中学校数学 第２学年 ５ 図形の性質と証明 [問題]

中学校数学 第２学年

５ 図形の性質と証明 [問題]

中学校

年 組 号 氏名

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査①

下の図のように，線分ＡＢの垂直二等分線 ℓ をひいて，線分ＡＢとの交点をＭとします。また，直線

ℓ 上に点Ｐをとります。【H19】

このとき，ＰＡ＝ＰＢとなることを，下のように証明しましたが，この証明にはまちがいがあります。

次の(1)，(2)の各問いに答えなさい。

(1) 前の証明のまちがいは，下に示した の中にあります。まちがっている部分を，

解答用紙 の中に下線（ ）をひいて示しなさい。

(2) 上の証明の の中を正しく書き直しなさい。

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査②

拓也さんは，次の問題を考えています。【H20】

拓也さんは，証明の方針を下のようなメモにまとめました。

次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。

(1) 拓 也 さ ん の メ モ の にあるように，ＡＤ＝ＢＣを証明するために，△ＡＯＤと△ＢＯＣの合 同を示せばよいのは，合同な図形のどのような性質からですか｡下のアからエの中から１つ選びな さい。

ア 合同な図形の対応する辺の長さは等しい。

イ 合同な図形の対応する角の大きさは等しい。

ウ 合同な図形の周の長さは等しい。

エ 合同な図形の面積は等しい。

(2) 前ページの問題で，ＡＤ＝ＢＣとなることを証明しなさい。

(3) 拓也さんは，ＡＤ＝ＢＣを，△ＡＯＤ≡△ＢＯＣをもとにして証明しました。

△ＡＯＤ≡△ＢＯＣをもとにすると，前ページの問題の図形について，ＡＤ＝ＢＣ以外に新しいこと が分かります。それを下のアからエの中から１つ選びなさい。

ア ＯＣ＝ＯＤ イ ＯＣ＝ＢＤ

ウ ∠ＯＡＤ＝∠ＯＢＣ

エ ∠ＯＡＤ＝∠ＢＯＣ

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査③

大貴さんは，次の問題を考えています。【H21】

次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。

(1) 大貴さんは，次のような証明の方針１を考えました。この証明の方針１にもとづいて，

ＡＣ∥ＤＢとなることの証明を完成しなさい。

証明の方針１

(2) 大貴さんは，△ＡＭＣ≡△ＢＭＤをもとにしてＡＣ∥ＤＢを証明しました。

△ＡＭＣ≡△ＢＭＤをもとにすると，前ページの問題の図形について，∠ＭＡＣ＝∠ＭＢＤや問題の 仮定以外にも分かることがあります。それを下のアからエの中から１つ選びなさい。

ア ∠ＭＣＡ＝∠ＭＤＢ イ ∠ＭＡＣ＝∠ＭＤＢ ウ ＡＭ＝ＢＭ

エ ＡＭ＝ＤＭ

(3) 右の図のように，線分ＡＤ，線分ＣＢを

ひいて四角形ＡＤＢＣをつくると， 次の

証明の方針２を考えることもできます。

証明の方針２

証明の方針２の（ ① ）に当てはまる言葉を書きなさい。また， ② に当てはまるこ とがらを，下のアからオの中から１つ選びなさい。

ア 対角線が垂直に交わる イ 対角線の長さが等しい ウ 対角線が平行である

エ 対角線がそれぞれの中点で交わる

オ 対角線が垂直に交わり，その長さが等しい

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査④

次 の 問 題 １ は ， 下 の よ う に 証 明 で き ま す 。

問 題 １

図 １ の よ う に ， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ の 二 等 辺 三 角 形 Ａ Ｂ Ｃ 図 １ の 辺 Ａ Ｂ ， 辺 Ａ Ｃ 上 に Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ と な る 点 Ｄ ， 点 Ｅ を

そ れ ぞ れ と り ま す 。

こ の と き ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ と な る こ と を 証 明 し な さ い 。

問 題 １ の 証 明

△ Ａ Ｂ Ｅ と △ Ａ Ｃ Ｄ に お い て ， 仮 定 か ら ，

Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ … … ① Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｄ … … ② 共 通 な 角 だ か ら ，

∠ Ｂ Ａ Ｅ ＝ ∠ Ｃ Ａ Ｄ … … ③

① ， ② ， ③ よ り ，

２ 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い か ら ，

△ Ａ Ｂ Ｅ ≡ △ Ａ Ｃ Ｄ

合 同 な 図 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い か ら ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ

