純水の透明度の計算画像による推計

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(1)陸水学雑誌（Japanese Journal of Limnology）81 : 119 - 136. 原著〔Original article〕. 純水の透明度の計算画像による推計佐藤信也*）. Estimation of pure water transparency using a calculated image. Shinya SATO*). Abstract The transparency of pure water is the maximum of all transparencies; it is a value required for transparency analysis. However, it is difficult to determine the pure water transparency value directly through experiments, and no universal value has been obtained theoretically thus far. Therefore, the transparency of a colour image is estimated by observing it on a luminance-calibrated LCD screen that displays the tristimulus values calculated for light arriving from the direction of a Secchi disk and background. The light scattered by water molecules was approximated to the first order. For incident angles of 0°, 10°, 20°, …, 80°, and 89°, the colour-image transparencies (CITs) were in the range of 101 ± 2.6 m to 124 ± 1.1 m. The monochromatic image transparencies (MITs) observed were similar to the research and the transparency-judgment mechanism was in the range of 95 ± 1.3 m to 117 ± 3.4 m. The total error was determined as the sum of the 95% confidence interval and trueness with respect to the transparency of light, calculated using the first-order scattering approximation. The root mean square of the relative error to CITs of the automatically determined transparency based on colour difference and threshold was 6.3 % while that to MITs based on contrast and threshold was 3.6 %. To improve the accuracy of colour-imagetransparency measurements, it is necessary to increase the order of calculating molecular scattering, improve image observation accuracy, and establish an evaluation standard. One methodology considered is to obtain an approximate pure water transparency value using a scaled-down transparency measurement experiment based on adding an absorbent to pure water. Keywords: transparency, pure water, first-order scattering, calculated image, visual observation. 摘要純水の透明度は，透明度を解析する際に上限値として把握しておきたい数値であるが，実験による直接的な確認が難しく，理論的にも普遍的な数値が得られていない。そこで，筆者は，水の分子散乱については一次で近似して Secchi 円板の方向から来る光と背景光の三刺激値を計算し，輝度を校正して表示した液晶画面を見て，透明度を観測した。このカラー画像による透明度（CITs）は，水面における平行＊. 〒010-0811秋田県秋田市泉釜ノ町12-16 12-16 Izumi-kamanomachi, Akita City, Akita pref. , 010-0811, Japan 連絡先：佐藤信也 Coresponding author: Shinya SATO, Email: [email protected]. 119.

