曲線と曲面の幾何学・講義ノート

曲線と曲面の幾何学・講義ノート

第 13 ^回

(2021

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13

(

)

)

§ 4. ^{曲面上の曲線} ( ^続き )

 区分的に C

級のときは、各角における方向転換の角度も加え ればよいのは、平面曲線のときと同様である。

 単位球面上の測地（線で囲まれた）三角形について適用してみ

ると、 K ≡ 1 ^より Gauss 曲率の積分は面積、外角の和は π × 3 −

内角の和より、 「内角の和 = π+ 面積」となる。従って単位球面 上の測地三角形の内角の和は、常に π ^{より大きく、} 5π ^より小さ

い。例えば三直角三角形の囲む領域は球面の８分の１であるか ら、その面積は 4π/8 = π/2, よって上の公式の両辺は共に 3π/2

となり、確かに一致する。

問 4.2  他の具体例で確かめよ。

問 4.6  単位球面上の凸な正五角形について、次の各問に答えよ。

(1)  その内角の和が取り得る値の範囲を、理由を付けて答えよ。

(2) ^{一つの内角が} 2

3 π となるときの面積を求めよ。

問 4.8  単位球面を互いに面積の等しい m ^個の球面 n ^角形に切

り分けることを考える。次の各問に答えよ。

(1) ^各球面 n 角形の外角の和を求めよ。

(2) ^各球面 n 角形の内角の和を求めよ。

(3)  (2) ^{で求めた内角の和の} m → + ∞ ^{のときの極限値を求}

めよ。

  § 3 ^{の最後に紹介した} K ≡ − 1 の擬球面、またはこれを切り開 いて延ばせるだけ延ばした双曲平面上の測地（線で囲まれた）三 角形について適用してみると、 K ≡ − 1 ^より Gauss ^{曲率の積分は}

面積の − 1 倍となり、一方、外角の和は π × 3 − ^{内角の和となる}

のは同様で、結局「内角の和 = π − 面積」となる。従って擬球面 または双曲平面上の測地三角形の内角の和は、常に π ^より小さ

い。さらに内角の和も正でなければならないことから、測地三角

形の面積は常に π より小さいと言う、平面上では考えられないよ

うなことが成り立つ。

 さて、 M ^{は境界を持たない} C

級の閉曲面とする。これを区分 的 C

級な境界を持つ、単連結な曲面に切り分けると、各部分で は、上の公式（ Gauss 曲率の面積分＋測地曲率の線積分＋外角の 和＝ 2π ^{）が成り立つ。}

 ここで、切り分けて出来た各曲面の内部を面、その境界の内、

C

級でない角を頂点、隣り合う角を結ぶ C

^{級な曲線を辺と、そ}

れぞれ見なすことにする。折れていない辺の途中に頂点はないよ うにしておく。一般に頂点と辺は、複数の面に共有されているが、

これを重複せずに数えることにして、切り分けたときの頂点、辺、

面の数をそれぞれ v, e, f ^{と表すことにする。}

 全ての部分について、上の公式を足し合わせると、測地曲率の 積分は各辺の両側で逆向きに行うので、結局全て相殺してしまう。

 一方、外角は π − 内角であるから、外角の総和は

∑

外角 =

(π − ^内角 ) = π × 2e − 2π × v = 2π(e − v)

外角は辺の数だけあるが、各辺は隣り合う面で共有されているの で、結局 2e 個数えることになる。一方、内角は各頂点毎に集め て足し合わせるとわかりやすい。

 さらに、回転数の和は f ^より、

2π × f =

(2π × ^{各面の外周の回転数} )

=

_各面 Kdv +

_{各面の外周} θ

dt + ^{各面の外角の和}

)

=

M

Kdv + 0 + 2π(e − v)

より、結局

∫

M

Kdv = 2π(v − e + f )

を得る。

 従って左辺の積分は 2π の整数倍の値しかとらないことになる。

この値は、先の議論同様、同相な曲面どうしの連続変形では変わ らない。このことから、逆に v − e + f は分割の仕方によらない ことがわかる。この値を曲面 M ^の Euler ^{標数と言い、普通} χ(M )

と表す。これを用いて表した

∫

M

Kdv = 2πχ(M )

を Gauss-Bonnet ^{の定理と呼ぶ。}

 例えば、原点中心の単位球面を、三つの座標平面で切り分ける と、 v = 6, e = 12, f = 8 （正八面体を丸めた状態）となるので、

χ(S

) = 6 − 12 + 8 = 2

となる。

 一方、中心 (R, 0, 0), ^半径 r (0 < r < R ) ^の xz ^{平面上の円周}

を、 z 軸を軸として回転させてできる、ドーナツの表面のような 回転面をトーラスと呼び、 T

で表すが、この曲面を、三つの座標 平面で切り分けると、 v = 8, e = 16, f = 8 ^{となるので、}

χ(T

) = 8 − 16 + 8 = 0

となる。

  χ(S

) = 2 より、球面と同相などんな閉曲面についても、 Gauss

曲率の積分は 4π （単位球面の表面積）であり、また χ(T

) = 0

より、トーラスと同相などんな閉曲面についても、 Gauss ^曲率の

積分は 0 ^である。

 一般に穴が g 個の浮き輪型の閉曲面の Euler ^標数は 2 − 2g ^であ

ることが知られている。 g を曲面の種数と呼ぶ。上の事実は、穴 が 2 個以上ある浮き輪は、全体で非負の Gauss ^{曲率を持つ状態に}

は変形できないことを示している。詳細は来年度以降の位相幾何

学、微分幾何学等の講義で学ぶ（はずである） 。

問 4.16  D

, D

^{は共に単位球面} S

上の小円で囲まれた面積 ϵ

の領域で、 D

∩ D

= ∅ とする。次の各問に答えよ。

(1)  M

, M

^は共に S

\ D

^と合同 ( ^＝等長 ) ^{な曲面とする。円柱} S

× [0, 1] ^{と同相な曲面} N

^{を適当に選び、} M

, M

^{の境界をなす} 2 ^{個の小円を} N

で滑らかにつないでできる閉曲面の Gauss ^曲率を K

^{とするとき、面積分}

N₁

K

dS ^{の値を求めよ。}

(2)  M

^は S

\ (D

∪ D

) ^と合同 ( ^＝等長 ) ^{な曲面とする。円柱} S

× [0, 1] ^{と同相な曲面} N

^{を適当に選び、} M

^{の境界をなす} 2 ^個

の小円を N

で滑らかにつないでできる閉曲面の Gauss ^曲率を K

とするとき、面積分

N₂

K

dS ^{の値を求めよ。}