次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。【 H22】

(1) 問 題 １ の 証 明 で は ，「 ２ 辺 と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い 。」 と い う 三 角 形 の 合 同 条 件 が 用 い ら れ て い ま す 。 こ の 合 同 条 件 を 用 い る と き ， △ Ａ Ｂ Ｅ と △ Ａ Ｃ Ｄ の 対 応 す る ２ 辺 の 間 の 角 が 等 し い こ と を 表 し て い る の は ， 上 の 証 明 の ど の 部 分 で す か 。 そ の 部 分 を 書 き な さ い 。

【 解 答 】

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ

(2) 問 題 １ の 一 部 を 変 え る と ， 次 の 問 題 ２ を つ く る こ と が で き ま す 。

問 題 ２

図 ２ の よ う に ， Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ の 二 等 辺 三 角 形 Ａ Ｂ Ｃ 図 ２ の 辺 Ｂ Ａ ， 辺 Ｃ Ａ を 延 長 し た 直 線 上 に Ａ Ｄ ＝ Ａ Ｅ と な

る 点 Ｄ ， 点 Ｅ を そ れ ぞ れ と り ま す 。

こ の と き ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ と な る こ と を 証 明 し な さ い 。

問 題 ２ で も Ａ Ｂ Ｅ と Ａ Ｃ Ｄ に 着 目 す る と ，問 題 １ と 同 じ よ う に ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ と な る こ と を 証 明 で き ま す 。

問 題 １ の 証 明を 参 考 に し て ， 問 題 ２ の 証 明を 完 成 し な さ い 。

問 題 ２ の 証 明

△ Ａ Ｂ Ｅ と △ Ａ Ｃ Ｄ に お い て ，

合 同 な 図 形 の 対 応 す る 辺 の 長 さ は 等 し い か ら ， Ｂ Ｅ ＝ Ｃ Ｄ

※ 解 答 は ， の 中 に そ の ま ま 記 入 し な さ い 。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｅ Ｄ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｅ Ｄ

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査⑤

身 の 回 り に は ， も の を 安 定 し て 置 く た め に 水 平 な 面 を つ く る 工 夫 が い ろ い ろ 見 ら れ ま す 。 次 の 問 い に 答 え な さ い 。【 H22】

図 １ の よ う な 天 板 と 台 座 を 組 み 立 て て 使 う 机 が あ り ま す 。図 ２ は こ の 机 を 真 横 か ら 見 た も の で す 。

図 ２ の よ う に ， こ の 天 板 の 裏 側 に は ， い く つ か の く ぼ み が あ り ， 台 座 の パ イ プ は ， Ａ Ｂ と Ｃ Ｄ の 長 さ が 等 し く ，そ れ ぞ れ の 真 ん 中 で 交 わ る よ う に 組 み 合 わ さ れ て い ま す 。こ れ に よ っ て ， 台 座 を 天 板 の ど の く ぼ み に 差 し 入 れ て も ， 天 板 は 床 と 平 行 に な り ， 点 Ａ の 真 下 に 点 Ｄ が ， 点 Ｃ の 真 下 に 点 Ｂ が あ る よ う な 机 に な り ま す 。 こ れ は ， ４ つ の 点 Ａ ， Ｄ ， Ｂ ， Ｃ を 順 に 結 ん で で き る 四 角 形 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ が ， あ る 図 形 に な る か ら で す 。 そ の 図 形 の 名 前 を 答 え な さ い 。

【 解 答 】

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■全国学力・学習状況調査⑥

身 の 回 り に は ， も の を 安 定 し て 置 く た め に 水 平 な 面 を つ く る 工 夫 が い ろ い ろ 見 ら れ ま す 。 次 の 問 い に 答 え な さ い 。【 H22】

図 １ の よ う な 道 具 箱 が あ り ま す 。 図 ２ は ，

上 の 段 を 動 か し た と き の 様 子 を 真 横 か ら 見 た も の で す 。

図 ２

こ の 道 具 箱 は ， 次 の よ う に ２ 本 の ア ー ム を 取 り 付 け る こ と で ， 上 の 段 が 下 の 段 に 対 し て い つ も 平 行 に 保 た れ る よ う に な っ て い ま す 。

◇

同 じ ア ー ム を ２ 本 用 意 し ， 図 ３ の よ う に 上 の 段 に 点 Ｅ ， 下 の 段 に 点 Ｆ を と り ， そ こ に １ 本 の ア ー ム を 取 り 付 け る 。

