有限体上の代数曲線 y 3 = x 5 + a 及び y 3 = x 7 + a の有理点の個数の勘定 Counting points of the curves

(1)

有限体上の代数曲線 y ³ = x ⁵ + a 及び y ³ = x ⁷ + a の有理点の個数の勘定 Counting points of the curves

y ³ = x ⁵ + a and y ³ = x ⁷ + a over a ånite åeld

数学専攻　大野　達郎

Tatsuro OHNO

はじめに

論文は４節からなっている．第１節は導入部であり，

Jacobi

和の定義，巾剰余記号の定義，さらに，

ax ^m + by ⁿ = c

によって定義された代数曲線の合同ゼータ函数に関する

Davenport-Hasse

の定理，

Jacobi

^{和に関する}

Stickelberger

の定理について手短かに復習する．第２節では，定理１，２の証明に必要な補題をまとめる．例を除いて，記述の大部分は２００８年度安田賢祐

[14]

y ² = x ²³ + a, y ⁴ = x ²³ + a

に従った．第３節と第４節が本論である．第３節では代数曲線

y ³ = x ⁵ + a

に関連して

5

乗剰余記号と

3

乗剰余記号によって定義される

Jacobi

和を，第４節では代数曲線

y ³ = x ⁷ + a

^{に関連して}

7

^{乗剰余記号と}

3

乗剰余記号によって定義される

Jacobi

^和を取り扱う．

当研究室では，代数曲線

y ² = x ^l + a

^，

y ⁴ = x ^l + a

^{に関連する}

Jacobi

和について結果を集積して来た．今回は

y ³ = x ⁵ + a

，

y ³ = x ⁷ + a

に対する結果，および，より一般的な結果を付け加えることが出来た．本論文の主結果は下記の定理１と定理２であるが，前者は代数曲線

y ³ = x ⁵ + a

に，

後者は代数曲線

y ³ = x ⁷ + a

に関連している．

y ⁴ = x ^l + a

に関連する

Jacobi

和の決定では，

Gauss

の整数環における素数の分解が重要な役割を果たしていたが，

y ³ = x ^l + a

^{に関連する}

Jacobi

^和の決定では，

Eisenstein

の整数環における素数の分解が重要な役割を果たしている．

1 ^{重要な補題}

補題

1.1. n

^を整数

(> 2)

^，

ê = e ^2ôi=n

^，

K = Q (ê )

^とし，

p

^を

n

^と素な

K

^{の素イデアル，}

Z

^を

Gal(K= Q )

における分解群とする．

q = N p

とおき，

ü

を

ã 7! ê ã

p ë

n

によって定義される有限体

F ^q

の乗法的指標とする．このとき，

J(ü ⁱ ; ü ^j ) 2 K ^Z

．

補題

1.2. ã; å 2 O ^L

^とする．

(1) ã ë å ë 1 mod (1 Ä !); (2) (ã ) = (å ); (3) j ã j = j å j ; (4) Tr _L=Q ã ë Tr _L=Q å 6ë 0 mod 3l;

(5) Tr _L=

_Q

!ã ë Tr _L=

_Q

!å 6ë Tr _L=

_Q

ã mod 3l; (6) Tr _L=

_Q

! ² ã ë Tr _L=

_Q

! ² å 6ë Tr _L=

_Q

ã mod 3l:

ならば，

ã = å

^{が成り立つ．}

(

^{証明の方針}

) (1)(2)(3)

^から，

å = "ã

^，

" 2 fÜ ê ^j ; Ü !ê ^j ; Ü ! ² ê ^j ; j 0 î j î l Ä 1 g

^{が得られる．}

Tr _L=

_Q

"ã

^と

Tr _L=

_Q

ã

^{を比較して}

(4)(5)(6)

^{から結論を得る．}

補題

1.3. p

^を素数

( 6 = l)

