1 1 Gnuplot gnuplot Windows gnuplot gp443win32.zip gnuplot binary, contrib, demo, docs, license 5 BUGS, Chang

矢崎成俊（宮崎大学）

第

1

章

Gnuplot

の基本操作

gnuplot（グニュプロット）のホームページ（http://www.gnuplot.info/） から，最新版のWindows用のgnuplot（2011年6月22日現在，バージョ ン4.4.3のgp443win32.zipが最新のファイル）をダウンロードして，それ を展開する．そうすると，gnuplotフォルダが生成され，その中には，

binary, contrib, demo, docs, license

の 5 つ の フ ォ ル ダ と ，BUGS, ChangeLog, Copyright, INSTALL, NEWS, README, README.1ST, README.Windows, VERSION などのファイルが含 まれている． 注 ファイルの拡張子を見えるようにするために，以下の(1)∼(4)をお こなっておく． (1) [スタート]→[コントロールパネル] に入って，右上の表示方法を[小 さいアイコン]にする． (2) [フォルダーオプション]をクリックする． (3) [表示]タブをクリックする． (4)下から3行目あたりの[登録されている拡張子は表示しない]のチェッ クをはずす． binaryフォルダの中の

wgnuplot.exe

がWindows用のgnuplotの実行ファイルである．（他にも，gnuplot.exe

など，hogehoge.exeという実行ファイルがいくつかあるが，それらの用途 については，README.Windowsで説明されている．） さて，なんだかんだと，上のようにWindows OS上にどうにかインス トールできたとして，そこから話をはじめよう．（UnixやMacを使ってい る人は問題ないと考えている．）

1.1

Gnuplot

の起動と終了

wgnuplot.exeをダブルクリックすれば（あるいはEnterキーを押せば），   G N U P L O T Version 4.4 patchlevel 3 last modified March 2011 System: MS-Windows 32 bit

Copyright (C) 1986-1993, 1998, 2004, 2007-2010 Thomas Williams, Colin Kelley and many others

gnuplot home: http://www.gnuplot.info faq, bugs, etc: type "help seeking-assistance" immediate help: type "help"

plot window: hit ’h’

Terminal type set to ’wxt’ gnuplot> _   という表示とともにgnuplotが起動する． 一番最後の，   gnuplot> _   の「 _ 」部分（カーソル）は点滅しており，ここにいろいろな命令（コマ ンド）を入力していく．例えば，

gnuplot> exit   あるいは，   gnuplot> quit   あるいは，   gnuplot> q   と入力したら，gnuplotは終了する．

1.2

作業用フォルダを作る

例えば，あなた（ユーザー名をyouとしよう）のマイドキュメントに，例 えば，gp-filesなるフォルダを作ると，   ▶ コンピュータ ▶ ローカルディスク(C:) ▶ ユーザ ▶ you ▶ マイドキュメント▶ gp-files   という階層構造が表示されるが，実は，  

C:Y=UsersY=youY=DocumentsY=gp-files

 

という場所のことである．ともあれ，マイドキュメントでなくてもよいの で，どこかに，作業用のフォルダを作っておく．注意点は，フォルダ名に日 本語が入らないようにしておくこと．例えば，

 

C:Y=UsersY=あなたY=DocumentsY=gp-files

 

  C:Y=UsersY=youY=DocumentsY=ぐにゅぷろっと

  などというフォルダ名は避ける．基本的に，英語やローマ字などの「半角英 数字」を使うようにする． そうしたら，gnuplotを起動して，以下のように，上で作った作業用フォ ルダにディレクトリを変更する（change directory）．  

gnuplot> cd ’C:Y=UsersY=shigeY=DocumentsY=gp-files’

 

あるいは，gnuplot起動画面の上にある左から4番目のボタンChDirをク リックして，C:Y=UsersY=youY=DocumentsY=gp-filesをコピーペースト（あ るいは入力）してもよい．上のように入力したことと同じ結果になる．

