53
相異なる物質の二つの
部分よりなる扇形の板の熱伝導
小平吉男＊・合田一夫＊＊
Conduction of Heat i皿aFan．shaped Plate Composed of Two Parts with Differe皿t Physical Constants
by Yos畑o KODAIRA＆Kazu・o GO
UDA
S。pP。，e a f・n−・h・p・d pl・t・h・vi・g a cent・al・ng1・α・nd tw・・id…fl・ngtl・・ Thi・
pl、t。 i， c・mp・・ed・f tw・p・・t・， th・inn・・p・・t b・tween th・・adii・・and b・nd・ut・…e outside of radiusα1． The outer part is supposed to be made up of material l and the inner of 2． To all the physical constants of the inner part we attach a su伍x l and to those of the outer part a su伍x 2． This plate is shown in Fig．1．
The differential equations for the conduction of heat expressed in terms of r，0，ノare gi。。n by（1）・nd（2）．・・1 and・ ， a・e th・t・mp・・at・・e・…2・rc・2 th・di鉦・・i・iti…c・2 a・d・22 are constants representing the degrees of emissi皿of heat at the surfaces． The boundary conditions at the boundary of two materials r＝αエare（3）and（4）， which mean the tempera・
tures and the flows of heat are equal， where k， andゐ2 are the coeMcients of thermal con・
duction． The other boundary conditions are given by （5）一（10）． The 三nitial conditions are （11） and （12）．
The elementary solutions of（1）and（2）are given by（13）and（14）， where J打1（k2βir），
」，12（k，β、づ，y。1（k，β、・）， Y。，（k，β，・）・・e B…el fun・ti・n・and N・・m・nn fun・ti・n・re・pecti・・ly・
Cnl，βπエ， Cβ1，刎， Dβ、，nl， En2， Fn2， Gp2，n2 HP2，n2 are constants to l）e determined by the bound・
ary and initial conditions・
Before we put the boundary conditions in（13）， we皿ake the time factors equa1・which gives （15）・
From the boundary conditions， we getヵ1＝刀2＝72tπ／αぴt＝1，2，3……）and（24）． By
（15）、nd（24）we can cal・・1・t・the eig・nv・1・e・・f th・p・・b1・m・（24）is sati・丘・d byβ・＝0
。ndβ、−0， b・t i・thi・ca・e we ca・p・・v・th・t th…1・ti・n・bec・m・t・i・1・u…nd・・w・
exclude this case．
Fig．3shows howβ1 andβ2 are determined by using graphs． In this figure the curves
（15）。nd（24）・・e d・aw・by p・11i・g・・m・・i・a1・・1…1・the exp・essi・n・・The s th p・・iti・・
roots ofβ1 andβ2 are denoted byβ1，m，， andβ2，m，s， which mean these eigenvalues depend uponカas well as 3．
The eigenfunctions of the problem are sin（〃1π／α）θ ltl，m（ち∫）and sin（〃膓π／α）θ tt2，m（ち∫）
wlle，e，，1，，，（。，，）。nd，，，，m（・，・）。・e gi・・n by（30）・nd（31）・The exp・essi・n・・f・h・p・・bl・m by means of the eigenfunctions are （34） and （35）・
The e。p、n，i。n・・f the a・bit・a・y f…ti・n・f （・，0）・nd・f2（ち0）by mean・・f・ig・nfun・
tions are obta三ned， after some long calculations， to be （62）and （63）・
By the・e exp・n・i・n・the・・1・ti・n・・f the p・・b1・m・・e ea・ily w・itt・n d・w・i・th・f・・m of （66） and （67）．
As the second problem， we take tlle bo皿dary condition（68）in place of（6）． The differential equations forび1 and〃2， and the other conditions aτe the same．
＊理工学部物理学科教授 物理数学
＊＊理工学部物理学科助手 物理数学
54
