1 ニュートン (Newton) の運動の 3 法則
1.1 第2法則(ニュートンの運動方程式) ¨§戸田§2-2¥¦
t: 時刻 ,r(t): 位置ベクトル，v(t) = dr
dt(t): 速度ベクトル，a(t) = d2r
dt2(t): 加速度ベクトル.
物体の加速度 a(t)は,物体の受ける 力 ベクトル F(t) で決まる.
加速度 a(t) の向き: 力 F(t) の向きと同じ.
加速度 a(t) の大きさ: 質量 m に反比例, 力F(t) の大きさに比例.
a(t) = 1
mF(t) すなわち m d2r
dt2(t) = F(t) (1.1)
これを ニュートンの運動方程式 という.
【注】式(1.1)は左辺も右辺もベクトル．従って式(1.1)は左辺の各成分と右辺の各
成分が等しいという3つの式をまとめて書いたもの．
基本ベクトル i,j,k を使ってF(t) = Fx(t)i+Fy(t)j+Fz(t)k と成分で書くと運動方程式は md2x
dt2(t) = Fx(t), (1.2)
md2y
dt2(t) = Fy(t), (1.3)
md2z
dt2(t) = Fz(t). (1.4)
となる。
【注】i= (1,0,0), j= (0,1,0), k= (0,0,1)
位置 r(t)
微分→
積分← 速度
v(t) = drdt(t)
微分→
積分←
加速度 a(t) = ddt22r(t)
比例(定数m)
←→
運動方程式
力 F(t)
(例題1) 時刻を表す変数を t とするとき, 質量 m = 4 のある粒子の位置ベクトルの x 成分が x(t) = 14(1−e−4t) + 1 であるとする．速度ベクトルのx 成分，v(t) = dxdt(t) と加速度ベクトル の x成分，a(t) = ddt2x2(t)を求めなさい．また，この粒子に働く力のx成分 F(t)を求めなさい.
速度は,
dx
dt(t) = d dt
µ1
4(1−e−4t) + 1
¶
= e−4t. (1.5)
加速度は,
d2x
dt2(t) = dv
dt(t) = d
dte−4t =−4e−4t. (1.6) 力は,
F =md2x
dt2(t) =−16e−4t. (1.7)
(例題2)
質量 m の物体に重力F=−mgk= (0, 0, −mg)がはたらいている. このとき, 物体の運動は, r(t) = −1
2 g t2 k+A t+B (1.8)
と書ける. ただし,A,B は時間によらないベクトル. これが第2法則 (1.1)を満たすことを示し なさい.
dr(t)
dt = −g t k+A，d2r(t)
dt2 = −g k より，式(1.1)の左辺と右辺が等しいことがわ
かる。
1.2 第1法則(慣性の法則) ¨§戸田§2-1¥¦
第2法則で, F=0 のとき,
md2r
dt2(t) =0 (1.9)
となる．これは 「物体は, ‘力’の作用を受けないかぎり, 等速直線運動をする」 ことを意味 する。(特に, 速度0 すなわち静止の場合もある)
慣性： 物体が運動状態をそのまま保持しようとする性質.
例: エアホッケーのパック,電車の中の風船
例でないもの: 地面を転がるボール,自転車, 自動車.
観測者は地面に固定されているとは限らない.
等速直線運動する電車, 飛行機, エレベータでもよい.
このような，外から力が作用しない物体が静止あるいは等速直線運動を続けるような座標系を 慣性系 と呼ぶ。
加速,減速する電車やエレベータ, 自転する地球 では成り立たない.
1.3 第3法則(作用·反作用の法則) ¨§戸田§2-3¥¦
物体1が物体2に力F12を及ぼすとき, 物体2も物体1に力F21を及ぼす. その向きは反対, 大 きさは同じ.
F12=−F21 (1.10)
例: 銃の発射の反動. 地球とりんご(重力). 下敷と髪の毛(電気力), 水に浮かぶ2せきのボート で,一方がもう一方を押したとき.