本当に移動したかをチェックするには，現在作業している場所（current working directory）を以下のように表示する（print working directory）．

 

gnuplot> pwd

 

そして，

 

C:Y=UsersY=youY=DocumentsY=gp-files gnuplot>   となればOKである． さて，以上で準備が整った．

1.3

Gnuplot

の基本操作

◎—関数を与えてグラフを描くコマンド(plot) 例えば，y = sin xのグラフを描きたい場合，  

gnuplot> plot sin(x)

 

xの範囲（横軸）が[−10, 10]で，yの範囲（縦軸）が[−1, 1]となった． これは自動的に見やすい形に設定される．自分で範囲を設定したい場合，例 えば，xの範囲を[−2π, 2π], yの範囲を[−2, 2]としたい場合，

 

gnuplot> plot [-2*pi:2*pi] [-2:2] sin(x)

 

とする．さらに，

 

gnuplot> plot [0:4*pi] sin(x)

 

とすると，xの範囲が[0, 4π]に設定され，yの範囲は自動設定となる． また，複数の関数を同時に描画することも可能である．

 

gnuplot> plot [0:2*pi] [0:1.5] sin(x), x, x-x**3/3!, Y= > x-x**3/3!+x**5/5!

 

◎—過去に入力したコマンドの再利用 同 じ よ う な コ マ ン ド を 何 度 も 打 鍵 す る の は 面 倒 で あ る ．そ こ で ， Ctrl + P を押せば，1回前に入力したコマンドが表示される（previous）． そのままCtrlキーを押しながら， Pを押すとPを押した回数分だけ前に 入力したコマンドが表示される．Ctrl + Nを押せば（next），1回次に進 み，そのまま Ctrlキーを押しながら， Nを押すとNを押した回数分だけ 次に入力したコマンドが表示される． 例えば，  

gnuplot> plot sin(x)

 

と入力した後に，cos xを描画したいときは，Ctrl + P を押して，←で カーソルを動かして，DelやBack space キーを使ってsinの部分のみを 消して，cosを打ち直せばよい．

◎—データファイルの読み込み(plot ... using ... with)

1 1 1 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 これに対して，  

gnuplot> plot ’data.dat’ using 1:2 with lines

  とする．意味はdata.datの1行目をx座標（横軸），2行目をy座標（縦 軸）と考えて，それらを線で結ぶ，ということである．下図が表示されるで あろう． さらに，  

gnuplot> plot ’data.dat’ using 1:2 with linespoint, x*x

 

もしusing 3:1と書いたらdata.datの3行目をx座標，1行目をy座 標と考えることとなる．したがって，

 

gnuplot> plot ’data.dat’ using 3:1 w lp, x**(1.0/3.0)

 

と書いたら（w lpはwith linespointの略），下図のようなマーカー付き 折れ線と曲線x1/3_{が両方描かれる．}

using x:yを省略したらデータファイルの1行目をx座標データ，2行 目をy座標データとして読み込むことになっている．

◎—世界地図データファイルの読み込み

gnuplotY=demoの中にあるworld.datを現在の作業フォルダgp-files

にコピーして，その中に書いてある2次元座標のデータを

 

gnuplot> plot ’world.dat’

 

のようにプロットすると，次のようになる．

このデータを

 

gnuplot> plot ’world.dat’ w l

 

となり，

 

gnuplot> plot ’world.dat’ w lp

 

とすれば，

のような各座標にマークした折れ線となる．また，中身を塗りつぶして，

とするには，

 

gnuplot> plot ’world.dat’ w filledcurve

 

◎—単項・二項演算子(+, -, *, /, **, %, !)

