有限体上の代数曲線 y 2 = x 13 + a および y 4 = x 13 + a の有理点の勘定 Counting points of the curves

(1)

有限体上の代数曲線 y ² = x ¹³ + a および y ⁴ = x ¹³ + a の有理点の勘定 Counting points of the curves

y ² = x ¹³ + a and y ⁴ = x ¹³ + a over a finite field

数学専攻藤川晋

Fujikawa Susumu

はじめに

Gauss

は

Disquistines Arithmeticae

の中で

Gauss

和の応用として，楕円曲線

y ² = x ¹³ + a

の

F _p

有理点の個数に関する美しい結果を示している．ここでは，

Danenport-Hasse

の結果を踏まえて，

y ² = x ¹³ + a, y ⁴ = x ¹³ + a

の

F _q

有理点の個数を表す二つの

Jacobi

和を決定した．

定理 1

p(6= 2, 13)

を素数とし，

p

を割り切る

K

の素元を

π

とする．

q = N π

とおき，

F _q

の乗法的指標

χ

，

η

をそれぞれ

α 7→

³ α π

´

13

，

α 7→

³ α π

´

2

によって定義する．また，

J(χ, η)

を

χ, η

に伴う

Jacobi

和をする．このとき，次が成り立つ．

(1) p ≡ 1 mod 13

のとき，

Π = X 12

i=1

a _i ζ ⁱ (a _i ∈ Z)

が唯一つ存在して

Π ≡ 1 mod 2, Tr _K/Q Π ≡ 12 mod 26, ΠΠ = p, (Π) = (πσ ₇ (π)σ ₈ (π)σ ₉ (π)σ ₁₀ (π)σ ₁₁ (π))

となる．さらに

J(χ, η) = −Π.

(2) p ≡ 12 mod 13

のとき

J(χ, η) = p.

(3) p ≡ 3, 9 mod 13

のとき，

A, B, C, D ∈ Z

が唯一組存在して

A ² + 13B ² + 13C ² + 13D ² = 16p, −AB + C ² − 3CD − D ² = 0, A ³ ≡ 1 mod 13, Ã

−A + B √ 13 + C

q

−13 − 2 √ 13 − D

q

−13 + 2 √ 13

!

= (πσ ₂ (π))

となる．

Π = 1 4

Ã

−A + B √ 13 + C

q

−13 − 2 √ 13 + D

q

−13 + 2 √ 13

!

とおけば，

J(χ, η) = −σ ₄ (Π)σ ₈ (Π) ² . (4) p ≡ 5, 8 mod 13

のとき

J(χ, η) = p ² . (5) p ≡ 4, 10 mod 13

のとき

J (χ, η) = p ³ . (6) p ≡ 2, 6, 7, 11 mod 13

のとき

J (χ, η) = p ⁶ .

定理 2

p(6= 2, 13)

を素数とし，

p

を割り切る

L

の素元を

p

とする．

q = Np

とおき，

F _q

の乗法的指標

χ

，

η

をそれぞれ

α 7→

³ α p

´

13

，

α 7→

³ α p

´

4

によって定義する．また，

J (χ, η)

を

χ, η

に伴う

Jacobi

和

1

(2)

をする．このとき，次が成り立つ．

(1) p ≡ 1 mod 52

なら，

Π = X 12 j=1

a _j ζ ^j (a _j ∈ Z[ √

−1])

Π ≡ 1 mod 1 + i, Tr _L/Q Π ≡ 24 mod 52, Tr _L/Q (iΠ ) ≡ 0 mod 52, Π Π ¯ = p, (Π) = pσ ₅ (p)σ ₇ (p)σ ₉ (p)σ ₂₁ (p)σ ₂₇ (p)σ ₂₉ (p)σ ₃₃ (p)σ ₃₅ (p)σ ₃₇ (p)σ ₄₁ (p)σ ₄₉ (p)

となる．さらに，

J (χ, η) = −Π

．

(2) p ≡ 27 mod 52

なら，

q = p ²

．

χ, η

の

F _p

への制限をそれぞれ

χ, ˜ ˜ η

で表わせば，

χ ˜

は

F _p

の位数

13

の乗法的指標で，

η ˜

は

F _p

の位数

2

の乗法的指標．さらに，

Π = −J( ˜ χ, η) ˜

とおけば，

J (χ, η) = −Πσ ₁₅ (Π)

