曲線と曲面の幾何学・講義ノート
第
12
回(2020
年12
月23
日(
水)
配信分)
§ 4.
曲面上の曲線(
続き)
そこで、今度は平行移動一周分のずれについて調べてみよう。
そのために、あらかじめ閉曲線を含む曲面上の領域上に、
C 1 級単
位ベクトル場
U
を与えておく。（単連結領域ならばこれは必ずと れる。）ここでW (t) = U (X (t))
ととれば、| G(X (t)), U (X (t)), (U (X (t))) ′ |
の積分は一般に、始点と終点の平 行ベクトルを基準に測ったU (X (t))
の偏角の差に一致する。しか しU (X (t))
は実は始点と終点で一致するので、この値は実際に は、平行ベクトル自身の偏角の差（すなわち平行移動一周分のず れ）の− 1
倍に一致する。曲面がz = f (x, y)
と書けるとき、G(x, y) = ˜ G(x, y, f (x, y)), U ˜ (x, y) = U (x, y, f (x, y ))
とおいて、この積分を計算してみよう。
| G(X (t)), U (X (t)), (U (X (t)))
′| = G(x(t), y ˜ (t)), U ˜ (x(t), y (t)), ( ˜ U (x(t), y (t)))
′= G, ˜ U , ˜ U ˜ x x
′(t) + ˜ U y y
′(t)
= G, ˜ U , ˜ U ˜ x dx
dt + G, ˜ U , ˜ U ˜ y dy dt
よって、閉曲線の囲む領域を
D
とおくと、Green
の定理より、Z
∂D
G, ˜ U , ˜ U ˜ x dx+ G, ˜ U , ˜ U ˜ y dy = Z
D
∂
∂x
G, ˜ U , ˜ U ˜ y − ∂
∂y
G, ˜ U , ˜ U ˜ x dxdy
右辺の被積分関数は、
G ˜ x , U , ˜ U ˜ y + G, ˜ U ˜ x , U ˜ y + G, ˜ U , ˜ U ˜ yx − G ˜ y , U , ˜ U ˜ x − G, ˜ U ˜ y , U ˜ x − G, ˜ U , ˜ U ˜ xy
= G ˜ x , U , ˜ U ˜ y − G ˜ y , U , ˜ U ˜ x + 2 G, ˜ U ˜ x , U ˜ y
ここで、
U
として、x-
軸方向に平行な単位接ベクトル場をとれば、G(x, y) = ˜ 1
r
1 + f x 2 + f y 2
− f x
− f y 1
, U ˜ (x, y) = 1
r
1 + f x 2
1 0 f x
より、
G ˜ x (x, y) = 1
(1 + f x 2 + f y 2 ) 3/2
− f xx (1 + f y 2 ) + f xy f x f y
− f xy (1 + f x 2 ) + f xx f x f y
− f xx f x − f xy f y
G ˜ y (x, y) = 1
(1 + f x 2 + f y 2 ) 3/2
− f xy (1 + f y 2 ) + f yy f x f y
− f yy (1 + f x 2 ) + f xy f x f y
− f xy f x − f yy f y
U ˜ x (x, y) = f xx
(1 + f x 2 ) 3/2
− f x 0 1
U ˜ y (x, y) = f xy
(1 + f x 2 ) 3/2
− f x 0 1
である。これを上の被積分関数に代入すると、
f xy { f xy (1 + f x
2) − f xx f x f y } (1 + f x
2)
(1 + f x
2+ f y
2)
3/2(1 + f x
2)
2− f xx { f yy (1 + f x
2) − f xy f x f y } (1 + f x
2) (1 + f x
2+ f y
2)
3/2(1 + f x
2)
2= − f xx f yy + f xy
2(1 + f x
2+ f y
2)
3/2= − K
r
1 + f x
2+ f y
2よって、
Z