^とし，

p

^を

L

^における

p

^{の素因子とする．}

q = N p

^とおき，

ü

^，

ë

^をそれぞれ

ã 7! ê ã

p ë

l

，

ã 7! ê ã p

ë

3

によって定義される

F ^q

の乗法的指標とする．このとき，

p

と互いに素な

K

の整数

a

に対して

(1) Tr L=

Q

J (ü; ë ) ë l + 2 mod 3l

1

(2)

(2) Tr _L=Q !J(ü; ë ) ë l Ä 1 mod 3l (3) Tr _L=

_Q

! ² J (ü; ë ) ë l Ä 1 mod 3l

が成り立つ．

(

^{証明の方針}

) å ³ = ã ^l + a

^を満たす

ã; å

^{に対して，群}

ñ _l Ç ñ ₃ = f (ê ⁱ ; ! ^j ) j 0 î i î l Ä 1; 0 î j î 2 g

による作用を考え，軌道の長さを求める．さらに，

Davenport-Hasse

の定理と併せて結論を得る

.

補題

1.4. p

^{を素数とする．}

(1) p ë 1; 4 mod 15

^なら，

A

^，

B 2 Z

^{が唯一組存在して}

A ² + 3B ² = 4p; B ë 0 mod 5; A > 0; B > 0

となる．

(2) p ë 7; 13 mod 21

なら，

A

，

B 2 Z

A ² + 3B ² = 4p; A ë 0 mod 5; A > 0; B > 0

となる．

(

^{証明の方針}

) p ë 1 mod 3

^なので，

ô ô ñ = p

^となる

ô 2 Z [!]

^{が存在する．ここで，}

Z [!]=(5) = F 5

²

= F ⁵ [ p

Ä 3]

において，

ô ñ = ô ⁵

であることに注意する．

補題

1.5. p

^{を素数とする}

.

(1) p ë 1 mod 21

^なら，

A

^，

B 2 Z

^{が存在して}

A ² + 3B ² = 4p; A + B p Ä 3

2 ë p mod 7

となる．

(2) p ë 13 mod 21

なら，

A

，

B 2 Z

^{が存在して}

A ² + 3B ² = 4p; A + B p

Ä 3

2 ë 3 p

Ä 3p mod 7

となる．

(3) p ë 4

，

16 mod 21

なら，

A

，

B 2 Z

^{が存在して}

A ² + 3B ² = 4p; A + B p

Ä 3

2 ë p ² mod 7

となる．

(4) p ë 10

^，

19 mod 21

^なら，

A

^，

B 2 Z

^{が存在して}

A ² + 3B ² = 4p; A + B p

Ä 3

2 ë 3 p

Ä 3p ² mod 7

となる．

(

証明の方針

) p ë 1 mod 3

なので，

ô ô ñ = p

となる

ô 2 Z [!]

が存在する．ここで，

Z [!]=(7)

が直積

F ⁷ Ç F ⁷

^{と同型なので，}

ô ⁶ = 1 mod 7

．以下，場合分けして考察する．

2

(3)

系

1.6. p

^{を素数とする．}

(1) p ë 1; 4; 16 mod 21

^なら

, A

^，

B 2 Z

A ² + 3B ² = 4p; B ë 0 mod 7; A > 0; B > 0

となる．

(2) p ë 10; 13; 19 mod 21

なら，

A

，

B 2 Z

A ² + 3B ² = 4p; A ë 0 mod 7; A > 0; B > 0

となる．

(

^{証明の方針}

) ô= A + B p Ä 3

2 (A

^，

B 2 Z )

^{と表して，補題}

1.5

^{を言い換えればよい．}

2 Jacobi ^{和について}

定理

1. l = 5

^とし，

p

^を素数

6 = 3; 5

^，

p

^を

L

^における

p

^{の素因子，}

Z

^を

p

^の

Gal(L= Q )

