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相異なる二つの物質より成る扇形の 切口を有する柱の熱伝導1）
小 平 吉 男＊
Conduction of Heat in a Cylinder having a Fan・Shaped Cross Section and Composed of Two Part．s with Different Physical Constants．
bN Yoshio Kodαfra
We consider a cylinder whose sect三〇n is fan shaped as shown 三n Fig．1． This cylinder is supposed to be composed of two parts as also shown in Fig．1． To all physical cohstants for the central part from 1 ＝01 to 1 ＝al we attach a su缶x 1，
and to those for the outer pavt from 1・＝＝al to 7・＝a we attach a suf五ix 2．
The temperatures of the two partsτtl and u2 satisfy the differetial equations （1）and（2）respectivel）・， where xl and κ2 are the diffusivities． The temperatures are supposed to be independent of 2． The bolludary conditions at 7・＝al are （3）and（4）， which mean that the temperatures and the flows of heat are equal whereゐ1 andた2 are the conductivities． The temperatures at the two sides of the fan O＝O and O＝βare zero， which are given by（3），（4），（5）and（6）． The initial temperatures of the two parts are given by（9）， where／i（1・，θ）and f，（プ，0）are two arbitrary functions of プ and O．
、Ve consider here two cases． In case I the temperature at the outer boundary of the fan is supposed to be zero， which is given by（10）．
Tlle elementary solutions of 4he differential equations are（11）and（12）， where 711，刀2，α1andα2 are determined by the boundary cond三tions， Ani， Bn1， En2， Fni， Cal，7，1，
Z）al，nl， G。2，n2 and H。2，n2 are constants which may contain the constants indicated by the su伍ces．
B・・…g・h・b・und・・y・・nd・…n…can be sh・w・・h・…i−・2−Zl i E （771 1，2，3…）・
andα1＝α2≡α． The values ofα， which determine the eigenvaluesκ2α1 andκ1α2，
can be calculated by the equations of the two curves（24），（25）．
An example of these curves is shown in Fig．2． These curves are drawn using some suitable numerical values of the physical constants． From the figure we see that the vaIues ofα are 三nfinitely numerous． We denote the s・th positive root
of （23） by αn， s．
By usingαn， s the eigenfunctions are given by Xs（r）and Zs（r）， which are expressed by（35）and（36）， where ltn（プ，5）is glven by（30）．