In this case the eigenvalues are calculated by （15）and （72）． The curves representing these equations are shown in Fig．4 by tak三ng suitable numerical values for the physical constants． The eigenfunctions are given by（76）and（77）．
The expansions of arbitrary functions by means of the eigenfunctions are somewhat tedious， because the eigenf皿ctions are not orthogonal， as seen from （100）， where the functionaI form ofσ2，n（a，5）is given by（81）。
The expansions of arbitrary functions of r・are given by（105）and（106）， where IV （β1，m，p，
β2，nz，p）is g三ven by（104）． It is easily seen that these expressions are very complicated．
Using these expansions the solutions of the problem are given by（109）and（110）．
問題1・頂角α，半径aの扇形の切り口 を有する板があり，その中の半径bとalな る部分が他の物質よりなっているとする。
（図1）。半径うからalまでの物質は1なる 物質，半径a、からaまでの間は2なる物質 より成るとし，これらの物質に関する物理的 の量には脚符に1又は2を附けて，夫々それ らの量に対するものであることを示すことと する。温度をπ1，u2を以て表わし，板の両 面から板の温度に比例する熱の放散があると すれば，二つの部分に対する熱伝導の微分方
程式は b
第1図 Fig．1
弩㌍司睾己夢＋き幕）−c12tt…［b＜・＜al］t 票一ザ（警＋÷雲＋き闇一c・2u・・ ［ai＜r〈a］
α1
（1）
（2）
a
の如く書くことができる。温度は平面内の極座標r，θを用いて表わしている。tは時間，
κ、2，κ22 は熱拡散係数，C、2， C22は熱の放散の度合を示す定数である。
相異なる二つの物質の境界線r＝alに於いては
（ttユ），＝。1＝（び2）。．α1，
fel（∂Ztt∂r）r．a、 −k2（誓）r．al
（3）
（4）
なる境界条件が成立するとする。h1， k2は熱伝導度を表わす。（3）はこの部分はr＝a、に 於いて温度が等しいこと。（4）は熱の流れが等しいことを表わしている。
他の辺に於ける境界条件として次のものを採ることとする：
（Ul）r＝b＝0，
（tt2）r＝a＝0，
（lel）e＝o＝0，
（5）
（6）
（7）
55
（Ul）e＝。＝＝0， （8）
（tt2）e＝o＝0， （9）
（tt、），。。＝0． （10）
又，初期条件として次の如く与えられるとする： （Ul），．6＝f，（rJ O）， （11）
（tt2）t・・＝f，（rJθ）・ ， ， ． （12）
偏微分方程式（1），（2）の特解は ul＝e−（c12＋t12【22fi12）t（Anl cos lliθ十Bni sin 71iθ）｛Cfi，，niJni（κ2βtr）十Z）β1，η11㌦1（κ2βir）｝， （13） u2＝e−（c22＋t12r22fi22）e（En2 cos n2θ十1㌦2 sin n2θ）｛Gβ2，n2Jn2（rciβ2r）十 Hfi2，η2】㌃2（κ1β2τ）｝ （14） なる形に書ける。κ2βエ，κ1β2は境界条件から決定される固有値，」ぷκ2β1r），」。2（K1β，？ ）は 211，112次のBessel関数， Y竺1（rc2βir）， Yn2（rciβ2r）はlllt ll2次のNeumann関数を表わし， A。i， B。i， E。2， Fn2は夫々IZI，π2を含む積分定数， Cβ1，nl， Dβ1，・1， Gβ2，。2， Hβ2，。2は夫々βエ， 21エ，β2，112を含む積分定数である。 境界条件は如何なる時刻に対しても成立すべき条件であるから，（13），（14）に於ける時 を含む微係数が同じでなくてはならない。即ち c12十h i2rc22βi2 ＝＝ c22十κ12κ22β22 （15）
が成立する。 境界条件（7），（9）から Ani＝0， En2：＝0 （16）
となる。 境界条件（8），（10）から nl＝n2＝〃2π／α ［m＝1，2，… …エ （17）
の如くなるから以後211，n2何れもπとして書くこととする。 境界条件（5）から Cβ、，。み（κ2β1ゐ）＋Dβ、，η｝㌦（κ2β1み）＝0 が成立しなくてはならない。これは新しい定数KPI，nを用いて C鋼一蕊論）・D…n−一轟1の （18）
と置けば満足される。
又境界条件（6）から
Gfi2，nJn（rCiβ2a）＋Hβ2，nYn（ti1β2a）＝0
となる。これは新しい定数Lp2，nを用いて
56
G・…n＝み蒜の・
と置けぽ満足される。
（16），（17），（18），（19）カtSら
となる。
境界紺（3），（4）から
Jn（κ2β、a、） 】㌦（rc2βia、）
Jn（rc2β，b） Yn（rc2β，b）
kirc2BiBnKfii，n（ 刀 」義（κ2βlal）一み＋1（κ2β、α、κ2β、α、 み（κ2β、b） ）
rk、
・1−B・K・1・ne−・…＋・…2・・・…S…θ
︵
・・一・7TnLp2sne−CC22＋ri2r・・・・・・・・・…
︵
硫（ ）一凡・…n（
Lp2，n Hβ Yn（rc、β2a）
蒜鵠一畿；i；）・
lX（ ｝P；−ma（P）
蒜鰐一鷲勧）・
刀
】㌃（κ2β、a、）一】㌃＋、（κ2βia、）
TIN．．z「trvL／ rc2β1al
一k，，，iP、F。L、，，，n（
が得られる。
1
11 κ2β、al
（19）
（20）
（21）
（22）
Jn（rCsβ2a、）−Jn＋1（κ1β2α、）
