解答５ 宿題 microomaba

2009^年度

ミクロ経済学 宿題 ₅₍ 解答 ₎

問題1 (a)

6^{つ存在します。}

(b)

σi ∈ {S, C}^で第i∈ {1, 2, · · · , 6}期にとられる戦略を表わすことにする。また₁と₂の戦略の組をあわせ て_{((σ1, σ3, σ5), (σ2, σ4, σ6))}のように表記する。第６期をみると₂にとって_Sが最適、それをふまえて第５期 をみると₁にとって_Sが最適、、というステップで確認していくとサブゲーム完全均衡は((S, S, S), (S, S, S)) とわかる。

(c)

まず、第₂期以降までゲームが実際に続くケースはナッシュ均衡にはならないことを確認する。もしそのよ うな状況を考えると、どこかの_i∈ {2, · · · , 6}^についてσi = S^かつσ1= · · · = σi−1= C^{となっているはず} である。しかし第_{i− 1}期に意思決定する人は_{σi−1= S}とすることで利得を₁改善できるので、これはナッ シュ均衡ではない。よって、均衡には_{σ1= S}が必要である。

次に、_{σ2= S}であることを確認する。なぜなら、もし_{σ2= C}であれば、₁は_{σ1= S}よりも_{σ1= C}を選 択することが必ず望ましくなる。しかし、これは前段落の主張と矛盾してしまう。

上 の 二 つ が 満 た さ れ て い れ ば 、得 ら れ る 利 得 の 組 み 合 わ せ は_{(1, 0)}と な る 。ナ ッ シ ュ 均 衡 の 集 合 は そ の 二 つ を 満 た す す べ て_{{((S, σ3, σ5), (S, σ4, σ6))|σi} ∈ {S, C}, i ∈ {3, 4, 5, 6}}で あ る 。な ぜ な ら 、ほ か の i∈ {3, 4, 5, 6}^に関してσi^はS, C どちらであっても、彼らの得る利得は_{(1, 0)}から変わらないので、どの選 択でも最適となっている。

問題² (a)

x <1^の場合はb^{の最適反応は受諾、}x= 1^{の場合では}bの最適反応は受諾もしくは拒否である。_bが受諾

するということを前提に、一番高い_xを提示することが_aにとって最適である。彼らの戦略の組を_(xの提示 額_,提示額に対してどうするか₎といった具合に書くと、サブゲーム完全均衡は_(1,必ず受諾₎となる。

(b)

bが分割を提示するサブゲームに着目する。これは_(a)で考えたゲームとプレイヤーが入れ替わった以外 は 同 じ 構 造 を し て い る 。よ っ て 、こ の サ ブ ゲ ー ム で 提 示 さ れ る 分 割 は_{(0, 1)}、つ ま り_{y = 0}で あ る 。そ の と き 、得 ら れ る 利 得 の 組 み 合 わ せ は_{(0, δ)}と な る 。こ の 事 実 を 前 提 に し て 、分 割_{(x, 1 − x)}に 対 す る_bの 最 適 反 応 を 考 え る 。そ れ は1 − x < δの 場 合 に 拒 否 、_{1 − x = δ}の 場 合 に 受 諾 ま た は 拒 否 、1 − x > δ^の

†質問や間違いがありましたら、micro09komaba(at)gmail.com までご連絡ください。

場合には受諾となる。この事実を前提にして、_aにとって最適な_xを考える。それは、_bが受諾するという 条 件 下 で 一 番 高 い_{x= 1 − δ}を 選 択 す る こ と で あ る 。な ぜ な ら_bが 拒 否 し て し ま う よ う な 提 示 で あ れ ば 次 の サ ブ ゲ ー ム の 結 果 よ り_aの 利 得 は₀と な っ て し ま う 。彼 ら の 戦 略 の 組 を _((xの 提 示 額_,提 示 額_yに 対 し てどうするか_),(提示額_xに対してどうするか_,yの提示額₎₎といった具合に書くと、サブゲーム完全均衡は ((1 − δ,^必ず受諾), (1 − x ≥ δなら受諾、そうでなければ拒否_,0))となる。