(2) 佐藤信也光線の入射角0, 10, 20, …, 80, 89 度について101±2.6 m ～124±1.1 m の範囲であった。透明度判定機構を調べるために求めたモノクロ画像による透明度（MITs）は，95±1.3 m ～117± 3.4 m の範囲であった。誤差は，繰り返し測定の誤差と一次散乱近似による透明度の真値からの偏差の和である。色差またはコントラスト閾値により自動判定した透明度の平均二乗誤差は，対 CITs が6.3 % または対 MITs が3.6 % であった。CITs の推計精度を改善するには，水の分子散乱近似の高次化及び画像観測精度の向上が必要と考えられ，併せて，精度評価を確かにするためには，評価の基準となるものが必要であり，純水に光を吸収する物質を添加してスケールダウンした透明度測定実験により純水の透明度の近似値を得ることも方法の一つと考えられる。キーワード：透明度，純水，一次散乱，計算画像，目視観測（2019年11月27日受付：2020年3月4日受理）る色相の差。）を計算し，これらを人の眼が明るさの違. はじめに. いを感じなくなる閾値，または，人の眼が色相の差を感. 透明度は，水中に沈めた Secchi 円板を目視できる限. じなくなる閾値で評価して透明度を求める理論を提案. 界水深で，水中の懸濁物質やフミン酸などの物質の影響. し，純水の水深70 m までの計算を行った。この計算には，. を総合的に反映する水質汚濁指標の一つであり，現場で. コントラストと色差を総合的に評価する Schrödinger. 簡便に測定できることから広く活用されてきた。純水の. （1920）の理論が応用された。この色の差理論では，二. 透明度は，すべての透明度の上限値なので，透明度を解. つの色の差をコントラストと色差の二乗平均の形で総合. 析する際には把握しておきたい数値であるが，これまで. 的に評価する式が提案されたが，これを評価するための. に普遍的な値は得られていない。この背景には，これま. 閾値については，色感度の実測に基づいた色差部分の閾. でにフィールドで実測された最大透明度は大西洋の66 m. 値が与えられたのみで，コントラストも含む総合的な閾. （吉村，1937）であり，純水の透明度はこれより大きい. 値は示されなかった。そこで，竹内は，Schrödinger の. と推定されるが，水深70 m 超の純水のプールで透明度. 色の差の式をコントラスト部分と色差部分に分割し，コ. を実測するような実験的なアプローチは現実的でないこ. ントラスト閾値として独自の数値0.3を，色差閾値につ. と，そして，理論的には，以下に述べるような様々な研. いては Schrodinger が与えた色感度閾値を用いて，それ. 究が行われているが，推計が成功していない，という事. ぞれ評価することとした。この方法で純水の透明度を計. 情があると考える。. 算した結果，竹内は，「コントラストについては70 m で. 吉村（1932）は，Shourejkin（1923）が提案し Ramanathan. も閾値に達していないが，色差は60～70 m の間で閾値. （1925）が修正した透明度の理論を応用して，眼の感度. に達しているので，純水の透明度は60～70 m の間にあ. が最も高い波長における Secchi 円板（以下，単に「円板」. る」，と結論づけた。しかし，これは，色相に差はなく. という。）からくる光と背景光のコントラスト（円板光. なったが明るさにはまだ差がある，ということで，明る. と背景光の明るさの差の背景光の明るさに対する比。）. さの差で観測者には円板が見えているはずであり，水深. を用いて，純水の透明度を約120 m と推計した。この理. 70 m では透明度水深に達していないことになる。. 論は，円板に直達する光による反射光と，円板上の水柱. また，コントラスト閾値及び色の差の感度などについ. における水の分子による観測者方向への一次散乱光の和. ては多数の提案があり，1/57～1/186の範囲で7つの提案. を円板方向の光（以下，これを「円板光1」という。）と. （Schrodinger, 1920），Fechner の1/130（吉村1937），そし. し，背景からくる光については，水面から無限水深まで. て Helmholtz の1/133（Shourejkin, 1923）などがあるが，. の水の分子による散乱について，一次散乱光の和を「背. コントラストと色感度が厳密に区別されていない傾向が. 景光」として，単一波長における両者のコントラストを. ある。. 評価したものである。竹内（1952）は，これを発展させ，. その後，Jerlov（1968）は，水中の光の伝達に関する. 円板光1と背景光を波長の関数として，その三刺激値か. 最も簡易な理論として，水分子による散乱については一. らコントラストと色差（二つの色の三要素から計算され. 次の散乱のみを用いる「直接積分法」を示した。この理. 120.

(3) 純水の透明度の計算画像による推計論の特徴は，光源の入射角が考慮されていることであり，. ることになるが，円板の視角と輝度は，入射角と水深に. これに基づいて水面における反射及び屈折の角度そして. よって大きく変化するし，背景光の輝度も入射角によっ. 分子散乱の散乱角が定まる。既存の透明度理論では，背. て大きく変化するので，色感度実験における明るさと必. 景光の計算における分子散乱の散乱角として，90 度ま. ずしも一致しないからである。国際照明委員会（CIE）. たは180 度が用いられてきた。Jerlov の理論を応用する. のコントラスト閾値の式（International Commission on. と，入射角が0～90度の範囲で変化するとき，背景光及. Illumination, 1981）では，分母に背景の輝度が含まれて. び円板上の水柱で散乱されて観測者の方向に進む光の散. いて，背景が暗い（輝度が小さい）と閾値が大きくなる. 