FrontISTR に実装されている定式化を十分に理解し, 解きたい問題に対してソースコードを自由にカスタマイズ ( 要素タイプを追加, 材料の種類を追加, ユーザサブルーチンを追加 ) できるようになることを最終目標とします第 3 回, 第 7 回, 第 10 回の研究会では,FrontIST

(1)

2014年7月30日

第11回FrontISTR研究会

＜機能・例題・定式化・プログラム解説編「弾性解析（直交異方弾性体を中心に）」＞

FrontISTR

による

による弾性

弾性

弾性解析

解析

(

直交異方弾性体

)

東京大学

新領域創成科学研究科

人間環境学専攻

橋本

学

(2)

2

『

FrontISTR

に実装されている定式化を十分に理解し，

解きたい問題に対して

ソースコードを自由にカスタマイズ

(

要素タイプを追加，材料の種類を追加，ユーザサブルーチンを追

加

)

できるようになる

こと』

を最終目標とします

第

3 回，第

7 回，第

10 回の研究会では，

FrontISTR

に

実装されている

弾性解析

(

等方弾性体

)

の定式化，

ソースコードの関連するサブルーチンについて紹介しました

今回は，

FrontISTR

に実装されている

直交異方弾性体

に

焦点を当てます

• 第

3 回

FrontISTR

研究会

プログラミング編，

2013/5/22

開催

• 第

7 回

FrontISTR

研究会

産業応用事例，有限変形定式化，ユーザーの声への対応編，

2013/12/3

開催

• 第

10 回

FrontISTR

研究会

有限変形定式化と実装，

Ver.4.3

公開編，

2014/2/21

開催

(3)

ひずみの

2 次以上の項がある

微小変形

(

微小変位

)

微小ひずみ

線形弾性体

弾塑性体

粘弾性体

有限変形

(

有限変位

)

微小ひずみ

線形弾性体

粘弾性体

大ひずみ

弾塑性体

超弾性体

3

{

0

0 T

0

0 T

}

0

1 (

) (

)

(

) (

)

2 t

₌

_{∇ ⊗}

t

_{+ ∇ ⊗}

t

_{+ ∇ ⊗}

t

_{⋅ ∇ ⊗}

t

E

u

₀

t

S

=

f

(

₀

t

E

,

₀

t

E

⋅

₀

t

E

, ...)

変位こう配の

2 次項がある

有限変形

大ひずみ

直交異方性が

ある場合を

扱います

(

講演では，

微小変形

理論の場合を

説明します

)

ひずみ

応力

(4)

4

前半

「解析機能／サンプル例題」

１．解析機能とユーザマニュアル該当箇所

２．メッシュファイルと解析制御ファイルの設定方法・注意点

３．サンプル例題

(

内圧を受ける血管を模擬した円管モデル

)

後半

「定式化／プログラム」

４．直交異方弾性体の有限要素法定式化

５．プログラム説明

(5)

5

前半

「解析機能／サンプル例題」

１．解析機能とユーザマニュアル該当箇所

２．メッシュファイルと解析制御ファイルの設定方法・注意点

３．サンプル例題

(

内圧を受ける血管を模擬した円管モデル

)

後半

「定式化／プログラム」

４．直交異方弾性体の有限要素法定式化

５．プログラム説明

(6)

6

等方性

(isotropy)

弾性定数や線膨張係数があらゆる方向で等しい

異方性

(anisotopy)

弾性定数や線膨張係数が方向によって異なる

-

特に，直交する三つの軸の方向で異なる性質が

直交異方性

(orthotropy)

である

直交異方性材料の代表的な例

-

木のように繊維方向がある材料

-

ある方向に補強材を入れた材料

-

血管壁

(

径方向，周方向，長さ方向

)

など

x

e

y

e

z

e

x

y

z

3

x′

2

x′

1

x′

3

′

e

2

′

e

1

′

e

x

O

1

′

,

2

′

,

3

′

e

：

材料で定義される

直交基底ベクトル

(7)

