1
論文
］
日本建築 学会構 造 系 論 文報 告 集 第 454 号・
1993 年 lZ月Journal
QfStruct
．
Constr
，
Engng
，
AIJ
，
No
，
454，
DeG
．
，
1993
実験
誤 差
制御 機
能
を
有
し
た
サ ブ
ス
ト
ラ ク
チ
ャ
仮 動 的実 験
の
た
め
の
”
数
値積
分
法
INTEGRATION
METHOD
CAPABLE
OF
CONTROLLING
EXPERIMENTAL
ERROR
GROWTH
IN
SUBSTRUCTURE
PSEUDO
DYNAMIC
TEST
中
島
正
愛
＊，
赤
澤 隆
士
＊ ＊，
阪
口理
＊ ＊＊
Mas4yoshi
NAKASfflMA
，
Ta
々
lashi
且甜
Z
・4
翩
and
O5amu
SAKA
GUCffI
Proposed
is
a newintegration
methodthat
can ensure u皿conditional stability ahd controlthe
growth
Qf experimental er【Qrsin
the
substructurepseudo
dynamic
test
．
This
method， referred
to
as a−OS
m βthod
，
is
an extension ofOS
methodthat
has
alreadybeen
proposed
andincludes
an additiona ］integration
parameter
．
This
parame
しeris
the
source of numericaldissipation
，
whichin
turn
makesthe
growth
、
of
experimental
errots
suppressed
．
Stabihty
and accuracy charact 母ristics ofthe
method arequantified
analytically，
and effectiveness ofthis
rnethoClis
demonstra
［
ed
by
numerical
bxperimentation
．
Keywortts
：Psettdo
d
）eiamictest
、 substructuring
tecbniPue
，direct
integration
，
numericaldisSiPation
，
ex−
Perimental
er厂o厂仮 動 的実 験
， サプ
ス トラ クチ
ャ法
，直
接
積
分，数 値 減 衰
，実 験 誤 差
1，
は じ め に電 算
機
によ る 数 値 解 析 と 変 位 制 御に よ る 準 静 的 実 験 を組
み合
わ せ て構 造 物
の地 震 時 応 答
を再
現 する仮 動 的実 験
法 （オ
ンライ
ン応 答 実 験
やハイ
ブリ
ッド実 験 と も称
され る）
が提 案
さ れ て か ら，
既
に20
余 年
が経 過
し た。
初 期
の 開 発か ら，
実
用性
の検
討，
大 型構
造物
へ の適用
に至る様
々 な研
究
を経
て，
今
や仮 動
的実
験 法
は標 準
的
な構
造実
験 手 法
の一
つ と して認 知
さ れ，
多
くの研 究 者 達
に よっ て使
わ れ て い る1L2 ）。
仮 動 的 実 験 法
の新
し い展 開の一
つ に，
構 造 物 全 体 を実 験
する の で はなく
，
構 造 物
の中
でも特
に その復 元 力 特 性
が複 雑
な部 分
だけ を実 際
の実 験 対 象
と し，
他
の構 造 部 分
は電 算 機
の中
で数 値
モデル化
して，
構
・
造 物 全 体
に対 す
る運 動 方 程 式 を解
く，
サ
ブスト
ラ クチ
ャ法
の考 え方
を取
り入
れ た仮 動 的 実 験 法 似 下
，
サ ブ
ス ト ラ クチ ャ仮 動 的 実 験 法
と称
す）
が挙 げ
ら れる。
こ の方 法
は，．
開 発 当 初
か ら仮 動 的 実 験
の最
も賢
い使
い方
と して期
待
さ れて い た に も か か わ らず
，
な か な か実 現
し な かっ た主
な理 由
のr つ に，
仮 動 的
実
験 法
にお け る直 接 積 分
に用
い る数 値 解 析 法
の限
界
が あっ た3 脚。
つ ま り，実
験 上
，復 元 力 を 陽
に（
試 行 錯 誤
な し に）求
め る こと が要 求
さ れ，
その結 果 と
し て中央 差 分 法
等
の陽 的 積 分 法
が用
いら
れて き た が，
こ の よ うな積
分法
で は解
くべ き自由 度 （
実 験
す る部 分