乱角は，90～180度の範囲となる。また，この理論から. ように補正されている。つまり，暗いときにはコントラ. 示唆されることは，既存理論では考慮されていなかった，. ストが大きくないと見えにくい，という人の眼の特性を. 円板より水深の浅い領域で散乱されて円板を照らす光も. 表現している。この明るさ補正を応用すれば，色差閾値. 考慮すべきことであり，この光の散乱角は，0～90 度の. にも明るさ特性を付与できる可能性がある。. 範囲となるはずである。. このように，純水の透明度に関する理論については，. 光の計算値が得られたとすれば，これを透明度に関. 光の計算方法，計算結果を透明度に関連づける方法とそ. 連づける必要がある。そのアイデアの一つは，マイン. の真度及び精度の評価，色差式，色差閾値に課題がある。. 湖に関する Web ページにヒントを得たもので，Lake. そこで，筆者は，これらの課題を解決して，純水の透明. Stewards of Maine（2019）の“Secchi disk simulator” で. 度について，次のように利用価値の高い推計値を求める. は，プログラムされた計算画像を見ながら透明度の測定. ことを目指すこととした。推計値は，すべての緯度のす. を体験できるようになっており，計算画像が透明度の実. べての時刻における太陽光の入射角に対応し，誤差も明. 測の代用となる可能性を示唆するものである。この方法. らかにすることとした。光の計算については，入射角 0. を用いて透明度を推定する場合には，繰り返し測定の誤. 度から90度の範囲について計算することとした。円板光. 差と真値からの偏りがあると考えられるので，精度と真. については，既存理論の「円板光1」は直逹反射光と円. 度（JIS Z8402-1, 1999）を評価しなければならない。. 板上の水柱で散乱されて観測される光で算定されている. 光の計算値を透明度に関連づける二つ目のアイデア. ので，水の分子散乱による光で照らされる照度も加える. は，光の計算値を基にして計算した色差を閾値で判定. こととし，背景光も含めて，全体が一次近似までの近似. して，目測によらず透明度にアプローチする方法であ. 計算となるように統一することとした。この計算結果を. る。色差については，竹内が応用した Schrödinger の色. 透明度に関連づける方法としては，画像化した計算結果. の差理論があり，これは，色と明るさの差を統合した理. を観察して透明度を判定する半実験的な手法を用いるこ. 論であるが，RGV 色空間（Schrödinger, 1920）を基礎と. ととし，閾値で自動判定する既存理論の純理論的な手法. するもので，その等色関数は，XYZ 色空間（JIS Z8781-. も精度が高ければ便利なので，閾値を工夫して試みるこ. 1, 2012）のそれと比較すると，波長範囲が狭く可視域を. ととした。既存理論における透明度の判定は，明るさの. 十分カバーしておらず，そのままでは十分な精度を確保. みで判定するものと，色差も考慮するものがあり，結論. できないと考えられる。また，Schrödinger の評価式は. が出ていないので，画像観測はカラー画像とモノクロ画. 実測に合わないとする意見もある（Stiles and Wyszecki,. 像の両方で行い，閾値による判定についても，色差とコ. 1967）。標準的な色差式としては， CIEDE2000色差式（JIS. ントラストの両方について検討することとした。その誤. Z 8781-6, 2017）があるが，この色差式は相対的な色差. 差については，画像観測の繰り返し測定による結果の統. を与えるものであり，色差の絶対値を必要とする場合は，. 計処理と，真値からの偏りに関する近似的な評価から全. パラメータを最適化する必要がある。. 体の誤差を評価することとした。さらに，推計精度を向. 色差の閾値については，Schrödinger が色の差理論に. 上するため，評価基準となる純水の透明度の真値に替わ. 関連して提案した色感度の実測値に基づく閾値があり，. る数値を得る方法を提案することとした。以下に，純水. その後に得られた波長範囲の広い実測値で置換して改良. の透明度の推計方法，結果について述べ，結果について. できる一面もあるが，色感度に関する実験は対象の明る. 考察する。. さを一定にして行われているので，そのままでは透明度には利用しにくい不都合もある。つまり，透明度水深では，輝度や色が同程度の円板方向の光と背景光を比較す. 121.

(4) 佐藤信也ためにコントラストによる判定も行った。透明度の測定. 方法. 条件，計算に用いた光源，光の計算方法，液晶画面上で. 純水の透明度の推計方法の概略は，各水深において円. の透明度の測定方法，誤差評価方法及び色差とコントラ. 板方向からくる光と背景光の輝度スペクトルの三刺激値. ストの計算方法とその閾値の設定方法は，次のとおりで. を計算し，これを液晶画面に表示し，円板の水深を変化. ある。. させたときに円板が背景と一体となって見えなくなった水深を透明度と判定するものである。これは， “Secchi. 測定条件. Reading Simulator” （Lake Stewards of Maine, 2019）からヒントを得たもので，純水の透明度を実測することは困. 純水は，無限の広さと深さを有する仮想の容器に満た. 難であるが，観測者の目に入る光を推計した画像を観測. されており，うねりや波はないものと仮定した。Secchi. すれば，実測に近似した結果が得られるのではないか，. 円板（以下，単に「円板」という。）は，白色の完全拡. と考えたものである。. 散反射面と仮定し，反射率（アルベド）A の値は，0.6（吉. フィールドで透明度を観測する場合と，画像を観測す. 