応力とひずみ

7

=

xx x x xy x y zx x z xy y x yy y y yz y z zx z x yz z y zz z z ij i j

σ

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

′ ′

⊗

′

e

σ

σσ

σ

=

xx

x

xy

x

y

zx

x

z

xy

y

x

yy

y

yz

y

z

zx

z

x

yz

z

y

zz

z

ij

i

j

ε

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

′ ′

⊗

′

e

εεεε

応力

ひずみ

x

e

y

e

z

e

x

y

z

3

x′

2

x′

1

x′

3

′

e

2

′

e

1

′

e

x

O

ij

C

ijkl

kl

σ

′

=

′

ε

′

弾性定数

1

′

,

2

′

,

3

′

e

：

材料で定義される

直交基底ベクトル

直交異方弾性体の

構成方程式

・・・

(1.1)

・・・

(1.2)

・・・

(1.3)

(8)

等方弾性体の構成方程式

1

0

1

0

1

0

1

2 ₀

₀

2

1

0

2

1

0

xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx

E

σ

E

σ

E

σ

ν

ε

_ν

ε

µ

ε

µ



₋













₋







_

_









_

_









_

₋

_









_

_









_{= }

_









_

_









_

_









_

_









_

_

































Compliance

に相当

S

εεεε

σ

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

0 ₂

xx xx yy yy zz zz xy xy yz yz zx zx

σ

ε

λ

µ λ

λ

ε

λ

µ λ

ε

λ

µ

ε

µ

ε

µ

_ε





_

₊

_









_

_





+





_

_









_

₊

_









_{= }

_









_

_









_

_









_

_













_

_













D

マトリックス

Stiffness

に相当

1

=

−

D

S

8

σ

εεεε

弾性定数があらゆる方向で等しい

ひずみ

応力

ひずみ

応力

: Young

率

[Pa]

: Poisson

比

[-]

E

ν

_{: Lame}

定数

[Pa]

(1

) (1 2 )

Eν

λ

ν

=

+

−

2 (1

)

E

G

µ

ν

=

+

・・・

(1.4)

・・・

(1.5)

(9)

直交異方弾性体

直交異方弾性体の構成方程式

の構成方程式

(1)

12 13 1 1 1 21 23 11 ₂ ₂ ₂ 11 22 31 32 22 33 3 3 3 33 12 12 12 23 23 31 31 23 31

1

0

1

0

1

0

2

1

0

2

1

2

0

1

0

0 E

E

σ

E

σ

E

σ

G

_σ

σ

G

ν

ε

_ν

ε



₋













₋







′





_

_







_′





_′









₋







′



_

_



′

=



_′





_′















_′





_′











_′



_

_



_′





_

_

























′

S

′

εεεε

σ

′

12 21 1 2 23 32 2 3 31 13 3 1

E

ν



=



=





=





9

弾性定数が直交する三つの軸の方向で異なる

Compliance

に相当

ひずみ

応力

: Young

率

[Pa]

: Poisson

比

[-]

1 ,

2 ,

3 E

E

12 ,

13 ,

21 ,

23 ,

31 ,

32 ν

ν ν

ν

12 ,

23 ,

31 G

G

:

横弾性定数

[Pa]

・・・

(1.6)

(10)

直交異方弾性材料の構成方程式

(2)

10 1 23 32 1 31 23 21 1 21 32 31 11 1 31 23 21 2 13 31 2 12 31 32 22 33 1 21 32 31 2 12 31 32 3 12 21 12 23 ₁₂ 31 ₂₃

(1

)

(

)

(

)

0

0 (

)

(1

)

(

)

0

0 (

)

(

)

(1

)

