Hausdorff 次元について 双曲幾何学にまつわる Klein 群論と極限集合の

双曲幾何学にまつわる

群論と 極限集合の

次元について

桂 悠祐

年

月

日

概要

この書き物は, 主にNicholls [10]の要約で, 私が2009年度に書いた修士論文を少し修正し たものである. 内容としては, 主にSullivanが1980年代に繰り広げたKlein群論に関する仕 事について取り扱っている. また, 非専門家の方でも読めるように, 双曲幾何の初歩から始ま り,途中で必要な知識を補いつつ, 要点を押さえながら書いた. この書き物を通じて,少しでも 読者の皆様が何かを得ていただければ,私としては幸いである. 最後に, 修士論文の執筆の際に は,糸健太郎准教授(名古屋大学)をはじめとする教員の方々や,現在博士後期課程の学生であ る足立真訓氏(名古屋大学),椋野純一氏(名古屋大学)など多くの仲間に色々とアドバイスをい ただいた. この場を借りてお礼申し上げたい.

序文

この論文は

少人数クラスの教科書

の要約を記述した第

部と

の論 文

に書かれている固有値アルゴリズムの紹介及びそのアルゴリズムを用いた計算結果を記述し た第

部から構成されている

私の計算結果が非専門家の方々にも分かるように

第

部に双曲幾 何学に関する基本事項を

に沿ってまとめ

第

部にアルゴリズムの紹介と私の計算 結果を記述した

双曲幾何学とは

断面曲率がいたるところ

である連結な

多様体にまつわる幾何学 である

このような多様体を双曲多様体という

これには

群と呼ばれる群が大きく関わっ ている

なお

次元

群とは実

次元単位球に

計量を入れた双曲幾何単位球 モデル

の向きを保つ自己等長変換群

の離散部分群のことである

歴史上特に

のときを

群といい

のときを単に

群という

次元

群の定義には 離散性の条件のみを課したが

この条件だけで

に真性不連続に作用することが分かる

従っ て

次元

群

が

に自由に作用するとき

を

群

の作用で割った商空間

には多様体の構造が入り

特に双曲多様体となる

そして

の基本群

は

群

と群同型となる

逆に

を

次元双曲多様体とするとその普遍被覆として

B^d+1

が取れ

の基本群

と群同型な被覆変換群

は

に作用する

の離 散部分群である

この関係によって

双曲多様体と

群が対応している

M_Γ

∂∞MΓ

図1 双曲多様体MΓとその理想境界∂∞MΓの想像図

なお

は

空間を

点コンパクト化した空間

上の

変換で

と各点で向きを保つもののなす群

と一致する点は重要であり

この論文では

変換から

群にアプローチすることを試みた

このアプローチは

をはじめ多くの

書物で採用されているが

初等的な計算で理解できるように私の視点でまとめ直した

また

双曲幾

何は

幾何の特殊な場合を扱っているため

幾何の言葉を多用してなるべく一般 論とのつながりが分かるようにまとめた

第

部では

少人数クラスで勉強した

の内容を中心に

次元

群の力学系的側 面を考察する

その際

極限集合と呼ばれる単位球面

の部分集合を観察する

次元

群

に対する極限集合とは

の

軌道

の

位相に関する集積点集合のことであり

と書く

これは

が

に真性不連続に作用することから

の部分集合となることが分 かる

極限集合は

上に複雑な模様を描くので

その

次元を考察することは興味深い ことである

なお

集合の

次元は空間に対する厚みや複雑さを表す量である

しかし

極

限集合の

次元を考察することは一般には難しく

この論文ではその部分集合である円錐