の自 由 度
と数 値
モ デル部 分
の自 由度
の和 ）
が多
く な る と数 値 解 析 上
の安 定
を確 保
で き な く な り（
解
の発
散 ）
，
正 しい応
答 が得
ら れ ない。
筆 者の
一
人は，
この限 界 を克
服 する た めに，
復 元 力 を線
形 部
分 と非 線 形 部 分
に分
け，
そ れ ぞ れの部
分 に異
なっ た積 分 法 を用
い る という
オペ レー
タ・
スプ
リッテ ィン グ（
OS
）
法に着
目 し，
こ の 方 法．
を組
み 込 ん だ仮
動的 実 験
法
の た め の新
しい積 分
アル ゴ リズ
ム を考案
し た 3｝・
4｝ 。 こ の方 法
に よ れば
，
従来
の仮 動 的
実
験
と 同 じ加 力
手
順
を 用’
い な が ら も，
無条
件
に安
定
な解
を求
め るこ と がで き，
し．
た がっ て自由度
が多
く な りが ち な サブ
ス トラ ク チ ャ仮 動
的
実
験
に対
し て も，
精 度
の よい応
答
が得
られる こと を実
証
し た。 この積 分
アル ゴ リ ズム は，
．
その後 他
の研 究 者
達 に も使
わ れ5）−
9），
サブ
ス ト ラ ク チャ仮 動的実験
の実
用 化
に新
しい道 を開
いた。
仮動 的実
験 法
固有
の問題
の一．
つ に，
実 験 誤 差
の累積
と応答
の ゆが み がある。
こ れ は，実 験
ハー
ドウェ ア の変位
制 御
の限 界
か ら，
試 験 体 を正
し い指 令 変 位
に導
くこと
が 寧 京 都 大学防 災田究所 助教授・
Ph
．
D
．
＊ ＊ 近 畿 大学 大 学 院工学 研 究 科 大 学 院 生 ＃ ＊ 近 畿 大 学 理 工学 部 教 授・
理博Assec
．
Prof
．
，
Disaster
Prevention
Research
工nstitute，
Ky6to
Univ
．
，
Ph
．
D
．
Graduate
Student
，
Faculty
ofEngineering
．
，
Graduate
Schoo
且ofKinki
Univ
．
Prof
．
，
Faculty
ofScience
andEngineering
，
Kinki
Univ
．
，
Dr
．
Sci
，
一
61
’
一
で き ない こと に
起 因
し，
各
変位
ス テップ
に お け る誤差
は小
さ くても， それ が累 積
し，
そ の帰 結
と して，得
ら れ る応 答
が真
の応 答
と は か け離
れ て しまう現 象
で あ る。
この問題
につ い ても
，
応 答 を
ゆ が ま せ る要 因
は何
か，
ま
たど
の よう
に ゆ が むの かな どに対
して研 究
が重
ねら れ10 ｝−M
〕，
またこ の不
都合
な ゆ が み を 取 り除 き な がら実 験
を進
め る手 順
も提
案
さ れ，
後
の仮動 的実験
に利
用
さ れて いる。 こ の手順
は，
この誤
差
の主 要
因 が，
指令 変位
と実
際
に試 験
体
が到 達
し得
た変位
との差
で あ ることに着 目
し， こ の誤
差
によ
っ て生
じ る誤 差 力 を補 正 す
る方 法
12L13 ｝と，
数 値 解
析
に意
図的
に減 衰
を付 加
し，
そ の減 衰
に よっ て応 答
のゆ がみ を除 去
しよ う と する方 法
11LL4）・
】5）に大 別
さ れ る 。付
加 す
る減 衰
と して，
初 期 弾性 剛 性
な ど に基
づい て求
め た モー
ダ
ル粘性
減 衰
を利
用
す る方 法
も当 初 考
え ら れ た がIG｝，
こ の よ う な 減衰
で は，
系
が 非線
形挙
動 を示
す と き期待
す る粘性減 衰
が得
ら れ な く な ること
など
も明
’
ら かに され17， ，非 線 形 挙 動
下に おい ても安 定
した減 衰
が得
られ る数 値 減 衰
を用
い る こ とが最
も 適切
であると考
えられて い る11 ｝。ま
た誤 差 力 を補 正 す
る手 順
と減 衰 を付 加 す
る手
順
は相 反 す
るも
の で は ない の で，
両 者
を組
み合
わ せて用
い る ことによっ て，
実 験 誤
差 が精度
よ く制 御
で きるこ とも報 告
さ れて い る】8｝ 。本 論
の目的
は，
サ ブ
スト
ラ ク チャ仮動
的 実 験
に適
し た積 分
ア ル ゴリ ズム3レ・
4）を改 良
し，
そ の ア ル ゴ リズ
ムが持
つ「
仮 動 的 実 験
の原 理
に適 合
しつ つ無 条 件
に安 定
な解 を
保 証
す る」
という長 所
に，