問題3

提示された賃金_{(w1, w2)}をみて労働者が応募する段階のサブゲームは以下のような利得行列で表わされる。

i\j 1 2

1 ¹₂w1,¹₂w1 w1, w2

2 w2, w1 ¹₂w2,¹₂w2

i, j^が企業1に応募する確率をそれぞれ_{pi, pj}と書き、_{w1, w2}の大小関係に関して場合分けして考える。 case(i): w1= w2= 0の場合、労働者にとってどれも無差別であり、すべての_{(pi, pj)}の組み合わせがサブ ゲームにおいて均衡となっている。

case(ii): w1>2w2^もしくはw1> w2= 0の場合、どちらの労働者も企業₁に応募することが支配戦略と なるため、_{(1, 1)}がサブゲームにおける均衡。同様に、_w2>2w1もしくは_{w2> w1= 0}の場合には企業₂に 応募することが支配戦略となり、_{(0, 0)}となる。

case(iii): 2w2≥ w1≥ ¹₂w2>0の場合、このサブゲームについて均衡が３つ存在することをみる。¹純粋戦 略の範囲では_{(1, 0)}と_{(0, 1)}とがある。もうひとつの混合戦略均衡を求める。_iがそれぞれ企業₁と企業₂に 応募することによる期待利得は_p2¹

2^{w1+ (1 − p2)w1とp2w2+ (1 − p2)} 1

2^{w2である。iが混合戦略をとるとい}

うことはこの両者の期待利得が無差別である必要があった。よって_p2=^2w1−w2

w₁+w₂^。jの意思決定に関しても同 様である。よって_{p1= p2=}^2w1−w2

w₁+w₂ ^{という確率でそれぞれ1に応募する。}

次に企業側の意思決定を考える。まず、賃金を_yより高く提示することは彼の期待利得がマイナスであるた め、均衡にならないことがわかる。その点に留意して、場合分けを行って彼らの戦略の組_{(w1, w2)}について 考える。

case (i):w1= w2= 0^の場合。

• ^{次のサブゲームで}(1, 0)^もしくは(0, 1)^{がとられる場合。}

両企業の利得はともに_y。ここでどちらかの企業が_w^′へと賃金引き上げを行うと_case(ii)のサブゲー ムにうつるが、引き上げた企業の利得は_{y− w}^′となる。よってそのようなインセンティブはないため、 この_{(w1, w2)}は均衡戦略である。

• ^{次のサブゲームで}(1, 0)^や(0, 1)ではない戦略の組になる場合。

このとき、必ずどちらかの企業は労働者を雇用できない可能性があるので、その企業の期待利得は厳密 に_yより小さくなっている。その企業は_ǫ賃金を引き上げることで_case(ii)のサブゲームにうつり、彼 の利得を_{y− ǫ}とすることができる。_ǫはいくら小さくても良いので、必ず利得の改善ができる。よっ てこの_{(w1, w2)}は均衡戦略とはならない。

1

コーディネーションゲームと呼ばれるゲームのクラスに属していることになる。

case(ii): w1>2w2or w1> w2= 0 or w2>2w1 or w2> w1= 0^の場合。

このとき、賃金が低いほうの企業は労働者を雇用できないので期待利得はゼロである。その企業は賃金を十 分引き上げることで_{case (iii)}のサブゲームへうつることができる。そこではサブゲームで純粋戦略均衡_/混合 戦略均衡どちらがとられたとしても、労働者を正の確率で雇用できるので期待利得は正である。よって利得を 改善できるので、この_{(w1, w2)}は均衡戦略とはならない。

case(iii): 2w2≥ w1≥ ¹₂w2>0の場合。上でみたように労働者のサブゲームで均衡は複数あった。よって それぞれについて考える。

• 次のサブゲームで純粋戦略均衡_{(1, 0)}もしくは_{(0, 1)}がとられる場合。

両 企 業 の 利 得 は そ れ ぞ れ_{y− w1,y − w2}で あ る 。こ こ で 企 業₁が 賃 金 を_w^′₁に 変 更 し た 場 合 に 利 得 を改善できるかどうかインセンティブをチェックする。₍企業₂についても同様にチェックできる。₎ w2>0^なのでcase(i)^{にうつることはない。}

– case(ii)のサブゲームにうつる場合。

ここで_{w2 >2w}^′_{1 or w2> w1}^′ _{= 0}となるように_w1^′ を設定した時、彼の期待利得はゼロになり下 がってしまう。一方_w1^′ _>2w2 と賃金を引き上げた時、彼の期待利得は_{y− w}^′₁と下がってしまう。 よって賃金変更のインセンティブはない。

– case(iii)の中での別のサブゲームにうつり、そこで純粋戦略均衡がとられる場合。

彼の期待利得は_{y− w1}^′ となる。ここで_w^′_{1< w1}の場合、利得が改善できるので賃金を変更するイ ンセンティブを持つ。よって、_w^′_{1< w1}を満たすような_(w1^′_{, w2)}に続くサブゲームで純粋戦略均 衡がとられているのであれば、この_{(w1, w2)}は均衡戦略にならない。