The solutions of the differential equations can be expressed by these eigenfunc・
t三〇ns． The next step is to express the arbitrary functionsプ1（r，ρ）andプ》（ブ，θ）by using the eigenfunctions． T】lis requires some tedious calcuIations， and丘nally we obtain such expressions as g三ven by （59） and （60）．
By using these expressions of the arbitrary functions in series of eigenfunctions
＊理工学部物理学科教授 物理数学
（1）この論文は本学第10期生高橋健樹君が著老の指導の下に行った卒業論文の不適当な点を正し，且 つ体裁を整えたものである。
we obtain the solution of the problem given by（61）and（62）．
As the second case of the problem， we take the boundary condition（63）． The di｛ferential equations and the othcr boundary and initial conditions are the same as in the丘rst case． The condition（63）means that the time rate of temperature rise of the surface is proportional to the heat added， where c．is a constant．
In this case the procedure for obtaining the solutions is similar to that in case I，
but the calculation is more complicated and tedious． The values ofαare obtained from tlle equatioエ1（67）， which is very much complicated than（23），
The values ofαare obtained by the intersectons of two curves similar in case I． As an example we take（68）and （69）， which are obtained by incerting some numerical values of the physical constants in（67）． In Fig．3 these two curves are shown． These curves are similar to those drawn in Fig．2． As in case I there are in丘nitely numerous roots ofα， and we denote the∫−th positi、・e root asαn， s．
The solutions of the differential equations can be exprssed by rneans of igenfunc・
tions， and are glven by（77）and（78）， where Xs（7・）and Zs（7・）are the eigenfunctions g三ven by （79） and （80）， and Jn （r， 5） by （74）．
NVe are in some diffculties for obtaining the expansions of arbitrary functions in series of eigenfunctions， because the eigenfunctions are not orthogonal， i・e・we cannot obtain the series as in the case of Fourier series， by calculating Fourier coe缶cients． However we can get such series after some troublesolne calculations． They are given by（87）and（88） By means of these expansions the sulutions of the problem are given by（101）and（102）．