型極限集合に焦点を当てる

特に

群

にまつわる

つの指数である

円錐型極限集合

の

次元

収束指数

臨界次元

の間の関係を中心に議論を展開し ていく

第

部の主な目標は

以下の

つである

目標

核に対する様々な意味づけ

目標

理想境界

上の共形測度に対する様々な意味づけ

目標

次の主定理を示すこと

主定理

幾何学的有限

群に対して

が成り立つ

以下

各章で書かれている重要事項を簡潔に述べる

第

章では

幾何と双曲幾何の根本的な違いを考察すると共に

変換

変 換の拡大率

核などの概念を導入し

その性質を考察する

特に

変換の定義と

単 位球と向きを保つ

変換が

の双曲幾何単位球モデルの等長変換になることに重点 を置く

第

章では

まず

群

群の極限集合と不連続領域

群の基本領域

級

数

群の収束指数などの概念を導入し

その性質を考察すると共にいくつかの

群の分

類法を説明する

その中でも商双曲多様体の幾何学的性質を反映した

体積有限

凸ココンパクト

幾何学的有限の

つの格付けによる分類は

以下の議論で核となる分類法である

次に

理想境界

上の点を

群

を用いて分類する

具体的には

の部分集合となる極限集合の元を

円 錐型極限点

接球型極限点の

つに格付けし

群の軌道の部分点列や双曲球の影及び

核によってそれらを特徴付けることと

集合を導入して理想境界

は

測度で 見て接球型極限集合と

集合によってほとんど覆われていることを見る

第

章では

測度論の一般論を復習すると共に

群の極限集合を解析する上で必要な

Hausdorff

測度及び理想境界上の共形測度の導入

そして

群の臨界次元の導入を行う

理想

境界上の共形測度に関しては

その性質を具体的に見ていく

まず

変換の拡大率や単位球

モデルに対する双曲的

作用素の固有関数とみなせる

核を用いて導入の

動機付けをした後

実際に理想境界上の共形測度である

測度の構成を行う

そ

して

共形測度の

群に対するエルゴード性に関連した諸性質に重点を置いて考察する

第

章では

第

章と第

章で導入した

群の

つの指数である

収束指数

円錐型極 限集合の

次元

臨界次元

の間の関係を導く

具体的にこの章の最終目 標は

不等式

dim_HΛ_c(Γ)≤δ(Γ) =α(Γ) (0.1)

を示すことである

その際に鍵となる言葉は

つあり

本文に登場する順序に並べると次のように なる

鍵

群

に対する

不変測度の存在

鍵

影の補題

鍵

臨界次元の上からの評価

鍵

軌道数え上げ関数の上からの評価

鍵

収束指数の上からの評価

鍵

円錐型極限集合の

測度の上からの評価

これら鍵となる言葉の関係について考察するときの流れ図は次のようになる

鍵

鍵

鍵

↓ ↓ ↓

鍵

鍵

鍵

なお

鍵

は鍵

や鍵

を得るための道具であり

それぞれの主張に対応する定理は次のように なる

主張

鍵

鍵

鍵

鍵

鍵

鍵

対応する定理 定理

定理

定理

そして

式

が成り立つことを見る

第

章では

群の中でも扱いやすい凸ココンパクト

群の持つ性質を見ていく

特に

この章では

収束指数と円錐型極限集合の

次元が一致することを証明することに重点を 置く

第

章で一般の

群

に対して

が成り立つことを見るので

この 章では特に凸ココンパクト

群

に対して

不等式

δ(Γ)≤dimHΛc(Γ) (0.2)

が成り立つことを見る

なお

現在では一般の

群

に対して

dim_HΛ_c(Γ) =δ(Γ) =α(Γ) (0.3)