y竺（rc2β、b）
刀 Yn（κ、β2α、）一】㌦＋、（κ、β2a、）
rCsβ2a、
Jn（κ1β2α）
βキ0，β2キ0と仮定すれば（22），（23）から 21 Jn（rc2β、al）−Jn＋1（rc2β、a、）
κ2β、a、
．Yn（κ・β・α）
臨（ 2β、α、）−Y。＋、（κ2βiα、）
（23）
k、rc2β、
＝k・κ・β・
β、＝
めには
Jn（κ2β、b） Yn（κ2β、b）
Jn（rc2β、a、） Yn（κ2β、al）
Jn（κ2β、b）
11 Jln（κ1β2α、）−Jn＋、（κ、β2al）
κ、β2a、
Jn（rClβ2a）
Yn（rc2β、b）
ll Yn（κ、β、aユ）−Yn＋1（rc、β2a、）
rClβ2aユ
】㌃（κ、β2a） （24）
Jn（κ、β2α、） Yn（κ、β2a、）
Jn（κエβ2a） Yn（rClβ2a）
が得られる。
β2＝0の場合には特解（13）において，｝㌃（0）ニー。。となるので，ttiが有限であるた
Dp1，n＝0
でなくてはならない．又・Jn（・）一・であ・・とから（・一瓢一1・葛……）
π1ニ0 となる。同様に『
tt2＝0
57 となる。従ってβ、ニβ2＝0の場合を考える必要がない。
（24）式から固有値κ2β1，κ、β，が決定される。β1，β2を決定するために（24）式の左辺と 右辺をそれぞれη1（β，），η2（β2）とし，第2図のような補助のグラフをつくり，η、とη2の η1η2
1v 17
16 15 141：！
、⊥
3 2 1 0 1
一 2 一 3 一 4 一 5 一 6 一 7 一 8
一10
η
β！
→β・
58
等しい所に対するβユ，β，を読みとり，・凡その値を示す図を作ってみると第3図のようにな る。（15）は双曲線である。 、
0
2
β
β2．
1 2 3 4 5β1．1．，6 7 8 9 10→β1
第3図 Fig．3
（24）は複雑な曲線であるが，同じような形の曲線が何個も原点を取巻いている。これら二 曲線の交点からβ、，β2が決定される。このような根は無限に多くあることが分るであろ
う。 （図1こはα＝π12，κ1＝1，κ2＝2，k，＝1， k2＝2，ゐFO．8， ai＝1， a＝1．2， c1＝1， c2＝1．2，
π＝勿π1α＝2（m＝1）としてある。）
（15）と（24）とから得られるβユ，β2の正根を大きさの順序に並べて5番目のものを夫 々β、，7n） s，β2， M，，と書くこととする。但し添字mは11＝mπ／αのmを取った場合であ る。ttエ， lt2は次のようllこ書かれる：
億㍍恥一繊卵㌘・（JTm。／a（κ2β、，m，，r） Ym．／。（κ2β、，m，，ア）Jm＝tα（sc 2Ps，m，sb「） Ym＝1 （、κ2β1，m，
sb）），
（25）
⊇ξ硫…一写瓶綱頭三・（Jlmr／a（rClβ2smrS7う Ym＝ノα（rClβ2，M，sf）．万η総／α（κ、β2，7π，sα） 工㌃㍑／α（κ1β2，，π，sa））・
（26）
境界条件（3）から得られる関係により
泓麺（ み（κ2β1，m，saエ）
Jn（κ2β」，m，sろ） 一
曇｛：9：：ll；））
59
≡＝・（Jn（κ、β、，，η，sa、Jn（κ1β、，7n，sa））一誓｛：；ll：1ス1）−K・・s （27）
と置く。
これから
t］lm．、。（κ2β、、m，sr） Ym．／。（κ2β、，m，，r）
・1一蕊ふパーμ戸・・巡蠕1繹1：：：碧）巖蕊蒜・（28）
J元r／a（κ2β1，m，sb） ym＝！a（rc2β，，m，sb）
Jmr／α（rClβ2，M，sr） Ym＝ノα（κ1β2，m，sf）
炉蕊臨・一働卵÷・撒二1 ㌶）巖畿蒜（29）
Jm．、。（κ・β・JM，・a） Y加。（κ、β2，m，sa）
と書くことができる。又，
φ調一￡1畿嬬一藍ll篇：：：鶉・ （・・）
t… ・n（・・ s）一熟鵠1：：嵩一誓1；綴1鷲 （31）
と置き，更に
ltl，m（r， s）
ニX，，s（r）， （32）
ltl，m（a1，s）
tt2，m（r， s）
＝X，，s（r） （33）
2 2，，，（al，S）
と置くと，境界条件を満足するltl， tt2は次のように書かれる：
。1＿￡i2］ K。，， e−・・12＋・・2・22・・1，・，s2・t，i。励θXL，（r）， （34）
m＝1s＝1 α
，t，一量ΣK。，，，一・・22＋r、2・2・P・，・，・2・t・si。≡θ晃，，（r）． （35）
M＝1S＝1 α
（34），（35）に夫々初期条件（11），（12）を入れると ゜° ◎° mπ
f，（rs O）＝ΣΣKm，ssin−OX，，s（r）， （36）
m＝1S＝1 α ゜° ㏄ mπ
OX2，s（r） （37）
五（r，0）ニΣΣKm，， sin m＝1S＝1 α
となる。このような展開式を作らなくてはならない。
f，（r，0），f，（1 ，0）の展開の先ず0に関するものはFourier級数を用いて展開すれば f・（rt・）一鷺…÷・∫：f・（・…）…㌘・昧 （38）
f・（…e）一誌由÷・∫：f・（r・・2）s・・ 一1：rL・ZdZ （39）
60
であり，次にf，（r，7．），f，（1 t 2）をrの関数と考えて展開すると
一Zf、（，， 7．）一￡鵡，s Xi，s（r）， （40）
α s＝t
Zf，（r，、2）−EKm，sx2，s（，う （4・）
α S＝1
と害ける。更に
K，，，，一旦Ms （42）
a と置くと
の
f，（プ，2）＝ΣMsX1，s（r）， （43）
S＝1
f，（r，2）＝ΣM，X2，s（r） （44）
s＝！
となる。Msは（43），（44）を満足するように決定されなくてはならない。 M，を決めるに は（43）にklrc22Xl，p（r）rを掛けてbからaエまで積分したものに（44）にゐ2κ、2×2，p（r）rを 掛けてaエからaまで積分したものを加え合わせる：
・・…ll 輸x1㌦＋・・…∫t，f2嚥・・d・
一鰍耐1㍍（r）！x…P（働碑基θ石（r）・dr）・（・5）
尚UllM及びlt2，mは11の関数とも考えられるので，それを表わすために
・tl・m（r7 s）一票：；t：：：：旨一曇ま；農：：：：h −u…（r， s）， （46）
