中学校数学 第２学年
５ 図形の性質と証明 [問題]
中学校
年 組 号 氏名
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査①
下の図のように，線分ＡＢの垂直二等分線 ℓ をひいて，線分ＡＢとの交点をＭとします。また，直線
3ℓ 上に点Ｐをとります。【H19】
このとき，ＰＡ＝ＰＢとなることを，下のように証明しましたが，この証明にはまちがいがあります。
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。
(1) 前の証明のまちがいは，下に示した の中にあります。まちがっている部分を，
解答用紙 の中に下線（ ）をひいて示しなさい。
(2) 上の証明の の中を正しく書き直しなさい。
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査②
拓也さんは，次の問題を考えています。【H20】
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
拓也さんは，証明の方針を下のようなメモにまとめました。
次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。
(1) 拓 也 さ ん の メ モ の にあるように，ＡＤ＝ＢＣを証明するために，△ＡＯＤと△ＢＯＣの合 同を示せばよいのは，合同な図形のどのような性質からですか｡下のアからエの中から１つ選びな さい。
ア 合同な図形の対応する辺の長さは等しい。
イ 合同な図形の対応する角の大きさは等しい。
ウ 合同な図形の周の長さは等しい。
エ 合同な図形の面積は等しい。
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
(2) 前ページの問題で，ＡＤ＝ＢＣとなることを証明しなさい。
(3) 拓也さんは，ＡＤ＝ＢＣを，△ＡＯＤ≡△ＢＯＣをもとにして証明しました。
△ＡＯＤ≡△ＢＯＣをもとにすると，前ページの問題の図形について，ＡＤ＝ＢＣ以外に新しいこと が分かります。それを下のアからエの中から１つ選びなさい。
ア ＯＣ＝ＯＤ イ ＯＣ＝ＢＤ
ウ ∠ＯＡＤ＝∠ＯＢＣ エ ∠ＯＡＤ＝∠ＢＯＣ
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査③
大貴さんは，次の問題を考えています。【H21】
次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。
(1) 大貴さんは，次のような証明の方針１を考えました。この証明の方針１にもとづいて，
ＡＣ∥ＤＢとなることの証明を完成しなさい。
証明の方針１
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
(2) 大貴さんは，△ＡＭＣ≡△ＢＭＤをもとにしてＡＣ∥ＤＢを証明しました。
△ＡＭＣ≡△ＢＭＤをもとにすると，前ページの問題の図形について，∠ＭＡＣ＝∠ＭＢＤや問題の 仮定以外にも分かることがあります。それを下のアからエの中から１つ選びなさい。
ア ∠ＭＣＡ＝∠ＭＤＢ イ ∠ＭＡＣ＝∠ＭＤＢ ウ ＡＭ＝ＢＭ
エ ＡＭ＝ＤＭ
(3) 右の図のように，線分ＡＤ，線分ＣＢを ひいて四角形ＡＤＢＣをつくると， 次の 証明の方針２を考えることもできます。
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
証明の方針２
証明の方針２の（ ① ）に当てはまる言葉を書きなさい。また， ② に当てはまるこ とがらを，下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア 対角線が垂直に交わる イ 対角線の長さが等しい ウ 対角線が平行である
エ 対角線がそれぞれの中点で交わる
オ 対角線が垂直に交わり，その長さが等しい
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
第２学年 ５ 図形の性質と証明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査④
次 の 問 題 １ は ， 下 の よ う に 証 明 で き ま す 。
問 題 １
図 １ の よ う に ， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ の 二 等 辺 三 角 形 Ａ Ｂ Ｃ 図 １ の 辺 Ａ Ｂ ， 辺 Ａ Ｃ 上 に Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ と な る 点 Ｄ ， 点 Ｅ を
そ れ ぞ れ と り ま す 。
こ の と き ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ と な る こ と を 証 明 し な さ い 。
問 題 １ の 証 明
△ Ａ Ｂ Ｅ と △ Ａ Ｃ Ｄ に お い て ， 仮 定 か ら ，
Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ … … ① Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｄ … … ② 共 通 な 角 だ か ら ，
∠ Ｂ Ａ Ｅ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｄ … … ③
① ， ② ， ③ よ り ，
２ 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い か ら ，
△ Ａ Ｂ Ｅ ≡ △ Ａ Ｃ Ｄ
合 同 な 図 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い か ら ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ
次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。【 H22】