扇形の切口を有する柱を考える。その切ロは第一図に示してあるように二つの部分から 成っているとする。中心から半径a、までの間は1なる物質，半径a・かまでの間は2なる物 質から成るとし，1なる物質に対する物理量には4なる脚符，2なる物質に対する物理量
には2なる脚符を附けることとする。
温度をlt、， u2を以て表わし，二つの部分に対する熱伝導の微分方程式として極座標1°，
θを用いて夫々，
ll，1… 2（∂2π1⊥」二 ∂Zt 1＿L 1 ∂i．9！，i ∂7−2 L 7− ∂1・ L7・2 ∂θ2）・［・〈・ ＜a・コ・ （1）
∂zz2
∂t
κ22（｛lii ii＋÷≒・＋吉 ∂21t2
∂θ2 ︐
［al〈7 ＜a］ （2）
が成立するとする。tc12，κ22は熱拡散率，τは 時間を表わす。
扇形の拡がりの角をβを以て表わし，その 両端O＝O，θ ・＝βに於ける境界条件として，
（lt1）e＝o＝0， （Ul）θ＝p＝0 （3）， （4）
（lt 2）eニo＝＝0， （lt2）e＝p＝0 （5）， （6）
を採る。又7 ＝alなる二つの物質の境界面に 於いては
（Ul）r＝α1＝（π2）r；α1 （7）
・・（＊r・）。．。、。k、（霧・）。．。、 （・）．
が成立するとする。kl，克2は熱伝導率を表わ
す。
又初期条件とし
0 a1
第1図Fig．1
α
17 lil：；：1：：；1：：：z］ ｝
を採用する。∫、（1 ，の，f （プ，のはrとθとの任意の関数とする。
此処ではr＝aに於ける境界条件に就て二つの場合を考える。
問題I
r＝aに於ける温度を0として
（ze2）r．a−0 なる境界条件を用いる。
偏微分方程式（1），（1）の特解は，
（9）
（10）
，、、 ＝＝e−K・2・・2・12t（An、c・・n、θ・＋B。lsinn、θ）｛Ca・，，、・」。i（・・α・・ ）＋D・・， n・（・・α・・ ）｝，（11）
、、2−e −r・2・22…t（E。2c・・n、θ＋F。、sinn、θ）｛G．2， n・万2（・・α・f ）＋H・2， n・Yn・（・・α・・ ）｝（12）
の如く書ける。J。i（κ2α17・），」。2（κ1α2？・）は夫々フ11次フz2次のBesse1関数・Yri（κ2α17 ）・
Yn2（κ、α27・）は夫々π1次及びフz2次のNeumann関数である。 A・1・・B・2・E・2・E・2｛c＊夫々 フZl又ex lz2の関数ではあり得るが，ちθ，プには無関係な積分定数， C。、，。、， D。、，n、：G。2，n2 H。2，。2は夫々α1，71、又はα2，712を含むかも知れないが，t，0， rには無関係な積分 定数である。
（11）に境界条件（3），（4）を入れれば A。i＝O s三nn！β＝0
となればよいことが分る。即ちと111しては
71・＝−ff・711＝0・±1・±2刀1π
と採ればよい。同様に（12）に境界条件（5），（6）を入れぽ，
En・−0 …一竿・71z−0・±1・±2…
とすれぱ・・…1・一・1・一 竿であるから・腋
？117：
lz・＝112＝」一＝71
と書くこととする。
71z＝0の場合lcは
lt 1＝＝O lt2＝0
となるので，この場合を除外して置く。
一般に」。（x），Y。（x）を夫々 fl次のBesse1関数及び71次のNeumann関数とすれぽ 」＿。（X）−C・t・1πY＿n（x）−c・secnπyn（X），
y−n（x）−C・secnπ Jn（X）−C・t・1＝」．．n（X）
なる関係があるので，これから，
ゐ、ω一…11・…t・21・ 」。（・t）一・・…π・・t・・Yn（x）， （14）
y＿n（x）＝＝cosnπcotnπ 」，、（x）十cosnπcot2nfi l「，、（x） （15）
が得られる。
（14），（15）の関係により，Bessel関数及びNeumann関数の次数で負の場合には・正 の場合のBessel関数及びNeu皿ann関数を以て置き換えることが出来るので・（11）・
（12）に於いて71、＝7z2＝7zが負の場合には積分定数A。・， B。、， C。、， n， D。ユ，n， E。i，n Fn， G。2， n，
ぽ2，，1を適当に変えれぽ2イ1及びlt2の解を（11），（12）の形にすることが出来る。従って 今後711＞0と考えることとする
（11）に於いては1 −0の点を考えると，Jn（κ2α17 ）は0となるが， Yn（κ2α17 ）は無 限大となるので
D。i， n＝0 としなくてはならない。
以上の考察により，lt 1，π2は，
ltl：＝BnC。1， nビκ12κ22α12 sin刀θ万（κ2α17 ）， （16）
ft2＝Fn C−「i2κ22a22tsin n O｛Ga2， nJn（rClα2r）十Hα2，n Yn（rClcr2r）｝ （17）
となる。