tt・・m（・・ s）一嬬鵠一；蕊：1；−u…（r， s） （・7）
の如く書くこととする。然るときは
漂鵠｝一鵠鵠一u・・n（・…）・
芸篇謡）一】曇1巖：旨）−u…＋・（ai・s））
蒜鴛鷲一鷲念留一u・・n（φ・丸 芸畿瓢）−1銑離鴛鍔）−u…＋1（al・s）
となる。又，（24）のβ1，β2の代りにβ1，m，s，β2，m・を入れたものは σ1，η（α1，∫）一σ1，。＋1（角，S）
rc2βi，M，sa、
k、κ2βbm，s
σ1，n（a1，s）
11
σ2，。（a、，S）一σ2，。＋1（a、，5）
rcli92，m，sa、
（48）
＝☆2κ、β2，m，s
U2，n（a1，s）
61 と書かれ，
σ2，n（r）∫）
σ1，η（rss）
（49）
X2，，（r）＝
x，，s（r）ニ
σ1，η（aユ，∫）
σ2，n（a1，5）
と書くことができる。
まず5≒Pとする。
∫1 x…（・）x・・P（r）・dr一研血，量輌）∬ぴ鋼砺（r・P）・dr
となる。
研綱一援ま；；1：：：嵩一魏≡li：謡
であるからσ、，。（b，s）＝0である。これとσ1，n（r，s）も円柱関数なので公式を用いると ∫1 u・・n（ち弥（r・・P）rdr
［・σ・，・（・，・）Ul，・・（・，P）−rσ・・n・（ちのひ・・剛11 tr22（β1，m，s2一β1，m，P2）
一ト…輪（al・・）（rku・・n（al・i ）−u…＋・（・…）））
−K・P・・m・sai（蕊kUi，n（ai・の一Ul・・＋1（al・・s））u・・n（al・P）｝
÷tr22（β∫，m，s2一β1，m，P2）
となる。
次に
∫き紛編（r）・dr−u，，n（al，㍍編）∫：脇（r・・s）u・・n（r・・P）rdr
を計算する。U2，n（a，s）＝0であり，σ2，n（r，s）は円柱関数なので公式を用いて ∫㌔（r，s）σ2，n（プ，1う）・dr
［錫（r・・s）σ・・n （ちカ）−rU・…（…s）CJ・・n（・カ）工、
κ、2（β2，m，，2一β2，m，P2）
−a、σ，，。（α、，S）U，，nt（a、，P）＋a、σ2，。 （α、，∫）σ，，。（aユ，P）
rc、2（β，，m，，2一β2，岬2）
一一t・／・・・…a・U・・n（al・・s）（荷煮a、
＋r・・B・…sai（di
÷t 12（β2，m，s2−i32，m，P2）
となる。
以上の計算により
u魏（al，P）一σ一＠・・））
σ・・n（角，s）一σ2，n＋1（a1，∫））u・・n（・1戊）｝
（50）
（51）
62
綿基（r）x・・P（r）・dr＋硝基（r）x・・P（r）・dr． ：噛
一
脇；㍍，）（・・P…b…U…（・1， s）（im Lm；u…（…b）−u…＋・（・…））
一・・2P・・m・sa・（ 21 σ1，n（α1，s）−U，，η＋1（a1，5）κエβ2，，π，sα、 ）u…（…P）｝声（P・・…2−P・…p2）
＋一蕊㎞，）｛−r・・／・・，…a・U…（・…） ・
・（deu…（…P）−u・，・＋・（…f））） ． 柏嗣蕊af u…（… ・）−u…＋・（・…s））一小（19・・…2−B・…P2）
一
し し
＿。遮蒜ピ当 ㌔
＋・，，tlP，，．，，ny， ）） ． （52）
となる。然るに（15）から
C12＋・、2・22β1，m，，2 ＝＝ c22＋r・、2rc，2β，，m，s2，
C・2＋・12・・2β1鯉2〒・・2＋・・2・C22β・・m・P2 ． ． ． ．．，
であるから ，
β・，m，・2一β1・tn・P2＝tll・・m・s2一β・，m・P2 ．．（53）
である。又，（48）から
蕊画脇㈲二ぴ一（lll・ ・）
ゐ、ie2βi，m，・
u・，n（・1・・） ．
．＿遮鴇警四 （54）
蕊頭輪㎞・）一σ⊇・）、■tt
ゐ1π2β、，m，P
σ1，η（α1，P）
＿▲鴇禁… （55）
63 なる関係が成立することが分る。（53），（54），（55）により（52）の右辺は0となる。 t即ち
s≒mの場合は ．
郵恥（r）X、，，（T）・d・＋i．r7hコ12∫：，X2，s（r）X，，・（・）・dr−・／ti・・）
であることが言われる。
次にS＝pの場合を考える。
∫11ぷω品一｛ぴ念，ρ）｝・∫：i｛研漁ρ）｝…d・・
である。公式とσ1，。（b，f））＝0となることを考慮に入れて
∫已（r）・dr−｛u、，n（h）｝，［S2｛（u・…（…f）））2＋（・一晶ご）w・・n（r・・））2｝］11
−
，誌d）p同四＠・））2＋（ ll21− trc，2β、，m，P2a、2）（一叶ぴ｛u… （…）｝2］
t （57）
が得られる・同様に脇（a・ ）＝°なるこ と㈱こ入れて．．
∫11蹴柚一｛u，，n（1al，カ）｝・∫：｛u・，ti（r・・f・）｝・2rd・
一
｛誌捌，［芸｛（u・，・・（・・P））2＋（・一請蒜〆）w・・n（剛1、
＝＝
tu ［a2｛U2，nt（a， 1））｝ 2−ai2 （（脚ザ←誌吋）（馳認］
カミ得られる。
上の計算により，s⇒の場合に1ま 『㌧
…22∫11X・綱＋le・κ・2il、蹴軸
一
，｛誌，，）｝，相一・P））・＋（ 力21一 κ22β、，m，P2ai2）W｛・・（h・・ i・））2｝−b・｛U…t（b…）｝］
＋，Wh）｝，［・・｛U，，。・（・，・）｝・一・、2｛（U，，。・a、，・））2−（・一弗蕊，）（U，，・（・、，・））；｝］
（59）
−1・v（β、，。，，，・1・、，。，，） ，・・．．・ （・・）
なる結果が得られる。（59）の右辺は複雑であるので簡単のためWノ（β∫；m晒危m，p）と書いて ある。
上の計算によって
kin，2 jli！，（ξ，λ）綱・ξ＋k2tC 1・∫：五（e・子）X・・P（ξ）ξ・ξ一醐隔⑭ （61）
となる6これによりMp（1）＝1，2，・… 右右）が計算された。
64
（43），（44）に此処で得られたMsの値を代入すれば
co ・ ノ三（r，λ）＝ΣMsXi，，（r）
5＝t
一㍍蒜蕊）（kl…∫11力（ξ・・）Xbs（ξ）ξ婿＋k・…2 Sl、f2（ξ・）x・，s（ξ）ξ・9）
z万，η（r， s）
一ヨ，蒜｝そ蕊）（蒜；，、）∫11f・（ξ・・）・u・・n（ξのξ扉
