曲線と曲面の幾何学・講義ノート

曲線と曲面の幾何学・講義ノート

第 11 ^回

(2020^年12^月16^日(^水)^配信分)

§ 4. ^{曲面上の曲線}

 この § では、曲面上の曲線について考える。一般に C

^級曲面 M に向きを定めておき、各点 P に対し上向き単位法ベクトルを

G(P ) で表すことにする。この対応 G ^を M ^{から単位球面への写}

像と考えて、 Gauss ^{写像と呼ぶ。}

 弧長媒介変数で表された M ^上の C

^級曲線

X (t) =

(x(t), y(t), z (t)) を考える。この曲線の曲率を考えると き、 § 1 同様にして、加速度ベクトルを考えたい。接平面に沿う進 行方向左側の単位法ベクトル（曲面の法ベクトルと区別して余法 ベクトルと言う）は、 N (t) = G(X (t)) × X

(t) ^{で与えられるの}

で、平面曲線の曲率を一般化するには

⟨ N (t), X

(t) ⟩ = ⟨ G(X (t)) × X

(t), X

(t) ⟩ = | G(X (t)), X

(t), X

(t) |

とするのが、極めて自然である。これを測地曲率と呼ぶ。

測地曲率が恒等的に 0 である曲線を測地線と呼ぶ。これは曲面上 の少なくとも短い区間では最短距離を実現している曲線である。

平面上の直線に相当するものである。球面上では大円（中心を通 る平面による切り口）がこれにあたることが、常微分方程式

| G(X (t)), X

(t), X

(t) | = 0

を解くことによって示される。

問 4.9 ^問 2.3 の曲線の、直円柱上の曲線としての測地曲率は、

xy - ^{平面上の曲線} y = f (x) の曲率（の絶対値）と一致することを 確かめよ。

t は弧長パラメーターではないので、まず測地曲率の定義を、弧長でないパラ メーターに書き換える。

問 4.14  M ^は R

^{内の曲面、} G ^は M ^の Gauss ^写像、 Π ^は R

内の平面で、 M ^{と交わるものとし、} X (t) ^は曲面 M ^を平面 Π ^で

切った切り口に現れる曲線を弧長パラメーター表示したものとす る。 G(X (t))//Π ( ∀ t) ^のとき、 X (t) ^は M ^{上の測地線であること}

を示せ。

 より一般に、曲線上の各点に単位接ベクトル V (t) ^{が与えられ}

ているとき、この対応を曲線に沿う単位接ベクトル場と言う。以 下 V (t) ^は C

^{級とする。特に}

⟨ G(X (t)) × V (t), V

(t) ⟩ = | G(X (t)), V (t), V

(t) | = 0

を満たすならば、平行ベクトル場と言う。この式は V

(t) ^が V (t)

を含む垂直面からずれていないことを意味している。一方、 V (t)

は単位ベクトルであるから、 V

(t) ^は V (t) ^{とも直交する。従って}

結局、 V

(t) ^は G(X (t)) と平行でなければならない。測地線は、

速度ベクトル場が平行になる、すなわち進行方向がぶれていない

ような曲線であると言える。

  t = t

^{における点} X (t

) で曲面の勝手な接ベクトル V

^を与え

たとき、 V (t

) = V

^を満たす X (t) に沿う平行ベクトル場が、た だ一つ存在することが、常微分方程式の一般論により示される。

このときの V

^を V (t) に対応させてゆく移動を X (t) ^{に沿う平行}

移動と言う。一般の曲面では、始点と終点が同じでも、曲線に よって平行移動の結果、写る先は異なる。

問 4.1  球面の場合に具体的にこれを見てみよ。

 平行ベクトル場 V (t) ^に対し、

P(t) = (G(X(t)), V (t), G(X(t)) × V (t))^t(G(X(t₀)), V (t₀), G(X(t₀)) × V (t₀))

とおけば、 P (t) ∈ SO (3) ^は

G(X (t)) = P (t)G(X (t

)), V (t) = P (t)V (t

),

G(X (t)) × V (t) = P (t)(G(X (t

)) × V (t

))

を満たし、かつ C

^{級である。}

 ここで、点 X (t

) における任意の単位接ベクトル V

^に対し、

ベクトル場 P (t)V

^{を考える。}

V

= cos θV (t

) + sin θG(X (t

)) × V (t

)

と書ける。以下 c = cos θ, s = sin θ ^{と略記する。}

P (t)V

= cP (t)V (t

) + sP (t)(G(X (t

)) × V (t

))

= cV (t) + sG(X (t)) × V (t)

より、 P (t)V

^は V (t) ^を G(X (t)) ^{を軸として一定の角度} θ ^だけ回

転してできる単位接ベクトル場である。

  V

^{によらず、} P (t)V

も平行ベクトル場である、すなわち同じ 曲線に沿う平行移動が共通の P (t) により表されることを示そう。

 今 V (t) は平行ベクトル場であるから、 V

(t) ^は G(X (t)) ^と平

行より、 G(X (t)) × V

(t) = 0 ^{である。一方} G(X (t)) ^{は単位ベク}

トルであることから、 (G(X (t)))

^は G(X (t)) ^{と直交する。よっ}

て、 (G(X (t)))

^と V (t) ^{が線形独立ならば、} (G(X (t)))

× V (t) ^は G(X (t)) ^と平行、 (G(X (t)))

^と V (t) ^{が線形従属ならば、}

(G(X (t)))