◇

図 ４ の よ う に ， 下 の 段 に 点 Ｇ を と り ， そ こ に も う １ 本 の ア ー ム を 取 り 付 け る 。

◇

図 ５ の よ う に ， 点 Ｅ を 中 心 と し Ｆ Ｇ の 長 さ と 等 し い 半 径 の 円 を か く 。 そ し て 点 Ｇ を 中 心 と し て ア ー ム を 回 転 さ せ ， 円 と 重 な っ た 点 Ｈ に こ の ア ー ム を 取 り 付 け る 。

※ 反 対 側 の ア ー ム も 同 じ よ う に 取 り 付 け ま す 。

こ の よ う に ア ー ム を 取 り 付 け る と 上 の 段 が 下 の 段 に 対 し て い つ も 平 行 に 保 た れ る の は ， 四 角 形 Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ が い つ で も 平 行 四 辺 形 に な る か ら で す 。 下 線 部 を 証 明 す る た め の 根 拠 と な る こ と が ら を ， 平 行 四 辺 形 に な る た め の 条 件 を 用 い て 書 き な さ い 。

【 解 答 】

図１

図３

図４

図５

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■ 全国学力・学習状況調査⑦ Ｂ問題

紀 元 前 ６ 世 紀 ご ろ の 古 代 ギ リ シ ャ で 活 躍 し た 学 者 の

１ 人 に ， タ レ ス と い う 人 が い ま す 。 タ レ ス は ， 次 の よ う に し て ， 陸 上 か ら 直 接 測 る こ と が で き な い 船 ま で の 距 離 を 求 め た と い わ れ て い ま す 。【 H23】

タ レ ス の 方 法

◎ 陸 上 の 点 Ａ か ら 沖 に 停 泊 し て い る 船 Ｂ ま で の 距 離 を 求 め る 場 合

① 陸 上 の 点 Ａ か ら 船 Ｂ を 見 る 。

② 点 Ａ で 体 の 向 き を ９ ０ ° 変 え ， 距 離 を 決 め て ま っ す ぐ 歩 い て 棒 を 立 て ， そ の 点 を Ｃ と す る 。

③ さ ら に 同 じ 方 向 に 点 Ａ か ら 点 Ｃ ま で の 距 離 と 同 じ だ け ま っ す ぐ 歩 い て 立 ち 止 ま り ， そ の 点 を Ｄ と す る 。

④ 点 Ｄ で 点 Ｃ の 方 を 向 き ， 船 Ｂ と は 反 対 側 に 体 の 向 き を ９ ０ ° 変 え る 。 そ こ か ら ま っ す ぐ 歩 き ， 点 Ｃ に 立 て た 棒 と 船 Ｂ が 重 な っ て 見 え る 点 を Ｅ と す る 。

⑤ 点 Ｄ か ら 点 Ｅ ま で の 距 離 を

測 る 。

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 点 Ａ か ら 船 Ｂ ま で の 距 離 を 求 め る た め に ，タ レ ス の 方 法 で は 次 の よ う な 考 え が 使 わ れ て い ま す 。 下 の に 当 て は ま る 記 号 を 書 き な さ い 。

線 分 Ａ Ｂ の 長 さ を 直 接 測 る こ と が で き な い の で ， △ Ａ Ｂ Ｃ と 合 同 な △ Ｄ Ｅ Ｃ を つ く り ， 線 分 Ａ Ｂ の 長 さ を 線 分 の 長 さ に 置 き か え て 求 め る 。

【 解 答 】

(2) タ レ ス の 方 法 で 点 Ａ か ら 船 Ｂ ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る の は ， △ Ａ Ｂ Ｃ と

△ Ｄ Ｅ Ｃ が 合 同 で あ る か ら で す 。 下 線 部 を 証 明 す る た め の 根 拠 と な る こ と が ら を ， 三 角 形 の 合 同 条 件 を 用 い て 書 き な さ い 。

【 解 答 】

(3) タ レ ス の 方 法 で は ， ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ の 大 き さ を ９ ０ °に し て い ま す 。 下 の ア か ら エは ， こ の ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ の 大 き さ に つ い て 述 べ た も の で す 。 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。

ア ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ が ど ち ら も９ ０ ° の と き だ け ， △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｄ Ｅ Ｃ を 利 用 し て 船 ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る 。

イ ∠ Ｂ Ａ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｄ Ｃ で あ れ ば ，９ ０ ° に し な く て も ， △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｄ Ｅ Ｃ を 利 用 し て 船 ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る 。

ウ ∠ Ｂ Ａ Ｃ を ９ ０ ° に す れ ば ， ∠ Ｅ Ｄ Ｃ を 何 度 に し て も ， △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｄ Ｅ Ｃ を 利 用 し て 船 ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る 。

