中学校数学 第２学年 ５ 図形の性質と証明 [解答例]

中学校数学 第２学年

５ 図形の性質と証明 [解答例]

中学校

年 組 号 氏名

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査①

(1) ②のＰＡ＝ＰＢは条件ではないので，証明の中で使うことはできない。

△ＰＡＭと△ＰＢＭにおいて，

仮定から，

ＡＭ＝ＢＭ

ＰＡ

＝ＰＢ

ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通）

①，②，③より，

３辺がそれぞれ等しいから，

△ＰＡＭ＝△ＰＢＭ

したがって，

ＰＡ＝ＰＢ

(2) 正しい証明は次のとおり。

△ＰＡＭと△ＰＢＭにおいて，

仮定から，

ＡＭ＝ＢＭ

線分ＡＢの垂直二等分線がℓだから，

1 ∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ＝９０°

1 ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通） ……③

①，②，③より，

２辺とその間の角がそれぞれ等しいから，

1

△ＰＡＭ≡△ＰＢＭ

したがって，

ＰＡ＝ＰＢ

■全国学力・学習状況調査②

(1) ＡＤ，ＢＣは三角形の１辺の長さであるから，アが導き出される。

答え ア

(2)

△ＡＯＤと△ＢＯＣで，

仮定から ＡＯ＝ＢＯ

ＯＤ＝ＯＣ

∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＣ

①，②，③より，

２辺とその間の角がそれぞれ等しいから，

△ＡＯＤ≡△ＢＯＣ

合同な図形において，対応する辺の長さは等しいから，

ＡＤ＝ＢＣ

(3) 辺についてはすべて分かっている。対応する角の大きさが等しいことを式に表しているのはウ である。

答え ウ

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査③

(1)

【証明】

△ＡＭＣと△ＢＭＤにおいて，

仮定より

ＡＭ＝ＢＭ

ＣＭ＝ＤＭ

∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＤ

①，②，③より，

２辺とその間の角がそれぞれ等しいので，

△ＡＭＣ≡△ＢＭＤ

合同な三角形の対応する角の大きさは等しいから，

∠ＭＡＣ＝∠ＭＢＤ

ＡＣ∥ＤＢ

(2) (1)の仮定や結論以外で分かることは，選択肢の中からは，∠ＭＣＡ＝∠ＭＤＢだけである。

答え ア

四角形ＡＤＢＣが平行四辺形ならばＡＣ∥ＤＢがいえる。

ＡＭ＝ＢＭ，ＣＭ＝ＤＭが分かっているので，四角形ＡＤＢＣ

よって，四角形ＡＤＢＣは平行四辺形である。

答え ①……平行四辺形

②……エ

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査④

(1) ∠ Ｂ Ａ Ｅ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｄ

【 ポ イ ン ト 】

証 明 の 中 で ， 角 が 等 し い こ と を 表 し て い る は ，

③ の ∠ Ｂ Ａ Ｅ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｄ だ け し か な い よ 。

(2) 解 答 例

△ Ａ Ｂ Ｅ と △ Ａ Ｃ Ｄ に お い て ，

【 ポ イ ン ト 】

仮 定 か ら ， 問 題 １ の 証 明 の 仮 定 ① ， ② は ，

Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ … … ① 問 題 ２ の 証 明 で も ， そ の ま ま 仮 定 Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｄ … … ② と し て 使 う こ と が で き る よ 。 対 頂 角 は 等 し い の で ， 問 題 の 条 件 が 変 わ っ た と き に ，

∠ Ｂ Ａ Ｅ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｄ … … ③ も と の 証 明 と 何 が 変 わ り 何 が 変 わ

① ， ② ， ③ よ り ， ら な い の か 確 認 す る 必 要 が あ る ね 。

２ 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い か ら ，

△ Ａ Ｂ Ｅ ≡ △ Ａ Ｃ Ｄ

合 同 な 図 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い か ら ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ

■全国学力・学習状況調査⑤

長 方 形

【 ポ イ ン ト 】

四 角 形 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ は 対 角 線 Ａ Ｂ と Ｃ Ｄ の 長 さ が 等 し く ， そ れ ぞ れ の 真 ん 中 （ 中 点 ） で 交 わ る の で ， 平 行 四 辺 形 で は な く 長 方 形 に な る よ 。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査⑥

解 答 例

２ 組 の 向 か い 合 う 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 四 角 形 は ， 平 行 四 辺 形 で あ る 。