．

(3) p ≡ 25 mod 52

なら，

Π = X 6 j=1

2a _j cos 2πj

13 (a _j ∈ Z[ √

−1])

Π ≡ 1 mod 1 + i, Tr _L/Q Π ≡ 24 mod 52, Tr _L/Q (iΠ) ≡ 0 mod 52, Π Π ¯ = p ² , (Π) = pσ ₅ (p)σ ₇ (p)σ ₉ (p)σ ₂₁ (p)σ ₂₇ (p)σ ₂₉ (p)σ ₃₃ (p)σ ₃₅ (p)σ ₃₇ (p)σ ₄₁ (p)σ ₄₉ (p)

J (χ, η) = −Π

．

(4) p ≡ 51 mod 52

なら，

J(χ, η) = p

．

(5) p ≡ 9, 29 mod 52

なら，

Π = a ₁ (ζ + ζ ³ + ζ ⁹ ) + a ₂ (ζ ² + ζ ⁶ + ζ ⁵ ) + a ₃ (ζ ⁴ + ζ ¹² + ζ ¹⁰ ) + a ₄ (ζ ⁸ + ζ ¹¹ + ζ ⁷ ) (a _j ∈ Z[ √

−1])

Π ≡ 1 mod 1 + i, Tr _L/Q Π ≡ 24 mod 52, Tr _L/Q (iΠ) ≡ 0 mod 52, Π Π ¯ = p ³ , (Π) = pσ ₅ (p)σ ₇ (p)σ ₉ (p)σ ₂₁ (p)σ ₂₇ (p)σ ₂₉ (p)σ ₃₃ (p)σ ₃₅ (p)σ ₃₇ (p)σ ₄₁ (p)σ ₄₉ (p)

J (χ, η) = −Π

．

(6) p ≡ 5, 21 mod 52

なら，

Π = 2a ₁

³ cos 2π

13 + cos 10π 13

´ + 2a ₂

³ cos 4π

13 + cos 6π 13

´ + 2a ₃

³ cos 8π

13 + cos 12π 13

´

(a _j ∈ Z[ √

−1])

Π ≡ 1 mod 1 + i, Tr _L/Q Π ≡ 24 mod 52, Tr _L/Q (iΠ) ≡ 0 mod 52, Π Π ¯ = p ⁴ , (Π) = pσ ₅ (p)σ ₇ (p)σ ₉ (p)σ ₂₁ (p)σ ₂₇ (p)σ ₂₉ (p)σ ₃₃ (p)σ ₃₅ (p)σ ₃₇ (p)σ ₄₁ (p)σ ₄₉ (p)

J (χ, η) = −Π

．

(7) p ≡ 31, 47 mod 52

なら，

Π = 2a ₁

³ cos 2π

13 + cos 10π 13

´ + 2a ₂

³ cos 4π

13 + cos 6π 13

´ + 2a ₃

³ cos 8π

13 + cos 12π 13

´

+ 2b ₁

³ cos 2π

13 − cos 10π 13

´ i + 2b ₂

³ cos 4π

13 − cos 6π 13

´ i + 2b ₃

³ cos 8π

13 − cos 12π 13

´ i

2

(3)

(a _j , b _j ∈ Z)

Π ≡ 1 mod 1 + i, Tr _L/Q Π ≡ 24 mod 52, Tr _L/Q (iΠ) ≡ 0 mod 52, Π Π ¯ = p ⁴ , (Π) = pσ ₅ (p)σ ₇ (p)σ ₉ (p)σ ₂₁ (p)σ ₂₇ (p)σ ₂₉ (p)σ ₃₃ (p)σ ₃₅ (p)σ ₃₇ (p)σ ₄₁ (p)σ ₄₉ (p)

J (χ, η) = −Π

．

(8) p ≡ 3, 35 mod 52

なら，

q = p ⁶

．

χ, η

の

F _p

³ への制限をそれぞれ

χ, ˜ ˜ η

で表わせば，

χ ˜

は

F _p

の位数

13

の乗法的指標で，

η ˜

は

F _p

の位数

2

の乗法的指標．さらに，

Π = −J( ˜ χ, η) ˜

とおけば，

J (χ, η) = −Πσ ₁₅ (Π)

．

(9) p ≡ 17, 49 mod 52

なら，

A, B, C, D ∈ Z

が存在して

A ² + B ² = p, C ² + 13D ² = p, C ≡ 5p ² mod 13, (π) = (A + B √

−1, C + D √

−13)