× V (t) = 0 ^より、

| G(X (t)), G(X (t)) × V (t), (G(X (t)) × V (t))

|

= | G(X (t)), G(X (t)) × V (t), (G(X (t)))

× V (t) | + | G(X (t)), G(X (t)) × V (t), G(X (t)) × V

(t) |

= 0

よって G(X (t)) × V (t) も平行ベクトル場となり、特に

(G(X (t)) × V (t))

^は G(X (t)) ^{と平行である。}

 よって、

| G(X (t)), cV (t) + sG(X (t)) × V (t), (cV (t) + sG(X (t)) × V (t))

|

= c

| G(X (t)), V (t), V

(t) |

+cs | G(X (t)), V (t), (G(X (t)) × V (t))

| +sc | G(X (t)), G(X (t)) × V (t), V

(t) |

+s

| G(X (t)), G(X (t)) × V (t), (G(X (t)) × V (t))

|

= 0

となり、 P (t)V

= cV (t) + sG(X (t)) × V (t) ^{は平行ベクトル場と}

なる。

 言い換えれば、

| G(X (t)), P (t)V

, P

(t)V

| = 0

が任意の V

に対して成り立つことが示されたことになる。

 同じ X (t) に沿う任意の単位接ベクトル場 W (t) ^に対し、

W (t) = cos θ(t)V (t) + sin θ(t)G(X (t)) × V (t)

と書ける。このとき

W

(t) = θ

(t) {− sin θ(t)V (t) + cos θ(t)G(X (t)) × V (t) } + cos θ(t)V

(t) + sin θ(t)(G(X (t)) × V (t))

だから、

| G(X (t)), W (t), W

(t) |

= θ

(t) | G(X (t)), cos θ(t)V (t) + sin θ(t)G(X (t)) × V (t),

− sin θ(t)V (t) + cos θ(t)G(X (t)) × V (t) | + cos θ(t) | G(X (t)), W (t), V

(t) |

+ sin θ(t) | G(X (t)), W (t), (G(X (t)) × V (t))

|

ここで G(X (t)) ^と V

(t) ^{が平行より第２項は} 0, G(X (t)) ^と

(G(X (t)) × V (t))

^{が平行より第３項も} 0 ^{である。よって与式は}

|G(X(t)), W(t), W^′(t)|

= θ^′(t){−cosθ(t) sinθ(t)|G(X(t)), V (t), V (t)|

+ cos² θ(t)|G(X(t)), V (t), G(X(t)) × V (t)|

−sin² θ(t)|G(X(t)), G(X(t)) × V (t), V (t)|

+ sinθ(t) cosθ(t)|G(X(t)), G(X(t)) × V (t), G(X(t)) × V (t)|}

= θ^′(t){−cosθ(t) sin θ(t) · 0 + cos² θ(t) · 1

−sin² θ(t) · (−1) + sinθ(t) cosθ(t) · 0}

= θ^′(t)

すなわち偏角の微分に一致する。

 特に W (t) = X

(t) ととれば、測地曲率がこれと一致する。

従って、測地曲率の積分は一般に、平行移動を基準に測った始点 と終点の速度ベクトルの偏角の差に一致する。しかし曲面上で は、始点と終点の速度ベクトルが一致する閉曲線に対しても、一 般には一周分の平行移動で単位ベクトルは元には戻らないので、

この偏角の差は、測地曲率の積分だけでは 2π ^{の整数倍となると}

は限らない。

第 10 ^{回の問の解答}

問 3.4

  H = 0 ^{のとき、主曲率を} σ

, σ

^{とすると、} σ

+ σ

= 2H = 0

より、 Gauss ^曲率は K = σ

σ

= − σ

≤ 0 ^である。

問 3.5

  ch(x)

− h

(x)

− 1 = 0 ^よりまず c > 0 ^{に注意する。}

h

(x) = ±

ch(x)

− 1 ^なので z = h(x) ^{に戻せば、}

√ dz

cz

− 1 = ± dx

両辺を積分して、 z = 1

√ c cosh t ^{で置換すれば、}

√ 1 c

∫

dt = ±

dx

より、

√ 1

c cosh

√

cz = 1

√ c t = ± x + c

よって、

z = 1

√ c cosh √

c(x ± c

)

従って、 a := 1

√ c , b := ∓ c

^{と置き直せば}

z = acosh x − b a

を得る。

問 3.10

  c > 0 ^のとき、 h(x) = √

c

− x

^{が常微分方程式}

h

(x) + ch(x)(1 + h

(x)

)

= 0 を満たすことを示せばよい。

問 3.11

 まず、常微分方程式 h

(x) + ch(x)(1 + h

(x)

)

= 0 ^を z = h(x)

のパラメーター表示 (x(t), z (t)) ^{に書き直す。} z(t) = h(x(t)) ^より

z

(t) = h

(x(t))x

(t),

z

(t) = h

(x(t))x

(t)

+ h

(x(t))x

(t)

であるから

h

(x(t)) = z

(t) x

(t)

h

(x(t)) = z

(t)x

(t) − z

(t)x

(t)

x

(t)

が成り立つ。これを代入して

x

(t)(z

(t)x

(t) − z

(t)x

(t)) + cz(t)(x

(t)

+ z

(t)

)

= 0

を得る。

 後は、 c < 0 ^のとき、 tractrix のパラメーター表示において

a = √

− c

ととり、この常微分方程式を満たすことを示せば

よい。