0

0 E

E

σ

E

σ

E

σ

_G

σ

_G

ν ν

ν

ν ν

ν

ν ν

ν

ν ν

ν

ν ν

ν

ν ν

ν

ν ν

−

+

∆

′





+

−

+



_′







_∆



′



+

−



_′







∆



_′









_′







=

11 22 33 12 23 31 31

2

0

0 G

ε









′

















_′











′















_′











_′













_{ }

_′

_

















12 21 23 32 31 13 21 32 13

1 ν ν

ν ν

2 ν ν ν

∆ = −

−

1

=

−

′

D

S

弾性定数が直交する三つの軸の方向で異なる

12 21 1 2 23 32 2 3 31 13 3 1

E

ν



=



=





=





: Young

率

[Pa]

: Poisson

比

[-]

1 ,

2 ,

3 E

E

12 ,

13 ,

21 ,

23 ,

31 ,

32 ν

ν ν

ν

12 ,

23 ,

31 G

G

:

横弾性定数

[Pa]

′

εεεε

′

σ

ひずみ

応力

D

マトリックス

Stiffness

に相当

・・・

(1.7)

・・・

(1.8)

(11)

直交異方弾性体の引張変形の例

11 2

x′

1

x′

3

x′

2

x′

1

x′

3

x′

2

x′

1

x′

3 2

x′

1

x′

3

x′

0.3 m

0.05 m

p = 2.0 MPa

7

1 2.00 10 Pa,

2

3 1.00 10 Pa

E

=

×

E

=

E

=

×

6

12

13

23 0.30,

G

12 G

12 7.69 10 Pa

ν

=

ν

=

ν

=

×

1/8

モデル

fixed

(12)

12

FrontISTR

の解析機能を確認するため，

FrontISTR

のユーザ

マニュアル

(

ファイル名「

FrontISTR_user_manual_Ver35.pdf

」

)

の

該当箇所を見ます

FrontISTR

ソースコード「

FrontISTR_V43_p1.tar.gz

」を

解凍すると，ディレクトリ「

FrontISTR_V43

」ができます

FrontISTR

のユーザマニュアルはディレクトリ「

FrontISTR_V43/

doc

」内にあります

FrontISTR

のユーザマニュアルの

118 ページ～

120 ページ

に

直交異方弾性体の記述があります

現在の

FrontISTR

のバージョンでは，

!SOLUTION,

TYPE=NLSTATIC

のときのみ直交異方弾性体に対応して

います

→

次にリリースされる修正版は，

!SOLUTION,

TYPE=STATIC

でも直交異方弾性体に対応する予定です

(13)

FrontISTR

ユーザマニュアルより

(1)

材料定数を定義する座標系での弾性定数を入力

13 12 21 1 2 23 32 2 3 31 13 3 1

E

ν



=



=





=





FrontISTR

のユーザマニュアルの

120 ページ

(14)

3

x′

2 1

x′

3

′

e

2

′

e

1

′

e

2

x

3

x

1

x

FrontISTR

ユーザマニュアルより

(2)

材料定数を定義する

座標系の直交基底

ベクトルを入力

IIII

セクション情報と座標

系情報を結びつける

14

FrontISTR

のユーザマニュアルの

118 ページ～

119 ページ

1

ca

| ca |

′ =

e

3

ca cb

| ca cb |

×

′ =

×

e

2

′

= ×

3

′

1

′

e

(15)

15

前半

「解析機能／サンプル例題」

１．解析機能とユーザマニュアル該当箇所

２．メッシュファイルと解析制御ファイルの設定方法・注意点

３．サンプル例題

(

内圧を受ける血管を模擬した円管モデル

)

後半

「定式化／プログラム」

４．直交異方弾性体の有限要素法定式化

５．プログラム説明

(16)

