線形代数学Ⅲ 参考資料 1 演習問題解答 2021年度前期

線形代数学Ⅲ 参考資料 1 ^{演習問題解答} 2021

^年度前期

工学部・未来科学部

2

^年 情報メディア学科 他

(

^金曜

5

^限

/ 2803

^教室

)

担当

:

^{原 隆}

(

津田塾大学学芸学部数学科・准教授

)

■演習問題解答  

演習問題

1-1.

Ⅰ

.

b

1

b

2

x

= − 1 2 3

3 − 5 − 4

!

×(−1)

−→ 1 − 2 − 3 3 − 5 − 4

!

←−

×(−3)

+

−→ 1 − 2 − 3

0 1 5

! ←−

×2

+

−→ 1 0 7

0 1 5

!

= b

^′₁

b

^′₂

x

^′

である。

(1) b

^′₁

, b

^′₂ ^{は線形独立である}

(c

1

b

^′₁

+ c

2

b

^′₂

= c

1

c

2

が

0

^{となるのは}

c

1

= c

2

= 0

^{のときのみ} だから

)

^{。したがって}

b

1 と

b

2 も線形独立なので、

B = ⟨ b

1

, b

2

⟩

^は

R

^{2の基底となる。}

(2) x

^′

= 7b

^′₁

+ 5b

^′₂ ^より、

x = 7b

1

+ 5b

2

=

"

7 5

#

B

である。

Ⅱ

.

d

1

d

2

d

3

y

=



 

1 3 2 3

0 1 − 1 − 8

2 0 1 9



 

←−

×(−2)

+

−→



 

1 3 2 3

0 1 − 1 − 8 0 − 6 − 3 3



 

←−

×(−3)

+

←−−−−−−−

×6

+

−→



 

1 0 5 27 0 1 − 1 − 8 0 0 − 9 − 45



 

× (

−1 9

)

−→



 

1 0 5 27 0 1 − 1 − 8

0 0 1 5



  ←−

⁺

←−−−−

×(−5)

+

−→



 

1 0 0 2 0 1 0 − 3 0 0 1 5



  = d

^′₁

d

^′₂

d

^′₃

y

^′

である。

(1) d

^′₁

, d

^′₂

, d

^′₃ ^{は線形独立である}

(

^{Ⅰ と全く同様}

;

^{各自確認すること}

)

^{。したがって}

d

1

, d

2

, d

3 も線形独立なので、

D = ⟨ d

1

, d

2

d

3

⟩

^は

R

^{3 の基底となる。}

(2) y

^′

= 2d

^′₁

− 3d

^′₂

+ 5d

^′₃ ^より、

y = 2d

1

− 3d

2

+ 5d

3

=



 

 2

−3 5



 



D

である。

演習問題

1-2.

Ⅰ

. (1)

基底の変換行列の定義より

b

^′₁

b

^′₂

| {z }

B^′

= e

1

e

2

| {z }

E

P

_E→B′

, b

^′₁

b

^′₂

| {z }

B^′

= b

1

b

2

| {z }

B

P

_B→B′

であるから、

P

_E→B′

= e

1

e

2

₋1

b

^′₁

b

^′₂

=

2 1

−7 −3

P

_B→B^′

= b

1

b

2

₋1

b

^′₁

b

^′₂

=

1 − 2

− 2 3

₋1

2 1

− 7 − 3

= − 3 2

2 1

2 1

− 7 − 3

=

8 3 3 1

である。

(2)

^{命題 より}

x =

P

_E→B′

1 3

E

= 5

−16

E

= 5

−16

, x =

P

_B→B′

1 3

B

= 17

6

B

となる。

Ⅱ

. (1)

基底の変換行列の定義より

d

^′₁

d

^′₂

d

^′₃

| {z }

D^′

= e

1

e

2

e

3

| {z }

E

P

_E→D′

, d

^′₁

d

^′₂

d

^′₃

| {z }

D^′

= d

1

d

2

d

3

| {z }

D

P

_D→D′

であるから、

P

_E→D′

= e

1

e

2

e

3

₋1

d

^′₁

d

^′₂

d

^′₃

=



 2 2 1 1 1 1

− 2 0 1





P

_D→D′

= d

1

d

2

d

3

₋1

d

^′₁

d

^′₂

d

^′₃

=



 1 3 0

− 1 0 1 1 1 0





−1



 2 2 1 1 1 1

− 2 0 1





= 1 2



 −1 0 3 1 0 − 1

− 1 2 3







 2 2 1 1 1 1

− 2 0 1



 =



 −4 −1 1

2 1 0

− 3 0 2





である^*1。

*13次正方行列の逆行列は、『線形代数学Ⅰ』で学んだ掃き出し法による方法(^お薦め)または『線形代数学Ⅱ』で学んだ 余因子行列を用いた方法(計算ミスしやすいのであまりお薦めしない)により求める。忘れていた人は復習しておこう!

(2)

^{命題 より}

y =



 P

_E→D^′



 2 1

− 1









E

=



 5 2

− 5





E



 =



 5 2

− 5







 , y =



 P

_D→D^′



 2 1

− 1









D

=



 − 10 5

− 8





D

となる。

babababababababababababababababababab

演習問題

1-2. (2)

については、実際に成分表示の定義に立ち戻って計算してみると

x = 1

3

B^′

= b

^′₁

+ 3b

^′₃

= 2

− 7

+ 3 1

− 3

= 5

− 16

= 17 1

− 2

+ 6 − 2

3

= 17b

1

+ 6b

2

= 17

6

B

y =



 2 1

− 1





D^′

= 2d

^′₁

+ d

^′₂

− d

^′₃

= 2



 2 1

− 2



 +



 2 1 0



 −



 1 1 1



 =



 5 2

− 5





= − 10



 1

− 1 1



 + 5



 3 0 1



 − 8



 0 1 0



 = − 10d

1

+ 5d

2

− 8d

3

=



 − 10 5

− 8





D

となり、正しく計算出来ていることが確認出来る。最初のうちはヘンテコな計算をしてし まいがちなので、慣れてくるまではこのように計算が正しいかどうかを その都度検算して みる ことをお薦めします。