さ ら に数
値
減 衰 性 能
を付 加
し，
実
験誤 差
の累 積
と そ れに伴
う応 答
の ゆ がみ を制 御
し得
る積
分ア ル ゴ リ ズム を提
案
する こ と で あ る。2．OS
法
を用
いた積 分
ア ルゴ リ
ズ ム の概
要
本
論で提案
す る，
数 値
減衰
を 含 む 積 分ア ル ゴリズム の詳 細
を説
明 す る前
に， その基
本
と なるOS
法
を 用い た積
分
アル ゴリ
ズム3〕・
4）の概 要 を以 下
に示 す
。OS
法
の基 本 原
理は，履 歴
に依 存
する非 線 形
な剛 性
｛
K
。u）
を，履 歴
に独 立
な線 形 部 分
の剛 性 （
K
り
と履 歴
に依
存 す
る非 線 形 部 分
の剛 性 （
踊
．i；
Kn
＋1一
κり
に分 離
し，線 形 部
分に は 無条 件 安 定
なNewmark
法
を，
ま た非 線 形
部
分
には条件付
き安定
な予
測
子
一
修
正
子
法 を
用
い て積
分
するも
の であ
る。
つ ま り非 線 形
な剛 性 （
」Kn．
1）
が負 担
すべ き復 元 力
の う ち，
非 線 形 部 分
の剛性
が負 担
する復 元 力
を 予 測子 変 位 （
d
。 ．i）
か ら求
め，
残 りは すべ て線 形 部 分
の剛性
が負
担
す る もの と して，Newmark
法
を用
い て線 形 部
分
の修 正 子 変 位 （
d 。
．
i）を 求
めるという方 法
で ある。
OS
法
の ア ル ゴリ
ズムを以
下に示
す。
Man
＋ ，十C
砺
＋1十K
’dn
＋1十K
舞
＋1dn ＋1＝Pn
．i…・
…・
…・
・
一 ・
・
・
・
……・
・
…・
…
（
1
｝
dn
＋1＝dnH−
△tVn
十（
∠l
t
：／
4）
an
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（2 ）
dn
＋L＝dn
＋ ユ十（
△t2
／
4
）
an
＋ゴ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
3
）
一
62
一
Kldn
＋1K
嘔
n＋1
fn
＋1
Restor
g
Force
−1
1
Non
earResmdng
F
。rce噌
（＝f
。
．
1−
KId
）KI
蠹
For
哩 （詈KReSltering
（詈K
1）
dn
＋1
dn
＋l
Disp
．
Fig
．
10utline
ofApplication
ofOS
MeLhod
toPseudo
Dynamic
Test
Vn．1
＝
Vn 十（
A
t
／
2
）
（
an 十 an†1）
・
…t・
・
…・
…・
…・
・
（
4
）
こ こ で，KJ ，
Kfi
． ， は そ れ ぞ れ，
線 形 部 分
と非 線 形 部 分
の剛 性
マ トリ
ックスを表
す。
ま
た，M ，
C ，
a，
v，
P
は そ れぞ れ，
質 量
・
粘 性 減 衰
マト
リクス，
加 速 度
・
速 度
・
外 力
ベ ク トル であり，
At
は積 分 時 間 刻
み を，
さ ら に添
字
n
はn
ス テップ 目
の応 答
である こと を示
して いる ♂復
元力 特 性
がFig．1
の よう
に非 線 形
であ
る］．
自 由 度
系
に対
す る仮 動 的
実
験
を考
え，
こ れにOS
法 を適 用
する た めの具 体
的
な手
順
は以 下
の と お りであ る。対 象
と す る系
を
式 （
1
）
の よう
に定式 化
す る。K
’と し て初
期
弾性
剛
性
を仮
定
す る。
予 測 子 変 位 〔
dn
＋1）
まで試
験 体
を加 力
して，
その とき
の復
元力
（
fn
．1）を計 測
す る。
（
f
』，
］
− K
’d。
＋
」 を 計 算
し，
こ れ を式
（
1
）
の鵡
．idn．
日 の項
に代 入
して修 正 子 変 位 （
dn
＋1）
を計 算
す る。こ の
手 順
におい て，
実 際
の実 験
か ら得
な けれ ばな ら な い悋 報
は，
予 測 子
変 位 （
式 （
2
）
）
に対 応 す
る復 元 力
（fn
．1）
であ る が，
これは試 行 錯 誤 を伴
うこと な く陽
に求
める こと ができ， した が っ て仮 動 的
実
験
に完
全．
に適合
し ている。
ま た も し系
の実 際
の剛 性 （
各 増
分区 間 内
で の割
線
剛性
）
が初 期 弾 性 剛 性
に等
しい な ら，
その増
分 区間
内 で，OS
法
は無 条
件
安 定
なNewmark
法
に一
致
す るこ と にな る。