(参考)作用・反作用の法則から運動量保存の法則(§戸田p.24¦) が導かれる．
2つの物体が衝突する場合，あるいは一般に互いに力を及ぼしあう場合，他から何の力も受け ないならば，2つの物体の運動量の和は一定である．
1.4 運動方程式を解く
しばらく, 運動が x方向に限られた場合を考えよう. つまり,
r(t) = (x(t),0,0), v(t) = (v(t),0,0), a(t) = (a(t),0,0), F= (F,0,0) (1.11) である場合を考えよう．
力 (の x 成分) F が与えられたときに, 運動方程式を解いて t の関数 x(t) を求めるのが, 力学 の典型的な問題.
(例題3)
時間を表す変数を t とする. 質量 m = 1 の物体が, 力 F = e−t を受けて運動している. 時刻 t = 0 で x= 0 に静止していた物体の運動を求めなさい.
言葉の使い方:
運動を求めよ ⇔時刻 t での位置 x(t) をt の関数として表せ．
静止していた ⇔速度が 0 だった⇔ v(0) = 0.
運動方程式は
d2x
dt2(t) = e−t (1.12)
となる。 v(t) = dx(t)/dt を用いて1階微分だけで書くと, dv
dt(t) = e−t (1.13)
となる．両辺を t で(不定)積分して,
v(t) =−e−t+C1 C1:積分定数 (1.14)
を得る。v(t) = dx
dt(t) なので，上の式より dx
dt(t) = −e−t+C1 (1.15)
が得られる．
両辺を t でもう一度(不定)積分して,
x(t) = e−t+C1t+C2 C2:積分定数 (1.16) が得られる．問題の与えている条件,
v(0) = 0 =−e0+C1 (1.17)
x(0) = 0 = +e0+C1·0 +C2 (1.18) を満たすように C1，C2 を決めるとC1 = 1, C2 =−1を得る。
以上より
x(t) = e−t+t−1. (1.19)
これで運動方程式が ‘解けた’ (t の関数x(t)が求まった).
解が求まったら検算をしよう.
x(t) =e−t+t−1. x(0) =0. (1.20)
v(t) =dx
dt(t) =−e−t+ 1. v(0) =0. (1.21)
a(t) =d2x
dt2(t) = +e−t. (1.22)
よって, (1.19)は確かに問題の条件を満たす運動方程式の解になっている.
運動方程式 を解くために積分(2回!)すると, 積分定数(2個)が出てくる. これを決定する のに, 初期条件 ( 2個. 今なら x(0), v(0)) を使う.
1.5 力の働かないときの3次元の運動
力が働かない⇔F=0= 0i+ 0j+ 0kÃ
mddt22x(t) = 0, mddt22y(t) = 0, mddt22z(t) = 0.
(1.23)
x(t) は, 上の方法で求められる.
dv
dt(t) = 0よりv(t) =C1. (C1 は積分定数) (1.24) よって,
dx
dt(t) = C1 より x(t) =C1 t+D1. (D1 は積分定数) (1.25) y, z 成分も同様.
x(t) = C1 t+D1, y(t) = C2 t+D2, z(t) = C3 t+D3,
別の書き方
x(t) y(t) z(t)
=
C1
C2 C3
t+
D1
D2 D3
(1.26)
または
r(t)=Ct+D . (1.27)
ここで
C=
C1 C2
C3
, D=
D1 D2
D3
(1.28)
等速直線運動 ! · · · 第1法則の結論 C1, C2, C3, D1, D2, D3 は積分定数.
D C
t=0
t=2 t=1
O
1.6 微分方程式
未知関数 x(t) に関する方程式で, 微分を含んでいるものを 微分方程式 という.
求めるのは未知数でなく未知関数!
関数 x(t)を求めることを, 微分方程式を解く (微分方程式を積分する)という.
x(0) = 0 や dxdt(3) = 2のような,特定の時刻 t についての条件を, 初期条件 という.
ここまで出てきた微分方程式はいちばん簡単なタイプ. (2階常微分方程式の中の特別に簡単な もの)
2 変数分離型微分方程式
ここでの目標
• 空気抵抗の力(だけ)を受ける物体の運動方程式が書ける．
• 変数分離型微分方程式が解ける.
2.1 空気抵抗のある場合の運動 ¨§戸田p.34¥¦
空気抵抗だけを受ける, 1次元の運動を考えよう. たとえば, エアホッケーのパックの運動.
