曲線と曲面の幾何学・講義ノート

(1)

曲線と曲面の幾何学・講義ノート

第８回

(2020

^年

11

^月

25

^日

(

^水

)

^配信分

)

中間レポート課題

(2)

提出方法

１．全ての問題に解答して下さい。

２．解答を所定の解答用紙 ( この問題と同じページにある Word

ファイル ) ^{に記入して下さい。}

３．解答用紙のファイル名は sf20rep1( ^学籍番号 ).docx

として、 WebClass ^{に提出して下さい。}

４．提出締切は 12 ^月 2 ^日 ( ^水 ) ^午前 11 ^時です。

(3)

記入上の注意

１．学籍番号と氏名を忘れずに記入して下さい。

２．解答は所定の解答欄に記入し、正誤欄、備考欄には何も記入しないで下さい。

３．数式の記入に当たっては次のことに注意して下さい。

(1) べき乗などの上付き文字は、上付きにしなくても、「 ˆ ^」を用

いて、次のように入力すれば十分です。

例： x ² ^… xˆ2, x ¹² ^… xˆ { 12 }

(2) 下付き文字は、下付きにしなくても、「」を用いて、次のように入力すれば十分です。

例： x ₂ ^… x 2, x ₁₂ ^… x { 12 }

これらは数式を含んだ文書作成に便利な

Tex

のコマンドです。と言っても、

他の数式を

Tex

のコマンドで書く必要はありません。

(4)

(3) ^分数は 1

2 ^{でなくても、} 1/2 と入力して構いません。ただし必要に応じて括弧は忘れずに。

例： 1 + 1

2 ^… 1+(1/2)

４． Word での入力では、次の点に注意が必要なようです。

(1) 英字で入力するとき、一文字目を小文字で入力しても大文字に変換されてしまう ( ^{ことがある} ) ので、その場合は、一度入力してから一文字目を小文字に入力しなおして下さい。

(2) ^丸括弧「 ( 」で式を始めると、角括弧「 ] ^{」で閉じても丸括弧}

「 ) ^{」に変換されてしまう} ( ^{ことがある} ) ので、その場合は、一旦

「 )] ^{」と入力してから「} ) ^{」を削除して下さい。}

( 注：３、４の内、全ての注意が今回必要とは限りません。 )

(5)

問題１（に当てはまる数または式を解答して下さい。）

曲線 x ² + 2bxy + y ² = 1 ^{が、短径と長径の比が} 1 : 3 ^{であるよう}

な楕円となる b ^{の値を求めよ。}

( ^解 )

A =



 



アイイウ



 



とおけば、

x ² + 2bxy + y ² = (x, y)A



 



x y



 



と書ける。

(6)

ここで A ^{は実対称行列なので、} A ^{の固有方程式} 0 = | λE − A | = λ ² − ^エ λ + ^オ

は実数解 α, β ( α ≤ β ) ^を持ち、 A ^は、ある P ∈ SO (2) ^により

t P AP =



 



α 0

0 β



 



と対角化できて、この P ^{を用いた座標変換}



 



x y



 

 = P



 



X Y



 



により、曲線の方程式 x ² + 2bxy + y ² = 1 ^を αX ² + βY ² = 1 ^と書

き換えることができる。

(7)

従って、この曲線が題意を満たすためには

α > 0 ^かつ β = ^カ α

が成り立てばよい。このとき二次方程式の解と係数の関係よりキ α = ^エ , ^ク α ² = ^オ

なので、求める答は

b = ^{ケまたはコ}

である。

(8)

問題２（に当てはまる数または式を解答して下さい。）

a > 0 とする。弧長媒介変数で表示された放物線

X (t) =



 



h(t) ah(t) ²



 

 (t ∈ R)

について、次の各問に答えよ。

(1) h(t) ^{が満たす条件} ( ^{微分方程式} ) ^{を求めよ。}

( ^解 )

X ^′ (t) =



 



サシ



 

 (t ∈ R)

より、求める条件は

h ^′ (t) ² = ^ス

である。

(9)

(2) ^曲率を a, h ^′ (t) ^{を用いて表せ。}

( ^解 ) ^{先に求めた} X ^′ (t) ^と

X ^′′ (t) =



 



セソ



 

 (t ∈ R)

より、曲率は a, h ^′ (t) を用いてタと表せる。

微分していない

h(t)

^{自身は用いないこと。}

(10)

問題３（に当てはまる数を解答して下さい。）

ベクトル V ₁ , V ₂ , V ₃ ^は、

V ₁ =



 



1 0 0



 



, V ₂ =



 



0

12 13 5 13



 



, V ₃ =



 



0 − ₁₃ ⁵

12 13



 



で与えられるものとする。いずれも単位ベクトルであること、それぞれ直交することを認めて、次の各問に答えよ。

(1) ^外積 V ₁ × V ₂ , V ₂ × V ₃ ^{を求めよ。}

( ^解 )

V ₁ × V ₂ =



 



チツテ



 



, V ₂ × V ₃ =



 



トナニ



 



(11)

(2) P V ₁ = V ₂ , P V ₂ = V ₃ , | P | = 1 ^{をみたす直交行列} P ^を求

めよ。

( ^解 )

P =



 



ヌネノハヒフヘホマ



 



解答用紙に記入の際、縦横の順に注意すること。

(12)

問題４（に当てはまる数、式または語句を解答して下さい。）

X (t) (t ∈ R) は弧長媒介変数表示された C ³ ^{級曲線とし、その} Frenet-Serret ^枠を X ^′ (t), N (t), B (t) ^{で表す。曲率は} σ(t) ̸ = 0 ^で、

さらに t ^{に依らない定数} a ^{に対し、捩率が} τ (t) = aσ(t) ^を満たす

(

つまり捩率が曲率に比例する

) とき、次の各問に答えよ。

(1) (aX ^′ (t) + B(t)) ^′ ^{を求めよ。}

( ^解 ) a ^{が定数のとき、一般に}

(aX ^′ (t)) ^′ = ^ミ X ^′ (t) + ^ム N (t) + ^メ B(t) B ^′ (t) = ^モ X ^′ (t) + ^ヤ N (t) + ^ユ B(t)

が成り立つが、今 τ (t) = aσ(t) ^より

(aX ^′ (t) + B(t)) ^′ = ^ヨ X ^′ (t) + ^ラ N (t) + ^リ B(t)

(13)

(2) ⟨ X ^′ (t), aX ^′ (t) + B (t) ⟩ ^{を求めよ。}

( ^解 )

⟨ X ^′ (t), aX ^′ (t) + B(t) ⟩ = a ⟨ X ^′ (t), X ^′ (t) ⟩ + ⟨ X ^′ (t), B (t) ⟩

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