村，1932; 竹内，1952）を用いた。光は，平行光線が鉛. る場合の違いと一致点は，次のように考えられる。フィー. 直線との角度0度から90度の範囲で水面に入射するもの. ルドでは，観測者は，太陽を背にしてロープを操作しな. とした。透明度の観測者は，この水中に鉛直に円板を沈. がら，水面から数十センチ～1メートルほど上方から水. めていき，その真上の水面直上から円板を目視したとき，. 中の円板を観測する。箱メガネを使用する場合もあるが，. 円板がその周囲の背景と区別できなくなったとき，円板. 水面の波やうねりによる影響で天空光も目に入る。広い. の水深を純水の透明度と判定するものとした。関連す. る定数は，水の等温圧縮率 σ=0.45×10-9 m2 N-1（1 atm）背景の中で円板は，次第に遠ざかるとともに視角が小さ， −1 −1 23 −1 -1 -1 205 𝑅𝑅 = 8.31 J K mol ，絶対温度 𝑇𝑇 = 288 K，アボガドロ数 𝑁𝑁 = 6.02 × 10 mol R=8.31 T=288 くなるが，その見え方は観測者の遠くを見る視力に依存気体定数 J K mol ，絶対温度 K，アボ，純水. 23 -1 N=6.02×10 すると推定される。透明度が大きくなると，観測者と水ガド理ロ科数年 mol 206 の比屈折率 μ = 1.333 ( 15℃)（表， 2016 ）を，用純い水たの。比水屈の折等率温μ=1.333 圧縮率は，面の距離は無視できるようになる。これに対して画像を（15℃）（理科年表， 2016）を用いた。水の等温圧縮率は， 207 厳密には圧力に応じて変化するが，ここでは圧力 1 atm の値で近似した。観測する場合は，水面で反射する天空光のような妨害光厳密には圧力に応じて変化するが，ここでは圧力1 atm. 208 は目に入らないが，円板の全体とその周縁の背景のごく. の値で近似した。. 一部が表示された画像を見るとき，室内が明るい場合に光源 209 は太陽光や照明を反射した光も目に入る。モニターと目光源 210 光源は，太陽光のスペクトルに近い CIE 標準イルミナント D65(JIS Z 8781-2) の距離が変化することによって，画像の見え方が変化することもある。円板の設定水深が大きくなるにつれて視光源は，太陽光のスペクトルに近い CIE 211 を用いた。そのスペクトルは波長 1 nm 毎に相対分光パワー分布標準イルミ 𝑆𝑆𝐷𝐷65 (𝜆𝜆)として与. 角が小さくなり，その見え方は，観測者の近くを見るとナント D65（JIS Z 8781-2）を用いた。そのスペクトル 212 えられているので，その最大値 117.812 を ASTM の標準太陽 AM1.5(The National きの視力に依存することになる。このように，画像観測は波長1 nm 毎に相対分光パワー分布 SD65（λ）として与 213 校正の標準する方法に Renewable Energy Laboratory, 2019)の最大値 1.4348 W m−2 nm−1でとフィールド観測とは，対象の色相と明るさと視角などえられているので，その最大値117.812を ASTM 基本的な事象について違いはないが，観測環境に起因す太範陽囲AM1.5（The National Laboratory, 214 より，波長 360〜 800 nm のの光源の放射照度Renewable スペクトEnergy ルを得た。地表にお -2 -1 る妨害光や光の揺れなどそれぞれに発生機構の異なる誤 2019）の最大値1.4348 W m−2 nm −1 で校正する方法により， 215 は次のように表すことける光源と垂直な面が受ける放射照度 𝐸𝐸0 (𝜆𝜆) W m nm 差要因が存在すると考えられる。波長360～800 nm の範囲の光源の放射照度スペクトルを 216 ができる。得た。地表における光源と垂直な面が受ける放射照度既存理論では，単波長のコントラストにより透明度を. E（λ）判定する理論と，可視波長全域にわたるコントラストと W m-2 nm-1は次のように表すことができる。 0 217 色差で判定する理論があり，人の眼の特性から可視波長 1.4348 218 E0 (λ)= 117.812 SD65 (λ) （1） (1) 全域で判定するのが妥当と考えられるが，人がコントラ 219 光源の平行光線は， Fig.1 光源の平行光線は，Fig.1に示すように入射角に示すように入射角 𝑖𝑖（ 0 ≤ 𝑖𝑖 ≤ π⁄2 ）radで水面 i（0≤ i ≤に入射ストのみで判定するのか，色差のみで判定するのか，そ. れとも，いずれか透明度の数値の大きな方で判定するの π⁄2）rad 220 するとき，一部は水面で反射されで水面に入射するとき，一部は水面で反射さ，残りが屈折して水中に入る。水中への入射か，について評価が定まっていないので，カラー画像とれ，残りが屈折して水中に入る。水中への入射角 j rad は， 221 角 𝑗𝑗 rad は， Snell の法則により併せてモノクロ画像の測定も行うこととした。また，肉 Snell の法則により (2) 222 j j= sin‒1 (sin i⁄nw ) 眼に頼らずに計算光から色差を求め，その閾値で自動判定して透明度を求める方法も試みた。ここでも，比較のである。ここに， 𝑛𝑛𝑤𝑤 は，空気に対する純水の屈折率で， 1.333 を用いた。 223. 224 225. 水面における反射率 γは，Fresnel の反射の法則により次のように表すことがで. きる。. 122. 1 γ γ= [{(nw cos i ‒ cos j)⁄(nw cos i + cos j)}2 +{(cos i ‒ nw cos j)⁄(cos i +nw cos j)}2 ] 2. Fi g.1.