物体の受ける 空気抵抗 は,向きは速度v(t) = dxdt(t)と反対向き,大きさは速さ|v(t)|=|dxdt(t)|
に比例(比例定数は k)する場合を考える.
空気抵抗の力の大きさ |F|=k|v(t)|=k
¯¯
¯¯dx dt(t)
¯¯
¯¯ (k は正の比例定数) (2.1) 向きまで考えると
空気抵抗の力 F =
−|F| ; 物体が右向きに運動
|F| ; 物体が左向きに運動
=−k× dx
dt(t) (2.2)
力の符号がこれでよいことを確かめる. −: 物体が右向き, +: 物体が左向きの運動.
速度 dxdt(t) 力 F =−kdxdt(t) 右向き (+) (−)×(+) = (−) 左向き (−) (−)×(−) = (+)
−k× dxdt(t)の−は速度ベクトルと反対向きの力であることを意味する.
x 0
v>0 v<0
F<0
F>0 -1
質量を m とすると運動方程式は,
md2x
dt2(t) = −kdx
dt(t) (2.3)
となる．1階微分で書こう. v(t) = dxdt(t) を用いると上の式は dv
dt(t) =−k
mv(t). (2.4)
となる．
微分すると自分の −k/m 倍になる関数を思いつけば
v(t) = Ce−m tk . C :積分定数 (2.5)
となることがわかる。
思いつかない場合に備えて，しばらくこのタイプの微分方程式の解き方を考えよう.
2.2 変数分離型微分方程式の解き方 ¨§和達p.66¥¦
(例題2.1) 次の性質を満たす関数 x(t) を求めよう.
dx
dt(t) = 2x(t), 初期条件 x(0) = 4. (2.6)
(文字v を xに変えましたが, 深い意味はありません).
(間違いの例1.) 両辺を‘積分’ して,
x=x2+C. よって x= +1 +√
12−4C
2 . (2.7)
x は t の関数 x(t) のはずでは?
間違った点: 左辺は t で, 右辺は x で積分してしまった 両辺を t で積分する(両辺にR
· · ·dt をつける) なら間違いではないが；
(間違いの例2.) 両辺を t で積分して,
x(t) = Z
2x(t)dt+C. (2.8)
正しくない点: 右辺に未知関数x(t) が残っているので，解を求めたことになっていない.
2次方程式x2+ 2x+ 1 = 0の解を x=−12(x2+ 1) と答えるようなもの.
正しい解き方の例
dx
dt(t) =2x(t) (2.9)
まず x(t)を左辺に集める. 今の式には t はないが, あれば右辺に集める. 以下の例題を参照.
1 x(t)
dx
dt(t) =2 (2.10)
両辺を t で積分
Z 1 x(t)
dx
dt(t) dt= Z
2 dt (2.11)
ここで,
右辺= Z
2 dt = 2t+C1. (2.12)
一方,左辺で積分変数を t からs=x(t) に変えて置換積分をすると ds= ds
dt dt = dx
dt(t) dt (2.13)
なので,
左辺= Z 1
s ds= log|s|+C2 = log|x(t)|+C2. (2.14) よって,
log|x(t)|= 2t+C0 (2.15) を得る。ここで C0 =C1−C2 とおいた．指数関数と対数関数は逆関数の関係にあるので
|x(t)|= exp (log|x(t)|) = exp(2t+C0) =C00exp(2t) (2.16) となる．ここで C00= exp(C0)とおいた．これよりx(t) =C00exp(2t) かx(t) =−C00exp(2t) と なる．どちらの場合も
x(t) = Cexp(2t), Cは積分定数 (2.17)
の形をしている．上の式(2.17)が式(2.6)の微分方程式の一般解である．積分定数 C は初期条 件 x(0) = 4 を満たすように決める；x(0) = Cexp(0) = C より，C = 4 となる。以上から式 (2.6)の解は
x(t) = 4 e2t (2.18)
となる。
空気抵抗のある場合の運動の解 dv
dt(t) =−k
mv(t), v(0) = 2 (2.19)
の解を求める．
1 v(t)
dv
dt(t) =−k
m (2.20)
の両辺を tで積分する．
(左辺の積分) = Z 1
v(t) dv(t)
dt dt置換積分= Z 1
vdv= log|v|+C1 (2.21)
(右辺の積分) =−k m
Z
dt=−k
m t+C2 (2.22)
より
log|v(t)|=− k
m t+C0 (C0 =C1−C2) (2.23) 両辺の expをとって
elog|v(t)|= exp µ
−k
m t+C0
¶
(2.24)
|v(t)|= exp µ
−k m t
¶
eC0 (2.25)
v(t) =±eC0 exp µ
−k m t
¶
(2.26)
±eC0 は任意の実数値をとれる. これを積分定数 C とおく.