(A + B √

−1) ³ ≡ ±5p ³ , ±5p ³ √

−1 mod 13

が成立する．

Π = p(A + B √

−1) ³ (C − D √

−13)

とおけば，

(a) (A + B √

−1) ³ ≡ 5p ³ mod 13

なら，

J (χ, η) = Π

；

(b) (A + B √

−1) ³ ≡ −5p ³ mod 13

なら，

J (χ, η) = −Π

；

(c) (A + B √

−1) ³ ≡ 5p ³ √

−1 mod 13

なら，

J (χ, η) = −Π √

−1

；

(d) (A + B √

−1) ³ ≡ −5p ³ √

−1 mod 13

なら，

J (χ, η) = Π √

−1

．

(10) p ≡ 23, 43 mod 52

なら，

J(χ, η) = p ³

．

(11) p ≡ 33, 37, 45, 41 mod 52

なら，

A, B ∈ Z

が存在して

A ² + B ² = p, (A + B √

−1) = (π)

(A + B √

−1) ⁶ ≡ ±p ³ √

−1 mod 13

が成立する．

Π = p ³ (A + B √

−1) ⁶

とおけば，

(a) (A + B √

−1) ⁶ ≡ p ³ √

−1 mod 13

なら，

J(χ, η) = −Π √

−1

；

(b) (A + B √

−1) ⁶ ≡ −p ³ √

−1 mod 13

なら，

J (χ, η) = Π √

−1

．

(12) p ≡ 7, 11, 19, 15 mod 52

なら，

A, B ∈ Z

が存在して

A ² + 13B ² = p ² , p - A, A ≡ p mod 13, π|(A + B √

−13)

J (χ, η) = −p ⁵ (A − B √

−13)

．

定理

1(1)

の例

(p ≡ 1 mod 13

のときの

J (χ, η))

p = 53 : J (χ, η) = ζ + ζ ² + 3ζ ³ + 3ζ ⁴ − ζ ⁵ + 3ζ ⁶

−ζ ⁷ + 3ζ ⁸ + 3ζ ⁹ − ζ ¹⁰ − 3ζ ¹¹ + ζ ¹² , T r = −12 p = 79 : J (χ, η) = 3ζ + 3ζ ² − 3ζ ³ − ζ ⁴ − 3ζ ⁵ + 3ζ ⁶

+3ζ ⁷ + ζ ⁸ − ζ ⁹ + 5ζ ¹⁰ + ζ ¹¹ , T r = −12 p = 131 : J (χ, η) = 3ζ − ζ ² + ζ ³ − ζ ⁴ − ζ ⁵ + ζ ⁶

+3ζ ⁷ + ζ ⁸ + 5ζ ⁹ + 3ζ ¹⁰ + 5ζ ¹¹ − 7ζ ¹² , T r = −12

3

(4)

p = 313 : J (χ, η) = 7ζ − ζ ² − 13ζ ³ − ζ ⁴ − 9ζ ⁵ − 3ζ ⁶

−7ζ ⁷ − ζ ⁸ − ζ ⁹ − 5ζ ¹⁰ − ζ ¹¹ − 5ζ ¹² , T r = 40 p = 443 : J (χ, η) = −9ζ − 5ζ ² + 9ζ ³ + 9ζ ⁴ − 3ζ ⁵ + 11ζ ⁶

−3ζ ⁷ + 3ζ ⁸ − ζ ⁹ − ζ ¹⁰ + ζ ¹¹ + ζ ¹² , T r = −12

定理

1(3)

の例

(p ≡ 3, 9 mod 13

のときの

Π ₁ , Π )

p = 3 :

Π ₁ = 1 + √

13 + p

−13 + 2 √

13

，

Π ₁ Π ¯ ₁ = 27 = 3 ³ Π = 1

4 (−3 − √

13 − p

−13 − 2 √

13 + p

−13 + 2 √

13), Tr = −12

p = 29 :

Π ₁ = 144 + 3 √

13 + 4 p

−13 − 2 √

13 + 16 p

−13 + 2 √

13

，

Π ₁ Π ¯ ₁ = 29 ³ Π = 1

4 (−3 − 3 √

13 − p

−13 − 2 √

13 − 5 p

−13 + 2 √

13), Tr = −1728

文献

有限体上の代数曲線 y 2 = x 13 + a および y 4 = x 13 + a の有理点の勘定 Counting points of the curves