有限体の上の代数曲線 y 2 = x 19 + a および y 4 = x 19 + a の有理点の勘定 Counting points of the curves

有限体の上の代数曲線 y ² = x ¹⁹ + a および y ⁴ = x ¹⁹ + a の有理点の勘定 Counting points of the curves

y ² = x ¹⁹ + a and y ⁴ = x ¹⁹ + a over a ånite åeld

数学専攻 石田 将之

Ishida Masayuki

序文

数学の歴史の中でも記念碑的な著作である

Gauss

の

Disquisitiones Arithmeticae

はかなりの部 分が円分体の理論に割かれているが，次の結果が応用として示されている．

定理

. p

^を素数，

C

^を

X ³ + Y ³ = Z ³

によって定義される有限体

F ^p

の上の射影曲線とする．

(1) p ë 1 mod 3

なら

#C( F ^p ) = p + 1 + A (A; B 2 Z , A ² + 27B ² = 4p, A ë 1 mod 3)

．

(2) p ë 2 mod 3

なら

#C( F ^p ) = p + 1

．

今の言葉で言えば

Gauss

^{和あるいは}

Jacobi

^和と

Eisenstein

^の整数環

Z [e ^2ôi=3 ]

^{における素因数} 分解を絡ませて証明がなされているが，

Davenport

^と

Hasse

^{は１９３０年代に}

[4]

^{で有限体の上に} 定義された代数曲線の合同ゼータ函数の言葉にして

Gauss

の結果を一般化した．代数曲線の合同 ゼータ函数の研究はそれ自体非常に興味深いものであるが，最近暗号理論や符号理論との関連で 有限体の上に定義された代数曲線の有理点の研究が脚光を浴びている．例えば，

[3]

では楕円曲線 暗号の次世代候補である超楕円曲線暗号を意識して，有理点の個数を勘定する計算が速いアルゴ リズムを提案している．

Gauss

^が調べた

Fermat

^曲線

X ³ + Y ³ = Z ³

^{は楕円曲線}

y ² = x ³ + a

の形に変換できるが，当研 究室では

 

２００５年度  尾崎永児

[6]



y ⁴ = x ³ + a

２００６年度  三上修平

[8]



y ² = x ⁵ + a, y ⁴ = x ⁵ + a

２００７年度  久木宮到

[9]



y ² = x ⁷ + a, y ⁴ = x ⁷ + a

と代数曲線

y ² = x ^l + a, y ⁴ = x ^l + a

に関連する

Jacobi

和について結果を集積して来た．今回は

   

原優

[10]



y ² = x ¹¹ + a, y ⁴ = x ¹¹ + a

藤川晋

[11]



y ² = x ¹³ + a, y ⁴ = x ¹³ + a

松本紀彦

[12]



y ² = x ¹⁷ + a, y ⁴ = x ¹⁷ + a

石田将之

y ² = x ¹⁹ + a, y ⁴ = x ¹⁹ + a

と分担して幾つかの結果を付け加えることが出来た．本論文の主結果は下記の定理１と定理２で あるが，前者は超楕円曲線

y ² = x ¹⁹ + a

^{に，後者は代数曲線}

y ⁴ = x ¹⁹ + a

^{に関連している．}

定理

1. l = 19

^とし，

p

^を素数

6 = 2; 19

^，

ô

^を

p

^{を割り切る}

K

^{の素元とする．}

q = N ô

^とおき，

ü , ë

をそれぞれ

ã 7! ê ã

ô ë

19 , ã 7! ê ã ô ë

2

によって定義される

F ^q

の乗法的指標とする．このとき，

(1) p ë 1 mod 19

なら，

Ö = X 18

i=1

a i ê ⁱ (a i 2 Z )

が唯一つ存在して

Ö ë 1 mod 2; Tr _K=Q Ö ë 18 mod 38; Ö Ö ñ = p;

(Ö ) = (ôõ 4 (ô )õ 5 (ô )õ 10 (ô )õ 11 (ô )õ 12 (ô )õ 13 (ô )õ 16 (ô )õ 17 (ô ))

1

となる．さらに，

J (ü; ë ) = Ä Ö

^．

(2) p ë 18 mod 19

なら，

J(ü; ë ) = p

．

(3) p ë 7; 11 mod 19

^なら，

Ö =

X 6 i=1

a i (ê ⁱ + ê ⁷ⁱ + ê ¹¹ⁱ ) (a i 2 Z )

^{が唯一つ存在して}

Ö ë 1 mod 2; Tr _K=

_Q

Ö ë 18 mod 38; Ö Ö ñ = p ³ ;

(Ö ) = (ô ² õ 4 (ô )õ 5 (ô ) ³ õ 10 (ô ) ² õ 12 (ô ))

