

i; j (0 < i; j < n; i + j 6 = n)

に対して，

J (ü ⁱ ; ü ^j ) = Ü p ^{f =2}

が成立する．

(

証明

) Gal(K= Q )

における

p

の分解群

Z

は

p

によって生成される

Gal(K= Q ) = ( Z =n Z )

^Çの部分群．仮定より

p ^{f =2} ë Ä 1 mod n

なので，

Z

は複素共役を含む．したがって，

K ^Z ö R

^．補題

1.1

から，

J(ü ⁱ ; ü ^j ) 2 R

^{．ここで，}

j J (ü ⁱ ; ü ^j ) j = p ^{f =2}

^なので，

J (ü ⁱ ; ü ^j ) = Ü p ^{f =2}

^．

記号の定義．

l

を素数

(> 2)

，

p

を素数

( 6 = 2; l)

，

ê= e ^2ôi=l

，

K = Q (ê )

，

p

^を

K

における

p

の素因子とし，

q = N p

^{とおく．さらに，}

ü; ë

^{をそれぞれ}

ã 7! ê ã

p ë

l

，

ã 7! ê ã p

ë

2

によって定義される

F ^q

の乗法的指標とする．

補題

1.3. ã; å 2 O ^K

^とする．

(1) (ã ) = (å ); (2) j ã j = j å j ; (3) ã ë å ë 1 mod 2; (4) Tr _K=

_Q

ã ë Tr _K=

_Q

å 6ë 0 mod 2l

ならば，

ã = å

^{が成り立つ．}

補題

1.4. ã 2 O ^K

^とし，

ã ë 1 mod 2

かつ

ãã 2 Z

^とする

.

このとき，次が成り立つ

. (1) l ë 1 mod 4

のとき，

Tr _K=

_Q

ã ë 0 mod 4

．

(2) l ë 3 mod 4

かつ

Tr _K=

_Q

ã ë 0 mod 4

のとき，

(Tr _K=

_Q

ã ) ² ë ãã Ä l mod 4l:

(3) l ë 3 mod 4

^かつ

Tr _K=Q ã ë 2 mod 4

^のとき，

(Tr _K=Q ã ) ² ë ãã+ l mod 4l:

補題

1.5. J(ü; ë ) ë 1 mod 2

(

^証明

) ã 6 = 1

^なら

ë (1 Ä ã ) = Ü 1

^{であるから，}

Jacobi

^{和の定義より}

, J (ü; ë ) = X

ã

2Fq

ü (ã )ë (1 Ä ã ) ë X

ã

2Fqnf

0;1

g

ü (ã ) = Ä ü (1) = Ä 1 mod 2

．

補題

1.6. Tr K=

Q

J (ü; ë ) ë l + 1 mod 2l

(

証明の方針

) Davenport-Hasse

の定理に

ñ _l Ç ñ ₂

が超楕円曲線

y ² = x ^l + a

の上に作用することを絡ませて導く．

系

1.7. f

^を

( Z =l Z )

^Ç^における

p

^{の位数とする．}

f

^{が偶数なら，}

J (ü; ë ) = p ^{f =2}

^{が成立する．}

(

^証明

)

^系

1.2

^から，

J (ü; ë ) = Ü p ^{f =2}

^{．ここで，}

( Z =l Z )

^Ç^{が巡回群なので，}

p ^{f =2} ë Ä 1 mod l

^．

p 6 = 2

なので，

p ^{f =2} ë Ä 1 mod 2l

^{．これから，}

Tr _K=

_Q

p ^{f =2} = (l Ä 1)p ^{f =2} ë l + 1 mod 2l:

一方，補題

1.6

より，

Tr _K=

_Q

J (ü; ë ) = l + 1 mod 2l

なので結論を得る．

補題

1.8. X

を

y ² = x ^l + a

F ^q

の上の超楕円曲線とする．

(1) l ë 1 mod 4

^の場合．

(a) q ë 1 mod 4l, ü (a) = 1; ë (a) = 1

^なら，

#X( F ^q ) ë 3l + 3 mod 4l

^．

(b) q ë 1 mod 4l, ü (a) = 1; ë (a) = Ä 1

^なら，

#X( F ^q ) ë l + 1 mod 4l

^．

(c) q ë 2l + 1 mod 4l, ü (a) = 1; ë (a) = 1

^なら，

#X( F ^q ) ë l + 3 mod 4l

^．

(d) q ë 2l + 1 mod 4l, ü (a) = 1; ë (a) = Ä 1

なら，

#X( F ^q ) ë 3l + 1 mod 4l

．

(2) l ë 3 mod 4

の場合．

(a) ü (a) = 1; ë (a) = 1

なら，

#X( F ^q ) ë 3l + 3 mod 4l.

