極限分布収束？

全文

(1)確率数がエ. マルコフ連鎖の重要な性質. ・既約性・再帰性・正再帰性. ・周期性. 興味の興. 平均再帰時間. -. -. 収. 平均吸収時間. 極限分布（定常分布. 収束？. -. 以降で、これらを調べる. 既育進. 咀（到達可能性）. I=10.1.2....｝：状態空間 o 状態 j eI n 状態 i f Iから到達進. 越. o. I n. c. o. s t. P"という）>o. （pco）（in）=1，が（ううぱはな）は"T. oうとうが相互到幸學村やえーうかつるーっう. （定義よりiii）確率数理工学11. ン→○ と書く. noも入ってる.. か国と書く.. / / 1 / 10.

(2) した. ". （推移的）. んーる，jいたならinた. もチェックせよ.. y. 型（相互到達可能性の同値関係）. 反射律（2）対称律：（I）. （う）. ：. 推移律：. うくーいた. （n=0でがない=1>o）. i. <→う. i. ←>う，ういた. か. j e s i i ← > た. （証明は各自で示してもらいたい）. 1生. 集合 B c I が既通. He. なるGBがえくーつる. （irreducible) をみたす。. 特にI（状態空間全体）が既約なら、そのマルコフ連鎖は既約であると言う. 甠. 集合Bc Iが閉じ. 幽. 匤（同値類の例）. たい州. に𧪄：：： 0. 0. 1. （1tartに1，pair.Do）. 確率数理工学11. ）. なd B，なGBに対し、 i+>う. 0 1. （closed である。. （13内から外に出れない）. た。※ く鬻. <○ーー既約 ⑦ だが、. 閉じてない. 2 / 10.

(3) !. 再帰性 -. _. -. 阯（初到達時刻）状態が T. への初到達't_これは確率変数. I. t. i n. f. { n 21| X n j } =. ただし、 UnE l で X n キラなら T. f. とする.. =. （うか= P（たくかどう）=. IP. らが再帰的 Edt らが非再帰的越. f なん）=1. think I. ー. （必ずいつかは帰ってくる）. 「和来ないかも𦥯. a. マルコフ連全員が時刻に1.2....でるを訪れる回考. 9には）：= P( N ; - o l X o. Than -. 到達確率ー. 甠（再帰性）. Nj. （な=n | x。=i)：. んが i. 再帰的. が非再帰的. =. え. （無限_回訪れる確率）. i ). ⇐）. 9に.う）= I. ← >. gain)=0. /. ※ gli.え）は0かI で中間はない T e a r. 確率数理工学11. 3 / 10.

(4) Proof. -「初到達時刻の方法」：なの値によって事象を分割 P (N: Z. n. I X。こう）. =高PCMZ n には、X。=j ) P（たた俗の T. 時刻たで初めて. うに到達. &. =. P( N ? n I た. =k. ) Pしたた八にま）. （：Markov性、時刻たでえにいるので、. その前のことは忘れて良い）. = & PCM z n t l X i i ). P （たFIX。こう）. （時刻たと時刻0とおきかえる。すでに1回うに来ているので.. N i のカウントを1つ減らす）. P( N j z m l x i i ). =. E P （たた1にま） -. P( N j ? a. =. P（たく. t IX。こう） f. i =. P( N i z u l x - え） t h z e d. は、 I x。=j ) = f i. ). （すう）. f たが " f なん）. =. f. （うん）が.が'. I ここでうこうとして.. 8ない）= 11. M-）やとすれば. 橋 11. PCNjz.nlx. P （だがい N o 確率数理工学11. こう）. =. i ). =. |f. ば""） (Ht.ん）=1）. / 4 / 10.

(5) I. んが再帰的 ←. な. X。= j のとき. Znt とする。. に. F. >. [ E. (i i ) = .. しない (Xn#i). N i - E z n であることに注意する（うと話すれる回数）. 洋調収束. このとき. E. p. Z u IX。=i ]. =. F E [Znlx。ここに I. が（うん）. 一方で、この左辺は次のようにも言平価できる：. E. [ I. Zn. IX. i n ]. =. E [N:11にうた. E lたE1N Nick}1が I. 6. =. E P ( N i s hN i i ). た1. =首 Hi.いたよって、. 確率数理工学11. ☹が再帰的⇐） fainに I t. が前の定理の証明より. &がないに. g. 5 / 10.