が成り立つことが証明されているが

式

を証明することが難しく

ここでは凸ココンパクト

Klein

群についてこの事実を証明するに留める

第

章では

単位球

に自由に作用する

群と商双曲多様体の間の関係について考察す る

その際

群

と商双曲多様体

をつなげる仲介役として

の単位接束

上の 測地流を導入すると共に

測地流の持つエルゴード性にまつわる事項を紹介する

流れのエルゴー ド性に関しては

一般の

可測空間上の流れに対して話を進めた

また

が幾何学的有限のと

き

測地流は

測度から導かれる単位接束上の測度に関してエルゴード性を持つ

ことを簡単に紹介し

測地流のエルゴード性周辺の様々な性質を見る

単位接束上の測地流は強力 な道具でもあり

円錐型極限集合の

次元を評価する際にも威力を発揮する

最後に測地 流を用いて

幾何学的有限

群に対して式

が成り立つことを証明し

第

の最終目標を達 成する

第

部では

の論文

で述べられている極限集合の

次元の計算アルゴリ ズムについて

その解説とその適用例の計算について記述した

第

部の主な目標は

以下の

つ である

目標

の論文紹介

目標

の用いたアルゴリズムによる

私の計算結果

以下

各章で書かれている重要事項を簡潔に述べる

第

章は

主に

の論文紹介である

この論文では

次元単位球面

上の共形力 学系とその不変測度に対して

不変測度の次元の近似計算与える

分割を用いた固有値ア ルゴリズムが紹介されている

このアルゴリズムは

群の極限集合や複素力学系の

集合

の

次元を計算することにつながる

また

自身もこのアルゴリズムを用いて

実際に特殊な対称性を持つ

群の極限集合の

次元やある

次多項式の

集合

の

次元を近似値として計算している

この章では

固有値アルゴリズムと

の

構成した

群の極限集合として現れる

集合の

次元について主に解説する

第

章では

私がこの固有値アルゴリズムを用いて計算した様々な高次元

群の極限集合の

Hausdorff

次元の計算結果を紹介する

具体的に群を構成して計算したものは

つあり

• McMullen

の構成した特殊な対称性を持つ

群の高次元化

•

ある対称性を持つ古典的

群によって

上に構成される

集合の

次元の計算例

•

先の古典的

群の対称性を弱めた群によって

上に構成される

集合の

次元の計算例

である

つ目は

の構成した

群を高次元に一般化した

群の極限集合とし て実現される

集合の

次元を計算したものである

私は高次元における計算例を ほとんど見たことがなかったので

自分の手で計算してみた

なお後になって気づいたことである が

別の例に関して

に高次元で計算されたものが記述されている

つ目は

古典的

群に対する計算結果である

の例は指数

の部分群を考えることによ

り

はじめて古典的

群と見なすことができる

そこで

私は直接古典的

群を構

成して

の用いた議論を適用して計算を試みた

なお

指数

の部分群を考えることを

回避することで

商双曲多様体の様子が考察しやすくなるという利点がある

つ目は

つ目の群 においてどこまで対称性を崩せるかという疑問の下で得た計算結果である

これは

つ目の

群に変数を新たに導入し

商双曲多様体を変形させることを視野に入れて計算したものである

追記

後で修士論文を見直した際に

いくつか誤植箇所が見つかった

しかしながら

筆者の諸事情によ

り未だ直せていない箇所も多い

その点ご留意いただきたい

また

時間が作れれば

ぼちぼち直し

を行ったり

書き加えていきたいと思う

目次

第

部

の要約

1

双曲幾何学の準備

1.1 Euclid

幾何

1.2 Poincar´e

の双曲幾何モデル

1.3 M¨obius

変換の定義とその性質

1.4 M¨obius

変換と双曲計量

2 Klein

群とその極限集合

群とその極限集合

2.2 Klein

群の分類

2.3

理想境界

上の点の分類

3

極限集合を測る測度

測度論の準備

3.2

距離空間上の

測度と

集合の

次元

3.3

理想境界上の共形測度

3.4

共形測度と双曲的

作用素に対する固有関数

3.5

発散型

群の

測度

3.6

理想境界

上の

次元

不変共形測度の性質

4 Klein

群に対する各種指数の関係

影の補題と発散型

群

4.2

軌道数え上げ関数の導入とその振る舞い

4.3

収束指数と臨界次元の関係

4.4

円錐型極限集合の

次元と収束指数の関係

5

凸ココンパクトな

群

凸ココンパクト

群の持つ性質

5.2

収束指数と円錐型極限集合の

次元の関係

6

幾何的有限な

群

測度空間上の流れに対するエルゴード理論

6.2

単位接束

上の測地流

6.3

体積有限性と幾何的有限

群

6.4

収束指数と円錐型極限集合の

次元の関係

第

部

の論文

の紹介と

集合の

次元

の論文紹介

次元単位球面

上の共形力学系と

分割

7.2 Markov

分割を用いた固有値アルゴリズム

8 S^d

上に構成される

集合の

次元

型広義古典的

群によって

上に構成される

集合

8.2 Cantor

集合

の

次元の計算

8.3 S¹

上に構成される

集合とその

次元の計算

8.4 G¹_θ

の一般化 〜高次元化〜

8.5 G^r_2,2

の一般化 〜長方形〜

第

部

Nicholls [10]