エ ∠ Ｂ Ａ Ｃ と ∠ Ｅ Ｄ Ｃ の 大 き さ を 等 し く し な く て も ， △ Ａ Ｂ Ｃ ≡ △ Ｄ Ｅ Ｃ を 利 用 し て 船 ま で の 距 離 を 求 め る こ と が で き る 。

【 解 答 】

■数学的な思考力・判断力・表現力を育む問題 年 組 号 氏名

■ 全国学力・学習状況調査⑧ Ｂ問題

次 の 問 題 は ， 下 の よ う に 証 明 で き ま す 。【 H23】

問 題

図 １ の よ う に ， △ Ａ Ｂ Ｃ に お い て ∠ Ａ Ｂ Ｃ 図 １ の 二 等 分 線 と ∠ Ａ Ｃ Ｂ の 二 等 分 線 を ひ き ， そ

れ ら の 交 点 を Ｄ と し ま す 。 点 Ｄ を 通 り 辺 Ｂ Ｃ に 平 行 な 直 線 • を ひ き ， 直 線 • と 辺 Ａ Ｂ と の 交 点 を Ｅ と し ま す 。

こ の と き ， Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ と な る こ と を 証 明 し な さ い 。

証 明

△ Ｅ Ｂ Ｄ に お い て ，

仮 定 か ら ， ∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｂ Ｄ … … ① Ｅ Ｄ ∥ Ｂ Ｃ で ， 平 行 線 の 錯 角 は 等 し い か ら ，

∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｄ Ｂ … … ②

① ， ② よ り ， ∠ Ｅ Ｂ Ｄ ＝ ∠ Ｅ Ｄ Ｂ

２ つ の 角 が 等 し い か ら ， △ Ｅ Ｂ Ｄ は 二 等 辺 三 角 形 で あ る 。 二 等 辺 三 角 形 は ２ 辺 が 等 し い 三 角 形 で あ る か ら ，

Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ

次 の (1)か ら (3)ま で の 各 問 い に 答 え な さ い 。

(1) 上 の 証 明 の 「 仮 定 か ら ， ∠ Ｄ Ｂ Ｃ ＝ ∠ Ｅ Ｂ Ｄ … … ① 」 に お け る

「 仮 定 」 を ， 下 の アか ら エ ま で の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。

ア Ｂ Ｄ は ∠ Ａ Ｂ Ｃ の 二 等 分 線 で あ る 。

イ Ｃ Ｄ は ∠ Ａ Ｃ Ｂ の 二 等 分 線 で あ る 。

ウ 直 線 • は 点 Ｄ を 通 り 辺 Ｂ Ｃ に 平 行 な 直 線 で あ る 。

エ Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ で あ る 。

【 解 答 】

•

Ａ

Ｅ Ｄ

Ｂ Ｃ

•

Ａ

Ｅ Ｄ

Ｂ Ｃ

(2) 図 ２ の よ う に ， 図 １ の 直 線 • と 辺 Ａ Ｃ と 図 ２ の 交 点 を Ｆ と し ま す 。 こ の と き ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ

と な る こ と を ， △ Ｆ Ｃ Ｄ が 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と か ら 証 明 で き ま す 。

前 ペ ー ジ の 証 明 を 参 考 に し て ，

Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ と な る こ と の 証 明 を 完 成 し な さ い 。

（ 下 の の 中 に そ の ま ま 書 き 込 み な さ い 。）

証 明

△ Ｆ Ｃ Ｄ に お い て ，

二 等 辺 三 角 形 は ２ 辺 が 等 し い 三 角 形 で あ る か ら ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ

(3) △ Ｅ Ｂ Ｄ と △ Ｆ Ｃ Ｄ が 二 等 辺 三 角 形 で あ る こ と か ら ， Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ で あ る こ と を 証 明 で き ま す 。

Ｅ Ｂ ＝ Ｅ Ｄ ， Ｆ Ｃ ＝ Ｆ Ｄ で あ る こ と を も と に す る と ， 図 ２ に お い て ， △ Ａ Ｅ Ｆ の 周 の 長 さ と 等 し い も の が あ る こ と が 分 か り ま す 。 そ れ を 下 の ア か ら オ ま で の 中 か ら １ つ 選 び な さ い 。

ア Ａ Ｅ ＋ Ａ Ｆ

イ Ａ Ｅ ＋ Ａ Ｃ

ウ Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｆ

エ Ａ Ｂ ＋ Ａ Ｃ 【 解 答 】

オ Ｄ Ｂ ＋ Ｄ Ｃ

•

Ａ

Ｅ Ｄ

Ｂ Ｃ

Ｆ

•

Ａ

Ｅ Ｄ

Ｂ Ｃ

Ｆ