v(t) =C exp µ
−k m t
¶
(2.27)
初期条件 v(0) = 2 より,C= 2
v(t) =2 exp µ
−k m t
¶
(2.28) これが答えとなる.
v(t) のグラフ m= 1，k= 1,2
2.3 一般の変数分離形 上で見た解き方は,
dx
dt(t) =f(x)g(t) (2.29)
のような形( 変数分離形 )のときに使える.
(解き方の手順)
(1) xを左辺に，t を右辺に集める；
1 f(x(t))
dx(t)
dt =g(t) (2.30)
(2) 両辺をt で積分する； Z 1 f(x(t))
dx(t) dt dt =
Z
g(t)dt (2.31)
(3) 上の式の左辺は積分変数をt からx に変えてx の積分の形にする；
Z dx f(x) =
Z
g(t) dt (2.32)
いままにでてきた微分方程式も, 実は変数分離形と思える. 当面,すべての微分方程式はまずこ の方法を試してみよう.
変数分離形でない例
dx
dt(t) =t+x(t) (2.33)
右辺が掛け算になっていない.
例. 落体の運動 運動方程式は,
mdv
dt(t) =−mg (2.34)
これは変数分離形( f(x) = 1, g(t) = −g などと思える). 上の解き方の手順(2.32)より Z
1 dv = Z
(−g) dt (2.35)
v(t) =−gt+C, (C は積分定数) (2.36)
(例題2.2)
dx
dt(t) = −t x(t), x(0) = 2. (2.37)
を解こう (答2.2)
式(2.32)で f(x) =x，g(t) =−t とおいて Z dx
x =− Z
t dt (2.38)
log(|x|) =− 1
2 t2+C0 (2.39)
|x|=eC0exp µ
−1 2 t2
¶
(2.40) x=Cexp
µ
−1 2 t2
¶
C;積分定数 (2.41)
ただし上で x の正負にあわせて ±eC0 を C とおいた．初期条件よりC = 2;
x(t) = 2 exp¡
−12 t2¢
(2.42)
[問] 次の微分方程式を, それぞれ, 初期条件のもとで解こう.
dx
dt(t) =−3x(t), x(0) = 2.Ãx(t) =Ce−3t, C = 2. (2.43) dx
dt(t) = −x(t)2, x(0) = 2.Ãx(t) = 1
t+C, C = 1/2. (2.44) dx
dt(t) =−t2, x(0) = 2.Ãx(t) =−1
3t3+C, C = 2. (2.45) dx
dt(t) =−1−x(t), x(0) = 2.Ãx(t) =−1 +Ce−t, C = 3. (2.46)
3 空気抵抗のある場合の落下運動
ここでの目標
• 空気抵抗の力と重力の両方を受けて鉛直方向にだけ運動する物体の運動方程式が書ける.
• 部分分数展開を用いて変数分離型微分方程式が解ける.
3.1 鉛直方向の運動 ¨§戸田p.34¥¦
質量 m の物体が重力−mgと速さに比 例する空気抵抗の力−kdzdt(t) のもとで 運動する. ただし，鉛直上向きにz 軸を とり, 時刻 t での物体の位置を z(t) と した.
v>
0
v < 0
F > 0 F < 0
-1
z 0
m g m g
空気抵抗による力は
k×
+¯
¯dz
dt(t)¯
¯ (dzdt(t)<0,↓)
−¯¯dz
dt(t)¯¯ (dzdt(t)>0,↑)
=k×(−1)×dz(t)
dt (3.1)
と表される。この式(3.1)の符号がこれでよいことを確認しておこう；
速度 dzdt(t) (−1)×dzdt(t) 下向き↓ (−) (−)×(−) = (+) 上向き↑ (+) (−)×(+) = (−) k×(−1)× dz(t)
dt の(−1)は速度ベクトルと反対向きの力であることを意味する.