^{における分解} 群，

f

^を

Z

の位数とするとする．さらに

q = N p

^とおき，

ü

^，

ë

^{をそれぞれ}

ã 7! ê ã

p ë

5

，

ã 7! ê ã p

ë

3 F ^q

の乗法的指標とする．このとき，分解群

L ^Z

^の整数

Ö

^{が唯一つ存在して}

Ö ë 1 mod (1 Ä !); Tr _L=

_Q

Ö ë 8 mod 15; Tr _L=

_Q

!Ö ë Tr _L=

_Q

! ² Ö ë 11 mod 15;

Ö Ö = p ^f ; (Ö ) = põ 7 (p)õ 11 (p)õ 13 (p)

となる．さらに，

J (ü; ë ) = Ä Ö

．特に，

(1) p ë 4 mod 15

^なら，

A

^，

B

^，

C

^，

D 2 Z

^{が存在して}

A ² +3B ² = 4p; B ë 0 mod 5; C ² +15D ² = p; ê A + B p

Ä 3

2 ; C + D p Ä 15 ë

= p; AC ë 2 mod 15

J (ü; ë ) = Ä 1

2 (A + B p

Ä 3)(C Ä D p

Ä 15)

．

(2) p ë 14 mod 15

^なら，

J (ü; ë ) = p

^．

(3) p ë 7; 13 mod 15

^なら，

A

^，

B 2 Z

A ² + 3B ² = 4p; A ë 0 mod 5; ê A + B p Ä 3 2

ë = p

J (ü; ë ) = Ä p ê A + B p

Ä 3 2

ë 2

．

(4) p ë 2; 8 mod 15

なら，

A

，

B 2 Z

A ² + 3B ² = p ² ; pA ë 1 mod 15; (A + B p

Ä 15) = p ²

J (ü; ë ) = Ä p(A Ä B p

Ä 15)

^．

定理

2. l = 7

とし，

p

を素数

6 = 3; 7

，

p

^を

L

における

p

の素因子，

Z

を

p

^の

Gal(L= Q )

における分解群，

f

を

Z

の位数とするとする．さらに

q = Np

とおき，

ü

，

ë

をそれぞれ

ã 7! ê ã

p ë

7

，

ã 7! ê ã p

ë

3 F ^q

の乗法的指標とする．このとき，分解群

L ^Z

の整数

Ö

が唯一つ存在して

Ö ë 1 mod (1 Ä !); Tr L=

Q

Ö ë 12 mod 21; Tr L=

Q

!Ö ë Tr L=

Q

! ² Ö ë 15 mod 21;

3

(4)

Ö Ö = p ^f ; (Ö ) = põ 4 (p)õ 8 (p)õ 11 (p)õ 16 (p)õ 19 (p)

J (ü; ë ) = Ä Ö

^．特に，

(1) p ë 20 mod 21

なら，

J (ü; ë ) = p

が成り立つ．

(2) p ë 4; 16 mod 21

^なら，

A

^，

B

^，

C

^，

D 2 Z

^{が存在して}

A ² + 3B ² = 4p; A + B p

Ä 3

2 ë p ² mod 7; C ² + 7D ² = p; ê A + B p Ä 3

2 ; C + D p Ä 7 ë

= p

J (ü; ë ) = Ä 1

2 (A + B p

Ä 3)(C + D p Ä 7) ²

^．

(3) p ë 10; 19 mod 21

なら，

A

，

B 2 Z

^{が存在して}

A ² + 3B ² = 4p; A + B p Ä 3

2 ë 3 p

Ä 3p ² mod 7; ê A + B p Ä 3 2

ë = p

J (ü; ë ) = Ä p ² ê A + B p

Ä 3 2

ë 2

．

(4) p ë 5; 17 mod 21

^なら，

J(ü; ë ) = p ³

^．

(5) p ë 2; 11 mod 21

なら，

A

，

B 2 Z

^{が存在して}

A ² + 7B ² = p; (A + B p

Ä 7) = p

J (ü; ë ) = Ä p(A + B p

Ä 7) ⁴

^．

有限体上の代数曲線 y 3 = x 5 + a 及び y 3 = x 7 + a の有理点の個数の勘定 Counting points of the curves