中学校数学 第２学年 ５ 図形の性質と証明 [解答例]

中学校数学 第２学年

５ 図形の性質と証明 [解答例]

中学校

年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査①

平行四辺形になるための５つの条件を理解しておく必要がある。

平行四辺形になるための５つの条件は次の通り。

①２組の向かい合う辺がそれぞれ平行である。（定義）

②２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい。

③２組の向かい合う角がそれぞれ等しい。

④対角線がそれぞれの中点で交わる。

⑤１組の向かい合う辺が平行で等しい。

「ＡＢ∥ＤＣ ，ＡＢ＝ＤＣ」が表しているのは，１組の向かい合う辺が平行でその長さが等しいことを表 している。

答え オ Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

■全国学力・学習状況調査②

この証明は，どんな平行四辺形であっても同じように適用できる。

答え ウ

■全国学力・学習状況調査③

２つの三角形を抜き出して考えてみる。

①，②，③を図に表すと，合同条件が，２辺とその間の角がそれぞれ等しいことが分かる。

答え イ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ｂ Ｃ

Ｅ

■全国学力・学習状況調査④

１ ＡＤ，ＢＣの組と，ＡＢ，ＤＣの組の２通りの場合があります。

ＡＢ＝ＤＣ，ＡＢ∥ＤＣ 答え または，

ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ

２ 二等辺三角形の２つの底角は等しいことを記号で表す。この図形の場合はＡＢ＝ＡＣの二等辺三角 形だから，底角は∠Ｂと∠Ｃになる。

答え ∠Ｂ＝∠Ｃ または，

∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ など Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ａ

Ｂ Ｃ

■全国学力・学習状況調査⑤

図１でも図２でも，同じように証明することができ，証明の一般性は失われない。

答え ア

■全国学力・学習状況調査⑥

２辺が等しいことが分かっているので，あとは間の角が等しいか，または，残りの辺が等しいこと がいえればよい。

答え ∠Ｂ＝∠Ｅ （∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ）

または，

ＡＣ＝ＤＦ

■全国学力・学習状況調査⑦

どんな三角形でも内角の和は１８０°であることの証明になっているかが問われている問題である。

①は一般性が保たれており，どんな三角形でも内角の和は１８０°ということが証明できている。

しかし，②の場合は，与えられた図の場合では成り立っているが，その他の三角形の１つ１つを検証 しなければならないので，これは「どんな三角形でも内角の和は１８０°であることの証明」にはなっ ていない。

答え ウ

■全国学力・学習状況調査⑧

エ

【 ポ イ ン ト 】

直 角 に 対 す る 辺 を 斜 辺 と い っ た よ ね 。

① の ∠ Ｐ Ａ Ｏ ＝ ∠ Ｐ Ｂ Ｏ ＝９ ０ °か ら ２ つ の 三 角 形 は ， 直 角 三 角 形 に な る ね 。

③ の Ｏ Ｐ ＝ Ｏ Ｐ か ら

２ つ の 直 角 三 角 形 の 斜 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い ね 。

② の Ｐ Ａ ＝ Ｐ Ｂ か ら

２ つ の 直 角 三 角 形 の 斜 辺 で な い １ 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い ね 。 だ か ら ，

「 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の １ 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 」 の で ， エが 答 え に な る よ 。

∠ Ｐ Ａ Ｏ は ， Ｐ Ａ と Ｐ Ｏ の 間 の 角 に な っ て い な い の で ， イの 合 同 条 件 で は だ め だ よ 。

■全国学力・学習状況調査⑨

∠ Ｄ Ａ Ｂ ＝ ∠ Ｂ Ｃ Ｄ （ ∠ Ａ ＝ ∠ Ｃ ， ∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ ∠ Ｄ Ｃ Ｂ も 可 ）

∠ Ａ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ｃ Ｄ Ａ （ ∠ Ｂ ＝ ∠ Ｄ ， ∠ Ｃ Ｂ Ａ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｃ も 可 ）

【 ポ イ ン ト 】

向 か い あ う 角

四 角 形 が 平 行 四 辺 形 に な る た め の 条 件 は ， ５ つ あ っ た よ 。

① ２ 組 の 向 か い あ う 辺 が ， そ れ ぞ れ 平 行 で あ る と き

② ２ 組 の 向 か い あ う 辺 が ， そ れ ぞ れ 等 し い と き

③ ２ 組 の 向 か い あ う 角 が ， そ れ ぞ れ 等 し い と き

④ 対 角 線 が ， そ れ ぞ れ の 中 点 で 交 わ る と き

⑤ １ 組 の 向 か い あ う 辺 が ， 等 し く て 平 行 で あ る と き そ の 中 の １ つ だ ね 。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

■全国学力・学習状況調査⑩

ア

【 ポ イ ン ト 】

Ａ Ｃ ， Ａ Ｄ ， Ｂ Ｃ ， Ｂ Ｄ の 長 さ が す べ て 等 し け れ ば ， Ａ Ｃ ＝ Ａ Ｄ ， Ｂ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ が 必 ず 言 え る よ 。

「 Ａ Ｃ ＝ Ａ Ｄ ， Ｂ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ な ら ば ∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｂ で あ る 」 こ と に つ い て す で に図 １の と こ ろ で 証 明 し て い る の で ， 改 め て 証 明 し な く て い い よ 。

■全国学力・学習状況調査⑪ Ａ問題

ウ 【 ポ イ ン ト 】

証 明 の 記 述 内 容 を み て み る と ， ④ （ Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｄ ） で １ 辺 ，

② （ ∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｄ ） と ③ （ ∠ Ａ Ｄ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｃ ） で そ の 両 端 の 角 が ， そ れ ぞ れ 等 し い こ と が い え る の で ， 答 え は ，ウに な る よ 。

Ａ

Ｂ Ｄ Ｃ

Ａ

Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ

Ａ

③

②

④

■全国学力・学習状況調査⑫ Ａ問題

イ 【 ポ イ ン ト 】

長 さ の 異 な る ２ 種 類 の 棒 を ２ 本 ず つ 使 っ て ， 右 の 図 の よ う に 組 み 合 わ せ た 四 角 形 は ， ２ 組 の 向 か い 合 う 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 四 角 形 と 考 え る こ と が で き る よ ね 。

こ の 四 角 形 が い つ も 平 行 四 辺 形 に な る た め の 根 拠 と な る こ と が ら は ，イに な る よ 。

■全国学力・学習状況調査⑬ Ａ問題

ウ 【 ポ イ ン ト 】

① は ， 角 の 大 き さ を 文 字 を 使 っ て 一 般 的 に 表 し ， 図 形 の 性 質 な ど を 利 用 し て 証 明 を お こ な っ て い る の で ， ど ん な 三 角 形 で も 同 じ よ う に い え る こ と を 示 し て い る ね

② は ， 三 角 形 の ３ つ の 外 角 を 実 測 し て 説 明 を お こ な っ て い る の で ， 他 の 三 角 形 で 同 じ よ う に 実 測 し て 確 か め な け れ ば い け な い ね 。 で も 他 の 三 角 形 で 同 じ よ う に 実 測 し て 確 か め た と し て も ， 必 ず し も す べ て の 三 角 形 で 成 り 立 つ こ と を 証 明 し た こ と に は な ら な い ね 。

し た が っ て ， 答 え はウに な る よ 。