となる．さらに，

J (ü; ë ) = Ä Ö

．

(4) p ë 8; 12 mod 19

なら，

J (ü; ë ) = p ³

．

(5) p ë 4; 16; 9; 17; 6; 5 mod 19

^なら，

A; B 2 Z

^{が唯一組存在して}

A ² + 19B ² = 4p; A ë 2p ⁵ mod 19; (ô ) = ê A + B p

Ä 19 2

ë

となる．さらに，

J (ü; ë ) = Ä p ³ ê A + B p

Ä 19 2

ë 3

．

(6) p ë 2; 13; 14; 15; 3; 10 mod 19

なら，

J(ü; ë ) = p ⁹

． 定理

2. ê= e ^2ôi=19 , L = Q (ê; p

Ä 1)

^とし，

p

^を素数

6 = 2; 19

^，

p

^を

p

^{を割り切る}

L

^{の素イデアルと} する．

q = N p

とおき，

ü , ë

をそれぞれ

ã 7! ê ã

p ë

19 , ã 7! ê ã p

ë

4

によって定義される

F ^q

^の乗法的 指標とする．このとき，

(1) p ë 1 mod 76

^なら，

Ö = X 18 j=1

a j ê ^j (a j 2 Z [ p

Ä 1])

^{が唯一つ存在して}

Ö ë 1 mod 1 + i; Tr _L=

_Q

Ö ë 36 mod 76; Tr _L=

_Q

(iÖ ) ë 0 mod 76; Ö Ö ñ = p;

(Ö ) = põ 5 (p)õ 13 (p)õ 17 (p)õ 21 (p)õ 29 (p)õ 39 (p)õ 41 (p)õ 43 (p) õ 45 (p)õ 49 (p)õ 51 (p)õ 53 (p)õ 61 (p)õ 65 (p)õ 67 (p)õ 69 (p)õ 73 (p)

となる．さらに，

J (ü; ë ) = Ä Ö

．

(2) p ë 39 mod 76

^なら，

q = p ²

^．

ü , ë

^の

F ^p

^{への制限をそれぞれ}

ü ~ , ~ ë

^{で表わせば，}

ü ~

^は

F ^p

の位数

19

^{の乗法的指標で，}

ë ~

^は

F ^p

^の位数

2

の乗法的指標．さらに，

Ö = Ä J( ~ ü; ë ~ )

^{とおけば，}

J (ü; ë ) = Ä Ö õ 21 (Ö )

．

(3) p ë 37 mod 76

^なら，

Ö = X 9 j=1

2a j cos 2ôj

19 (a j 2 Z [ p

Ä 1])

^{が唯一つ存在して}

Ö ë 1 mod 1 + i; Tr _L=

_Q

Ö ë 36 mod 76; Tr _L=

_Q

(iÖ ) ë 0 mod 76; Ö Ö ñ = p ² ; (Ö) = põ 5 (p)õ 13 (p)õ 17 (p)õ 21 (p)õ 29 (p)õ 39 (p)õ 41 (p) ² õ 43 (p)õ 45 (p) ² õ 49 (p) ² õ 51 (p)õ 53 (p) ² õ 67 (p)

となる．さらに，

J (ü; ë ) = Ä Ö

^．

(4) p ë 75 mod 76

なら，

J(ü; ë ) = p

．

(5) p ë 45; 49 mod 76

^なら，

Ö =

X 6 j=1

a j (ê ^j + ê ^7j + ê ^11j ) (a j 2 Z [ p

Ä 1])

^{が唯つ一組存在して}

Ö ë 1 mod 1 + i; Tr _L=

_Q

Ö ë 36 mod 76; Tr _L=

_Q

(iÖ) ë 0 mod 76; Ö Ö ñ = p ³ ;

(Ö ) = p ³ õ 5 (p) ³ õ 13 (p) ³ õ 21 (p) ² õ 39 (p)õ 43 (p)õ 51 (p) ² õ 61 (p)õ 65 (p) ²

2

となる．さらに，さらに，

J (ü; ë ) = Ä Ö

^．

(6) p ë 7; 11 mod 76

^なら，

q = p ⁶

^．

ü , ë

^の

F p

³への制限をそれぞれ

ü ~ , ~ ë

^{で表わせば，}

ü ~

^は

F p

³

の位数

19

の乗法的指標で，

ë ~

は

F ^p

^の位数

2

の乗法的指標．さらに，

Ö = Ä J( ~ ü; ë ~ )

とおけば，

J (ü; ë ) = Ä Ö õ 21 (Ö )

．

(7) p ë 65; 69 mod 76

^なら，

Ö = 2a 1 Ä cos 2ô

19 +cos 14ô

19 +cos 16ô 19

Å +2a 2 Ä cos 4ô

19 +cos 6ô

19 +cos 10ô 19

Å +2a 3 Ä cos 8ô

19 +cos 12ô

19 +cos 18ô 19

Å (a j 2 Z [ p

Ä 1])

が唯一つ存在して

Ö ë 1 mod 1 + i; Tr _L=Q Ö ë 36 mod 76; Tr _L=Q (iÖ ) ë 0 mod 76; Ö Ö ñ = p ⁶ ; (Ö ) = p ⁵ õ 5 (p) ⁵ õ 13 (p) ⁴ õ 39 (p)õ 43 (p)õ 51 (p) ²