(6) ❤ ❤ 区（ランダムウォーク）. 1回の推移で右に移る確率：p. -. 1回の. s. P(Mt''（O.O）=0. Pに"（o.o）= （別pnqn. =. 左. ：. s. 1-p=S. 器，phqn. (n回右の回左）. Stirlingの公式より. n！三辰がなど". （し、 Pah）（o.o)E 答. ここで、. なので. 4 P G E 1 で、. p=q=上のときのみなので、. 488斗. 以下をえる.. た8ニシのとき. （i）. E pGn）（o，。）=. are再帰上. （ii) ptqのとき. Epに"（o.o）く. i. t. 非再行連 4. 人. 。. .. 確率数理工学11. 2次元格子上のランダムウォークは再帰的. （対称性は役割. 3次元以上だと非再帰_的. 6 / 10.

(7) -. 既約性と再帰性血. い）状態のが再帰的かつえいうなうえも再帰的. に）有限で閉じた集合A. では再帰状態が少くともには. 存在. Proof -. （1）まず. を示す（特におう）. H i .i ) = 1. らが再帰的なのでがんに1. である。. えっるより、あるうこう。， i......☹にうなる経路が存在して. p. （うえ、）. P(t.dz)-_-P にいる）>0. たからうへ至り、うからんへ2度と戻らない事象をとできる。今、. 考えると. 0 =. （えに戻らない）. h. （えん）=1. である。. f 以上より. すると、. 1 - H i i ) ？ H i , i.）-_-P仙は） ( t fは、i D. i. e. e. >. l. T. 0. h. e. e. 2からうに戻らないが！. うである。. t. ある m . n o が存在して、. PCm)に.う）>o. ,. PC"（しん）70. で& paint. た）は、う）. と & が）は、う） P はどう）がなる） =がない（燄はない）がたま）一. > 。. 、. = 。一. >. o. たんは再帰的）. =. 確率数理工学11. よって、うは再帰的.. o. /. 7 / 10.

(8) に）. 全ての h. e. A が非再帰的として、矛盾を導く。. 前の定理の証明より. な E. El. N i N。こう]. =. I f. I に対し、. に.が f. は、いく. である。よって、 A が有限であることより. o f. 臿 E l N i lX。こう]= E [ 高 MIX。こう）. であるが. A は閉じているため、常にその中に状態Xn はとどまるので、. 巫に. 前、N : = か. となるので、矛盾する.. y. 集合A が有限で既約かつ閉なら、 A の会い状態は再帰的である. つは Lem のに）より、 A 内に再帰的な状態が少くとも I. A は既約なので、なGAに対し、うが再帰的なので、 Lenいうより沖再帰的/. 含まれる。それをえとする.. えっう. である.. 正（一致団結の性質）同一の同値類に属する状態は全て再帰的か、全て非再帰的かのいずれかである.. y. に Lemじ）より、ほぼ自明）再帰性は既約成分全体の性質クラスの性質 ※ ー. 確率数理工学11. ー. 8 / 10.

(9) 直（既約成分への分割）下には I うE. I でえーっう. だがみつう）消滅部分既約閉再帰的 R F " Rュ. とすると、. I - T. =. ( R i n Rj=中には） p,、. R u Rw-_-. と分割できて、各 R t は_既約が国. さらに. I. 曜. が有限なら全ての R k は再帰的. のE I T. よって、. なE C G ) は「たl. でもある。. 〇. x. 、. 消滅部分. う）=12|i →う）をとってき 2.CC とおくにから到達可能. のG T より、任意の i t つまり.. シ。〇，. な領域）. うなように対してる→んである。. えかうである. E C Cう）は. た←つう. l. すなわち、 C. くん）. ←ってであるので、. feed. は既約.. さらに、 C （う）は閉であることがわかる。. なぜなら、 j ECG)として、. えっるであることからある K E I に対して、まーったであるとすると、. えーったとなるので、 k E C G ) である。. つまり、 C （う）は閉.. 以上より、 CG)は既約かつ閉. このようにして、各 i G E T. は既約が閉な集合C ( i ) に. 含まれている。もし、別の J E E T に関するC （う）が.（(DncC h i t をみなすなら、よって、. また. 最後に.I 確率数理工学11. i. t. うも成り立つので. （（う）=（くう）である。. R uRu-_-. と分割できる。. が有限なら各 R tも有限なので、 Re は再帰的も前の. Thinより. y 9 / 10.

(10) 齲""ii!がた：：：鬭 ". P. B . . . RN. R2. T. R,. =. r Q e, Q-z _ --_ --O N S -. _. -. -. _. -. o. n. !. ※ T は消滅部分(dissipative point)と呼ぶ。 T は. 前の補題より. h e T は非再帰的. （えが再帰的なら、おうであるとみたとなり、 i 4 T となる.）. 確率数理工学11. 10 / 10.

(11)

極 限 分 布収束？

極限分布収束？