16

!NODE

983, 3.51159307E-02, 2.01179032E+00, 0.00000000E+00

984, 3.53270485E-02, 2.02388525E+00, 0.00000000E+00

…

!ELEMENT, TYPE=361

1260, 983, 984, 1177, 1175, 1377, 1469, 1470, 1379

1259, 972, 973, 984, 983,

1375, 1468, 1469, 1377

…

!EGROUP, EGRP=E00001260

1260,

!SECTION, TYPE=SOLID, EGRP=E00001260, MATERIAL=M01

!EGROUP, EGRP=E00001259

1259,

!SECTION, TYPE=SOLID, EGRP=E00001259, MATERIAL=M01

…

(17)

!VERSION

3 !SOLUTION, TYPE=NLSTATIC

…

!MATERIAL, NAME=M01

!ELASTIC,

TYPE=ORTHOTROPIC

0.1, 0.1, 1.0, 0.049, 0.049, 0.049, 0.048, 0.34, 0.34

…

!ORIENTATION, DEFINITION=COORDINATES, NAME=

O00001260

2.6E-02, 3.0E+00, 2.5E-02

,

-9.8E-01, 2.0E+00, 2.5E-02

,

1.8E-02, 2.0E+00, 2.5E-02

,

!SECTION, SECNUM=

1 , ORIENTATION=

O00001260

!ORIENTATION, DEFINITION=COORDINATES, NAME=

O00001259

7.9E-02, 3.0E+00, 2.5E-02, -9.5E-01, 2.0E+00, 2.5E-02, 5.3E-02, 2.0E+00, 2.5E-02,

!SECTION, SECNUM=

2 , ORIENTATION=

O00001259

…

!END

17 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2

a

b

c

1

ca

| ca |

′ =

e

3

ca cb

| ca cb |

×

′ =

×

e

2

′

= ×

3

′

1

′

e

(18)

18

前半

「解析機能／サンプル例題」

１．解析機能とユーザマニュアル該当箇所

２．メッシュファイルと解析制御ファイルの設定方法・注意点

３．サンプル例題

(

内圧を受ける血管を模擬した円管モデル

)

後半

「定式化／プログラム」

４．直交異方弾性体の有限要素法定式化

５．プログラム説明

(19)

40.0 mm

節点数：

947,583

要素数：

864,000

微小変形，線形弾性体

六面体

1 次要素

(

非適合要素

)

管の外径：

2.3mm

管の内径：

2.0mm

(800

分割

)

（※）

本モデルおよび計算結果は，

帝京大学ジョイントプログラムセンター田沼唯士教授との共同研究の成果です

1/4

対称モデル

内圧

(

圧力差

)

y

x

z

p = 0.012351335 MPa

19

Copyright (c) 2014 Teikyo University & The University of Tokyo

(20)

1 °

0.024 mm 0.015 mm

0.058 mm

0.073 mm

長さ

方向

周方向

長さ

方向

y

x

z

20

Copyright (c) 2014 Teikyo University & The University of Tokyo

(21)

Copyright (c) 2014 Teikyo University & The University of Tokyo

21 x

e

y

e

z

e

x

y

z

1

2

3

4

7

8

6

5 x′

3 2

x′

1

x′

3

′

e

2

′

1

′

e

軸

:

径方向

軸：周方向

軸：長さ方向

1 x′

2 x′

3 x′

方向の繊維によって剛性が大きくなる場合，下記のようにパラメータを設定

1 x′

1

2

3 1.0MPa

0.1MPa

E

=

12

13

23

0.49

0.049 ν

ν

=

2

21

12

1

3

31

13

1

3

32

23

2

0.049

0.049 E

E

ν

=

：

方向に引張る場合の

方向の縮みを意味する

：

方向に引張る場合，

方向には縮みにくい

12

23

31 0.33557MPa

0.04766MPa

0.33557MPa

G

=

1

x′

2 1

x′

2

x′

(22)

Copyright (c) 2014 Teikyo University & The University of Tokyo

11 11 22 22 33 12 23 31

1 / 1.0

0.049 / 0.1

0

0 0.49 / 1.0

1 / 0.1

0.049 / 0.1

0

0 0.49 / 1.0

0.049 / 0.1

1 / 0.1

0

2

0

0 1 / 0.33557

0

0 1 / 0.04766

0

2

0

0 1 / 0.33557

2 ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

′

−

′



 