(5) の和であると考えた。それは，光源から円板に直逹して反射されて観測される和であると考えた。それは，光源から円板に直逹して反射されて観 235 光234 ，円板の 234 のよ和りで水あ深るのと浅考いえとたこ。ろそでれ１は回，だ光け源散か乱らさ円れ板てに円直板逹にし到て達反し射てさ反れ射てさ 235 光水，深円の板浅よいりと水こ深ろので浅１い回とだこけろ散で乱１さ回れだてけ円散板乱にさ到れ達てし円て板反に射到さ達れして反射 1.4348 光，円 1.4348 235 板より 1.4348 (1) (λ) (1) E0 (λ)=E117.812 218 S235 ES0 (λ)= 0 (λ)= S D65 (λ) D65 (λ) ，円板より水深の浅いとこ(1) ろで１回だけ散乱されて円板に到達して D65 117.812 236 観測さ光 117.812 て 235 光れ，る円光板（よ散り乱水反深射の光浅）い及とびこ円ろ板での１上回部だのけ水散柱乱でさ散れ乱てさ円れ板てに観到測達さしれ 236 て観測される光（散乱反射光の）上及部びの円水板柱ので上散部乱のさ水れ柱てで観散測乱さされれるて観測さ 236 て観測される光（散乱反射光）及び円板 ⁄2観光219 源行の光平線行光線はによ示うすによ入うに入射 𝑖𝑖（ 0 ≤ ≤）radで πて面に入射 ⁄𝑖𝑖 2角 ⁄水の平に 0う≤ ≤236 π射射光は源，のFig.1 平，行Fig.1 光示線すは， Fig.1 に射示角す𝑖𝑖（よ角に𝑖𝑖 光入 𝑖𝑖（ 0）radで ≤測水 𝑖𝑖 さ ≤面れ πに 2入）radで水る光の（和散を「乱面反射光）2」と及び円上存部の論水柱で円散乱光されて観 1.4348 237 の三(1) つ円に板入光射呼板びの，既 1」と 236 ての観経測路さでれ，そる光（散乱反射光）及び円板の上部理の水の「柱で散板乱されて E0 (λ)= 117.812 SD65 (λ) 237 光の三つの経路で，その和を「円板光 2」と呼び，既存理論1」との「円板光 1」 237 光の三つの経路で，その和を「円板光 2」と呼び，既存理論の「円板光区ると一き部，一部は水面で反射され，残りが屈折して水中に入る。水中への入射き，て水中に入る。水中への入射 220 すはる水と面きで，反一射部さはれ水，面残でり反が射屈さ折れし，残りが屈折して水中に入る。水中への入射の三つの経路で，その円和を「板違光 2」とび，既 238 水純水の透明度の計算画像による推計別237 す入る射こ光 2と光 1円は，呼散射存光理の論有の「無で円あ板る 237 光とのと三しつたの。経円路板で光，その和板を「円の板光い2」と呼乱び反，既存理論の「円板 g.1 に示すように入射角 𝑖𝑖（ 0 ≤ 𝑖𝑖 ≤ π⁄2 ）radで面に 238 別しすたる。こ円と板と光し2たと。円円板板光光1 2のと違円い板は光，1散の乱違反い射は光，の散有乱無反で射あ光るの。有無であ 238 別することと rad は角， 𝑗𝑗Snell のに法よ則りによ d 𝑗𝑗は， Snell のrad 法則 221 は， Snell のり法則により 239 することとした。円板光 2 と円板光 1 の違いは，散乱反射光の有無円238 板入光射2別 238 別のす三る経こ路とのと光しにたつ。い円て板は光，2以と下円の板よ光う1にの計違算いしはた，。散乱反射光の有で反射され，残りが屈折して水中に入る。水中への経い路てのは光，に以つ下いのてよはう，に以計下算のしよたう。に計算した。 239 ‒1 円板光239 2 の三円経板路光の2光のに三つ以下のように計算した。 ‒1 ‒1 ⁄nsin (2) sin i⁄(sin ⁄ nw ) nw )jij= (2) (2) 222 j j= sinj j=(sin （2） w ) (sin i240 239 円板光 2 の三経路光については，以下ように計算した。直逹光に射散の乱，その 239 円よ板る光反 2 直逹光による反射光と散乱反射光については，それらの光三と経路の反光射に光つにいつていはて，は以下のれよらうにによ計る算円し板た上。の放射照則により 240 直逹光による反射光と散乱い反て射は光，そにれつらいにてよはる，そ円れ板ら上にのよ放る射円照板度上の放射 240 直逹光による反射光と散乱反射光につで223 あこるこ。にここ， 𝑛𝑛こは，空気𝑛𝑛すには対，す空る気純に水対のす屈る折純率240 での，屈1.333 を光用にいよた。をる。 𝑛𝑛にに対る純水の屈折率で， 1.333 を用いた。で，あである。ここに，n る。，こ気に，折直率逹で， 1.333 𝑤𝑤空 𝑤𝑤 は射れらによる円板上の 𝑤𝑤 による円板上の放射照度の和を求め，これが反射されて 241 の水和を(2) 求めがる反反射用さい光れたとて。