∂D | G(X (t)), U (X (t)), (U (X (t))) ′ | dt = − Z D K
r
1 + f x 2 + f y 2 dxdy
を得る。（
r 1 + f x 2 + f y 2 dxdy は曲面 z = f (x, y)
の面積要素で
ある。）
ここで
Gauss
曲率K
が、任意のベクトル場をx, y
の順で微分したものと、
y, x
の順で微分したものとのずれである| G, ˜ U , ˜ U ˜ x | y − | G, ˜ U , ˜ U ˜ y | x から出て来たことに注意しよう。このず
れは G
のみで定まるが、一方 G
を与えることは、曲面の接空間
の傾きを与えることであり、これは基底をなすベクトル
t (1, 0, · ), t (0, 1, · ) の内積を与えることとも考えられるので、結局
Gauss
曲率は、接空間上の内積（Riemann
計量と呼ばれる）のみで定まることになる。これが、
Gauss
の驚きの定理と呼ばれるも のである。以上より、始点と終点の速度ベクトルが一致する曲面上の閉曲 線に対しては、測地曲率の積分と内部における
Gauss
曲率の面積分の和が
2π
の整数倍となる。この整数が回転数であり、単連結 領域を囲む場合は2π
である。実際、
0 ≤ s ≤ 1
なるs
を一つ固定し、関数f s = s × f
を考えると、
xy-
平面への射影が共通するD
及び∂D
での、各f s に対す
る上記の積分の和は、
s
に関する連続関数となる。ところが、こ れは2π
の整数倍と言う飛び飛びの値しかとらないので、§ 1
の議論同様、結局
s
を動かしても、異なる値をとることができない。よって、その値は、
s = 1
とs = 0
とで一致し、§ 1
で与えた平面領域を囲む場合と同じことがわかる。
第
11
回の問の解答(
準備)
s
をX (t)
の弧長パラメーターとする。このとき、問2.3
の解答の準備よりX s = dt
ds X ′ (t(s)) = X ′ (t(s))
|| X ′ (t(s)) ||
X ss = d 2 t
ds 2 X ′ (t(s)) +
dt ds
2
X ′′ (t(s))
= || X ′ (t(s)) || 2 X ′′ (t(s)) − ⟨ X ′ (t(s)), X ′′ (t(s)) ⟩ X ′ (t(s))
|| X ′ (t(s)) || 4
であったので、測地曲率は
| G(X (t(s))), X s , X ss | = | G(X (t)), X ′ (t), X ′′ (t) |
|| X ′ (t) || 3
となる。
問
4.9
Gauss
写像(
単位法ベクトル)
の求め方は、第９回§ 3
冒頭を参照。
X (t) = t (cos t, sin t, f (t))
のGauss
写像を外向きにとればG(X (t)) = t (cos t, sin t, 0),
で、これを上で求めた公式に代入す れば|| X ′ (t) || 2 = 1 + f ′ (t) 2
| G(X (t)), X ′ (t), X ′′ (t) | = f ′′ (t)
より
| G(X (t)), X ′ (t), X ′′ (t) |
|| X ′ (t) || 3 = f ′′ (x)
(1 + f ′ (t) 2 ) 3/2
で、確かに
y = f (x)
の曲率と一致する。一方、
Gauss
写像を内向きにとれば、測地曲率は− 1
倍となるが、絶対値は一致する。
問
4.14
平面
Π
と平行なベクトル空間をΠ 0 とすると、曲線 X (t)
は Π
上の曲線なので、
X (t + h) − X (t)
h ∈ Π 0 (h ̸ = 0)
より
X ′ (t) ∈ Π 0 が成り立つ。さらに同様に X ′′ (t) ∈ Π 0 も成り
立つ。
一方、仮定より
G(X (t)) ∈ Π 0 なので、G(X (t)), X ′ (t), X ′′ (t)
は一次従属となり、
| G(X (t)), X ′ (t), X ′′ (t) | = 0
である。問
4.1
略