単項・二項演算子も素直に普通のものが使える．加減乗除は+, -, *, /

で，冪乗は**,剰余(mod)は%である．また，階乗は!である．例えば，

 

gnuplot> plot [0.02:0.2] cos(exp(x**x)/x)/x

  とすると，xの範囲が[0.02, 0.2]で，関数y = cos exp(xx₎ x x のグラフが描か れる． ギザギザしているのは，使っているサンプル点が少ないからである．実際，  

gnuplot> plot [0.02:0.2] cos(exp(x**x)/x)/x w lp

 

となることからもわかる．指定しない限りサンプル点は100個となってい る．だから，振動の激しいグラフはギザギザになる．サンプル点を10000

個にしたかったら，

 

gnuplot> set samples 10000

 

とする．そうして，

 

gnuplot> plot [0.02:0.2] cos(exp(x**x)/x)/x w l

 

として再度描画すると，滑らかな曲線

◎— Gnuplotを電卓として使う(print) 上で述べた二項演算子を使って，電卓として使うこともできる．例えば， 123÷ 5は，   gnuplot> print 123.0/5.0   と入力する．すると，次の行に   gnuplot> print 24.6   と表示される. ここでもし，   gnuplot> print 123/5   としたら，   gnuplot> print 24   と整数部分のみ表示されることに注意されたい．また，階乗!は実数型で返 される．例えば，   gnuplot> print 10!   とすると，   gnuplot> 3628800.0   となる．

◎—画像ファイルに出力する(set term, set output)

次の3つの入力を順次行なう．

  gnuplot> set terminal jpeg

 

あるいは，

 

gnuplot> set term jpeg

 

とする．他にも非常に多くのグラフィック装置をサポートしている．

(2)次に，出力ファイル名を入力する．例えば，

 

gnuplot> set output ’world.jpeg’

 

とする．

(3)最後に，描画する．

 

gnuplot> plot ’world.dat’ w filledcurve

  何も表示されないが，gp-filesの中に，world.jpegファイルが生成され ている．それをクリックしたら適当なビューアーで画像をみることができ るが，使用中で開けないこともある（ファイルサイズが0KBのときはそう である）．そのときは，  

gnuplot> set output ’dummy’

  な ど と し て ，ダ ミ ー の 画 像 フ ァ イ ル を 生 成 す れ ば よ い ．そ う す る と ， world.jpeg のファイルサイズが75KBのように表示され，閲覧可能に なる．dummyを作る代わりに，gnuplotを終了してもよい． Windowsの描画モードに戻るには，  

gnuplot> set term windows

 

◎—ヘルプ機能

いままで登場したコマンドはほんの一部である．多くの具体例は，gnuplot homepageのdemoを見たり，ヘルプ機能を使うとよい．Windows 7で.hlp

ファイルを閲覧してヘルプ機能を使うには，WinHlp32.exeというアプリ ケーションをインストールする必要がある．

インターネットで，Microsoft(R) Download Centerの

Windows 7 用Windows Helpプログラム(WinHlp32.exe)

のページにいって，手順に従いインストールする．上のページは，インター ネットの検索機能を使って探す． http://www.microsoft.com/downloads/ja-jp/... ではじまるURLのはずである． 晴れて，ヘルプ機能が使えるようになったら，gnuplotのHelpボタンを クリックするか，   gnuplot> help   あるいは，   gnuplot> ?   と入力する． 具体的に，withの種類を知りたいときは，  

gnuplot> help with

 

第

2

章

初等関数

いろいろな初等関数を描画してみよう．その前に，ファイルの読み込み操 作について説明する．これを知っているのと知らないのとでは雲泥の差で ある．

2.1

ファイルの読み込み

(load)

例えば，プログラム Aのようなコマンドを入力したとしよう．説明のた めに行番号を付した．#以下は読み込まれないので，必要に応じてコメント を書くとよい．今は説明のためにコメントを書いてある．わかりにくそう な点のみ説明する． reset 1 行 目 の リ セ ッ ト 命 令 は ，そ の 通 り に 今 ま で に 入 力 し た も の す べ て を ご 破 算 に す る と い う 意 味 で あ る ．た だ し ，set term と set output な ど の い く つ か の コ マ ン ド は ご 破 算 に な ら な い ．（ と り あ え ず こ の 2 つ は ，ご 破 算 に な ら な い こ と を 知 っ て お け ば よ い ．）

set term windows color enhanced としておくと，x^2がx2 に，x_2

がx2になる．上で述べたようにresetではリセットされないので，x^2や

x_2をそのまま出力したい場合には，noenhancedとする．

set key 8行目の命令は，座標(1.1a, a)にグラフの凡例の左側(l, left)

cだったら中央(center)である．また，unset keyで，凡例を出力しない 命令となる．

プログラム A

 