(1) 問 題 １ の 証 明 で は ，「 ２ 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。」 と い う 三 角 形 の 合 同 条 件 が 用 い ら れ て い ま す 。 こ の 合 同 条 件 を 用 い る と き ， △ Ａ Ｂ Ｅ と △ Ａ Ｃ Ｄ の 対 応 す る ２ 辺 の 間 の 角 が 等 し い こ と を 表 し て い る の は ， 上 の 証 明 の ど の 部 分 で す か 。 そ の 部 分 を 書 き な さ い 。
【 解 答 】
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ Ｅ
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ Ｅ
第２学年 ５ 図形の性質と証明
(2) 問 題 １ の 一 部 を 変 え る と ， 次 の 問 題 ２ を つ く る こ と が で き ま す 。
問 題 ２
図 ２ の よ う に ， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ の 二 等 辺 三 角 形 Ａ Ｂ Ｃ 図 ２ の 辺 Ｂ Ａ ， 辺 Ｃ Ａ を 延 長 し た 直 線 上 に Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ と な
る 点 Ｄ ， 点 Ｅ を そ れ ぞ れ と り ま す 。
こ の と き ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ と な る こ と を 証 明 し な さ い 。
問 題 ２ で も Ａ Ｂ Ｅ と Ａ Ｃ Ｄ に 着 目 す る と ，問 題 １ と 同 じ よ う に ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ と な る こ と を 証 明 で き ま す 。
問 題 １ の 証 明を 参 考 に し て ， 問 題 ２ の 証 明を 完 成 し な さ い 。
問 題 ２ の 証 明
△ Ａ Ｂ Ｅ と △ Ａ Ｃ Ｄ に お い て ，
合 同 な 図 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い か ら ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ
※ 解 答 は ， の 中 に そ の ま ま 記 入 し な さ い 。
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｅ Ｄ
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｅ Ｄ
第２学年 ５ 図形の性質と証明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑤
身 の 回 り に は ， も の を 安 定 し て 置 く た め に 水 平 な 面 を つ く る 工 夫 が い ろ い ろ 見 ら れ ま す 。 次 の 問 い に 答 え な さ い 。【 H22】
図 １ の よ う な 天 板 と 台 座 を 組 み 立 て て 使 う 机 が あ り ま す 。図 ２ は こ の 机 を 真 横 か ら 見 た も の で す 。
図 ２ の よ う に ， こ の 天 板 の 裏 側 に は ， い く つ か の く ぼ み が あ り ， 台 座 の パ イ プ は ， Ａ Ｂ と Ｃ Ｄ の 長 さ が 等 し く ，そ れ ぞ れ の 真 ん 中 で 交 わ る よ う に 組 み 合 わ さ れ て い ま す 。こ れ に よ っ て ， 台 座 を 天 板 の ど の く ぼ み に 差 し 入 れ て も ， 天 板 は 床 と 平 行 に な り ， 点 Ａ の 真 下 に 点 Ｄ が ， 点 Ｃ の 真 下 に 点 Ｂ が あ る よ う な 机 に な り ま す 。 こ れ は ， ４ つ の 点 Ａ ， Ｄ ， Ｂ ， Ｃ を 順 に 結 ん で で き る 四 角 形 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ が ， あ る 図 形 に な る か ら で す 。 そ の 図 形 の 名 前 を 答 え な さ い 。
【 解 答 】
第２学年 ５ 図形の性質と証明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑥
身 の 回 り に は ， も の を 安 定 し て 置 く た め に 水 平 な 面 を つ く る 工 夫 が い ろ い ろ 見 ら れ ま す 。 次 の 問 い に 答 え な さ い 。【 H22】
図 １ の よ う な 道 具 箱 が あ り ま す 。 図 ２ は ，
上 の 段 を 動 か し た と き の 様 子 を 真 横 か ら 見 た も の で す 。
図 ２
こ の 道 具 箱 は ， 次 の よ う に ２ 本 の ア ー ム を 取 り 付 け る こ と で ， 上 の 段 が 下 の 段 に 対 し て い つ も 平 行 に 保 た れ る よ う に な っ て い ま す 。
◇ １ 同 じ ア ー ム を ２ 本 用 意 し ， 図 ３ の よ う に 上 の 段 に 点 Ｅ ， 下 の 段 に 点 Ｆ を と り ， そ こ に １ 本 の ア ー ム を 取 り 付 け る 。
◇ ２ 図 ４ の よ う に ， 下 の 段 に 点 Ｇ を と り ， そ こ に も う １ 本 の ア ー ム を 取 り 付 け る 。
◇ ３ 図 ５ の よ う に ， 点 Ｅ を 中 心 と し Ｆ Ｇ の 長 さ と 等 し い 半 径 の 円 を か く 。 そ し て 点 Ｇ を 中 心 と し て ア ー ム を 回 転 さ せ ， 円 と 重 な っ た 点 Ｈ に こ の ア ー ム を 取 り 付 け る 。
※ 反 対 側 の ア ー ム も 同 じ よ う に 取 り 付 け ま す 。
こ の よ う に ア ー ム を 取 り 付 け る と 上 の 段 が 下 の 段 に 対 し て い つ も 平 行 に 保 た れ る の は ， 四 角 形 Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ が い つ で も 平 行 四 辺 形 に な る か ら で す 。 下 線 部 を 証 明 す る た め の 根 拠 と な る こ と が ら を ， 平 行 四 辺 形 に な る た め の 条 件 を 用 い て 書 き な さ い 。