の要約

1

双曲幾何学の準備

この章では

幾何の復習をしたのち

つの

双曲幾何モデル

と

M¨obius

変換の導入を主に行う

そして

それらが密接に関係していることを見る

特に

を

保ち

の各点で向きを保つような

変換

以後

単に

と向きを保つ

変換と 呼ぶ

が

の等長変換になることに焦点を当てる

1.1 Euclid

幾何

まずは

記号の準備も兼ねて

昔から知られていた

幾何の復習を行う

定義

空間

d+ 1

次元実線型空間

とその上の

計量

を

R^d+1:=









 x=





 x₁ x2

... xd+1







x_i∈R











, g_R :=kdxk²:=

d+1X

i=1

dx_i⊗dx_i

で定める

この

多様体

を

または単に

を

次元

空間とい い

計量

を

計量という

Euclid

計量

は

内積

x·y:=

d+1X

i=1

x_iy_i, x=





 x₁ x2

... xd+1





, y=





 y₁ y2

... yd+1





∈R^d+1

を

幾何の言葉で記述したものである

内積は

ノルム

x·x

を導 き

これから

点

間の距離

が定まる

そして

これから定まる通常の位相を

位相という

このように

計量は

多様体上の距離を定める

しかしこれ だけでなく

の部分集合

の体積も自然に定まる

一般に

向き付け可能

次元

多様体

に対して

の部分集合

の体積は

上の体積要素

を

上で積分すること

によって定められる

なお

上の局所座標を

とすると

体積要素

は局所 的に

dVg :=

q

det(gij) dx1∧dx2∧ · · · ∧dxd+1, gij :=g ∂

∂xi, ∂

∂xj

と書ける

従って

上にも

計量

から定まる標準的な体積要素

が構成でき

それ は古典的な初等幾何学においてよく用いられてきたものである

定義

上の体積要素

R^d+1

上の体積要素

を

dV :=dx₁dx₂· · ·dx_d+1:=dx₁∧dx₂∧ · · · ∧dx_d+1

で定め

可積分領域

を

で測った体積を

と書く

以後

は

上の

測度と混同して用いる

例えば

上の球の体積は

次のよ うに計算できる

例

球の体積

中心が

で半径が

の球を

x∈R^d+1 | kx−ak< r

で表す

このと き

体積

は

Vol[B(0, r)] = Area(S^d) Z _r

0

t^ddt= Area(S^d) d+ 1 r^d+1

と書ける

但し

は体積要素

を

次元単位球面

x∈R^d+1 | kxk= 1

に制限 した面積要素

で

を測ったときの面積を表す

なお

も

上の

測度と混同して 用いる

これは

次元

空間上の球の体積は半径

に対して

の割合で増加することを示し

ている

この節の終わりとして

幾何の性質をまとめておく

定理

幾何の性質

(E1) (R^d+1, g_R)

上の測地線は直線である

但し

測地線とは局所的に最短な曲線のことである

上の任意の

点

に対し

と

を結ぶ測地線が存在する

即ち

は完

備

多様体である

(E3)

上のような測地線は

に対し

唯

つである

(E4) d= 1

のときを考える

直線

に対して

を

上にない

上の点とする

このとき

を 通る直線で

と並行

即ち

直線

と交わらないものが唯

つ存在する

Euclid

幾何において最も特徴的なことは

第

公準である

の条件をみたすことで

ある

1.2 Poincar´e

の双曲幾何モデル

この節では

第

公準

をみたさない幾何モデルである

の双曲幾何モデルを

つ導入する

まずは

次元単位球

x∈R^d+1| kxk<1

上に双曲構造を構成する

定義

双曲幾何単位球モデル

d+ 1

次元単位球

上に

計量

を

1− kxk² (x∈B^d+1)