【 ポ イ ン ト 】

２ 本 の ア ー ム の 取 り 付 け る 方 法 を 示 し た 文 を 見 て み る と ，

◇ ^１

Ｅ Ｆ ＝ Ｈ Ｇ

と な る こ と が 分 か る ね 。

◇ ^３

こ の 説 明 よ り ， Ｆ Ｇ ＝ Ｅ Ｈ

と な る こ と が 分 か る ね 。

だ か ら ， 四 角 形 Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ の ２ 組 の 向 か い 合 う 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い こ と が 言 え る の で ， 平 行 四 辺 形 に な る よ 。

■ 全国学力・学習状況調査⑦ Ｂ問題

(1) Ｄ Ｅ

【 ポ イ ン ト 】

△ Ａ Ｂ Ｃ と △ Ｄ Ｅ Ｃ は 合 同 な 図 形 な の で ， 線 分 Ａ Ｂ に 対 応 す る 線 分 は 線 分 Ｄ Ｅ に な る よ 。

し た が っ て ， 答 え は Ｄ Ｅ に な る ね 。

(2) 例 ： １ 辺 と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い ２ つ の 三 角 形 は ， 合 同 で あ る 。

【 ポ イ ン ト 】

・ タ レ ス の 方 法 の ③ か ら Ａ Ｃ ＝ Ｄ Ｃ

・ タ レ ス の 方 法 の ② ， ④ か ら

∠ Ｂ Ａ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｄ Ｃ ＝

９ ０ °

・ 対 頂 角 の 性 質 か ら

∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ｄ Ｃ Ｅ 以 上 の こ と か ら ，

△ Ａ Ｃ Ｂ と △ Ｄ Ｃ Ｅ に つ い て ， 三 角 形 の 合 同 条 件 の

「 １ 辺 と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 」 こ と が い え る の で ， △ Ａ Ｃ Ｂ と △ Ｄ Ｃ Ｅ は 合 同 に な る ね 。

(3) イ

【 ポ イ ン ト 】

１ 辺 と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 三 角 形 は 合 同 に な る の で ，

∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ の 角 の 大 き さ が 等 し け れ ば 合 同 に な る よ 。 だ か ら ， ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ が

９ ０ °

し た が っ て ， 答 え はイに な る ね 。

Ｂ

Ａ Ｃ

Ｄ

Ｅ

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名

■ 全国学力・学習状況調査⑧ Ｂ問題

(1) ア

【 ポ イ ン ト 】

点 Ｄ は ， ∠ Ａ Ｂ Ｃ の 二 等 分 線 と ∠ Ａ Ｃ Ｂ の 二 等 分 線 の 交 点 だ か ら ，

∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｂ Ｄ に な る よ 。

線 分 Ｂ Ｄ が ∠ Ａ Ｂ Ｃ の 二 等 分 線 に な っ て い る こ と を 示 し て い る よ 。 し た が っ て ， 答 え はアに な る ね 。

(2) 例 ： 仮 定 か ら ， ∠ Ｄ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ｆ Ｃ Ｄ … … ① Ｄ Ｆ ∥ Ｂ Ｃ で ， 平 行 線 の 錯 角 は 等 し い か ら ，

∠ Ｄ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ｆ Ｄ Ｃ … … ②

① ， ② よ り ， ∠ Ｆ Ｃ Ｄ ＝ ∠ Ｆ Ｄ Ｃ

２ つ の 角 が 等 し い か ら ， △ Ｆ Ｃ Ｄ は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。

【 ポ イ ン ト 】

仮 定 か ら ， ∠ Ｄ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ｆ Ｃ Ｄ

Ｄ Ｆ ∥ Ｂ Ｃ で ， 平 行 線 の 錯 角 は 等 し い か ら ，

∠ Ｄ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ｆ Ｄ Ｃ

証 明 す る と き は ， の 部 分 よ う に 根 拠 を 記 述 す る 必 要 が あ る ね 。

(3) エ

【 ポ イ ン ト 】

△ Ａ Ｅ Ｆ の 周 の 長 さ は ，

△ Ａ Ｅ Ｆ の 周 の 長 さ ＝ Ａ Ｅ ＋ Ｅ Ｆ ＋ Ａ Ｆ

＝ Ａ Ｅ ＋ Ｅ Ｄ ＋ Ｄ Ｆ ＋ Ａ Ｆ で 求 め る こ と が で き る ね 。

△ Ｅ Ｂ Ｆ と △ Ｆ Ｃ Ｄ が 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と か ら 証 明 し た Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ よ り ，

Ａ Ｅ ＋ Ｅ Ｄ ＋ Ｄ Ｆ ＋ Ａ Ｆ ＝ Ａ Ｅ ＋ Ｅ Ｂ ＋ Ｆ Ｃ ＋ Ａ Ｆ

＝ Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｃ

△ Ａ Ｅ Ｆ の 周 の 長 さ は ， Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｃ の 長 さ に 等 し く な る ね 。 し た が っ て ， 答 え はエに な る ね 。