(b) ü (a) = 1; ë (a) = Ä 1

^なら，

#X( F ^q ) ë l + 1 mod 4l.

(

証明の方針

)

補題

1.4

と補題

1.6

を組み合わせてそれぞれの場合に確認する．

2

(3)

記号の定義．

l

^を素数

(> 2)

^，

p

^を素数

( 6 = 2; l)

^，

ê= e ^2ôi=l

^，

L = Q (ê; p

Ä 1)

^，

p

^を

L

^における

p

^の素因子とし，

q = N p

とおく．さらに，

ü; ë

をそれぞれ

ã 7! ê ã

p ë

l

，

ã 7! ê ã p

ë

4 F ^q

^{の乗法的指標とする．}

補題

1.9. ã; å 2 O ^L

^とする．

(1) (ã ) = (å ); (2) j ã j = j å j ; (3) ã ë å ë 1 mod 1 + i;

(4) Tr _L=

_Q

ã ë Tr _L=

_Q

å 6ë 0 mod 4l; (5) Tr _L=

_Q

(iã ) ë Tr _L=

_Q

(iå ) ë 0 mod 4l

ならば，

ã = å

が成り立つ．

補題

1.10. J (ü; ë ) ë 1 mod 1 + i

(

証明

) ã 6 = 1

なら

ë (1 Ä ã ) = Ü 1; Ü i ë 1 mod 1 + i

なので，

Jacobi

和の定義から

J(ü; ë ) = X

ã

2Fq

ü (ã )ë (1 Ä ã ) ë X

ã

2Fqnf

0;1

g

ü (ã ) = Ä ü (1) = Ä 1 ë 1 mod 1 + i

^．

補題

1.11. Tr _L=

_Q

J(ü; ë ) ë 2l + 2 mod 4l; Tr _L=

_Q

Ä

iJ(ü; ë ) Å

ë 0 mod 4l

が成立する．

(

^{証明の方針}

) Davenport-Hasse

^{の定理と系}

1.8

^{から導く．}

系

1.12. f

を

( Z =4l Z )

^Çにおける

p

f

が偶数で

p ^{f =2} ë Ä 1 mod 4l

なら，

J (ü; ë ) = p ^{f =2}

が成立する．

(

^証明

)

^補題

1.1

^から，

J(ü; ë ) = Ü p ^{f =2}

^{．ここで，}

p ^{f =2} ë Ä 1 mod 4l

^なので，

Tr _L=

_Q

p ^{f =2} = 2(l Ä 1)p ^{f =2} ë 2l + 2 mod 4l

．一方，補題

1.11

^より，

Tr _L=

_Q

J (ü; ë ) = 2l + 2 mod 4l

^{なので，結論を得る．}

2 l = 23 ^の場合の Jacobi ^和

定理

1. ê = e ^2ôi=23 ; K = Q (ê )

^とし，

p

^を素数

( 6 = 2; 23)

^，

ô

^を

p

^{を割り切る}

K

^の素元，

Z

を

Gal(K= Q )

^における

(ô )

^{の分解群，}

f

^を

Z

^{の位数とする．}

q = N ô

^とおき，

ü; ë

^{をそれぞれ}

ã 7! ê ã

ô ë

23 ; ã 7! ê ã ô ë

2 F ^q

Ö 2 O K

^Zが唯一つ存在して，

Ö ë 1 mod 2; Tr K=

Q

Ö ë 22 mod 46; Ö Ö = p ^f ;

(Ö) = (ôõ 3 (ô )õ 7 (ô )õ 21 (ô )õ 27 (ô )õ 29 (ô )õ 31 (ô )õ 33 (ô )õ 35 (ô )õ 37 (ô )õ 41 (ô ))

となる．さらに，

J (ü; ë ) = Ä Ö

が成り立つ．特に，

(1) p ë 22 mod 23

^のとき，

J (ü; ë ) = p:

(2) p ë 2; 4; 8; 16; 9; 18; 13; 3; 6; 12 mod 23

のとき，

A ² + 23B ² = p ³ ; p - A; A ë p ⁷ mod 23; ô j (A + B p Ä 23)