＋ufk2，、）∫1、五（ξ・・）u・，n（ξ・・）ξ・ξ）・
（6・）
の
ち（r， 2）＝ΣM，x2，s（r）
s＝1
一菖聯芸1鶉mの（k， rc，2 Sg f， （e， 2）Xbs（ξ）ξ磋＋厨∫：五（巳・）x・・s（ξ）ξ瑳）
u，，n（r， s）
一量蒜：；箒）（蒜￡、）∫1 f・（ξ・）輪工
＋蒜：1の∫：五（ξ，2）u・，・（e・・s）・f d8） （・・）
なる展開式が得られる。
（38），（39），（62），（63）にょり次の展開式が得られる：
f・・（・，・）一蕊㌫認；；；蒜の
・（，｝illXi，）∫1 ∫：f （ξ・・）s・n−1Zl！−2tti，m（ξのξ鋼
＋蕊め∫：∫：f・（ξ，λ）巡煽（畠めξ礎辺）・ （・・）
・，（・，・e）一蕊識；；蒜蕊s）
・（iSf22，，）∫11∫：f （ξ・・）・m当幼刷ξ鋤
＋蕊め∫：∫：f・（ξ，）…竺・晦・（cf，s）ξded2）・ （65）
（64），（65）によって本問題に必要な任意の関数の展開式が得られたから本問題の解は次の ように書かれる：
萌一旦蕊＿卿避由当（t71m＝ノa（rc2β1，m，sプ） 】rmr／α（κ2β1，，π，sf）Jlm．！。（κ2β、，m，，b） Ym。／。（κ2β、，m，，ゐ））
α担回 駅輪嗣（Jlmrla（κ2β，，，π，sal） Ymπ1α（κ2β、Jm，sal）」らπ宕／α（κ2β1，m，sa） ylm＃！a（rc2β、，m，sa））
65 ゐ1κ22
Jmr／a（κ2βエ，m，sal） Yπr！α（κ2β1，，π，sal）×
tコlm ！α（κ2β、，m，sb） Ym冗／α（κ2β、，m，sb）
・∫1 ∫：f・・（e・・2・）…÷・（鰍1；1｛鵠：：：撒一蒜荒篶；）・de…
le2h i2
十 JJm r． ／a（κ1β2，m，sa、） ：】㌃、r．！a（κ1β2，m，sa、）
Jmr！a（κユβ2，，π，sa） y｝πr1α（κ、β2，，π，Sα）
・∫：∫：f・（一㌘・（綴1｛；；：畿1綴1：：1墓）ξ・ed2｝（66）
炉づ量紳＿ぷ曲÷・（Jlm＝ノα（κ1β2，，π，sγ） Ym＝1α（κ、β2，m，sr）tコlmr．ノa（rc、β2，7π，Sα） Ymrノα（rClβ2，m，sa））
α m＝t s＝1 1v（β・・・…B・・…）（芸1慧：鶏一驚驚溜）
klrc22
×
︵
」．＝／α（κ2β、，m，SζZI） Yn、＝ノα（κ2β、，，π，Sα1）
tコlmπ！α（κ2βユ，m，εb） Ym＝／α（κ2βエ，m，sb）
・∫1，∫9f・（9・・）… 誓・（藷1；1篇：：：撒一曇1；篇1：ll；；）ξ・e…
． k2rc 12
十 t71mπ／α（κ1β2，m，sa、） Yrnr／α（κ1β2，η、，sal）
Jml／a（rc、β2，m，sa） Ymπノα（κ1β2，m，sa）
・∫」：鮒諏÷・（Jlmr！α（t iβi，m，，ξ） Ym＝ノa（κ1β2，m，sξ）Jiπ1／a（κ、β2，，π，sα） Ym＝！a（κ、β2，m，sa））ξ翻｝（67）
問題II
第二の問題として境界条件に時の微係数を含む場合を考える。即ち境界条件（6）の代り として
（∂u2 ∂tt2∂t十c∂r）r．a−・ （68）
を採る。Cは新しい定数である。微分方程式及び他の境界条件及び初期条件は1の場合と 同じであるとする。
微分方程式（2）の解に上の境界条件（68）を入れれば
一（ε22＋κ」2κ22β22）｛Gβ2，nJn（κ、β2α）＋H旙2，・tJn（κ・β2α）｝
＋嚇｛G…n（ti。 Jn（K・B・a）一・・＋i（rclP2の）＋・・・…n（titly・Yn（N・B・a）一・石（K・1・2a））｝一・
となる。或はこれは
G・…n｛一（C22＋κ、2κ22β22）」n（・・β・α）＋C・・β・（κ1芸、FJn（・・β・α）一・・＋・（・・β・・））｝
＋叫一（c・・＋・・2K・・i9・・）Y・（・・1β・・）＋…β・（。11、FYn（κ1β・の一塩1（・・β・a））｝一・（69）
66 となる。
Gβ2，η＝
Hp
上の置き方1
桓B。Kl
この関係は新しい定数Lp2，nを用いて
Lβ2，？L
一（・22
ナ・・ ・22β・2）み・（・1β・・）＋C・c・β・（
t n rCiβ2a Lfi2，n
．，・
tTn（・・β・α）−」n・・（・・β・α））
一（622＋κ、2rc22βL，2
と置けぽ満足される。
こよ り境界条イ牛 （3）， （4） ｝ま
1・・t（嘉㌶一誓巖1＞
脚・β・の＋・・1β・（。11、i・・rn（，・・B・α）−Yn・・（・・P・・））
⇒．二（一工）＋き｛議、
臨（κ1β2αユ）
」n（κ1β・の一疏（・・β・・））
、、＿κ2β、（
一（Cl2＋igi2ic22β22）Yn（・・β・・）＋・1・β・己、α
ll
ll み（κ，β、α、）一。lln＋、（κ2β、a、）
κ2βユα、
κ2β、al
・㌃（・、β、α）一・・．、（・、β、α）））
Yn（κ2β1αエ）−Yn＋、（rc2βエaエ
Jn（κ2β1ゐ） Yn（κ2β、の
フヱ
κ、β2α1Jn（κ1β2αユ）−Jn＋ユ（h 1β2α1）
う
＝Jfi2FnLfi2，nk2rc1β
（70）
一
（b・2＋κ・2κ・2β22）」n（・・β・α）＋…β・（≒、；、α
71
Yn（κ、β2α、）一脇＋、（κiβ2αユ）
κ1β2al
t」n（κ1β・α）−」n＋1（・1β・・））
o るなと β kユん
一（（ご22＋κ12κ22β22
これら二式から
。，Sii，、」n（・・β…）−」n＋・（・・β…）
）綱・・）＋・κ・β・（ 71
κ、β2a
fl 1㌃（κ2β1α1）−Yn＋ユ（κ2β、α1）
rc2β、a、
綱・・）一・・n＋・（・・β・α））
（71）
Jn（κ2β、b） Yn（rc，β、b）
k21c、β2
Jn（κ2βユα、） Yn（κ2β、α、）
」｝、（κ2β、b） 脇（κ2β、b）
71
Jn（κユβ2α、）−Jn＋、（κ、β2al）
κユβ2al
一
（・・2＋・・2rc22β22），」n（rciβ・・）＋…β・（。、1、a
アヱ
． rcユβ2aユYn（「c・β2ai）一五＋・（κ・β2al）