– case(iii)の中での別のサブゲームにうつり、そこで混合戦略均衡がとられる場合。

このサブゲームで「少なくともどちらかの労働者が応募してくる確率」に_{y− w}^′₁をかけたものが 彼の期待利得となる。つまり

3w₂(y−w₁^′)(2w₁^′−w2⁾

(w₁^′+w₂)^{2 。よって}

3w₂(y−w^′₁)(2w^′₁−w2⁾

(w^′₁+w₂)^{2 > y− w1を満たす}

ような_(w1^′_{, w2)}に続くサブゲームで混合戦略均衡がとられる場合には、利得改善できるのでこの (w1, w2)は均衡戦略にならない。

• 次のサブゲームで混合戦略均衡₍

2w₁−w₂ w₁+w₂^,

2w₁−w₂

w₁+w₂ ^{)がとられる場合。}

両企業の利得はそれぞれ

3w₂(y−w₁)(2w₁−w2⁾

(w₁+w₂)^{2 ,}

3w₁(y−w₂)(2w₂−w1⁾

(w₁+w₂)^{2 である。ここで企業1が賃金をw}

′1^に

変更した場合に利得を改善できるかどうかインセンティブをチェックする。₍企業₂についても同様に チェックできる。₎

– case(ii)のサブゲームにうつる場合。

ここで_{w2 >2w1}^′ _{or w2 > w}^′_{1= 0}のように賃金を引き下げた時、彼の期待利得はゼロになり下 がってしまう。一方_w^′_{1 >2w2} と賃金を引き上げた時、彼の期待利得は_{y− w1}^′ となる。よって y− w₁^′ > ^3w2(y−w_(w ^1)(2w1−w2)

1^+w2^{)2 を満たすw}

′1^{∈ (2w2, y)が存在する場合、この(w1, w2)は均衡戦略}

にならない。

– case(iii)の中での別のサブゲームにうつり、そこで純粋戦略均衡がとられる場合。

彼の期待利得は_{y− w1}^′ となる。よって_{y− w1}^′ _>

3w₂(y−w₁)(2w₁−w₂)

(w₁+w₂)^{2 を満たすような(w′1, w2)に}

続くサブゲームで純粋戦略均衡がとられる場合、利得を改善できるので、この_{(w1, w2)}は均衡戦 略にならない。

– case(iii)の中での別のサブゲームにうつり、そこで混合戦略均衡がとられる場合。

彼の期待利得は

3w₂(y−w^′₁)(2w^′₁−w₂)

(w^′₁+w₂)^{2 となる。つまり}

3w₂(y−w₁)(2w₁−w₂) (w₁+w₂)^{2 <}

3w₂(y−w^′₁)(2w₁^′−w₂) (w^′₁+w₂)^{2 を満}

たすような_(w^′_{1, w2)}に続くサブゲームで混合戦略均衡がとられる場合、この_{(w1, w2)}は均衡戦略 にならない。

以 上 を 踏 ま え て 、サ ブ ゲ ー ム 完 全 均 衡 の 集 合 を 書 き だ す 。プ レ イ ヤ ー た ち の 戦 略 の 組 み 合 わ せ を (w1, w2, σi, σj) と 書 く 。こ こ で _{σi, σj} は 提 示 さ れ る 賃 金 の 全 て の 組 み 合 わ せ に 対 し て 企 業 ₁ に 応 募 す る 確 率 を 割 り 当 て る 関 数 で あ る 。²ま ず _case(ii)の サ ブ ゲ ー ム で 確 認 し た よ う に 、労 働 者 _i の 戦 略 は σi(w1, w2) = 1, if w1 > 2w2 or w1 > w2 = 0 ^{か つ}σi(w1, w2) = 0, if w2 > 2w1 or w2 > w1 = 0 を 満 た し て い る 必 要 が あ る 。_j も 同 様 で あ る 。ま た _{case (iii)} の サ ブ ゲ ー ム で 確 認 し た よ う に 、 (σi(w1, w2), σj(w1, w2)) ∈ {(1, 0), (0, 1), (^2w_w^1−w2

1^+w2 ^,

2w₁−w₂

w₁+w₂^{)} if 2w2 ≥ w1 ≥} 1

2^w2 も 満 た し て い な く てはならない。これらを満たしている_{(σi, σj)}のすべての集合を_Σ^∗と書いておく。

case (i)のサブゲームに到達する場合における均衡の集合は

{(0, 0, σi, σj) ∈ {0}²× Σ^∗|(0, 0, σi(0, 0), σj(0, 0)) = (0, 0, 0, 1)or(0, 0, 1, 0)}

と書ける。

case (iii)のサブゲームに到達する場合を考える。

まず、そのサブゲームにおいて労働者達が純粋戦略均衡をとる場合をみる。_{(w1, w2, σi, σj)}がサブゲーム 完 全 均 衡 に な る に は 、す べ て の_w^′_{1 ∈ [}¹