1:gnuplot> reset #リセット（ご破算）

2:gnuplot> set term windows color enhanced 3:gnuplot> set size square #描画領域を正方形にする

4:gnuplot> set samples 10000 5:gnuplot> a = 1.5

6:gnuplot> set xrange [-a:a] # (−a ≤ x ≤ a) 7:gnuplot> set yrange [-a:a] # (−a ≤ y ≤ a) 8:gnuplot> set key at a*1.1, a l

9:gnuplot> set arrow 1 from -a, 0 to a, 0 head 10:gnuplot> set arrow 2 from 0, -a to 0, a head 11:gnuplot> f(x, n) = x**n # f (x, n) = xn

12:gnuplot> set title ’polynomial functions’ #タイトル

13:gnuplot> plot f(x, 1) t ’x’, f(x, 2) t ’x^2’, Y= 14:> f(x, 3) t ’x^3’, f(x, 4) t ’x^4’, Y=

15:> f(x, 5) t ’x^5’, f(x, 6) t ’x^6’, Y= 16:> f(x, 7) t ’x^7’, f(x, 8) t ’x^8’ 17:gnuplot> pause -1

18:gnuplot> set title ’odd degree functions’ 19:gnuplot> plot f(x, 1) t ’x’, f(x, 3) t ’x^3’, Y= 20:> f(x, 5) t ’x^5’, f(x, 7) t ’x^7’

 

set arrow 9行目の矢印命令は，矢印の整理番号1で，座標(−a, 0)か ら(0, a)まで矢印を鏃（head）付きで描くということである．10行目の矢 印命令は，整理番号2である．unset arrow 1で，整理番号1の矢印命令 を取り消すことができる．unset arrow で，すべての矢印命令の取り消し となる．

行しているが，それぞれ一つの描画命令である．plot f(x, 1) t ’x’で，

x1_{を凡例タイトルxで描くということである．もし，tを省略したら，凡}

例タイトルはf(x, 1)となる．他も同様である．

pause -1 17行目は，一時停止命令である．下図が表示されるので，

OKをクリックすれば次に進む．

また，pause 15とすれば15秒停止し，pause mouseとすればマウスをク リックするまでとなるなど，他のオプションもある．

こうして，プログラム Aを実行すると，以下の2画面が表示されるであ ろう．

◎— aの値を変えたいとき プログラム Aにおいて，5行目のaの値を変えると，aに依存した部分 のグラフの描画範囲や矢印などが変わる．そのため，6行目以降をすべて再 入力する必要がでてくる．これでは，あまりに非効率であるので，プログラ ムAを，例えば，ファイル名programA.gnuのファイルに書き込んでおき， それを読み込むという方法がある．読み込み命令は，以下のようにする．  

gnuplot> load ’programA.gnu’

 

reset

set term windows color enhanced set size square

set samples 10000 a = 1.5

set xrange [-a:a] set yrange [-a:a] set key at a*1.1, a l

set arrow 1 from -a, 0 to a, 0 head set arrow 2 from 0, -a to 0, a head f(x, n) = x**n

set title ’polynomial functions’ plot f(x, 1) t ’x’, f(x, 2) t ’x^2’, Y= f(x, 3) t ’x^3’, f(x, 4) t ’x^4’, Y= f(x, 5) t ’x^5’, f(x, 6) t ’x^6’, Y= f(x, 7) t ’x^7’, f(x, 8) t ’x^8’ pause -1 #

set title ’odd degree functions’ plot f(x, 1) t ’x’, f(x, 3) t ’x^3’, Y= f(x, 5) t ’x^5’, f(x, 7) t ’x^7’  