」n（・・β・・）−」…（・・β・の）
一
（9・；＋・12・22β・・）Yn（・・β・・）＋・ψ・（、．。1；，iYn（・・β・α）−Yn・・（・・β・・））
67
÷
（一・（。，2・＋・rc12rc22p22），・．（rciB2a）＋CKIP2（」｝、（κエβ2α1）
11 κ、β2a
Yn（κ、β2a、）
」n（・・β・・）−」n・・（・1β・a））
＼
＝（…＋・・2・・2β22）yl，t（・・β・・）＋・・1β・（。、1、iYn（・・β・α）一・ ・＋・（・・i1・・a））1
（72）
が得られる。
β1，β2は（15）と（72）とから決定される。（15）は1の場合と同様の双曲線であるが，
（72）は1のように補助のグラフから求めた複雑な曲線である。第4図にはこれら二曲線 が画いてある。これら二曲線の交点としてβ、，β2は求められる。（図はκ、＝1，κ2＝2， k、＝
1，k2＝2， b＝1， ai＝1．2， a＝1．4， cl＝0．8， c＝1， c2＝1． 2，α＝π／2，21＝〃zπ／α＝2（77z ＝＝ 1） と
してある。）
β
ag 4図 Fig．4
→β1
図からβユ，β2の正根は無数にあることが分る。正根を大きさの順に並べてS番目のも のをβ1，m，，，β2，m，，と書くことにする。但し添字77zはll＝ 尉α．の77zをとった場合であ
る。
β1，m，s，β2，m，，を用いて境界条件を満足する微分方程式の解を書けぽ次のようになる：
68
ロコ くロ
τel＝ΣΣ lp，，m，，Bη、
7π；旦δ＝1
K，、，m，、 e−…2＋・・2・・2β・，m，・2・・si。 U！一 e
×
α tJmx／a（κ2βユtm，sr）
Jlm．／。（κ2β、，m，，b）
Ylmrノα（κ2β、，m，sr）
Y元＝ノα（rc，βi，m，sb）
t］lm＝／α（κ2β∫，m，sα、） ylm＝ノα（κ2β1，m，sal） ，
〃2＝ΣΣJlp2，m，、
m＝1s＝t
×
tllm．1。（κ2β1，m，sb）
F。L、，、，m，、 e−・・2・＋・・2・22β・，・，・2・・Si。 IL「O α Jmr！a（rClβ2，m，sr）
Ym＝！α（rc2β1，m，sb）
一（C22＋κ、2κ22β2，m，、2）み。／。（κilg2，m，、の
＋c…β・・M・S（dia
Ym．ノα（κ、β2，m，sr）
tJlmr・・（・・β・・m…）−」・mt…＋・（r・iβ・・・…））
一（C22＋κユ2κ22β2，m，s2）Ylm，ノa（κ、β2，m，sα）
＋…β一G、P：ri、αα
Jlm＝！a（rClβ2，m，sa、）
Y・・／・（κ1β一α）一・Y・・・…＋1（κ1β一・α））
一（C22＋rc12rc22β2，m，、2）tllmr／a（κ、β2，m，、の
＋・・1β一（iiii ilZiiα
Ymrla（rClβ2，m，sa、）
」mr・・（・・β一・）−t・（mrl・・＋1（r・1β・・・…））
一（622＋κユ2κ22β ＋…β・・m・s（
境界条件（3）により
2，m，s2 ）｝rπ＝！α（κ1β2，m，、a）
。、tw・Y・…（・1β・・m…）−Yl・・…）・1（・・β一・・））
J…B・Kfil・m・・
（Jn（κ2β、，m，sal：Jn（κ2β、，m，sb））一 1「n（κ2β、，竺，sa、） 噛 Yn（rc2β1，m，sb）
︶
＝Jp2FnLp2，陶s
×
」｝、（rp、β2，，π，saユ）
一
（C22＋κ・2κ22β2，祝，S2）」｝・（κ1β2，m，la）
＋6κ・β一・（ 刀 Jn（κユβ2，m，sακユβ2，m，sa ）一疏（・・β・・m・・の）
Yn（κユβ2，m，sal）
一（C22＋κ、2κ22β
．＋c・ 1β・・m・・（
≡K『m，s
2，m，s2）Yn（rClβ2，m，sa）
＾ 1 ？1 κ1β2，m，sa
綱一・）−Yn・・（・・β一の）
となり，この両辺をKm，sに等しいと置くこととする。更に
Jm＝1a（κ2β、，m，s7う Ymr／a（rc2β1，m，sア）
Jiππ！α（rc2β1，m，sb）
み．／。（rc2βi，m，，α、）
Ym＝／a（κ2β、，m，sb）
＝x，，，（r）
Yπr／α（rc2β1，m，sa、）
Jm＝1a（rc2β1，m，，b） Ymr／a（rc2β1，．，sb）
（73）
（74）
（75）
（76）
69
Jmr1α（rclβ2，m，slう 一（C22＋X12κ22β2，m，，2）」頑。（hコiβ2，m）sa）
＋Ch・1／…m・s（。1β叢1、αα
Ym＝！α（κ、β2，m，sr）
t71mr・・（・1β一・・）一・…・・…（・・β一・め）
一（622＋κ12κ22β2，m，S2）Ymに／α（κ、β2，m，sα）
＋…β一（κ1β裟、α。Ymr・准1β一・α）一一・Y・mr…＋・（・・β一・））
Jm＝！α（κ1β2，m，sa、）
一（C22＋rc12rc22β2，m，S2）tllm＝！a（κ1β2，m，sa）
＋…β一・（。，βIllilaia
Ymrノα（rClβ2，M，sa、）
Jmr・・（・・β一・の一J…・・…（・1β・…・・））
一（C22＋rc12rc22β2，m，S2）Ylmr／α（rc1β2，m，Sα）
＋・κ・β一・（mp lga。i−Ym・・ぷ1β一・）−Y・・・…＋・（元1β一・α））
＝x2，s（r）
と置くこととすれば
。、−il］ 2 K。，、 e−…2＋・・2・2…1，m，s2・t 、i。 −Z〃1πL OXi，s（r），
fn＝1 s；1 α
。2一競K。，、e−・，2・＋．、2．22，、，竺，s2・ts、。・・π。X，，s（。）
m＝1s＝1 α
と書くことができる。
簡単のために
耀㌶一曇1；1ξ≡鵠一…（・・s）−u・・n（r・・s）・
tJlmr／a（κ1β2，m，sr）
（77）
（78）
（79）
（80）
一（C22＋κ、2κ22β2，，π，s2）tllm＝／α（κ1β2，m，sa）
＋・κ・β・・…（。1β鴛αa
Ylmr！α（x1β2，m，sr）
J・…（r・iβ・・…a）一・…・・＋・（κ・・・・・…a））
一（C22＋κ12κ22β2，m，s2）Ymr／a（κ1β2，m，sa）
