中学校数学 第２学年
５ 図形の性質と証明 [問題]
中学校
年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査①
下の四角形ＡＢＣＤにおいて，「ＡＢ//ＤＣ ，ＡＢ＝ＤＣ」が成り立っています。このことは平行四辺形 になるための条件に当てはまっているので，四角形は平行四辺形になることが分かります。【H19】
上の下線部「ＡＢ//ＤＣ ，ＡＢ＝ＤＣ」が表しているものを，下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア ２組の向かい合う辺がそれぞれ平行である。
イ ２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい。
ウ ２組の向かい合う角がそれぞれ等しい。
エ 対角線がそれぞれの中点で交わる。
オ １組の向かい合う辺が平行でその長さが等しい。
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査②
下のように「平行四辺形の２組の向かい合う辺はそれぞれ等しい」ことを証明しました。【H19】
ある学級で，この証明について下のアからエのような意見が出されました。正しいものを１つ選び なさい。
ア 上のように証明しても，平行四辺形の２組の向かい合う辺がそれぞれ等しいかどうかは測って 確認しなければならない。
イ 上のように証明しても，ほかの平行四辺形については，２組の向かい合う辺がそれぞれ等しい ことを，もう一度証明する必要がある。
ウ 上の証明から，すべての平行四辺形で，２組の向かい合う辺はそれぞれ等しいことが分かる。
エ 上の証明から, 台形の２組の向かい合う辺はそれぞれ等しいことも分かる。
■全国学力・学習状況調査③
下の図のような ＡＢ＝ＡＣ の二等辺三角形ＡＢＣがあります。辺ＡＢ，辺ＡＣ上にＢＤ＝ＣＥ となる 点Ｄ，点Ｅをそれぞれとります。このとき，ＣＤ＝ＢＥとなることを，次のように証明しました。【H19】
上の に当てはまる三角形の合同条件を，下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア ３辺がそれぞれ等しい
イ ２辺とその間の角がそれぞれ等しい ウ １辺とその両端の角がそれぞれ等しい
エ 直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい オ 直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査④
１ 四角形は，１組の向かい合う辺が平行でその長さが等しいとき，平行四辺形になります。下線部を，
下の図の四角形ＡＢＣＤの辺と，記号// ， ＝ を使って表しなさい。【H20】
２ 次の図で，△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形です。【H21】
二等辺三角形の２つの底角は等しいといえます。下線部を，上の図の頂点を表す記号と，記号∠，
＝を使って表しなさい。
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ Ｃ
■全国学力・学習状況調査⑤
平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＡＤ，辺ＢＣ上に，ＤＥ＝ＢＦとなるような点Ｅ，点Ｆをそれぞれとるとき，
ＡＦ＝ＣＥとなることを，ある学級では，下の図１をかいて証明しました。【H20】
この証明のあと，図１と形の違う図２のような平行四辺形ＡＢＣＤについても， 同じようにＡＦ＝ＣＥ となるかどうかを考えてみたところ，下のアからエのような意見が出ました。正しいものを１つ選びな さい。
ア 図２の場合も，ＡＦ＝ＣＥであることは，すでに前ページの証明で示されている。
イ 図２の場合は，ＡＦ＝ＣＥであることを，改めて証明する必要がある。
ウ 図２の場合は，ＡＦ＝ＣＥであることを，それぞれの長さを測って確認しなければならない。
エ 図２の場合は，ＡＦ＝ＣＥではない。
■全国学力・学習状況調査⑥
次の図で，△ＡＢＣと△ＤＥＦが合同であることを証明しようとしています。ＡＢ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＥＦであ ることは分かっています。【H21】
三角形の合同条件を用いて証明するために，あと１つどのようなことが分かればよいですか。
下の を完成しなさい。
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑦
ある学級で，「三角形の内角の和は１８０°である」ことの証明について，次の①，②を比べて考え ています。【H21】
どんな三角形でも内角の和は１８０°であることの証明について，下のアからオまでの中から正しい ものを１つ選びなさい。
ア ①も②も証明できている。
イ ①は証明できており，②は形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことに なる。
ウ ①は証明できているが，②は形の違うたくさんの三角形で同じように確かめても証明したこと にはならない。
エ ①も②も形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことになる。
オ ①は形の違うたくさんの三角形で同じように確かめれば証明したことになるが，②はそれでも 証明したことにはならない。
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑧
次 の 図 の よ う に ， ∠ Ｘ Ｏ Ｙ の 内 部 の 点 Ｐ か ら ， ２ 辺 Ｏ Ｘ ， Ｏ Ｙ に ひ い た 垂 線 Ｐ Ａ ， Ｐ Ｂ の 長 さ が 等 し い と き ， Ｏ Ｐ は ∠ Ｘ Ｏ Ｙ を ２ 等 分 す る こ と を ， 下 の よ う に 証 明 し ま し た 。【 H22】
証 明
△ Ｐ Ａ Ｏ と △ Ｐ Ｂ Ｏ に お い て ，
仮 定 か ら ， ∠ Ｐ Ａ Ｏ ＝ ∠ Ｐ Ｂ Ｏ ＝ ９ ０ ° … … ①
Ｐ Ａ ＝ Ｐ Ｂ … … ②
共 通 な 辺 だ か ら ， Ｏ Ｐ ＝ Ｏ Ｐ … … ③
① ， ② ， ③ よ り ， か ら ，