【 解 答 】
図１
図３
図４
図５
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■ 全国学力・学習状況調査⑦ Ｂ問題
紀 元 前 ６ 世 紀 ご ろ の 古 代 ギ リ シ ャ で 活 躍 し た 学 者 の
かつやく１ 人 に ， タ レ ス と い う 人 が い ま す 。 タ レ ス は ， 次 の よ う に し て ， 陸 上 か ら 直 接 測 る こ と が で き な い 船 ま で の 距 離 を 求 め た と い わ れ て い ま す 。【 H23】
タ レ ス の 方 法
◎ 陸 上 の 点 Ａ か ら 沖 に 停 泊 し て い る 船 Ｂ ま で の 距 離 を 求 め る 場 合
① 陸 上 の 点 Ａ か ら 船 Ｂ を 見 る 。
② 点 Ａ で 体 の 向 き を ９ ０ ° 変 え ， 距 離 を 決 め て ま っ す ぐ 歩 い て 棒 を 立 て ， そ の 点 を Ｃ と す る 。
③ さ ら に 同 じ 方 向 に 点 Ａ か ら 点 Ｃ ま で の 距 離 と 同 じ だ け ま っ す ぐ 歩 い て 立 ち 止 ま り ， そ の 点 を Ｄ と す る 。
④ 点 Ｄ で 点 Ｃ の 方 を 向 き ， 船 Ｂ と は 反 対 側 に 体 の 向 き を ９ ０ ° 変 え る 。 そ こ か ら ま っ す ぐ 歩 き ， 点 Ｃ に 立 て た 棒 と 船 Ｂ が 重 な っ て 見 え る 点 を Ｅ と す る 。
⑤ 点 Ｄ か ら 点 Ｅ ま で の 距 離 を
測 る 。
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明 次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。
(1) 点 Ａ か ら 船 Ｂ ま で の 距 離 を 求 め る た め に ，タ レ ス の 方 法 で は 次 の よ う な 考 え が 使 わ れ て い ま す 。 下 の に 当 て は ま る 記 号 を 書 き な さ い 。
線 分 Ａ Ｂ の 長 さ を 直 接 測 る こ と が で き な い の で ， △ Ａ Ｂ Ｃ と 合 同 な △ Ｄ Ｅ Ｃ を つ く り ， 線 分 Ａ Ｂ の 長 さ を 線 分 の 長 さ に 置 き か え て 求 め る 。
【 解 答 】
(2) タ レ ス の 方 法 で 点 Ａ か ら 船 Ｂ ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る の は ， △ Ａ Ｂ Ｃ と
△ Ｄ Ｅ Ｃ が 合 同 で あ る か ら で す 。 下 線 部 を 証 明 す る た め の 根 拠 と な る こ と が ら を ， 三 角 形 の 合 同 条 件 を 用 い て 書 き な さ い 。
【 解 答 】
(3) タ レ ス の 方 法 で は ， ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ の 大 き さ を ９ ０ °に し て い ま す 。 下 の ア か ら エは ， こ の ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ の 大 き さ に つ い て 述 べ た も の で す 。 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。
ア ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ が ど ち ら も９ ０ ° の と き だ け ， △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｄ Ｅ Ｃ を 利 用 し て 船 ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る 。
イ ∠ Ｂ Ａ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｄ Ｃ で あ れ ば ，９ ０ ° に し な く て も ， △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｄ Ｅ Ｃ を 利 用 し て 船 ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る 。
ウ ∠ Ｂ Ａ Ｃ を ９ ０ ° に す れ ば ， ∠ Ｅ Ｄ Ｃ を 何 度 に し て も ， △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｄ Ｅ Ｃ を 利 用 し て 船 ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る 。
エ ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ の 大 き さ を 等 し く し な く て も ， △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｄ Ｅ Ｃ を 利 用 し て 船 ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る 。
【 解 答 】
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名
■ 全国学力・学習状況調査⑧ Ｂ問題
次 の 問 題 は ， 下 の よ う に 証 明 で き ま す 。【 H23】
問 題
図 １ の よ う に ， △ Ａ Ｂ Ｃ に お い て ∠ Ａ Ｂ Ｃ 図 １ の 二 等 分 線 と ∠ Ａ Ｃ Ｂ の 二 等 分 線 を ひ き ， そ
れ ら の 交 点 を Ｄ と し ま す 。 点 Ｄ を 通 り 辺 Ｂ Ｃ に 平 行 な 直 線 • を ひ き ， 直 線 • と 辺 Ａ Ｂ と の 交 点 を Ｅ と し ま す 。
こ の と き ， Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ と な る こ と を 証 明 し な さ い 。