散観乱測反者射に光届にくつといきてのは輝，度そ w は，空気に対する純水の屈折率で， 240 直，逹こ光れによる反射光と散乱反射光については，そをれ求らめにるよこると円に板し上たの j= sin‒1 (sin i⁄nw ) 241 のこ和れをが求反め射，さこれれてが観反測射者さにれ届てく観と測き者のに輝届度くをと求きめのる輝こ度とをに求しめたる。ことにし 241 の和を求め，観測者に届くときの輝度を求めることにした。直逹光に水224 面けにるお反ける反射 γは，Fresnel の反法射則のに法則により次のように表すことでにお率，Fresnel の γは反射のの水射面1.333を用いた。にγはお率ける反射率，Fresnel のよ反り射次の法よ則うにより次のように表すことがで 241 のに和表をす求こめと，がこでれががFi 反射Fi され射て照観度測(Wm 者に−2届nm く−1 と)はきのと g.1 242 ，輝円度板をの求水め深るをこ 𝑍𝑍 m 直逹光にけ放 g.1 241 のよ和るを円求板めの，表こ面れにがお反射るされて観Fi測g.1 者に届−2 くきの輝度を求めるこ，空気に対する純水の屈折率で， 1.333 を用いた。 -2 と-1 −1 −2射照−1 242 nmの )は深，を円𝑍𝑍板の水深を直円逹板光のに表よ面るに円お板けのる表放面射に照お度け(Wm る放度)は (Wm γ は，Fresnel よる円板の表面における放射照度（Wm 水面における反射率の反射の法則によ nm ）は，円 242 nm ，円板水 m，直逹光による −1 る。 225 きる。 −1 面における放射照度 (Wm−2 ，長円板𝑍𝑍の水直束逹光によ数るを円板の表 −1)は 243 すると，水面から円板 −2 ま-1nm での光 sec 純242 水がので光 mm，純水の光束消散係数を 242 nm )は路，円が板の水直逹消光散に係よ−1 る円𝑐𝑐(𝜆𝜆) 板Z の表と面 (Wm 板の水深をとする m は，Fresnel のり次のように表すことができる。反射の法則により次のように表243 すこと −1における放射照度c（λ）るらと円，板水ま面でかのら光円路板長まがで𝑍𝑍の光𝑗𝑗 路長が 𝑍𝑍 s 消散数すをる 𝑐𝑐(𝜆𝜆) g.1 243 とm ，水と面すか sec m 純水の光束消純散水係の数光Fi を束 𝑐𝑐(𝜆𝜆) m係と −1 ， j水から円板までの光路長水の光と，水面から円板までの光路長が束消散係数を 𝑐𝑐(𝜆𝜆) m −1とすると Z sec 1 m面なので， 1 1 244 な243 ので, 純純のj)w光数 j) を}2𝑐𝑐(𝜆𝜆) 2 j)}2 +{(cos 2 ]束j)消 [{(n ⁄cos (niwi+‒cos (cos γ=w cos cos ij)+j)}cos i ‒j)n}j)w2243 cos j)i⁄で icos +n }cos (nwj) ⁄ (cos ] m とすると，水面から円板までの光路長 ⁄ (nwな ⁄(cos}2i]散 γ γ= γ[{(n iw‒cos cos cos +{(cos i i‒+で ncos cos γcos γ=ij)‒⁄[{(n cos cosの +{(cos i+n ‒ ,wn水 j) +n係 cos 244 なの w,cos w w w 244 2 2 2 244 なので , 245 (5) E E(λ) cos j Exp{‒ c(λ)Z sec j} （5） 244 なので, 245 E E(λ) Exp{‒ c(λ)Z sec j} 245 E E(λ) cos j Exp{‒ c(λ)Zcos secj j} (5) os226 j)⁄(nw cos i + cos j)}2 +{(cos i ‒ nw cos j)⁄(cos i +nw cos j)}2 ] 245 (3) (3)E E(λ) cos （3） (3)Exp{‒ c(λ)Z sec j} 246 である。ここにである。ここに，，光束消散係光束消散係数は，数cos はjj， Smith and Baker（ 1981）による波長範 245 E E(λ) Exp{‒ c(λ)Z sec j} Smith and Baker （1981） 246 でにあ，る光。束こ消こ散に係，数光は束，消Smith 散係数は， Smith 1981） and Baker（ 246 である。ここ and Baker（による1981）波長範に囲よる波長これを用いると，水面直下における入射光と直角な面が受ける入射光の放射照を 227 用いると水面用直い下るにとお，け受こ，れを水る面入直射下光にとお直け角るな入面射が光とけ直る角入な射面光がの受放け射る照入，射光光束の消放射係照nm 246 である。ここに散数は and Baker（ 1981）によるによる波長範囲360 ～800 これを用いると，水面直下における入射光と直角な面が 247 360 〜 800 における純水の実測値を用における純水の実測値を用い，たSmith 。 246 でnm ある。