△ Ｐ Ａ Ｏ ≡ △ Ｐ Ｂ Ｏ 合 同 な 図 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い か ら ，
∠ Ａ Ｏ Ｐ ＝ ∠ Ｂ Ｏ Ｐ
し た が っ て ， Ｏ Ｐ は ∠ Ｘ Ｏ Ｙ を ２ 等 分 す る 。
上 の証 明の に 当 て は ま る 合 同 条 件 を ， 下 のアか らオま で の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。
ア ３ 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い
イ ２ 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い ウ １ 辺 と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い
エ 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の １ 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い
オ 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と １ つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い
【 解 答 】
Ｏ Ｂ
Ａ
Ｘ
Ｐ
Ｙ
■全国学力・学習状況調査⑨
四 角 形 は ， ２ 組 の 向 か い 合 う 角 の 大 き さ が そ れ ぞ れ 等 し い と き ， 平 行 四 辺 形 に な り ま す 。 下 線 部 を ， 次 の 図 の 頂 点 を 表 す 記 号 と ， 記 号 ∠ ， ＝ を 使 っ て 表 し な さ い 。【 H22】
【 解 答 】
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑩
あ る 学 級 で ，図 １に つ い て ，「 Ａ Ｃ ＝ Ａ Ｄ ， Ｂ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ な ら ば ∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｂ で あ る 」 こ と を ， 下 の よ う に 証 明 し ま し た 。【 H22】
図 １
証 明
△ Ａ Ｂ Ｃ と △ Ａ Ｂ Ｄ に お い て ，
仮 定 か ら ， Ａ Ｃ ＝ Ａ Ｄ … … ① Ｂ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ … … ② 共 通 な 辺 だ か ら ， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｂ … … ③
① ， ② ， ③ よ り ， ３ 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い か ら ，
△ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ａ Ｂ Ｄ 合 同 な 図 形 の 対 応 す る 角 は 等 し い か ら ，
∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｂ
こ の 証 明 の あ と ，図 ２の よ う に Ａ Ｃ ， Ａ Ｄ ， Ｂ Ｃ ， Ｂ Ｄ の 長 さ が す べ て 等 し い 場 合 に つ い て も ， 同 じ よ う に ∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｂ と な る か ど う か を 考 え て み た と こ ろ ， 下 のアか らエま で の よ う な 意 見 が 出 ま し た 。 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。
図 ２
ア 図 ２の 場 合 も ， ∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｂ で あ る こ と は ， す で に 上 の 証 明 で 示 さ れ て い る 。 イ 図 ２の 場 合 は ， ∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｂ で あ る こ と を ， 改 め て 証 明 す る 必 要 が あ る 。
ウ 図 ２の 場 合 は ， ∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｂ で あ る こ と を ， そ れ ぞ れ の 角 度 を 測 っ て 確 認 し な け れ ば な ら な い 。
エ 図 ２の 場 合 は ， ∠ Ａ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｂ で は な い 。
【 解 答 】
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｄ Ｃ
Ｂ
■全国学力・学習状況調査⑪ Ａ問題
「 ２ つ の 角 が 等 し い 三 角 形 は ， 二 等 辺 三 角 形 で あ る 」 こ と を 次 の よ う に 証 明 し ま し た 。【 H23】
証 明
∠ Ｂ と ∠ Ｃ が 等 し い △ Ａ Ｂ Ｃ で ，
∠ Ａ の 二 等 分 線 と 辺 Ｂ Ｃ と の 交 点 を Ｄ と す る 。 Ａ
△ Ａ Ｂ Ｄ と △ Ａ Ｃ Ｄ に お い て ，
仮 定 か ら ， ∠ Ｂ ＝ ∠ Ｃ … … ① Ａ Ｄ は ∠ Ａ の 二 等 分 線 だ か ら ，
∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｄ … … ② 三 角 形 の 内 角 の 和 が１ ８ ０ °で あ る こ と と ，
① ， ② か ら ，
∠ Ａ Ｄ Ｂ ＝ ∠ Ａ Ｄ Ｃ … … ③
共 通 な 辺 だ か ら ， Ｂ Ｄ Ｃ
Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｄ … … ④
② ， ③ ， ④ よ り ， か ら ，
△ Ａ Ｂ Ｄ ≡ △ Ａ Ｃ Ｄ
合 同 な 図 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い か ら ， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ
し た が っ て ， ２ つ の 角 が 等 し い 三 角 形 は ， 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。
上 の証 明の に 当 て は ま る 合 同 条 件 を ， 下 のアか らオま で の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。
ア ３ 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い
イ ２ 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い ウ １ 辺 と そ の 両 端 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い
エ 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と 他 の １ 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い オ 直 角 三 角 形 の 斜 辺 と １ つ の 鋭 角 が そ れ ぞ れ 等 し い
【 解 答 】
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑫ Ａ問題
長 さ の 等 し い ２ 本 の 棒 を ２ 種 類 用 意 し て ， 右 の 図 の よ う に 組 み 合 わ せ ま す 。 こ の と き で き る 四 角 形 は ， い つ も 平 行 四 辺 形 に な り ま す 。
こ の 四 角 形 が い つ で も 平 行 四 辺 形 に な る こ と の 根 拠 と な る こ と が ら が ， 下 のアか らオま で の 中 に あ り ま す 。 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。【 H23】
ア ２ 組 の 向 か い 合 う 辺 が そ れ ぞ れ 平 行 な 四 角 形 は ， 平 行 四 辺 形 で あ る 。 イ ２ 組 の 向 か い 合 う 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い 四 角 形 は ， 平 行 四 辺 形 で あ る 。 ウ ２ 組 の 向 か い 合 う 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 四 角 形 は ， 平 行 四 辺 形 で あ る 。
エ １ 組 の 向 か い 合 う 辺 が 平 行 で そ の 長 さ が 等 し い 四 角 形 は ， 平 行 四 辺 形 で あ る 。 オ 対 角 線 が そ れ ぞ れ の 中 点 で 交 わ る 四 角 形 は ， 平 行 四 辺 形 で あ る 。
【 解 答 】
■全国学力・学習状況調査⑬ Ａ問題
あ る 学 級 で ，「 三 角 形 の 外 角 の 和 は３ ６ ０ °で あ る 」 こ と の 証 明 に つ い て ， 次 の ① ， ② を 比 べ て 考 え て い ま す 。【 H23】
①
右 の 図 の △ Ａ Ｂ Ｃ で ，
∠d ＝１ ８ ０ °－ ∠ a
∠e ＝１ ８ ０ °－ ∠ b
∠f ＝１ ８ ０ °－ ∠ c
ま た ， 三 角 形 の 内 角 の 和 は１ ８ ０ °で あ る か ら ，
∠a ＋ ∠ b ＋ ∠ c ＝１ ８ ０ ° し た が っ て ，
∠d ＋ ∠ e ＋ ∠ f ＝ (１ ８ ０ °－ ∠ a )＋ (１ ８ ０ °－ ∠ b )＋ (１ ８ ０ °－ ∠ c )
＝５ ４ ０ °－ (∠ a ＋ ∠ b ＋ ∠ c )
＝５ ４ ０ °－１ ８ ０ °
＝３ ６ ０ °
よ っ て ， 三 角 形 の 外 角 の 和 は３ ６ ０ °で あ る 。
②
右 の 図 の △ Ａ Ｂ Ｃ で ，
各 頂 点 に お け る 外 角 の 大 き さ を そ れ ぞ れ 測 る と ， 頂 点 Ａ の 外 角 の 大 き さ は１ ０ ８ °，
頂 点 Ｂ の 外 角 の 大 き さ は１ １ ６ °，
頂 点 Ｃ の 外 角 の 大 き さ は１ ３ ６ °で あ る 。 し た が っ て ， そ れ ら の 和 を 計 算 す る と ，
１ ０ ８ °＋１ １ ６ °＋１ ３ ６ °＝３ ６ ０ °
よ っ て ， 三 角 形 の 外 角 の 和 は３ ６ ０ °で あ る 。
ど ん な 三 角 形 で も 外 角 の 和 は３ ６ ０ °で あ る こ と の 証 明 に つ い て ， 正 し く 述 べ た も の が 下 の アか らオま で の 中 に あ り ま す 。 そ れ を １ つ 選 び な さ い 。
ア ①も②も 証 明 で き て い る 。
イ ①は 証 明 で き て お り ，②は 形 の 違 う た く さ ん の 三 角 形 で 同 じ よ う に 確 か め れ ば 証 明 し た こ と に な る 。
ウ ①は 証 明 で き て い る が ，②は 形 の 違 う た く さ ん の 三 角 形 で 同 じ よ う に 確 か め て も 証 明 し た こ と に は な ら な い 。
エ ①も②も 形 の 違 う た く さ ん の 三 角 形 で 同 じ よ う に 確 か め れ ば
証 明 し た こ と に な る 。 【 解 答 】
オ ①は 形 の 違 う た く さ ん の 三 角 形 で 同 じ よ う に 確 か め れ ば 証 明 し た こ と に な る が ，②は そ れ で も 証 明 し た こ と に は な ら な い 。 Ａ
Ｂ Ｃ
d a
b e
c f
Ａ
Ｂ Ｃ
１０８°
１３６°
１１６°
