縦弾性係数

材料力学Ⅱ 復習問題 #10

縦弾性係数

，せん断弾性係数

の鋼材 で作られた長さ

，幅

，高さ

の長 方形断面はり

の

端を固定支持し，自由端に

の 集中荷重をかける．

値とせん断力によるせん断応力の最大値

と

を求め，

それらの値を比較せよ．(2) 曲げモーメントによるたわみの最大値とせん断力によるたわみの 最大値

と

を求め，それらの値を比較せよ．

A B b

h W

材料力学Ⅱ

復習問題 #10

(解答例)

任意の断面におけるせん断力と曲げモーメントは Q_{( )x} W M, _{( )x}  W( x) ^であり，

長方形断面の断面二次モーメント 1 ³

z 12

I  bh ^，断面積Abh^{，最大せん断応力} _max ; ³ 2 Q

  A  ^である．

(1) 応力 曲げ応力

3

12 ( )

x z

M W

y x y

I bh

     なので，最大曲げ応力は _max

0, / 2 2

6

x x x y h

W

  _{ }  bh

せん断応力

1

/ 2 2 2

1

1 1 1

( 1) 1

; ( 4 ),

8

z h

xy y z y

z

QS b

S ybdy h y b b

  b I 



3

xy xy y 2

W

  bh

   ^である．

これらを比較すると，

2 max

max

3 1

0.013

2 6 4 80

xy x

W bh h bh W



 ^{     となり，}^xymax ^xmaxである．

(2) たわみ

曲げモーメントによるたわみ

2

2 3

12 ( )

z

d v M W

dx  EI  Ebh x ^より 12 ₃ 1 ² 1 ³

2 6

A A

v v i x W x x

Ebh

 

      と求められ，支持条件より

0, 0

A A

i  v  ^となり，dv 0 (0 )

dx   x なので，最大たわみは

3

max 3

4

x

v v W

 Ebh

  と求められる．

せん断力によるたわみ

2 2

3 2 d vQ Q W

dx GA Gbh

  ^より 3

Q QA 2

v v W x

  Gbh と求められ，支持条件よりv_QA0 ^となり，dv^Q 0 (0 ) dx   x

なので，最大たわみは _max 3

Q Q x 2

v v W

 Gbh

  と求められる．

これらを比較すると，

3 2

max

3 2

max

3 3 3

0.0023

2 4 8 1280

vQ W Ebh Eh

v  Gbh W  G   ^となり，v_Qmax v_maxである．

※数値を代入すると，_xmax 240MPa, _xymax 3.0MPa, v_max 32mm, _xmax 75 m ^である．

これらの結果より，曲げモーメントの影響に対してせん断力の影響は，応力では数％，たわみでは 1％以下である．最大応 力で数％の影響があると言え，断面内で曲げ応力の最大値は表面で生じるのに対し，せん断応力の最大値は図心近傍 に生じるため，せん断力が強度に与える影響はほぼ 0 と言っても良い．結論としては，せん断力により生じる応力・たわみ は無視して良いことがわかる．