ここに，光束消散係数は， Smith and Baker（ 1981）による (3) -2〜 -1 247 360 〜 800 nm における純水の実測値を用いた。 247 360 800 nm における純水の実測値を用いた。 −2 −1 −2Wm −1 nm E −2 −1 いた。受ける入射光の放射照度（λ） Wm nm は，は， 𝐸𝐸(𝜆𝜆) は，Wm nm は， Wm 228 nm度 𝐸𝐸(𝜆𝜆) 247乱反 360 800いnm に，次おける純水の実測値を用い 248 射光〜にては板たよ。り水深が浅いところで 247 360 〜つ 800 nm におけのるよ純う水にの計実算測し値たを。円用いた。直下における入射光と直角な面が受ける入射248 光の散放散射照乱い反て射は光，次に散乱反射光については，次のように計算した。円板よついては，次のしよたう。円に計算した。円板浅よいりと水こ深ろがで浅水いところ 248 散乱反射光につのように計算板より水深が (λ) (4) E(λ)=(1‒ γ)E0 (λ)γ)E (4) E(λ)=(1‒. （4） E(λ)=(1‒ γ)E 229 (λ) (4) 0 乱反射光より水深が浅いと 0 249 分248 子によ散り乱にさつれいててかはら，次円板のによ到う達にす計る算光しにたよ。円る放板り水深が浅いところで水分子により1回散乱されてから 248 散１乱回反散射光については，次のように計算した。円板射よ照り度水つ深いがて浅はい， 249 分回子散に乱よさりれ１て回か散ら乱円さ板れにて到か達らす円る板光にに到よ達るす放る射光照に度よつるい放て射は照，度光ついては 249 分子により１なる。となとなる。。る。 230 子によ円板に到達する光による放射照度ついては，光の経路をり１回に散乱されてから円板に到水達する光に点よる放お射照度つい 250 mのの249 経路(4) を分 𝑃𝑃1 光 1に 249 分示子しにたよ Fig.1 り１回散お乱いさてれ，て水か中ら入円射板光にが到達深す𝑍𝑍るによPる放射い照て度水つの (1‒ γ)E0 (λ) mの点 P に路を示にしおた Fig.1 において，水中入射光が水深 𝑍𝑍 250 mの点 P において水の分おいて水の経路250 を示しのた経 Fig.1 いて，水中入射光が水深 𝑍𝑍 𝑃𝑃1 1 示した Fig.1において，水中入射光が水深 𝑃𝑃1 1ZP1 m の点 P1 231 点おい Fig.1 おいて，水光Pが水お深け𝑍𝑍る 𝑃𝑃1 mの 1に 251 微小体P 𝑑𝑑𝑑𝑑が子250 によりの散経乱路さをれ示てし点た Qに到達にする場合を考中え入る射。点 1に 250 mの点 P積の経路を示した Fig.1 において，水中入射光が水深 𝑍𝑍 𝑃𝑃1 1にお Qるに到達する場円板方向からくる光の計算 251 における微小体積 𝑑𝑑 子さにれよてり点散Qに乱において水の分子により散乱されて点されて点 Qに到を達考すえるる場。合を考える。点 P 251 におけ微小体積 𝑑𝑑𝑑𝑑が受子により散乱到達する場合点 P 1 1 板方ら向くからくる光の向か円る板光方の向計か算ら計く算る光の計算 232 子照に度よ(Wm り合を考える。点散−2乱nm さ−1 れ)はて，点PQに到達する場合を考える。点 P1 における微小体 252 け251 る放射 dv 水面直上で水中を見る観測者に円板の方向から届く光における微小体積が受ける放射照 251 子により散乱−2され−1 て点 Qに到達する場合を考える。点 P1 における微小 1 −2射照−1 )は，る放 (Wm 252 nm 度)は， nm ける放252 射照度け(Wm -2 −2-1 −1 は，次の三つの経路の光の和であると考えた。それは，度（Wm nm ）は， 252 nm )は，ける放射照度 (Wm −2sec j} 253 (6) E放 E(λ)Exp{‒ 252 nm−1)は，ける射照度 c(λ)Z (WmP1 計算 253 sec j} E E(λ)Exp{‒ c(λ)Z 253 sec j} (6) E E(λ)Exp{‒ c(λ)Z P1 光源から円板に直逹して反射されて観測される光，円板 8 P1 8 8 253 E(λ)Exp{‒ c(λ)Z sec強 j} 度 𝑑𝑑𝐼𝐼 W nm−1は，（6） P1 のなので，微小体積E よる散乱光 254 253 E𝑑𝑑𝑑𝑑に E(λ)Exp{‒ c(λ)Z P1 sec j} −1 1 −1 より水深の浅いところで１回だけ散乱されて円板に到達，微よ小る体散積乱𝑑𝑑𝑑𝑑に光の強度 𝑑𝑑𝐼𝐼 254 W nm は， 254 W nm は，なので，微小な体の積で𝑑𝑑𝑑𝑑に光のよ強る度散𝑑𝑑𝐼𝐼乱 1 1 −1 -1 は， 254 なdのdIで，微小体 c(λ)Z 積 𝑑𝑑𝑑𝑑によ散光の強度 𝑑𝑑𝐼𝐼1dIW (α乱 (7) 255 j}β dv るして反射されて観測される光（散乱反射光）及び円板のなので，微小体積による散乱光の強度 Wnm nm−1 は， 8 1 =E(λ)Exp{‒ P1 sec 1 )dv 1W なので，微小体積 𝑑𝑑𝑑𝑑による光の強度 𝑑𝑑𝐼𝐼 254 nm は， 0散乱 1 (α )dv d c(λ)Z dI1 =E(λ)Exp{‒ 255 d dI1 =E(λ)Exp{‒ c(λ)Z sec j}β (α )dv (7) 255 sec j}β P1 1 0 P1 1 0 上部の水柱で散乱されて観測される光の三つの経路で， d dI1 =E(λ)Exp{‒ c(λ)ZP1 sec j}β0 (α1 )dv と255 なる。 