2.2

多項式関数

多項式関数（polynomial functions）の描画ファイルなので，ファイル名 をpoly.gnuとした．以下，poly.gnu (1)∼(3)に分割して解説する．

poly.gnu (1)を簡単に解説すると，set grid は，格子を描く命令．

set arrowのところのltはlinetype（線の種類），lwはlinewidth（線 の太さ）の略である．また，鏃を少し凝っている．

f(x, n) = x**n以降は，プログラム A (programA.gnu)の多項式関数 の部分と奇数次（odd degree）の多項式関数の部分に，偶数次（even degree） の多項式関数の部分が加えてあるだけである．（pause -1をpause mouse

に変えてみた．）奇数次の多項式関数は奇関数だから，原点対称なグラフ， 偶数次の多項式関数は偶関数だから，y軸について対称なグラフである．

poly.gnu (1)

 

reset

set term windows color enhanced set size square

set samples 10000 a = 1.5

set xrange [-a:a] set yrange [-a:a] set grid

set key at a*1.1, a l

set arrow 1 from -a, 0 to a, 0 head back filled lt -1 lw 2 set arrow 2 from 0, -a to 0, a head back filled lt -1 lw 2 #

f(x, n) = x**n #

set title ’polynomial functions’

plot f(x, 1) t ’x’, f(x, 2) t ’x^2’, f(x, 3) t ’x^3’, Y= f(x, 4) t ’x^4’, f(x, 5) t ’x^5’, f(x, 6) t ’x^6’, Y= f(x, 7) t ’x^7’, f(x, 8) t ’x^8’

pause mouse #

set title ’odd degree functions’ plot f(x, 1) t ’x’, f(x, 3) t ’x^3’, Y= f(x, 5) t ’x^5’, f(x, 7) t ’x^7’ pause mouse

#

set title ’even degree functions’ plot f(x, 2) t ’x^2’, f(x, 4) t ’x^4’, Y= f(x, 6) t ’x^6’, f(x, 8) t ’x^8’ pause mouse   (poly.gnu (2)に続く) ここまでのプログラムで下図を得るだろう．

poly.gnu (1)からの続きで，poly.gnu (2)では，1次関数から4次関数 までを描いている．1次関数は直線であり，2次関数は放物線（谷1つ），3 次関数は山1つと谷1つ，4次関数は山1つと谷2つである． poly.gnu (2)   unset key

set title ’degree 1: y=x’ plot f(x, 1)

pause mouse #

set title ’degree 2: y=x^2’ plot f(x, 2)

pause mouse #

set title ’degree 3: y=x(x^2-1)’ plot x*(x**2-1)

pause mouse #

set title ’degree 4: y=5x^2(x^2-1)’ plot 5*x**2*(x**2-1)

pause mouse

 

(poly.gnu (3)に続く)

poly.gnu (2)からの続きで，poly.gnu (3)では，形が典型的な5次関数 と6次関数を描いている．5次関数は山2つと谷2つ，6次関数は山2つと 谷3つである．

poly.gnu (3)

 

set title ’degree 5: y=10x(x^2-1)(x^2-0.25)’ plot 10*x*(x**2-1)*(x**2-0.25)

pause mouse #

set title ’degree 6: y=15x^2(x^2-1)(x^2-0.25)’ plot 15*x**2*(x**2-1)*(x**2-0.25)

多項式関数は次数が増えるごとに，山か谷の数が一つずつ増えることが特 徴である．

2.3

三角関数

三角関数（trigonometric functions）の描画ファイルなので，ファイル名 をtri.gnuとした．以下，tri.gnu (1)∼(4)に分割して解説する．

unset boder 枠（boder）の取り消しである．デフォルト（あらかじめ 自動的に設定されている標準状態）では，set boderになっている．

set xtics -a,pi/2,a x軸の刻みを-aからaまで，π

2 ごとに書く． set ytics -floor(a),1,floor(a) y 軸 の 刻 み を-floor(a) か ら

floor(a) ま で ，1 ご と に 書 く ．こ こ で ，floor(a) は ，床 関 数（floor function）で，ガウスの記号[a]と同じ意味である．つまり，