_′

 

₋



_′



 





′





−



′

=



_′

 





 





′

 





 





_′



_

_





33 12 23 31

σ



















_′









_′









_′







11 11 22 22 33 12 23 31

1 / 0.1

0.49 / 1.0

0.049 / 0.1

0

0 0.049 / 0.1

1 / 1.0

0.049 / 0.1

0

0 0.049 / 0.1

0.49 / 1.0

1 / 0.1

0

2

0

0 1 / 0.33557

0

0 1 / 0.33557

0

2

0

0 1 / 0.04766

2 ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

′

₋

′



 





_′

 

₋



_′



 





′





−



′

=



_′

 





 





′

 





 





_′



_

_





33 12 23 31

σ





















′







_′









_′







11 11 22 22 33 12 23 31

1 / 0.1

0.049 / 0.1

0.49 / 1.0

0

0 0.049 / 0.1

1 / 0.1

0.49 / 1.0

0

0 0.049 / 0.1

0.049 / 0.1

1 / 1.0

0

2

0

0 1 / 0.04766

0

0 1 / 0.33557

0

2

0

0 1 / 0.33557

2 ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

′

−

′



 





_′

 

₋



_′



 





′





−



′

=



_′

 





 





′

 





 





_′



_

_





33 12 23 31

σ



















_′









_′









_′







径方向の繊維によって剛性が大きくなる場合

周方向の繊維によって剛性が大きくなる場合

長さ方向の繊維によって剛性が大きくなる場合

22

(23)

計算結果

(

変位

変位の

の

の大きさ

大きさ

)

23

0.2366

0.2644 [mm]

|u|

変位の大きさの分布および最大値・最小値は

Abaqus

の結果と一致する

y

x

z

Reference configuration

(24)

計算結果

(Mises

応力

)

24

Mises

応力の分布および最大値・最小値は

Abaqus

の結果と一致する

y

x

z

Reference configuration

0.009193

0.1290 [MPa]

von Mises stress

(25)

25

前半

「解析機能／サンプル例題」

１．解析機能とユーザマニュアル該当箇所

２．メッシュファイルと解析制御ファイルの設定方法・注意点

３．サンプル例題

(

内圧を受ける血管を模擬した円管モデル

)

後半

「定式化／プログラム」

４．直交異方弾性体の有限要素法定式化

５．プログラム説明

(26)

=

σ

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

′ ′

⊗

′

e

σ

σσ

σ

=

ε

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

+

⊗

′ ′

⊗

′

e

εεεε

8-node solid element

x

e

y

e

z

e

x

y

z

1

2

3

g

1

g

2

g

ζ

ξ

η

3

4

7

8

6

5

3

x′

2

x′

1

x′

3

′

e

₂

′

1

′

e

応力

ひずみ

1

_ξ

1 2

_ξ

2 3

=

_ξ

3

∂

=

∂

x

g

, g

:

共変基底ベクトル

：全体座標系の直交基底ベクトル

,

x y z

e

1

′

,

2

′

,

3

′

e

：材料定数を定義する座標系の直交基底ベクトル

直交異方弾性材料の計算に必要な

パラメータは

ij

C

ijkl kl

σ

′

=

′

ε

′

線形弾性定数

1

′

,

2

′

,

3

′

e

直交基底ベクトル

26

・・・

(4.1)

・・・

(4.2)

・・・

(4.3)

(27)

ひずみベクトルの変換

(1)

27

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

ij i j i m j n mn i x j x xx i x j y xy i x j z xz i y j x yx i y j y yy i y j z yz i z j x zx i z j y zy i

ε

′

= ⋅ ⋅

′

=

⋅

′

=

⋅

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

+

⋅

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

εεεε

{

}

{

}

{

}

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

1 (

)(

) (

)(

) 2

2

1 (

)(

)