（19），（17）がtの如何に関らず成立するために，この二式のtを含む項が等しくなる ように採る。即ち
κ12κ22α、2＝κ12κ22α22
と採るのである。これから α1＝α2＝α
が得られる。
境界条件（7）は（16），（17）から（18）を用いて
B。C。， nJn（κ2αα、）
＝Fn｛Ga， n（κ1αα1）十Ha， n Yn（κ1αα1）｝ （19）
なる関係が得られる。
次に境界条件（18）を満足させなくてはならない。それにはCn（x）を71次の円柱関数 とするとき
コ夢）一÷Gω一C・．・ω （2・）
なる関係を用いる。この関係により， （8）は
昧両・・α（。，：。、Jn（κ・α・・）−」n・・（・・α・・））
F・k…α｛・…n（。、㌫み（・・a a・）−」・＋i（・・α・・））
＋・H…（。、iil，、 Yn（・・αα）−Yn・・（・・αα・））｝ （・・）
となる。（21）からはα＝0がこれを満足するかも知れないという懸念があるが，αは（19）
をも満足しなくてはならないが，（19）はα＝0では満足されない。従ってα≠0とする。
境界条件（10）から
G。，nJn（κ、αα）＋基，。y，、（ c、aa）＝0
が得られるがこれは新しい定数K。，nを用いて，
G・・n− cElt。）・H…n−一兀監の （22）
と置けぽ，満足される。
（22）の関係を用いれぽ，（19），（21）から
7z」n（・，α・、）一み．、（・、α・1）
ゐ1κ，「c・αα・
み（κ2αo）
19
71 rCla al
万（「Cla al）−Jn．、（lflcra、） 71
rc1αal 一y。（rc、αα、）−Y，、．、（rc、αa、）
＝k2 ご1
万（κ、αの
万（ttla a1）＿＿y・・（・・ggD＿
み（κ、αの y。（κ、αα）
この式からαが決定される。
y。（κ、αα）
oる
オら得
が
カ
÷＄
︳
α
，−k、κ，di、」n（・・αa・）−」n・・（・・α・・）
万（κ2αの
。、㍍み（・・α・・）一み・・（・・α・・）。、：。1 yn（κユαα、）−Yn。、（κ、αα、）
・−k・ ・、 」n（「cla a）Jn（。、α。、）−Yn（。、α。、）
Jn（κ、αα） yn（κ、αの
なる二曲線の交点から求められる。
（24）・（25）の一例を図示するため1…711−…一÷…一・・
711π
＝2 と置けぽ （24）， （25） 1．ま a1＝2， a＝1．2， 〃＝
s− 一 ‥ 7 一
β
・÷・鑑｝・
」，（α） 】㌔（α）
・÷・万篭）】鵠α）
」，（1．2α） Y，（1．2α）
となる。これを図示すれぽ，第2図となる。
η
（23）
（24）
y。（κ、αα）
一10
一20
（25）
・r2＝2，ゐ、−1， k2＝2，
α
（26）
（27）
第2図 Fig．2
この図で見るとαの正根は無限に多くあることが分るであろう。αを大きさの順序に並 べてS番目のものをαヵ，．と書くこととする。αはタ11にも関係するので〃2なる脚符をつけ
ておく。然るときは，erl，2t2としてflzとsについての和を書けぽ次のようになる：
・t・＝・8、貞B・C・m，・・ 71・e−・12・2・m・s2ts・・竿・」n（・・a ・・ ・・一）・ （28）
・t・−8、躯K・m・…le−・12・・12・m・s2t…竿・
・（Jn（κ、a m， S7 ） Y。（rc、α殉，プ）み（κ、a m）、α） γ。（κ、a m）・α））・ （・・）
簡単のために
・t・・n（r・・s）−xe：：1旨一｝艦：1牙 （・・）
と置く。又，
B・C・一・・一み（ム，sκ2α殉8α1）・ ． （・・）
LSv・s （32）FiJ〈αr，、，71＝
u。（a、，s）
の如く採れぽ，境界条件（7）が満足される。この置き方によりUl，1｛21X次の如く書かれ
る：
…一蕊L・・se−・・2・22・・m・s2t…ZZEii・㍑1：蒜： ｝・ （33）
・・一裏、茎L・…一・・2・22・・・・…2t…竿・鴛（誌 ・ （34）
尚簡単のために
Xs（・）一膿蓑：≡島・， ・ （35）
Zs（・）−wwt（is）） 一． （36）
と置けぽ，これらの関数は円柱関数である。（35），（36）幽に初期条件（9）を入れれぽ，
f・（…）一恩ジ碧L・・s・・竿θ穗（7 ）・ t．一（37）
f （…）一菟認L・・s・・竿θ乙（・） （38）
となる。（37），（38）を満足するようにLm，、を決定しなくてはならないb
f、（。，θ），f，（・，のを先ずθに関してF・u・i・・級数に馴すれぽ次のよう1・・なる ：
f （…）一鵠…竿Φ（…）…㌢⑳・ （39）
f （…）一膓嘉…竿・∫lf2（…）…竿卿 （4°）
次にf，（r，g）， f，（1 ， p）を1 の関数と考えて，
21
そf・（・， g）一墓嚥（f ） （・・）
そf2（ α，の＝Σ肱Zs（プ t＝1 ） （42）