2^{w2, w1)に 対 し て(σi(w1′, w2), σj(w′1, w2})) 6∈ {(0, 1), (1, 0)}^{か つ 、} すべての_w^′_{2 ∈ [}¹

2^{w1, w2)に対して(σi(w1, w}

′2^{), σ}j(w1, w₂^′)) 6∈ {(0, 1), (1, 0)}が成り立つ必要があった。さ らに

3w₂(y−w^′₁)(2w₁^′−w₂) (w^′

1^{+w2)2 > y− w1}

を満たすすべての_w1^′ _{∈ [}¹

2^{w2,2w2]について(σi(w}1^{′, w}2), σj(w^′₁, w2)) 6= (^2w_w^1−w2

1^+w2 ^,

2w₁−w₂

w₁+w₂ ^{)、そ し て}

3w₁(y−w^′₂)(2w^′₂−w₁)

(w₁+w^′₂)^{2 > y − w2} を 満 た す す べ て の_w^′_{2 ∈ [}¹

2^{w1,2w1] に つ い て}

(σi(w1, w^′₂), σj(w1, w₂^′)) 6= (^2w_w^1−w2

1^+w2 ^,

2w₁−w₂

w₁+w₂⁾が成り立つ必要がある。これらを満たす_{(w1, w2, σi, σj)}のす べての集合を_Πpと書く。するとサブゲーム完全均衡の集合は

Πp∩ ((0, y]²× Σ^∗)

と書ける。

次に、到達するサブゲームにおいて混合戦略均衡となっている場合をみる。_{(w1, w2, σi, σj)}がサブゲーム完 全均衡になるには、

3w₂(y−w₁)(2w₁−w₂)

(w₁+w₂)^{2 < y− w1′ を満たすw1′ ∈ (2w2, y)や、}

3w₁(y−w₂)(2w₂−w₁)

(w₁+w₂)^{2 < y− w2′}

を 満 た す_w^′_{2 ∈ (2w1, y)} が 存 在 し て は い け な い 。ま た

3w₂(y−w₁)(2w₁−w₂)

(w₁+w₂)^{2 < y− w′}1 を 満 た す す べ て の w^′₁ ∈ [¹₂w2,2w2]^について(σi(w₁^′, w2), σj(w^′₁, w2)) 6∈ {(0, 1), (1, 0)}^{、そして 3w1(y−w}_(w ^2)(2w2−w1)

1^+w2^{)2 < y− w}

2′

を 満 た す す べ て の _w2^′ _{∈ [}¹

2^{w1,2w1]に つ い て(σi(w1, w}2^{′), σj(w1, w′}2)) 6∈ {(0, 1), (1, 0)}が 成 り 立 つ 必 要 が あ る 。さ ら に

3w₂(y−w₁)(2w₁−w₂) (w₁+w₂)^{2 <}

3w₂(y−w^′₁)(2w^′₁−w₂)

(w^′₁+w₂)² を 満 た す す べ て の _w^′_{1 ∈ [}¹

2^{w2,2w2] に つ い て}

(σi(w^′₁, w₂), σj(w₁^′, w₂)) 6= (^2w_w^1−w2

1^+w2^,

2w₁−w₂

w₁+w₂ ^{)、そして}

3w₁(y−w₂)(2w₂−w1⁾

(w₁+w₂)^{2 <}

3w₁(y−w^′₂)(2w^′₂−w₁) (w₁+w^′

2⁾²

を満たすす べての_w^′_{2 ∈ [}¹

2^{w1,2w1]について(σi(w1, w}2^{′), σj(w1, w′}2^{)) 6= (2w}w₁¹+w^−w₂^2, 2w₁−w2

w₁+w₂ ⁾が成り立つ必要がある。こ れらを満たす_{(w1, w2, σi, σj)}のすべての集合を_Πmと書く。するとサブゲーム完全均衡の集合は

Πm∩ ((0, y]²× Σ^∗)

と書ける。

2

それぞれ定義域はR+^×R+^で値域は[0, 1]^{である。ここで}R+^は0以上の実数をさすとする。

[comment]

問題₃は答えが煩雑になってしまいましたが、このような問題はテストには出ないと思いますので、考え 方の流れだけおおまかに理解していただければ十分です。煩雑さの一つの要因は_case(iii)のサブゲーム₍コー ディネーションゲーム₎で均衡が複数ある点です。このように均衡が複数あるという₍非決定₎問題は経済学_/ ゲーム理論的に重要なトピックです。例えば解決策としてはコミュニケーションや進化を用いたものがあり、 興味がある方は先生の『慣習と規範の経済学』₉章_,11章に当たってみてください。また、ここでは求人と応 募の人数比が等しいのですが、混合戦略均衡上では失業が正の確率で起きることになっています。労働経済学 の一部ではこのようなロジックが使われることもあります。