となる

A; B 2 Z

が唯一組存在する．さらに，

J(ü; ë ) = Ä p ⁴ (A + B p

Ä 23)

．

(3) p ë 5; 10; 20; 17; 11; 21; 19; 15; 7; 14 mod 23

^のとき，

J (ü; ë ) = p ¹¹

^．

3

(4)

定理

2. ê = e ^2ôi=23 ; L = Q (ê; p

Ä 1)

^とし，

p

^を素数

( 6 = 2; 23)

^，

p

^を

L

^における

p

^{の素因子，}

Z

を

Gal(L= Q )

における

p

の分解群，

f

を

Z

q = N p

とおき，

ü; ë

をそれぞれ

ã 7! ê ã

p ë

23 ; ã 7! ê ã p

ë

4 F ^q

Ö 2 O L

^Zが唯一つ存在して，

Ö ë 1 mod 1 + i; Tr _L=

_Q

Ö ë 44 mod 92; Tr _L=

_Q

(iÖ ) ë 0 mod 92; Ö Ö = p ^f ;

(Ö ) = põ 5 (p)õ 13 (p)õ 21 (p)õ 25 (p)õ 29 (p)õ 31 (p)õ 33 (p)õ 35 (p)õ 37 (p)õ 41 (p)õ 47 (p) õ 49 (p)õ 53 (p)õ 65 (p)õ 73 (p)õ 75 (p)õ 77 (p)õ 81 (p)õ 83 (p)õ 85 (p)õ 89 (p)

J (ü; ë ) = Ä Ö

が成り立つ．特に，

(1) p ë 47 mod 92

^のとき，

q = p ² :

^また，

ü; ~ ë ~

^{をそれぞれ，}

ü; ë

^の

F ^p

^{への制限とすれば，}

ü ~

^は

F ^p

の位数

23

^{の乗法的指標で，}

ë ~

^は

F ^p

^の位数

2

の乗法的指標となる．さらに，

Ö = Ä J ( ~ ü; ë ~ )

^とおくと，

J(ü; ë ) = Ä Ö õ 25 (Ö )

(2) p ë 91 mod 92

のとき，

J (ü; ë ) = p

．

(3) p ë 9; 81; 85; 29; 77; 49; 73; 13; 25; 41 mod 92

^のとき，

A; B; C; D 2 Z

^{が存在して，}

A ² + B ² = p; C ² + 23D ² = p ³ ; C ë p ⁷ mod 23;

p j (A + B p

Ä 1); p j (C + D p Ä 23);

(A + B p

Ä 1) ⁶ ë p ³

^または

p ³ p

Ä 1 mod 23

となる．

Ö = p(A + B p

Ä 1) ⁶ (C + D p

Ä 23)

とおけば，

(a) (A + B p

Ä 1) ⁶ ë p ³ mod 23

^なら，

J (ü; ë ) = Ä Ö ; (b) (A + B p

Ä 1) ⁶ ë p ³ p

Ä 1 mod 23

^なら，

J(ü; ë ) = Ö p Ä 1:

(4) p ë 3; 27; 59; 71; 87; 55; 35; 39; 75; 31 mod 92

のとき，

A; B 2 Z

A ² + 23B ² = p ³ ; p ³ = (A + B p Ä 23)

J (ü; ë ) = Ä p ⁸ (A + B p

Ä 23) ² :

(5) p ë 5; 33; 89; 17; 57; 21; 65; 61; 53; 37 mod 92

のとき，

A; B 2 Z

A ² + B ² = p; p = (A + B p Ä 1);

(A + B p

Ä 1) ¹² ë Ü p ⁶ p

Ä 1 mod 23

となる．

Ö = p ⁵ (A + B p

Ä 1) ¹²

とおけば，

(a) (A + B p

Ä 1) ¹² ë p ⁶ p

Ä 1 mod 23

^なら，

J (ü; ë ) = Ä Ö p Ä 1;

(b) (A + B p

Ä 1) ¹² ë Ä p ⁶ p

Ä 1 mod 23

^なら，

J(ü; ë ) = Ö p Ä 1:

(6) p ë 7; 67; 63; 51; 15; 43; 83; 19; 11; 79 mod 92

のとき，

J(ü; ë ) = p ¹¹

．

有限体上の代数曲線 y 2 = x l + a および y 4 = x l + a の有理点の勘定 Counting points of the curves