の如き展開を行う。但し そ・ fs−L…
と置いてある。
（41）にklrc22Xp（7°）rを掛けて0からa、まで積分したものに，（42）｝ L k2rc12Zp（7 ）τを 掛けてalからまで積分したものを加える：
k・・c22 ！11 f・（r，p） X，（・ ）rdr＋k…2∫1、f （・・9）Zp（・ ）rdr
∋・fz（k・…∫1、Xs（・r）Xp（1 ）i ．・・＋k・・2∫1、乙（・）Z・・（・7：）…）・ （・・）
この式の右辺を計算しなくてはならない。一般に，Cm（αコc）， Z砥βズ）を二つのfll次の 異なる円柱関数とすると，
∫c・（・・）Zrt（β・）・dx−。・i−ie・｛β鵡（a ・・ ）Zm−・㈹
一 a cCm ．、（α3c）Zm＋、（βx）｝
一古・｛・・…＋・（・・）Zm（β・）一β輌・）Z・＋・（β・）｝
なる関係がある。この関係によりS≠Pの場合には
∫1 」n（・・α・，z7 ）」n（・・α・…）・dr
−・石・て。鞠き一嶋）［・2α物・・」n（lt2a …7 ）」n・・（・・a ・…r）
一・・婦み（κ2αη1，Pグ）」n．・（・・α・…）］9
一。22（隠。m，P・）｛・m…rc（・・a …e・）」・＋・（・・a ・・…）
一．・ m，・」・・（κ2α仇，pa1）Jn＋・（・・αm・…）｝
となる。同様に（30）から得られるu。（s，の＝0，ltn（2， a）＝＝ Oなる関係により ∫1、IUn（・ ・s）Un（r・P）rdr ・
一可て。≠一。m，．）［rc・αm）pr Iln（…）・・…（・・P） 『 ．．
一・・a m）s7 lt・n（・，P）ttn＋・（・一，s）工、
一。：・（ κ1α1αm，s2− a・m，P2）｛・m…t・（a…）Un・・（abP）
一α卿π。（al，P）zイ。÷、（a、，∫）｝
が得られる。
（44）
（45）
（46）
（45）， （46） ｜こより，
∫1 x，（7・）Xp（タ≒）・d・
−Jn（。，α。，、。、歳（。，α。，，。、）！1 」n（・・α・…）」n（・・α・…）…
一。22（ rc2alα旅，s−a m，P2）（・遜1㍑鴛瓢一・物・宏蕊笥））・
∫1、z・（・）Zp（鋤・
一。。（a、，，）｝、。（a、，ヵ）ll、・・（…）・・（・・鋼
一マ（ rL lalα仇2，、一 a m， P2）（・m・・−UXI｛：，｝8， ・…2イ；鵠県）・
となる。これから
・・κ22∫11X嚇（・）・ar＋k…2∫1、ZS（・）Zp（・）rdr・
。二鑑，，・（ み．、（κ，α仇，、α、） み．、（・、crrn，pa・α加み（。、α物、。、）一一am・P一万天・，・・m，。a、）））
一。Sin・（ Ztn＋、（a、，5αm・8π。（a、，・））一・物弓：翻⊇）
一。f。m，．・｛（⌒・嬬隠嵩）−k…α…2篇｛隠）
一（ぷ磯盧鍔）−k…a ・n…〃》：耀））｝
が得られるが，境界条件（8）を（29）に入れ（30）を考慮に入れれぽ，
・一・蔭｛覧鴛1潟）一・ k…α物・鴛1詞
なる関係があることが分る。この式でSをクに変えても同様な関係が成立する。
の如くなる：
k・κ22∫11ぷ（・）Xp（・）…＋k・κ・2∫1、Zs（・）Zp（・）rdr ＝＝ 0・
次にS−Pの場合を考える。Cn（7 ）をfl次の円柱関数とすると
∫｛Cn（・・）｝・…考［｛Cn （・・）｝・＋（・一霧，）｛G（・・）2｝］
なる積分が出来る。これから
∫1 ｛」n（・・α・・sr）｝・rdr ＝＝［芸｛」n・（・・a ・rn…）｝・
＋（・一。・2α三・，．・）｛」n（・・a ・・s・）｝2］：
一睾2［｛」n・（・・α・・…）｝・＋（・−di2、2a、2）｛」n（・・a m）…）｝2］
となるから，
（47）
（48）
（49）
（50）
従って次
（51）
（52）
（53）
23 ∫11悉・（・）・・d・一｛」n（κ2 ξ，ひi〕r・一∫11｛万（・・α物・・）｝・・dプ
ー｛」n（ 2 alκ2α。，，sal）、・［｛」n （・・a ・・sa・）｝・
・（・一。22α票，。、2）｛Jn（・・α…）｝・］ （53）
となる。同様に
∫．a， Z・2（・）・dr ＝＝｛di）｝・∫1、｛・tn（・・S）r2d・
一、｛，、7i（］、，，）｝・［α2｛…！（a…）｝2−a・2｛・・1…2）｝2
−a・2（・一．、2α芸・a、2）｛u・2（・…）｝・］（54）
を得る。（53），（54）から
k・2κ・2∫11獅）rdr＋・…2∫1、 Z・（・）rd・・
一，｛毒熟、｝［｛」n （・・a ・・…）｝・＋（・一κ22α蓑，。、2）｛・・（・・α・・…）｝・
＋、畿誌［・・｛・・（…）｝・一・・2｛Unt（・・（a・・）｝・
一 a・2（・一。、2α二；・a、2）Zt・（a…）］
≡V （αフπ，s） （55）
