曲線と曲面の幾何学

曲線と曲面の幾何学

第

13

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曲線と曲面の幾何学第13回ですどうぞよろしくお願い致します

前回はこの公式にたどり着きました多角形の外角の和は３６０度の一般化です

曲面上の角のある単純閉曲線

(

)

外角の和＋ 測地曲率の

(

)

(

)

2 �

球面を８等分したものにこの公式を当てはめてみましょう

球面を８等分

各 ピースは３ 直角 三角形

ピース毎には上の公式がなりたっています

ピース毎には

都合で内角を用いる形に直しておきます

内角で書き直し

同じものが８枚あるので公式も両辺８倍してみると

これを８倍すると

( ^{π − π} 2 ) ^{× 3 × 8 + 0 + 4} 8 ^π × 8 =2 π × 8

単位球面の面積を表す左辺第3項を残して右辺に移項します

左辺第

1

4 π =2 π × 8 −

(

)

計算過程を一部残して括弧を外します

括弧を外すと

4 π =2 π × 8 − 2 π × ( 3 × 8 ÷ 2)+ 2 π × 6

ここで右辺の各項の意味を考えてみましょう

右辺の各項の意味は？

4 π =2 π × 8 − 2 π × ( 3 × 8 ÷ 2)+ 2 π × 6

右辺第1項の８はピースつまり面の数でした

右辺第１項の意味は？

4 π =2 π × 8 − 2 π × ( 3 × 8 ÷ 2)+ 2 π × 6

右辺第２項の３かける８は外角を内角で表すときのパイが現れた回数ですから辺の数と同じですが各辺２回ずつカウントされるので２でわればちょうど目に見える辺の数です

右辺第２項の意味は？

4 π =2 π × 8 − 2 π × ( 3 × 8 ÷ 2)+ 2 π × 6

右辺第３項は内角を全てかき集めたものですが頂点毎に見ればその和は２パイですから６と言うのは目に見える頂点の数です

右辺第３項の意味は？

4 π =2 π × 8 − 2 π × ( 3 × 8 ÷ 2)+ 2 π × 6

○

○

○

○ ○

○

つまり右辺の第1項は２パイかける面の数第２項は２パイかける辺の数第３項は２パイかける頂点の数と言うことで

つまり

頂点の数

ちょっと順番を変えてまとめると右辺は２パイかける頂点ひく辺たす面の数と言うことになりこの頂点ひく辺たす面の数は切り分け方や同相な他の曲面への連続変形でも変わらないと言うか変わりようがありませんこれを球面のオイラー標数と言いその値は２です

まとめると

×

切り分け方に依らない

！連続変形で変わらない

！

一般の閉曲面を等分でなくて適当に切り分けても辺の測地曲率の線積分は隣り合うピースどうしでは逆向きに計算するので足し合わせると消えてしまい残りませんなので左辺をガウス曲率の面積分とした形で同じ結論が得られます

一般の閉曲面でも

…

×

切り分け方に依らない

！連続変形で変わらない

！

浮き輪やドーナツの表面の形であるトーラスについて同じことを考えてみましょう

トーラス

ドーナツの表面

やはり８等分してみましょう絵は正確ではありませんがこれ以上線を入れるとわかりにくくなるので…

８等分

○ ○ ○ ○

○

○

○

○

（長方形ではない）

頂点辺面の数はそれぞれ８16８ですから

頂点、辺、面の数は？

○ ○ ○ ○

○

○

○

○

8, 16, 8

トーラスのオイラー標数は８ひく16たす８で０です

トーラスのオイラー標数

従ってトーラスではガウス曲率の積分は０になってしまいます

トーラスの全曲率

これはトーラスのガウス曲率が外側では正ですが内側では負で積分すれば０と言うことはちょうどバランスが取れていると言うこと

トーラスのガウス曲率

外側は 正 、内側は負

� > 0

� < 0

� < 0

� > 0

それがトーラスと同相などんな閉曲面でも成り立っていると言うのがすごいところです

トーラス

(

)

ガウス曲率の

(

)

= 0

� > 0

� > 0

� < 0

� > 0

それは球面でも同じことで球面ほぼ１個分の正のガウス曲率をくびれの部分が負で取り返します

球面

(

)

4π

� > 0

^{� < 0}

� > 0

二人用の浮き輪の曲面ではどうなるか切り分けて考えてみましょう

二人用浮き輪

オイラー標数は？