256 d dI1 =E(λ)Exp{‒ c(λ)ZP1 sec j}β0 (α1 )dv 255 （7）となる。となる256 。 256 その和を「円板光2」と呼び，既存理論の「円板光1」と −1 となる。 256 257 点 P1 における散乱角 (rad)である。また， 𝛽𝛽0 (𝛼𝛼1 ) m−1 sr は，スここに，と 𝛼𝛼 な1はる，。となる。 256 −1 区別することとした。円板光2と円板光1の違いは，散乱 −1 −1 (𝛼𝛼 ) m 257 は，点 P における散乱角 (rad)である。また， 𝛽𝛽 sr−1は， (𝛼𝛼 ) m 257 ，こ点に P1，に 𝛼𝛼おける散乱角 (rad)である。また， 𝛽𝛽 sr は，スモここに， 𝛼𝛼1はこ 1 1 0 1 0 1 ) m−1 は Pタにけ角 (rad)でた， 𝛽𝛽 (𝛼𝛼るこに， 𝛼𝛼イ αュ反射光の有無である。円板光2の三経路の光については，ここに，点 Pンにおける散乱角（rad）である。また， 258 ル257 コフスこキン，シ点イおのるゆ散ら乱論におあけるる。水まのsr 散 1は， 1け (𝛼𝛼11 )光 m−1 257 ，点 P11 におる散乱ぎ角理(rad)である。ま分た子，に𝛽𝛽00よ sr こーこ・にア， 𝛼𝛼11は 258 ルコフスキー・アインシュタインのゆらぎ理論における水分子による光の -1 -1 258 ルコフスキー・アインシュβ（α タインのゆらぎ理論における水分子による光の散乱 m アsrイは，スモルコフスキー・アインシュタイン 0 ー 1）コフスキ・ンシュタインのゆらぎ理論における水分子による )LJ 259 関258 数で，ル 258 ルコフスキー・アインシュタインのゆらぎ理論における水分子によ 259 関数で，のゆらぎ理論における水分子による光の散乱関数で， 259 関数で， 1‒δ 2 259 関数で， )=B(λ) (1+ cos β0 (α11‒δ 260 α1 )2 , 関数で， 𝑖𝑖 259 1+δ 1‒δ cos 2 (α )=B(λ) β 260 α ), (1+ (α )=B(λ) 260 (1+ 01+δ 1cos α1 ) , β0 1 1‒δ1 1+δ (8) β0 (α1 )=B(λ) (1+ 1‒δ cos22α1 ) , 260 2 β0 (α6(1+δ) 260 Air cos α1 )（8） , (8) π σRT 1 )=B(λ) (1+ 1+δ (8) 1+δ 2 2 2 2 2 (μ ‒6(1+δ) (μ +2) B B(λ)= 1) π 4σRT 6(1+δ) (8) π2 σRT 2 2 2 2 2 2 2 2 18 6‒ 7δ 2 ‒ 1) (μ +2) Water 𝜙𝜙 (8) B (μB(λ)= (μ +2)4π(μ B B(λ)= ‒ 1) Nλ . 6(1+δ) 2 σRT 2 4 2 2 2 18 6‒ 7δ σRT Nλ π 6‒ 18 Nλ 7δ (μ 2‒ 1) 2(μ 2+2) 2 6(1+δ) B B(λ)= 4 (μ (μ B B(λ)= 18 Nλ 4 ‒ 1) +2) 6‒ 7δ 18 Nλ1968）。ここに，λ は光の波長（m） 6‒ 7δ 𝑗𝑗 と表わされる（Jerlov, 𝑍𝑍 234. 217. 𝑃𝑃1. Observer. 𝑂𝑂. 𝐿𝐿𝑑𝑑1. 𝑍𝑍. Q. Air Water. 𝜃𝜃. 𝑟𝑟1 𝛼𝛼1. 9 で，パラメータ δ=0.090（Morel, 1968）を用いた。 9 9 θ，点 Q で円板に当たる散乱光が鉛直線となす角を 9 9 入射光を含む平面を ϕ=0とする方位角を ϕ として，点 P1. にある微小体積 dv により散乱された光（強度 dI1）が点. 𝑃𝑃1. Disk. Q において円板を照らす放射照度を求め，これを角 θ 及び ϕ について積分すると，次のように円板表面における散乱光による放射照度 Esct（Z, λ）W m-2 nm-1が得られる。（点 P1における微小体積 dv による散乱光強度 dI1 から（9）式を誘導する経過については，付録を参照のこと。）. 図1 一次散乱光による円板反射光の経路． Fig.1 Path of the reflected light on the disk after being first-order scattered by water molecules.. 123.