を得る（45）の式は複雑であるからV（α仇，s）と書くこととする。（51）と（55）とにより
（43）から，
A4・ 一，，（ 1α仇，s）（kirc22 S，alfi（cf，p）X，（ξ）ξ・ξ＋le…2∫1、f・（e…）Zs（ξ）ξ・ξ）（56）
となるので，
f，（7 ，P）＝Σ五4工（プ）
S＝1
一菖予雲鶉（le…2∫1 ∫（ξ・・）XS（ξ）ξ・ξ）
＋k・κ・2 ll、 f （ξ・・）Z（・）ξ・ξ （57）
の
f2（r，P）＝ΣA4，Zs（7 ） s＝1
一肩▽綬Sl；）（…2・∫9 ∫（ξ・・）x・（ξ）ξdξ
＋k…2∫1、f・（ξ・・）Zs（ξ）ξdξ） （58）
となる。（57），（58）を夫々（49），（50）に入れればf，（7 ，θ），ノ）（1 ，0）の展開式が得ら れる：
f （re・）一そ隠慧）θ謬；ll：1：2，
・（ k lh・ 22
」些（κ2α。、，，al β）！： ！： f・（e・・）…芋岬一ξ・ξ⑳
・、≡（。、a，m，，己2C・2Y≡（。m，sa、）∫：、∫：f （ξ…））…7）；・
P − F 」≡（tt、a m，、a） Y≡（a m，・a）
F P
・（」 ㌃（・・α殉・ξ）y竿（…鋤・ξ）」警（．、a 。、、の y芋（κ・α…α））ξ一59）
」㌘（κ、α瓢，、の y些（κ、α仇，
『．．tt ．r ． § ）
f （7…）一そ蕊1竃鑑蒜：；墨｝三1：；；）
」亨（・・a …a）Y竿（κ・α・…）
・（・字（蕊…）lllll館・）・i苧」竿（ 「2a …6）ξdξd・
＋咋・、dili（nla m）sa、）∫1・！l f2（ξ・・）・i・ZlllLg
」竿（・・α…a）y等（κ・α…a）
一 ×（」芋（・・α…ξ）Y警（κ・am；・ξ）」≡（rc、am，、a） y≡（tg・aM，sa）一β 『
−
3 ）ξ獅（・・）
（59），（6。）の如き聴の蹴媚有eaxの徽畷開する・と力咄来たので『こ棚題
その解は次のように書かれる・・
一蕊・一，芸薫θ頴；三1；1；．
・（ klt 22」竺（rc2a m，sal）∫：1∫㌔（ξ・・）…牛・竺（・・α…ξ）ξ獅
α
・・麟）∫：、∫1 f・ （6・ ・）・・nフ〃；酬ξ・s）ξ4ξ輌）・（61）
＿鷺曇・−X12・22・m，s21xe711；；議1；）
P
・（ kiX22」≡（κ2αm，、α、）∫11∫1∫（ξ・・）・・nフ〃算噂（…）
戸
25 ＋・illXk）∫1 ∫：f・・（e…）・・n7 芳酬ξ・）ξ⇒（62）
問題皿
この問題に於いて問題1と異なるのは7 一αに於ける境界条件（10）の代りに
（莞・＋c誓；）．．。一・ （63）
を用いるだけである。cは定数である。
従って問題1と違うのは1 −aに於ける計算だけであるので，他の式は皆問題1の式を 用いることが出来る。r−aに於ける境界条件（63）を〃2に入れれぼ，
一κ・2κ22α2｛G。，。み（κ、αの＋ぽ，。y，、（κ、αの｝
＋・κ・α｛G…（7zみ（・、α・κ1αα ）一み・・（・・α・））
ヰH…n（．ky，，（・・αの一Yn・・（・・αの）｝一・，
（64）
或は
G…｛一・・2・22αみ（ ・・α・）＋・（，、蓋。み（κユαα）−」n・・（脚））｝
＋Hcr，n｛一・・2・22α取…）＋c（。1：。 y・（・・a ・）・一・Yn・・（・・α・））｝一・
となる。これは新しい定数K、，，。を用いて，G。，。， H．，nを次のように採ると満足される：
G− K…1 （65）
一
・t・tC22a ・」n（・・α・）＋c（
H。，，1＝一
（66）
一…22α・㌦（・・a ・）＋C（thYn（rca a）−Yn＋・（・α・））
この問題に於いては（71）のG。，n， H。，nに（2）の代りに（65），（66）を使うことに なる。従って（23）の代りに次の関係式を得る：
一一」n（・、α・、）−」n＋、（・、α・、）
ゐ、κ2κ2αα・
Jn（κ2αα、）
。、：。、」n（・・α・・）−」n・・（・・α・・）
th・Tn（tC・・ ・）・一・」n・・（・・α・・））
K。，n
︳ κ 2
ゐ
＝
一
・・κ22αみ（・・α・）＋C（
71 tc1αa1
。k n（・・α・）−」n・・（□））
Yn（rc、αα、）−Yn．、（κ、αα、）
一…22αコ㌦（・・α・）＋・（。、芸。Y・（・・α・）−Yn・・（・・α・）
÷
（ 万（rc、αα、）一砺砿（俸・の一c（＝砲・a）−tU））
﹇A
r・i・c22aY。（、，ia 。）＋c（螢㌫）一．Yn＋i （rccra）））・ （67）
この式からαの値が決定される。αは二曲線の交点として与えられることは問題1の場 合と同様である。その二曲線は（24），（25）の類似の式である。それを書くことは省略す
る。
上の二曲線の形観るために1・1−…一号…一・…−2・1・・−1・k・−2・・a−・・al−・・2，