運動方程式は
md2z(t)
dt2 =−mg−k dz(t)
dt (3.2)
となる．式(3.2)を解こう.
まず速度v(t) = dz
dt(t) についての微分方程式は次のようになる；
dv(t)
dt =−g− k
mv(t). (3.3)
この式は変数分離型なので,
Z dv
v+ m gk =−k m
Z
dt (3.4)
と変形できる。以下 log
¯¯
¯v+m g k
¯¯
¯ = −k
m t+C0
¯¯
¯v+m g k
¯¯
¯ = C00exp
³
− k m t
´
; C00 =eC0 v+m g
k = C exp³
− k m t´
; C =±C00 より
v(t) =−mg
k +Ce−m tk (3.5)
が得られる．v(t) = dz(t)
dt なので，式(3.5)をもう一度,t について積分すると z(t)が得られる；
式(3.5)の左辺の積分 = z(t) 式(3.5)の右辺の積分 = C2−mg
k t+C1e−mkt ;C1 =−m
k C から
z(t) =C2− mg
k t+C1e−m tk (3.6)
となる。
[問] 時刻 t= 0 に位置 z =h から初速度 v0 で物体を落下させた時の物体の運動を求めなさい．
[答] v(0) =v0，z(0) =h となるように積分定数を定める。まず式(3.5)よりC = m g
k +v0 と なる．C1 =−mk C なので式(3.6)よりC2 =h−C1 = h+m2 g
k2 + m
k v0 となる．
以上より以下が得られる
v(t) = −mg k +
³
v0+mg k
´
e−mk t (3.7)
z(t) = h− mg
k t+ m k
³mg k +v0
´ ³
1−e−mk t
´
(3.8)
下の図は g = 9.8[m/s2]，h= 1[m]，v0 =5[m/s], k/m=3[s−1]の場合に v(t)とz(t)を t に対し て描いた．細い線は空気抵抗が無い場合(k = 0)を示す．
0.5 1 1.5 2
−6
−4
−2 2 4 6
v(t)
t v
0.5 1 1.5 2
−4
−3
−2
−1 1 2 3
Z(t)
t
終端速度 §戸田p.56¦
上の解から, t → ∞ で初速度 v0 によらずv(t) → v∞ = −mg
k となることがわかる. この v∞ を 終端速度 という. 終端速度は, 微分方程式を解かなくても次のように得ることができる；
t → ∞ で v(t)→ v∞(定数) となることが予想できるので，v =v∞ を運動方程式(3.3)に代入 する．dv∞
dt = 0なので
0 =−g− k
mv∞ (3.9)
より，v∞=−mg
k が得られる．
【注】 t→ ∞ で v(t) が v∞ に近づくことは運動方程式(3.3)を v∞ を用いて dv(t)
dt =−k
m(v(t)−v∞) (3.10)
と書き換えるとわかりやすい．この式から v(t)< v∞ の場合 dv(t)
dt >0となりv(t)は増加 v(t)> v∞ の場合 dv(t)
dt <0となりv(t)は減少 することがわかる．つまり v(t) は常にv∞ に近づくように変化する．
O dv(t)/dt
v
v
v(t) ߪᷫዋ v(t) ߪჇട
実際の抵抗力は速度の大きさに比例する力と速度の大きさの2乗に比例する力の和であり，物 体の速さが大きくなると2乗に比例する力が重要になってくる．
今度は，速度の大きさの2乗に比例する空気抵抗と重力とを受ける物体の落下運動を考えよう；
空気抵抗による力は
−k2×
¯¯
¯¯dz(t) dt
¯¯
¯¯ dz(t)
dt (3.11)
と表される．(符号がこれでよいことを確認すること．) 運動方程式は, md2z(t)
dt2 =−m g−k2
¯¯
¯¯dz(t) dt
¯¯
¯¯ dz(t)
dt (3.12)
となる．これより速度 v(t) = dz(t)
dt に対する微分方程式は以下となる；
dv(t)
dt =−g− k2
m|v(t)| v(t) (3.13)
[答] v(t) =v∞ を式(3.13)に代入して得られる0 = −g− k2
m|v∞|v∞ より |v∞|v∞=−g m k2 が得 られる．これより v∞<0がわかるので以下となる；
v∞=− rg m
k2