[a] = aを超えない最大の整数 の意味である．

unset key 凡例の取り消しである．一般に，unset xxxは，xxxの取 り消し命令であり，次に，set xxxが登場するまでこの命令は有効である．

reset

set term windows color enhanced set size square

set samples 10000 a = 2*pi

unset border set xrange [-a:a] set yrange [-a:a] set key at a, a l set xtics -a,pi/2,a

set ytics -floor(a),1,floor(a) set grid

set arrow 1 from -a, 0 to a, 0 head back filled lt -1 lw 2 set arrow 2 from 0, -a to 0, a head back filled lt -1 lw 2 #

unset key

set title ’y=sin x’ plot sin(x)

pause mouse #

set title ’y=cos x’ plot cos(x)

pause mouse

 

(tri.gnu (2)に続く)

tri.gnu (2)

 

set title ’y=tan x’ plot tan(x)

pause mouse #

set title ’trigonometric functions’ set key at a, a r

plot sin(x), cos(x), tan(x) pause mouse

 

(tri.gnu (3)に続く)

set title ’scaling: sin x vs. sin 2x’ plot sin(x), sin(2*x)

pause mouse #

set title ’scaling: sin x, 2sin x, 3sin x, 4sin x’ plot sin(x), 2*sin(x), 3*sin(x), 4*sin(x)

pause mouse #

set title ’scaling: sin x, (sin x)/2, sin(x/2)’ plot sin(x), sin(x)/2, sin(x/2)

pause mouse #

set title ’scaling: sin x, (sin 2x)/2, 2sin(x/2)’ plot sin(x), sin(2*x)/2, 2*sin(x/2)

pause mouse   (tri.gnu (4)に続く) ここまでで，下図を得る． 以下，x方向とy方向にいろいろに縮尺を変えたsinの図を描いた．じっ くり吟味してほしい．

set title ’sin(1/x)’ plot sin(1/x)   最後に，この図は，x = 0では定義されない関数の図である．t = 1 x とお けば，sin1 x = sin tであり，xが原点に近づくと，tは無限遠方に飛んでい くから，

2.4

指数関数

指数関数（exponential functions）の描画ファイルなので，ファイル名を exp.gnuとした．もはや解説は必要ないだろう．実行してみよ．

exp.gnu

 

reset

set term windows color enhanced set size square

set samples 10000 a = 6

b = -1 c = b + 2 * a unset border set xrange [-a:a] set yrange [b:c] set xtics -a,1,a set ytics b,1,c set grid

set arrow 1 from -a, 0 to a, 0 head back filled lt -1 lw 2 set arrow 2 from 0, b to 0, c head back filled lt -1 lw 2 #

unset key

set title ’y=e^x’ plot exp(x) pause mouse #

set title ’y=e^{-x}’ plot exp(-x)

pause mouse #

set key at a, c l

set title ’y=e^x and y=e^{-x}’ plot exp(x), exp(-x)

pause mouse #

set title ’y=0.5^x, 0.6^x, 0.7^x, 0.8^x, 0.9^x, 1^x, 1.1^x’ plot 0.5**x, 0.6**x, 0.7**x, 0.8**x, 0.9**x, 1**x, 1.1**x pause mouse

#

set title ’y=1.1^x, 1.2^x, 1.3^x, 1.4^x, 1.5^x, 2^x, e^x’ plot 1.1**x, 1.2**x, 1.3**x, 1.4**x, 1.5**x, 2**x, exp(x) pause mouse