＋・・1β一（。、β鴛．αa
＝〃2，m（r，5）＝U，，。（r，の
と置く。尚Ui，n（r， s）， U，，n（r，5）はUltM（r）， tt2，M（r）をπ
然るときは
x・，s（r）一三蒜一芸鷲・
x・・s（ π2，m（r，s）r）＝ tt2，m（al，5）一熟鵠
と書ける。
Y・…（・・β一・・）−Y…／・・＋・（・・β……））
（81）
の関数と考え置いたものである。
（82）
（83）
70
（78），（79）に初期条件（11），（12）を入れれば ◎o oo mπ
f・（・・ e）二嘉認K・・碑二「0ぷ・・（r）・．． （84）
oo °° fll．n
f2（r，0）＝ΣΣKm，s sin＝：：：−OX2，s（r） 、 （85）
fn＝1 S＝1 α
となる。ここで問題1の場合と同様に（38），（39）を用いて，
K。，s＝2M、 ． ． （86）
α と考えると
ロ
f，（r，λ）＝ΣMsX1，s（r）， （87）
δ＝！
f，（ち2）＝Σ M、X2，s（r） （88）
s＝1
となる。これを満足するようにMsを決定しなくてはならない。
A4sを決定するには1の場合と同様に（87）にkllc22Xl，P（r）rを掛けてbからalまで 積分して（88）にle2rcユ2．X12，p（r）rを掛けてa、からaまで積分したものを加え合わせる：
曜∫：疏噺働＋k・…i2 S．a，f・（・・のX…（・）・d・
（∫㍍（r）x・・P（r）・dr＋疏∫：基（r）x・，P（r）・dr）・（・・） ＝ΣM、k、κ22 S＝1
尚？ tZ−，1であり，
α
み→．、（κ2β1，。、，の
Jn（rc2βi，M，sb） 二矯留一輪⇔
Jn＋i（κ、β2，m，sr）
一（・・2＋・・2・22β・・…2）入（・・β2・・…）．
＋輪の・（蕊瓢輌⇒一硫㌦司
｝㌃千、（κ、β2，η、，sr）
一（C22＋κ12κ22β2，m，S2）｝㌃（N1β2，m，sa）
＋c・ ・B2，m，・（晶二。貼㌦め編⑭刷
＝U，，n＋1（r，s）
となる。
最初にsキPの場合を考える。Ul，。（b， s）＝0を考慮し，公式を用いて
∫：緬恥（r）・d・ ・om（姻吉（a、，P）∫：砺伝め聴嚇
（90）
（91）
（92）
71
Sl u，・Tl（r・・s）u…（r・・）rd・
［rUi，n（r，・s）Us・・ （・・P）一・U1・・ （・・のu…（・・カ）］11 、
κ，2（（β・，m，・2一β1鯉2） ，
a、σi，，、（al，S）U、・，。r（al，P）−a1・Ul，n「（all S） Ui，，、（α1，f））・
．・・220・・…2一β・・m・・2）−t．．，
κ2β1，m，8α1 ÷κ22（β力，π，s2一β1，η、，P2），
∫：、u2・・（r・・s）・u2・繊・… 一．＼
1、
｛・・β1，m，・a・・Ui・・＠・の（ U・，卿一U，，・＋1（…P））
一
・・β一・α1（ U…（⑭一U，・・＋・（…の）U…（・…）｝
∫ ∫1、
［・u・，・（・，のM・・P）−rU2・・ノ（r・・s）・u2…（・・カ）］
u・・n（r・s）u・，・（r・f））吻
κ12（β2，m，s2一β2，m，ア2） ・ ；
一
｛・・ 1β…，・a・u・・n（・・の（κ1β：ασ⑭（a・P）一じ≠・））
、一
嘱・（ ll u，，，1（aご2β1，m，sa ）−u…＋・（a・ s））u・・n（・・f））
−rcil92，m，pai U2，n（…s）（。、β，㍍砿1（…P）−u・，・＋・（a…P））
＋f・ 1β・・m・…（。，β、：，，。、防，・（al・・）一孔・＋・（…の）u・・n（・…P）｝
÷κ・2（β…・・2一β…・ρ2）．．∵
が得られる。
又（79）に（83）を代入し，且つ境界条件（68）に入れて考えれば
一
（…＋・・2κ22β一2）：2：鷲＋離a．p
（93）
（94）幽
。、di，1。i−」n（・1β・1・…）−J・＋i（κ1β一・・）
（95）
× 一
（・・2＋κ・2κ22β・・・…2）綱一・α）＋・・1β一・（
71 ttlβ2，m，sa
｛ 2z κユβ2，，π，sα
Yn（κ、β2，，π，δα）一臨＋ユ（κユβ2，m，sa）
」r・（・・β一・勾一」n・1（κ・β一α））
一
（・・2＋・・2・22β一・2）…（κ1β一・α）＋・κ1β・，・n・・（κ1煮，sa
：＝0
なる関係の成立することhg 丁解できるので，これから
Y7・（・1β一・）−Yn・・（・1β一・・））
（96）
72
ll
rclfi2，M，sa Jn（κ1β2・m・sa）−Jn＋1（「Cilg2・m・εa）
一
（c22＋r・i2h・22・B・・m・s2）・J・（・・il・・・・…a）＋crCIP・…S（㌫疏一）−tT・＋・（・・il・・・…a））
κ1β2，m。sa Yn（κユβ2・πりsα）−Yn＋1（κ・β，・卿sa）
一儲＋rc12rc22192）mts2）Y・（・・iP・・…a）＋輌【蕊sa
一 竺嵩漂2輪包め
が得られる。
上の関係により
｛輌繊＠め伝＝輪＠・）一㌦＠・））
一輌叫蕊μ馳の一u…＋・（…s））u…（・・P）｝
÷κ、2（β2，m，、2一β2，m，P2）
一 繊㌃）［一叫㌫
Jn（rClβ2，m，pa）
一 一
×
臨隔＋緬㌦づ
（97）
硲嚇婦脇P・…Pの＋c・ ・・9・，・・P（蕊ψ
Yn（κエβ2，m，ρα）
鋼一の一硫β⇒
I l l
鍋嚇硫蜘㌦の＋c…P・…P（di
Jn＋1（κ1β2，m，pa）
（・・2＋rc12N22tB2，m，p），Jn（Kil32，m，pa）＋c…P・…1（di
Yn＋、（rClβ2，m，ρa）
t］1・（rci192，m，pa）−」・＋・（・・P・・…a））
噺嚇硫）Y・（・…9・・・…a）＋蜘く蕊ψ
一β一｛蕊戚
Jn（κ1β2，m，s〈7）
一 一
×
一一一→）｝
（c22＋h・i2・・22P・・…2）…（・・il・・・…a）＋crcil92，m，【de
Y。（κ、β2，m，、の
み輌め一J・＋i（lt iP2，m，sa））
一
（・・2＋・・i2h ・・P・・…2）Y・（・・iB・・・…a）＋輌【蕊sa
Jn＋、（rc、β2，m，sa）
Y。（・、P，，。，、a）・一・Y。＋、（、，iB，，。，，a）））