c−・…一芋一・と採る・とに抱・ま・・れら二曲線は
・÷・畷劉， （68）
4 」，（α）
・＝rr−
︵ー
÷
A
αA 2 Ll1 A1
2α
v1 1 2α
v1
＋
y
2の v1 2α
vα 3
一・・取…）・（、．》α
占（α）
＿
顕極）−Y3（1． 2Ct）））
IL−・ J t
A
う
2α
A 1 v
αA
L 2
Ll α12
くY Lの
＋
遷 2の
A
α v
l2
一・・Y2（・…）＋（、．1α
となる。これを図示したものが第3図である。
η
Y2（1． 2a ）−Y3（・．・2a）））
（69）
一
一
第3図 Fig．3
この図から分るようにαは無限に多くある。αの正根を大きさの順に並べてS番目のも のをa ，n，sと書くこととするαは7，Zにも関係するのでタπなる脚符を附け加えて置く。然る ときeXul，〃2は次の如く書ける：
・⊇認泓C・一・⌒2α・⊇竿・」n（・・a ・…r）） （・・）
27
ヒンつ
・t・一石、sElil FnKa m，s， ne rci2x22a・m，s2t・・nクラπθ
・（」n（kt．？・・）−Yn（κ芸竺・プ））・（・・）
但し
ん一一tr・t・a ・…Jn（・・a ・…）＋・（。、義、。九（・・α物・・）−」n・・（・・a ・…a））
一（一・・κ・2a …＋。、＆）・n（r・・am）sa）−c」n・・（r・・a ・・sa）・ （72）
B・一（一…22α物・＋C（。di、。取・一）−Yn・・（・・α…a））
一（一・・rc22arsr．s・＋。、de）Yn（・・α…α）一・・㌦・・（r・・・・…） （73）
と置いてある。
又
・・n（1 ・s）一晃（e￡？，・・！）一．Yp（Ege，…） （74）
と置く。境界条件（17）により次の如く置く：
B・C・m・s・・1−」n（Lm，
sκ2α仇，8α1）・ （74）
F・K・M・s・ll−−dW」・ （75）
尚，
畿篇1 3−x（・）・ （77）
鷲｝一乙（・） （78）
と書くことにすれぽ，
…一恩、恩玩・・…輪22⊇…Zix1・Xs（・ ）e （79）
u・一恩認ム・・一 働ろ・・i・ Zliil1・Zs（・） （・・）
と書くことが出来る。
（77），（78）に初期条件（9）を入れた後の計算は問題1（37）〜（43）と全くと同じで ある。
（77），（78）に初期条件（9）を入れたものは，
f （r・°）一若、恩ム・・s・nZiill1・Xs（7 ）・ （・・）
f （・・の一黒、恩L・s・n iilif・Z・（・） （82）
となり，問題1の場合と同様にFOurier級数を用いて f・（・1 ・）一露…竿・∫1 f・（・・2）・ ・竿2耽
f （…）一露…竿・∫1 f・（・・2．）…竿・ぬ
（83）
（84）
と書けぽ，
f，（・，2）一Σ八興・）， （85）
s＝1
f，（7 ，1・）＝ΣMsZ、（1 ） （86）
S＝1
の如き展開式が出来れぽ問題が解かれる￠）は問題1の場合と同様である。
（83），（84）の展開式の中のAfsを決定するには問題1と同じに次のような積分を作る：
・・κ・2 Sl1 f・（・，・）Xp（・）・d・＋・・κ・2∫1、f （…）Z・（・）・d・
一評（k・rc22！li Xs・）Xp（・）…＋k・・推乙（・）Zp（・）・…
最初∫≠Pの場合を考える問題1の場合の計算から考えて
…22 ll1 X，（・）X・（・）品・・κ・2！1、ZS（・）…
一
。：幾♂（ み＋、（lc2a rn，，α、a m・s」n（・，a rn），・、））一・m癬裟瑠）
一。。鷲♂（…）sww（ s）一輪環薯裟）
え2
＋（。。，，2−。m，。・）・。（・、，カ）・。（・、，ク）
・レ。（・，・）∂Kzs（，・P）一・・・（・・カ）」当弄・∫）L．
となることが分るであろう。
然るに問題1の場合と同様に
・・κ・αm・綴鴛1）−k・κ・a ml・2；悉；）
が成立し，又5をPtz変えた式も成立する。従っ1次のようになる：
・・rc22 ！ll Xs（・）Xs（・）…＋・…2∫1、 Zs（・）Z・（・）…
k2rc12
−（α仇，、2一αm，，2）び。（a・，5）・ ・（α・，カ）
×（・・。（a，・）∂零・P）一…（・・カ）∂寄・5））＿，
（87）
（88）
（89）
境界条件（63）は
29
−・・2・22α・，・2Z・（の＋c（∂ξ1プ））。．。一・ （・・）
である。然るに
∂Z，（7 ）＿ 1 ∂Un（1 s）
∂プ lt。（a、，7 ） ∂1
であるから，（90）は
一r・i2n・2a ・・s・巖芸）＋，、．、n（a1，s）（∂KS（！，・s））r．a−・ （・・）
となる。従って
（∂！b・。 （−i ・s））r．a ・＝κ・2κ・芸・・1・n（・，・） （・2＞
が得られる。
（92）を（89）に代入すれば
k…2 Sl1 X3（r）Xp（・）r・・＋fe・・22∫1、Zs（・）Zp（・ ）rdr