2.5

対数関数

対数関数（logarithmic functions）の描画ファイルなので，ファイル名を log.gnuとした．log.gnu (1), (2)に分割して表示する． log.gnu (1)   reset

set term windows color enhanced set size square

set samples 10000 a = 6

unset border set xrange [-a:a] set yrange [-a:a] set xtics -a,1,a set ytics -a,1,a set grid

set arrow 1 from -a, 0 to a, 0 head back filled lt -1 lw 2 set arrow 2 from 0, -a to 0, a head back filled lt -1 lw 2 #

unset key

set title ’y=e^x’ plot exp(x) pause mouse #

set title ’y=log x=log_e x’ plot log(x)

pause mouse #

set key at a, a l

set title ’y=e^x, y=x, y=log x’

plot exp(x) t ’e^x’, x, log(x) t ’log x’ pause mouse

#

set key at a, a l

set title ’y=2^x, y=x, y=log_2 x’

plot 2**x t ’2^x’, x, log(x)/log(2) t ’log_2 x’ pause mouse

 

set key at a, a l

set title ’y=0.5^x, y=x, y=log_{0.5} x’

plot 0.5**x t ’0.5^x’, x, log(x)/log(0.5) t ’log_{0.5} x’ pause mouse

#

set key at a, a l set title Y=

’y=log_{0.5} x, y=log_{0.9} x, y=log_{1.1} x, y=log_2 x’ plot log(x)/log(0.5) t ’log_{0.5} x’, Y=

log(x)/log(0.9) t ’log_{0.9} x’, Y= log(x)/log(1.1) t ’log_{1.1} x’, Y= log(x)/log(2.0) t ’log_2 x’ pause mouse   最後のplotによるいろいろな底に対する対数関数の図は以下のように なる．

2.6

重要な極限

1

lim x→0 sin x x = 1であることを示すのに， sin x < x < tan x ( 0 < x <pi 2 )

という不等式が鍵となる．この不等式の状況をグラフで見てみよう．以下 のようなプログラムを書けばよい．（set keyを少し変えてみた．）

limit1.gnu

 

reset

set term windows color enhanced set size square

set samples 10000 a = pi/2

unset border set xrange [0:a] set yrange [0:1] set xtics 0,0.2,a set ytics 0,0.2,1 set grid

set arrow 1 from 0, 0 to a, 0 head back filled lt -1 lw 2 set arrow 2 from 0, 0 to 0, 1 head back filled lt -1 lw 2 set key left box

#

set title ’sin x < x < tan x’ plot sin(x), x, tan(x)

 

2.7

重要な極限

2

自然対数 の底e は，e = lim n_→∞ ( 1 + 1 n )n と定義さ れる．こ れより ， lim x→∞ ( 1 + 1 x )x = eが得られることを以下の手順で示そう． (1) x > 1として，xの整数部分をn,小数部分をαとおいて，x = n + α と分解すると，n = [x],かつ0≤ α < 1である．よって，[x]≤ x < [x] + 1, すなわち，n≤ x < n + 1が成り立つ． 注 gnuplotで確認しよう．ファイルを作るまでもない．  

gnuplot> reset; set term windows color enhanced gnuplot> set samples 10000; set key left nobox gnuplot> plot [1:10][1:10] floor(x), x, floor(x)+1

  とすれば，下図を得る． (2) n≤ x < n + 1より， 1 n + 1 < 1 x ≤ 1 n が成り立つ．よって， 1 + 1 n + 1 < 1 + 1 x≤ 1 + 1 n