証 明
△ Ｅ Ｂ Ｄ に お い て ，
仮 定 か ら ， ∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｂ Ｄ … … ① Ｅ Ｄ ∥ Ｂ Ｃ で ， 平 行 線 の 錯 角 は 等 し い か ら ，
∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｄ Ｂ … … ②
① ， ② よ り ， ∠ Ｅ Ｂ Ｄ ＝ ∠ Ｅ Ｄ Ｂ
２ つ の 角 が 等 し い か ら ， △ Ｅ Ｂ Ｄ は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 二 等 辺 三 角 形 は ２ 辺 が 等 し い 三 角 形 で あ る か ら ，
Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ
次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。
(1) 上 の 証 明 の 「 仮 定 か ら ， ∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｂ Ｄ … … ① 」 に お け る
「 仮 定 」 を ， 下 の アか ら エ ま で の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。
ア Ｂ Ｄ は ∠ Ａ Ｂ Ｃ の 二 等 分 線 で あ る 。
イ Ｃ Ｄ は ∠ Ａ Ｃ Ｂ の 二 等 分 線 で あ る 。
ウ 直 線 • は 点 Ｄ を 通 り 辺 Ｂ Ｃ に 平 行 な 直 線 で あ る 。
エ Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ で あ る 。
【 解 答 】
•
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ Ｃ
•
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ Ｃ
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明 (2) 図 ２ の よ う に ， 図 １ の 直 線 • と 辺 Ａ Ｃ と 図 ２
の 交 点 を Ｆ と し ま す 。 こ の と き ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ と な る こ と を ， △ Ｆ Ｃ Ｄ が 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と か ら 証 明 で き ま す 。
前 ペ ー ジ の 証 明 を 参 考 に し て ，
Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ と な る こ と の 証 明 を 完 成 し な さ い 。
（ 下 の の 中 に そ の ま ま 書 き 込 み な さ い 。）
証 明
△ Ｆ Ｃ Ｄ に お い て ，
二 等 辺 三 角 形 は ２ 辺 が 等 し い 三 角 形 で あ る か ら ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ
(3) △ Ｅ Ｂ Ｄ と △ Ｆ Ｃ Ｄ が 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と か ら ， Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ で あ る こ と を 証 明 で き ま す 。
Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ で あ る こ と を も と に す る と ， 図 ２ に お い て ， △ Ａ Ｅ Ｆ の 周 の 長 さ と 等 し い も の が あ る こ と が 分 か り ま す 。 そ れ を 下 の ア か ら オ ま で の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。
ア Ａ Ｅ ＋ Ａ Ｆ
イ Ａ Ｅ ＋ Ａ Ｃ
ウ Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｆ
エ Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｃ 【 解 答 】
オ Ｄ Ｂ ＋ Ｄ Ｃ
•
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ Ｃ
Ｆ
•
Ａ
Ｅ Ｄ
Ｂ Ｃ
Ｆ
中学校数学 第２学年
５ 図形の性質と証明 [解答例]
中学校
年 組 号 氏名
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
第 ２ 学 年 ５ 図 形 の性 質 と 証 明
■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査①
(1) ②のＰＡ＝ＰＢは条件ではないので，証明の中で使うことはできない。
△ＰＡＭと△ＰＢＭにおいて，
仮定から，
ＡＭ＝ＢＭ ……①
ＰＡ
1＝ＰＢ ……② また， ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通） ……③
①，②，③より，
３辺がそれぞれ等しいから，
△ＰＡＭ＝△ＰＢＭ
したがって， ＰＡ＝ＰＢ
(2) 正しい証明は次のとおり。
△ＰＡＭと△ＰＢＭにおいて，
仮定から，
ＡＭ＝ＢＭ ……①
線分ＡＢの垂直二等分線がℓだから，
1 ∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ＝９０° ……② また， 1 ＰＭ＝ＰＭ（ＰＭは共通） ……③
①，②，③より，
２辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
1
![中学校数学科 ２年生 ５ 図形の性質と証明 [問題]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)