(

)(

) 2

2

1 (

)(

)

(

)(

) 2

2

z j z zz i x j x xx i y j y yy i z j z zz i x j y i y j x xy i y j z i z j y yz i z j x i x j z zx

ε

′ ⋅

′

=

⋅

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

・・・

(4.4)

(28)

ひずみベクトルの変換

(2)

28

{

}

{

}

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 22 33 12 23 31 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 2 2 2 2 2 2 x x y y z z x y y x y z z y z x x z

ε

′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′    _′     ′  =   ′    _′     _′    e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

{

e e e e e e e e

}

{

} {

}

{

}

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( x x y y z z x y y x y z z y z x x z x x y y z ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

{

₃ ₃ ₃ ₃

}

{

₃ ₃ ₃ ₃

}

{

₃ ₃ ₃ ₃

}

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2( )( ) 2( )( ) 2( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( z x y y x y z z y z x x z x x y y z z x y y x y ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2( )( ) 2( )( ) 2( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( z z y z x x z x x y y z z x y y x y z z y z x x ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ ′⋅ ′⋅ ′⋅ + ′⋅ e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ₃ 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 ) 2( )( ) 2( )( ) 2( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) xx yy zz xy z x x y y z z x y y x y z z y z x x z

ε

                     ′ ⋅     _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ ₊ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ ₊ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ _′_⋅ ₊ _′_⋅ _′_⋅    e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 yz zx l m n l m m n n l l m n l m m n n l l m n l m m n n l l l m m n n l m m l m n n m n l l n l l m m n n l m m l m n n m n l l n l l m m n n l m m l m

ε

                    = + + + + + + + ₁ ₃ ₁ _{3 1} ₃ ₁ 2 2 2 xx yy zz xy yz zx n n m n l l n

ε

                         ₊ ₊     

(

)

(

)

(

)

i i x i i y i i z

l

m

n

′

 =

⋅



_′

=

⋅





₌

_′

_⋅



e e

ε

R

′

εεεε

・・・

(4.5)

・・・

(4.6)

(29)

応力ベクトルの変換

(1)

29

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

ij i j i m j n mn i x j x xx i x j y xy i x j z xz i y j x yx i y j y yy i y j z yz i z j x zx i z j y zy i

σ

′

= ⋅ ⋅

′

=

⋅

′

=

⋅

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

+

⋅

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

σ

σσ

σ

{

}

{

}

{

}

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

z j z zz i x j x xx i y j y yy i z j z zz i x j y i y j x xy i y j z i z j y yz i z j x i x j z zx

σ

′ ⋅

′

=

⋅

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

′

+

⋅

+

⋅

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

e e

e

・・・

(4.7)

(30)

応力ベクトルの変換

(2)

30 σ

R

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 22 33 12 23 31

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

x x y y z z x y y x y z z y z x x z x

σ

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′







_′



_{′ ⋅}







′



=





′







_′









_′







e e

₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ 3 3 3 3 3 3 3 3

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

x y y z z x y y x y z z y z x x z x x y y z z x

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

e e

e

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

y y x y z z y z x x z x x y y z z x y y x y z z y

′

+

⋅

+

⋅

+

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

e

e e

1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

z x x z x x y y z z x y y x y z z y z x x z x x

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

+

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

⋅

′

e e

e

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 1 1 1 1 1

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

2

xx yy zz xy yz zx y y z z x y y x y z z y z x x z

l

m

n

l m

σ



_

_



_





_

_



_

_



_

_



_

_



_





_

_



_⋅

_′

_⋅

_′

_⋅

_′

_⋅

_′

_⋅

_′

_⋅

₊

_′

_⋅

_′

_⋅

_′

_⋅

_′

_⋅

₊

_′

_⋅

_′

_⋅

_′

_⋅

_′

_⋅

₊

_′

_⋅

_′

_⋅



_



_





=

e

e e

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1