である．辺々をそれぞれn≤ x < n + 1乗すれば， ( 1 + 1 n + 1 )n < ( 1 + 1 x )x < ( 1 + 1 n )n+1 を得る．すなわち， f (x) = ( 1 + 1 [x] + 1 )[x] = ( 1 + 1 n + 1 )n g(x) = ( 1 + 1 x )x h(x) = ( 1 + 1 [x] )[x]+1 = ( 1 + 1 n )n+1 とおけば，f (x) < g(x) < h(x)が示された． (3) lim n_→+∞ ( 1 + 1 n )n = eより， lim n_→+∞ ( 1 + 1 n + 1 )n+1 = eである． よって，n→ +∞のとき， ( 1 + 1 n + 1 )n = ( 1 + 1 n + 1 )n+1( 1 + 1 n + 1 )₋₁ → e 1 + 0 = e が成り立つので，極限 lim x→+∞f (x) = eを得る． (4) n→ +∞のとき， ( 1 + 1 n )n+1 = ( 1 + 1 n )n( 1 + 1 n ) → e(1 + 0) = e が成り立つので，極限 lim x→+∞h(x) = eを得る． (5)不等式 f (x) < g(x) = ( 1 + 1 x )x < h(x) および，(3), (4)の結果より，はさみうちの原理を用いて， lim x_→+∞g(x) = lim x→+∞ ( 1 + 1 x )x = eを得る． 注 (3)∼(5)の挟み撃ちの原理を用いた証明をgnuplotで視覚化しよう． 次のようなファイルを書けばよいだろう．

reset; set term windows color enhanced set size square; set samples 10000 unset border set grid f(x) = ( 1.0 + 1.0 / ( floor(x) + 1.0 ) )**floor(x) g(x) = ( 1.0 + 1.0 / x )**x h(x) = ( 1.0 + 1.0 / floor(x) )**( floor(x) + 1.0 ) # a = 5 b = (a - 1) / 10.0 set xtics 1,b set ytics 1,0.5 set xrange [1:a] set yrange [1:5]

set arrow 1 from 1, exp(1.0) to a, exp(1.0) nohead set label 1 ’e’ at 1-b/4, exp(1.01) r

set title Y=

’lim(1+1/n)^n=e ---> lim(1+1/x)^x=e by squeeze theorem’ plot f(x) t ’( 1 + 1 / ( n + 1 ) )^n, n = [ x ]’, Y= g(x) t ’( 1 + 1 / x )^x’, Y= h(x) t ’( 1 + 1 / n )^{n + 1}, n = [ x ]’ pause mouse # a = 21; b = (a - 1) / 10.0 set xtics 1,b; set xrange [1:a]

set arrow 1 from 1, exp(1.0) to a, exp(1.01) nohead set label 1 ’e’ at 1-b/4, exp(1.01) r

replot; pause mouse #

a = 51; b = (a - 1) / 10.0 set xtics 1,b; set xrange [1:a]

set arrow 1 from 1, exp(1.0) to a, exp(1.01) nohead set label 1 ’e’ at 1-b/4, exp(1.01) r

replot

 

a = 21以下とa = 51以下は，a = 5以下のプログラムとほとんど変 わりがないので，aの値を変えたときに影響する部分だけを改めて書いた．

replotは再描画の意味である．set labelは，’e’というラベルの右側 （right）を整理番号1で，指定の場所（at）に書くというコマンドである．

注 lim n→+∞ 1 + 1 n = eであるのだから，極限x→+∞lim 1 + 1 x = e も成り立つことは当たり前に思うかもしれないが，自明ではない．実際，極 限 lim n→+∞g(n)と極限x→+∞lim g(x)が異なる例はすぐに作ることができる． 例えば， lim

n→+∞sin(πn) = 0だが，x→+∞lim sin(πx)は収束しない．

2.8

逆三角関数と双曲線関数

gnuplot で は ，逆 三 角 関 数 arcsin x, arccos x, arctan x は そ れ ぞ れ

asin(x), acos(x), atan(x)として用意されている．例えば，次のように 書く．

 

gnuplot> reset; set term windows color enhanced gnuplot> set samples 10000; set key left nobox gnuplot> set xzeroaxis; set yzeroaxis

gnuplot> plot [-1:1][-pi/2:pi] asin(x), acos(x) gnuplot> plot [-10:10][-pi/2:pi/2] atan(x)

 

双 曲 線 関 数 sinh x, cosh x, tanh x も そ れ ぞ れ sinh(x), cosh(x), tanh(x)として用意されている．