一
【＝酬一一」・＋・（rciP2，m，sa））
73
Yn＋1（rc1β2，m，sa）
一（C，2＋rcユ2rc22β
・u…（・・ ・）
arCl κ12（β2殉，2一β2，m，P2）
C22＋rc、2rc22β2，m，，
一β2，m，s
cκ1β2，m，s
arc1
一・・）蹴・…・の＋・・，β・・…（
（β一・u・・n（a・・s）
！u・，n（a， s） u2，。（a））
n rCiβ2，m，sa．
C22＋rc、2rc22β2，m，P εκ1β2，m，P
u2 n（a・票・n（a・P）（・
Y。（・・iP、，。，，a）一、Y。＋、（、，il・，，。，sa））｝
IC、2（β2，m，，2一β2，m，P2）
一一
竺防，・（a，5）u2，n（a，カ）
と変形される。
以上の計算により
・1κ22∫11
1 klrc22
x…〈・＞x…〈・）・dr＋・・…1
2
u2，。（a，P）
（C2＋rC、2rC22β2，m、P2）一（ 22＋t 12rC2219
a
x2，，（r）x2，P（r）rdi・
α1 1 ひ，・（al，のひ，。（al，P）κ22（β、，m，，2一β1，m，ρ2）
・
｛・・β1・一ひ・・（α1・の（。，β、＿ひ漁・・カ）一ひ，・＋・（・…））
一
・・β一・・1（ n Ui ，n（a1，s）−u，，。＋1（al，sκ2βi，m，sa1 ））研，・（・1・）｝
1 1 十k2ri2
2・m・s2
︶︶
（98）
ころ，η（al，5）U2，n（al，P） κ12（β2，m，s2一β2，m，P2）
・
｛一 rClβ・，…a・・u2・・（al・．・）（。、β，：，MU…（al・P）−u・・n＋1（・1・P））
＋・・β一・a・（κ1β，：，、。、U・・n（al・の一U…＋1（al・の）U2・n（…P）｝
k，ακ、2κ22U，，n（a，S）U，，。（a，P）
c u2，n（al，s）u2，n（ai，P）
となる。これに1の場合と同様に19i，m，s2一β1，m，p2＝β2，m，，2一β2，m，p2なることを考慮に入れ れぽ
・1・・2∫11X・鱗働＋・・κ・2∫：、X2・・（r）X2，・（め・…
a・，（kiK2Bi，．，p t・βi，m，pai Ui；n（＄・P） Ul ，・＋1（al・P）
一夫1κ2βb，η，s β2⑳，2一β2，m，ρ
21 rCl，β2，m，sal
u，，n（al，P）
U，，n（a、，s） 一 Ui ，n＋1（al，5）
Ui ，n（al，s）
74
・輌㌦蕊巴熟裟賑吻…
＋函臨蕊画鴇票⊥の）
ゐ，α・、2κ22u，，n（α，s）u，，。＠ク）
c u2，n（al，s）u，，n（al，カ）
︽
となる。又（72）から（80），（81），（90），（91）；で置いたものを用いて ；，2β、：，．d、U，・・（…S）−U…n・・（41・の
ゐ、tC2β1，m，s
Ui，n（aユ，s）
． 卜「
n
U2，n（α1，s）−U，，n＋2（a1，s）
，．．． tt、β2，m，，al ＝ゐ2κ、β2，η1，s
（99）・
U，，n（al，s）
㌶鑑ζ 。霊隠㌍変えた閑係㍗卿二2のL 司1鞠緬⌒κ・2∫11石臓・（后・ ∵
一」2α112κ22 鷲：霊紹） 一一 d・・）
が得られる・ ． ○， 、．．一 ・、−t
次に・＝Pの場合に移る．Ul，。（b，f））＝oを考慮して
∫11x…（・）rdi−一｛晶，，）｝・￡ ｛u…（・IP）｝・・…．一・、
一
｛nd，，）｝・［s2｛（u・・nt（…））・＋（・一。22β、1：，，r，）（（α妬・））2｝］ii
−
｛ 1U，，n（al，P）｝・［ス2｛U・・n （…P））・＋（・一。，2β1蕊，）（U…（…D）・｝−f｛Ul…t（b・P）｝・］・
∫11ぷ・う1−d・一一｛U，，n（±，，）｝，∫二1｛U…（・ ・P）｝・…一．・・一ご．
一
｛U，，n（±，i，）｝・［；2｛（U・，n （r・・P））・＋（・一κ、β，：2，，α，）（U・・n（r・…））・｝］1、
一
｛ 1σ2，n（al，P）｝・［誓｛（σ…r（a・P））・＋（・一。12β，三，，a，）（U2，n（a・・）））・｝
−
k2｛（U・…（ai・P））・（1−。、de 2）（U・・1（α1・P））・｝］
であるから ・ ． ttt−t
． ピ 1 ・・，噛
・1・22∫11駈）rdr＋k2rt12∫．a、X・…（r）・ dr 、
一
｛ひ、，麗三）｝・［〃；2｛（Ubnt（・1・・））・＋（f−i−，22β1 k2 i，iii，）（研漁・・））・ト；｛ひ翻｝・］
75
＋︷ X2κ12ひh，匁（αエ，カ）｝・［÷｛（u…t（a・P））2＋（・一嚇蕊）（u・・n（a・ ・））・］
一
等｛砲（abP））・＋（・一晶ご）（u・・n（a・P））2｝］
≡pm（βユ，m，P，β2，m，P） 噛 F， （101）
が得られる．（101）の式は複《紘ので1騨のために卿1，。 ，β。・，・涯置V・てある。
以上の計算により
巴拒（ξ，2）x・，・（ξ）ξ碓＋研∫：五（ξ蜘ξ）ξ礁
一一 竺ぷ芸耀曇・磯慧
＋脇竺㎡（綴鑛y＋・醐㌦㌦）・ （・・2）
となる。 l t （88）において？◆＝aと置けぽ
f・（…）一菖臓炸菖・公隠念 （1・3）
となるが，これ｝こ ak2rci2it22 u，，n（a，f））
c σ2，n（al，P）
を掛けて（102）に加えれば
碑礁・）Xl・P（ξ）ξ礁＋k2tri2∫：芦（e・・7・）x・・P（ξ）ξ碓＋竺短芸鵠鯛
一Mp｛〃ゐ2：2κ22（芸鶉）2＋TI・（β・・・…β一・）｝
≡A4，、1・V （β1…β⑭1） 1 1（、。、）
と書ける。i最後の中括弧の中の式をVl （19i，m，p，β2，m，p）と書いてある。
（104）から展開式の係数M，が計算されるので，
f・（・，・）一曇w芸畿…）（向椎（6・・2）繊礁＋研∫1芦（6・・）x・・a（。ξ安
＋rPk「c 22；：鷲飽・））， （・・5）
f・（・・…）一㍉（ll9｝gas）（曜∫1己（6・・7・）x…（ξ）ξ礁＋続∫㌘（巳・）x・・s（ξ）ξ碇
＋竺鵠細・））、 ∴ （…）
なる展開式が得られる。
｛（38），（39），（105），（106）により次の展開式力1得られる：