k2rc12
（αm，，2−a m、P2）afi（a，s）lt。（a，カ）
・（・n（a，・）「c・2κ・iig！！！・己〃・（a，P）一・・（a，ヵ）「c・2κ・II…gl−Un（・，・））
＿ k2rc、2κ22・t，、（a， S）2 。（a，P）
（93）
c u。（abS）lt。（a、，P）
が得られる。
次にS＝・Pの場合を考える。
∫9 ｛Xp（・）｝2…一；2−r、、（。、Z｛li，，a、）｝・
・｛｛」 n（・・α・…）｝2＋（・一。22α芸・a、2｛」n（・・α…a・）｝・｝・
∫［、｛Zp（・）｝2・…呼。，、（。i｝z；）｝・
・｛｛Un（a，P）｝2＋（・一。、2α元1・a、2）｛・n（⑭）｝・｝
であるから，
・・κ・・∫1 ｛Xp（・）｝・r4r＋k…2∫1、｛Zp（r）｝・rdr
一仏（ 1rc2a m， pal）｝［睾2｛」n （r・2a …a・）2｝
・（・一。、・α畿。、∂｛JI（・・α・…1）｝2｝］
・｛、tn（1ab 1））｝㌶｛｛・・nt（a・P）｝2＋（・−7・。ご・7の｛an（a・f））｝・｝
一；2｛｛…t（a…））｝2＋（・一．・α元・a、2）｛・・（a・1））｝・｝］
≡σ（a rn，P）
となる （94）の左辺は複雑なのでU（α仇，p）と書いてある。
（87）に（94）を代入すれぽ，
k・r… ！1 f・（E・…）Xp（ξ）ξdξ・＋・k…2∫1、f・（6・2）Z・（ξ））ξdξ
ゐ2κ、2κ22 1イ・（a，P）
c
自肱二ll乏計
（94）
lt− n（al，P）s＝1
塒竺2（πη（a，1・）tt・7t（a、，s））2＋MpU（・m・・）
となる。これに
ゐ2κ、2κ22 芸捻銑五（a・？・）
耀蕊M・隠音
（95）
c ゐ2κ、2κ22 ＝ c を加えると，
k…22 ！1 f・（e・・7・）X・（ξ）ξ・ξ＋・…2∫1、 f2（（e…）Z・（ξ）ξ・ξ
＋ゐ2箸2κ2畿2＞れ（a・・）
一Mp｛≡2儲ξB−）2＋σ（・…）｝
≡≡11fp llx（a，．，， p） （96）
となる。（96）のMpの掛っている括孤内の式は複雑であるのでτ1z（a ， ）p）と書いてある。
以上の計算により
飾・）一Σ鷲）（…22，Sl f （馴（ξ）ξ・ξ
＋・…2∫1、f （9・・）ZS（ξ）ξ・ξ＋ゐ2κ芸κ22諜2）f （…））・
f・（ち・）一鳥緩！㍑，）（・…2111五（緬（ξ）ξ・ξ
＋・・κ・2∫1、五（9・・）Zs（ξ）ξ・ξ＋警2：ll鵠五（…））
（97）
（98）
なる展開式が得られる。
（96），（97）を夫々（83），（84）に代入すれぽ，∫・（1 ，θ），f，（7 ，θ）に対する展開式は 次のようになる・・
f、（・，・）一
そ⊇頴㌶綜；；
t
・（ kユκ22」≡（κ2αm，，al）！i Slf・（・・ ・・）… 7筈哩・・α殉ξ脚
P
31 ・」竿（・＿12κ1：誓（・、α。，s・、）∫1、∫㍉（ξ・）… ；・
A」 By
・（」警（κエα鋤・ξA，）−y竿（ ：竺ξ））㈱・），． （99）
，1。…θ警（κ・α・・の一y芋（「c・α・・s 一）
f・（…）一薦、斎・隻，）・㌣（暑kg，］？i、）y轟，。、）
AJ Bγ
・（ klrc22」墜（κ2α仇，，α、 5 ）∫： ∫1 f （日）…字写（・・a ・，se）ξ・ξdξ
＋」警（ 克2κ12κ、α仇，・a、） y！竺（κ、αm，sa、 P ）∫：・∫：f （ξ・）・1・Z！i ！−2
A」 Bv
・（」巴三（κユα仇，、ξP AJ）−y写（kallilltiE6））ξ⇒ （…）
但しA，，Byは（72），（73）で与えられる次の式を表わす：
A．一（一…22α…＋。、de）」警（・・α・・sa）−c」？…（・・α…の・
B・一（一…22α…＋。、αlligfi）y㌘（・・α…の一・y芋・・（・・α・・…）・
（99），（100）により任意の関数f （1 ，0），f，（1 ，0）の展開式が得られたので，本問題 の解は次のようになることが分るであろう：
＿
そ息ヨ・一慧，㌶（：ご；；；
P
・｛ klrc22」 tiSL＝（κ2αm，，al一
fi ）∫11∫1五（e・・7・）…竿・写（・・a ・…ξ）ξ・ξ・・
＋JVI＝（・、di（r・、a 。t，、a）∫1．、∫1 f・（（，2）・・nZ 171−1 7・
AJ − BY
・（」≡（rcla・rn，、ξ． 5 AJ）一字（寄））ξ⇒． （…）
一
ぷ＿㍊鷲業；1；一諜三ll
e ド AJ Bγ
・｛μ儒焦、の∫11∫1聴・ P ）・・n？ 芸剛・・a・…ξ）ξdξd・
十
ゐ2κ12
」苧（・・a ・・sa・） 咋（・・a ・m） sa・）
∫1、∫：f・（ξ，λ）岬・
v
×
AJ
J坦三（rcla m，，ξ）
β
By
y誓（・・a ・・ s）
AJ By
）ξdξdZ｝・ （102ン