この値に v(t) が t → ∞ で近づくことは式(3.13)の右辺を v に対して描いた下の図よりわ かる；
dv(t)/dt
v
- g
v O
v(t) ߪჇട v(t) ߪᷫዋ
[問] 時刻 t= 0 に, 速度 v0(<0)で物体を落下させる．速度 v(t) = dzdt(t) を求めなさい．
[答] 問題の運動では, 常にv(t) = dz(t)
dt <0であるので,v(t)に対する微分方程式(3.13)は dv(t)
dt =−g+ k2
mv(t)2 (3.14)
となる．
部分分数展開
上の微分方程式(3.14)を解こう. 記号が多いとややこしいので, まず, dv(t)
dt = k2 m
µ
v(t)2− mg k2
¶
(3.15)
で a = k2
m, b= qmg
k2 とおいて記号を整理する;
dv(t) dt =a
³
v(t)2−b2
´
, 初期条件 v(0) =v0 (3.16)
上の微分方程式は変数分離形となっているので，まず 1
v(t)2−b2 dv(t)
dt =a (3.17)
と変形してから両辺を t で積分すると
Z 1
v(t)2−b2 dv(t)
dt dt=a Z
dt (3.18)
となる．左辺の積分は積分変数を t からv に変えると Z 1
v2 −b2 dv (3.19)
となる．ここで
1
v2−b2 = A
v−b + B
v+b (3.20)
とおいて, A, B を上の等式が成り立つように決めて得られる 部分分数展開 1
v2−b2 = (3.21)
を利用すると，以下のように積分が式の形で求まる；
Z 1 2b
µ 1
v−b − 1 v+b
¶ dv =a
Z
dt (3.22)
1
2b(log|v−b| −log|v+b|) =at+C , Cは積分定数 (3.23) 以下，v(t) = · · · の形に変形していく；
log
¯¯
¯¯v−b v +b
¯¯
¯¯= 2 a b t+C0 すなわち v−b
v+b =±eC0 ·e2abt
C, C0 は積分定数. C00 =±eC0 とおく. ここで C00 を決めておく. 初期条件により, t= 0 のとき v(0) =v0 なので,
C00= v0−b v0 +b . 元に戻って,分母を払った
{v(t)−b}=C00·e2abt{v(t) +b}
は v(t)について1次方程式なので, v(t) について解くと, v(t) = b× 1 +C00e2abt
1−C00e2abt =−b× C00+ e−2abt C00−e−2abt となる．計算の途中で使った記号 a= km2, b =q
mg
k2 を元に戻すと,
v(t) = − qmg
k2 × C00+ e−2
rk2g m ·t
C00−e−2
rk2g m ·t
=− qmg
k2
1 + 2 e−2
rk2g m ·t
C00−e−2
rk2g m ·t
(3.24)
ここで C00 は以下で与えられる；
C00=
v0−q
mg k2
v0+q
mg k2
． (3.25)
ここで, e−2
rk2g m ·t
→0 (t→ ∞)より，確かに初期値 v0 に関係なく時間が経過すると
v(t)→v∞ =− (3.26)
となる．
(参考) v(t) = なので式(3.24)を t について積分すると z(t) が得られる；
z(t) = 式(3.24)の右辺の積分=− qmg
k2
Z
dt−2 qmg
k2
Z e−2
rk2g m ·t
C00−e−2
rk2g m ·t
dt
= −
qmg
k2 t− m k2
Z d dtlog
¯¯
¯¯
¯C00−e−2
rk2g m ·t
¯¯
¯¯
¯ dt
= −
qmg
k2 t− m k2 log
¯¯
¯¯
¯C00−e−2
rk2g m ·t
¯¯
¯¯
¯+C3 , C3;積分定数 (3.27) 下の図は g = 9.8[m/s2]，z(0) = 1[m]，v0 =-1[m/s], k2/m=3[s−1] の場合にv(t)とz(t) を t に 対して描いた．細い線は空気抵抗が無い場合(k2 = 0)を示す．
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
v(t) t
v
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
−2
−1.5
−1
−0.5 0.5 1 1.5
Z(t)
t