となる．さらに，さらに，

J (ü; ë ) = Ä Ö

^．

(8) p ë 27; 31 mod 76

なら，

J (ü; ë ) = p ³

．

(9) p ë 5; 25; 17; 9; 73; 61 mod 76

なら，

A; B 2 Z

^{が存在して}

A ² + B ² = p

となる．さらに，

(A + B p

Ä 1) ⁵ ë Ü p ⁷ ; Ü p ⁷ p

Ä 1 mod 19

が成立する．

Ö = p ² (A + B p

Ä 1) ⁵

とおけば，

(a) (A + B p

Ä 1) ⁵ ë p ⁷ mod 19

なら，

J (ü; ë ) = Ä Ö

；

(b) (A + B p

Ä 1) ⁵ ë Ä p ⁷ mod 19

なら，

J(ü; ë ) = Ö

；

(c) (A + B p

Ä 1) ⁵ ë p ⁷ p

Ä 1 mod 19

^なら，

J(ü; ë ) = Ö p Ä 1

^；

(d) (A + B p

Ä 1) ⁵ ë Ä p ⁷ p

Ä 1 mod 19

^なら，

J (ü; ë ) = Ä Ö p Ä 1

^．

(10) p ë 23; 35; 47; 55; 63; 43 mod 76

なら，

J (ü; ë ) = Ä p ⁹

．

(11) p ë 13; 33; 29; 21; 53; 41 mod 76

^なら，

A; B 2 Z

^{が存在して}

A ² + B ² = p

^{となる．さらに，}

(A + B p

Ä 1) ¹⁰ ë Ü p ⁵ p

Ä 1 mod 19

が成立する．

Ö = p ⁴ (A + B p

Ä 1) ¹⁰

とおけば，

(a) (A + B p

Ä 1) ¹⁰ ë p ⁵ p

Ä 1 mod 19

^なら，

J (ü; ë ) = Ä Ö p Ä 1

^；

(b) (A + B p

Ä 1) ¹⁰ ë Ä p ⁵ p

Ä 1 mod 11

^なら，

J(ü; ë ) = Ö p Ä 1

^．

(12) p ë 3; 15; 59; 67; 71; 51 mod 76

なら，

J (ü; ë ) = p ⁹

．

最後に

. Gauss

^和や

Jacobi

和の決定は古典的な問題であり、多くの結果が集積されている．例え

ば，

[2]

^には

Gauss

^和や

Jacobi

和に関する結果が集大成されているが，幾何的な記述が欠けてい

る憾みがある．新妻康弘

[5]

は本論文とは別方向の超楕円曲線

y ² = x ⁶ + a

^と

y ² = x ¹² + a

^を扱っ ている．

[5][6][8][9][10][11][12]

と本論文で得られた結果は多様であるが，また何らかの統一性をも 示唆している．本論文での考察がささやかでも今後の研究に寄与することを願う．最後に，本論 文が完成したのも多忙の中，多大なるご指導をしてくださった諏訪紀幸教授，当研究室の仲間の おかげである．深く感謝いたします．

文献

[1] N. Aoki, Simple factors of the Jacobian of a Fermat curve and the Picard number of a product of Fermat curves, Amer. J. Math. 113 (1991), 779{833.

3

[2] B. C. Berndt, R. J. Evans and K. S. Williams, Gauss and Jacobi sums (1998), Wiley- Interscience Publication, New York.

[3] J. Buhler and N. Koblitz, Lattices basis reduction, Jacobi sums and hyperelliptic cryp- tosystems, Bull. Australian Math. Soc. 58 (1998) 147{154

[4] H. Davenport and H. Hasse, Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen F° allen, J. Reine Angew. Math. 172 (1934), 151{182.

[5] Y. Niitsuma, Counting points of the curve y ² = x ¹² + a over a ånite åeld, Chuo Math Preprint No 70 (2006)

[6] E. Ozaki, Counting points of the curve y ⁴ = x ³ +a over a ånite åeld, Comentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli 55 (2006), 113{134

[7] A. Weil, Jacobi sums as Gr° ossencharactere, Trans. Amer. Math. Soc. 73 (1952), 487{495.

[8]

三上修平，有限体上の超楕円曲線

y ² + y = x ⁿ

について，中央大学理工学研究科数学専攻２０ ０５年度修士論文．

[9]

久木宮到，有限体の上の代数曲線

y ² = x ⁷ + a

^および

y ⁴ = x ⁷ + a

の有理点の勘定，中央大学 理工学研究科数学専攻２００６年度修士論文．

[10]

原優，有限体の上の代数曲線

y ² = x ¹¹ + a

および

y ⁴ = x ¹¹ + a

の有理点の勘定，中央大学理 工学研究科数学専攻２００７年度修士論文．

[11]

藤川晋，有限体の上の代数曲線

y ² = x ¹³ + a

^および

y ⁴ = x ¹³ + a

の有理点の勘定，中央大学 理工学研究科数学専攻２００７年度修士論文．

[12]

松本紀彦，有限体の上の代数曲線

y ² = x ¹⁷ + a

^および

y ⁴ = x ¹⁷ + a

の有理点の勘定，中央大 学理工学研究科数学専攻２００７年度修士論文．

4