で定める

この

次元

多様体

を

または単に

を

双曲幾何単位球モ デルという

また

から導かれる距離を

と書き

双曲距離という

更に

この距離から定まる 位相を双曲位相という

双曲計量は

計量と

上共形的なので

位相と双曲位相は位相として同値で ある

の

位相に関する境界

は

次元単位球面

となる

は

上の 点から双曲距離に関して無限遠に位置しているため

と書くこともある

なお

無限遠境界

∂∞B^d+1 =S^d_∞

のように

内側の空間に備えられた距離に関して

無限遠

にある

境界

のこと を

理想境界と呼ぶこともある

また

空間と同様にこの計量に対する体積要素を書き下す と

次のようになる

定義

上の体積要素

B^d+1

上の体積要素

を

dV_h:=ρ^d+1_B dV

で定め

可積分領域

を

で測った体積を

と書く

Euclid

空間と同様に

球の体積を計算してみると

次のようになる

例

双曲球の体積

中心が

で双曲半径が

の双曲球を

x∈B^d+1 |ρ_B(x, a)< r

で表す

このとき

体積

は

V_h[∆(0, r)] = Area(S^d) Z _r

0

sinh^dt dt

と書ける

これは

空間のものとは大きく異なり

双曲球の体積はその半径

に対しておおよそ

の割合で増加することを示している

次に

次元上半空間

x= (x1, x2, . . . , xd+1)∈R^d+1 |xd+1>0

上に双曲構造 を構成する

定義

双曲幾何上半空間モデル

d+ 1

次元上半空間

上に

計量

を

x_d+1 (x= (x₁, x₂, . . . , x_d+1)∈H^d+1)

で定める

この

次元

多様体

を

または単に

を

双曲幾何上半空 間モデルという

また

から導かれる距離を

と書く

このとき

の無限遠境界

は

空間を

点コンパクト化した空間

R^d∪ {∞}

と同一視できる

単位球モデルと同様に

と書くこともある

先と同様にこの計量に 対する体積要素を書き下すと

次のようになる

定義

上の体積要素

H^d+1

上の体積要素

を

dVh:=ρ^d+1_H dV

で定め

のときと同様に

可積分領域

を

で測った体積を

と書く

これまでに

つの双曲幾何モデルを構築したが

実際にこれらは

多様体として同じも のである

それは

次で定義される

から

への

変換

V (x1, x2, . . . , xd+1) =

2x1

ked+1−xk², . . . , 2xd

ked+1−xk², p(x, ed+1)

が等長写像となることから分かる

但し

は

方向の単位ベクトルであり

は

kξ−xk², x∈B^d+1, ξ ∈S^d_∞

で定められる

核である

注意

双曲計量と体積要素

計量

を双曲計量

距離

を双曲距離と呼 ぶこともある

以後断らない限り

双曲距離

を単に

と書く

また

体積は主に

で測 り

体積要素

は

と

で同じ記号を用いる

この節の終わりとして

これらの基本的な性質を

次に列挙する

定理

双曲幾何モデルの性質

(H1) (B^d+1, g_B)

上の測地線は

と直交する円弧か直径である

また

上の測地線 は

と直交する半円か半直線である

(H2) B^d+1

あるいは

上の任意の

点

に対し

と

を結ぶ測地線が存在する

即ち

は完備

多様体である

(H3)

上のような測地線は

に対し

唯一つである

(H4) d= 1

のときを考える

測地線

に対して

を

上にない

の点とする

このとき

を 通る測地線で

と並行

即ち

測地線

と交わらないものは非可算無限個存在する

図

Euclid

幾何とは異なり

双曲幾何は

第

公準をみたさない幾何モデルの

つとなってい

る

図

双曲幾何モデルの場合

測地線の形がそのことを明確に表している

この

多

様体

上の測地線を

双曲測地線と呼ぶこともある

l p

R²

図2 Euclid幾何(平面幾何)

l p

B²

図3 双曲幾何単位球モデル

1.3 M¨obius

変換の定義とその性質

この節では

変換を定義してその性質を考察する

この内容に関しては

や

を参考にまとめた

M¨obius

変換を定義するにあたり

上の自己同相写像の中で

超球面による 反転や超平面による鏡映を考える

まず

超球面による反転を定める

次元単位球面

に関する 反転

を

J(x) :=x^∗:=







x/kxk² (x6= 0,∞)

∞ (x= 0)

0 (x=∞)

と定める

そして

中心

半径

の

次元超球面

x∈R^d+1 | kx−ak=r

に関する反転

を

R^(s)_a,r(x) :=







r²(x−a)^∗+a (x6=a,∞)

∞ (x=a)

a (x=∞)

と定める

図

次に

超平面による鏡映を定める

に対して

を法線ベクトルに持 つ

次元超平面

x∈R^d+1|x·a=t ∪ {∞}

に関する鏡映

を

(x+ca (x6=∞)

∞ (x=∞)

と定める

図

但し

は

と

の中点が

上の点となるように定める

具体的 に

は

と書ける

つまり

に対して

R^(h)_a,t(x) =x−2(x·a−t)a^∗