ま た，OS
法 が 有
す る安 定
・
精 度特性
は以 下
の よ うに要 約
でき る。
（1 ＞ 初期
剛
性
を線 形部分
の剛性
とす
る場 合
，
系
が劣 化
系
であ る限
り，
無 条件安
定
な 解 を保 証
す る。
（
2
｝
周 期 誤 差は，
無条 件 安 定
なNewmark
法に よ る そ れ よりも大
き く な るが，
積 分 時
間刻
み が ωAt
〈O
．
5
程度
でも
，
その誤 差
は高
々数 ％
であ
る。 こ こ で ω は系
の 固有
円振
動数
であ る。
（3
） 数 値 減 衰
は ない。
3．
a−OS
法 を用
いた積 分
ア ル ゴ リズ
ム3
．
1
α
法
の概 要
本
節
で は，前 節
で示
し たOS
法
と，Hilber
に ょっ て考 案
され たa法
19乏
を 組み合
わせ た積 分
ア ル ゴリ ズムを考
える。
a法
は，
無条 件 安 定
なNewmark
法
に補 助
パ ラ メー
タαを
導
入 す ること によ
っ て，
無 条 件 安 定
性 を確
保 しつ つ 数 値 減 衰 を含
む陰 的 積 分 法
であ
る。
ち な み に無
条件 安 定
なNewmark
法
に は数 値 減 衰
が含
ま れ てい な い。
以
下に，
弾性 1
自
由
度 系
を例
に とっ て ， α法の概 要
と，
その数 値 減衰 特 性
を示
す。α
法
の アル ゴ リズ
ム は次式
で表 さ
れ る。
’
Man
＋1十（
1
十α）
CVn
＋1一
αCVn
十（
1
十α）
Kdn
−
i一
αKdn
＝
（
1
−
｝−
a）
Pn
＋
」−
aPn・
・
・
・
・
・
・
…
9−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t
t…
（
5 ）
dn
＋
i＝
＝
dn
＋△tVn
＋At21
（
1
／
2一
β）
α n＋βα貼 ＋1｝
Vn
＋1三
四π十 △t
｝
（
1
一
γ）
αn十 γanト
【
｝
・
一一・
・
・
・
…
こ こ で，
β
＝
（
1一
α）
2／
4
，
γ＝
1
／
2
一
α…・
……
：・
…・
ま た．
他
の記 号
の定 義
はOS
法
に準 ず
る。
・
・
・
・
…
r・
・
・
・
…
』
・
・
・
・
・
…
一・
・
…
（
6
）
・
（
7
）
……
（8
）
Fig．
2
は，1
自 由度 非 減 衰 弾 性 系
に初期
強 制 変 位 を 与
え て，
そ の後 自由
振 動
さ せ たと き
の応 答 を
，
a法
を用
い て求
め た結 果
である。積 分 時 間 刻
み が小
さい と きに は真
の応 答
に一
致
して い る が，
積 分
時
間 刻
み が大
き く な るほど応 答
の 周期
は の び，
ま た応 答
が徐
々 に減 少
してゆ く。 ここで，
非
減
衰系
に もか かわらず応 答
が減 少
してゆ く 源 が数 値 減
衰
で ある。 こ の よう
に，
a法
は，
積 分 時 間 刻
み が小
さ ければ精 度
の よい応 答
を与
え，
積 分 時 間 刻
みが大
き く な る ほど 数 値 減 衰 が働
き，
応 答
を意
図的
に減
衰
さ せ て し ま う機 能
を持
っ ているが1
こ の機
能
は，
多 自由 度 系
の地 震応 答 解 析
に適
し た も の で あ る。
つ ま り，多 自
由
度
系
を モー
ド分 解
して考
え れ ば，
低 次
モー
ド（
地 震 応 答
に 関 して支 配 的
なモー
ド〉
に対
し て は精 度
の よい応 答
を与
え（
相
対 的
な積 分 時 間 刻
みが小 さ
い）
，一
方 高 次
モー
ド（
地
震
応
答
に は寄 与
し ない モー
ド）
に対
し てはその応
答
を減
衰
さ せて し まう
こと ができる6
本
論
で は，
OS
法
が持
つ仮 動 的 実 験
に対
す る 長所 と
； α法
が持
つ数 値 減 衰 性
という利 点 を組
み合
わせ た，
仮 動
的 実
験に 対 す る 新 しい積
分 法（
以 下
，
α一
〇S
法
と称
す）
を以 下
の よ うに提
案
し，
こ の方 法
に よ れ ば，
多 自 由 度 系
に対 す
る解
の安 定 性
と実 験 誤 差 累
積
の制御
が，
同 時
に確
保
で きる こ とを検 証
する。
3
．
2
α一
〇S
法
の ア ル ゴリ
ズムα
一
〇S
法
の基
本 原 理
は，OS
法 と 同 様
，
履 歴
に依 存
す る・
非 線 形
な剛 性 （
Kn，
K
。 ．D
を，
履 歴
に独 立
な線 形 部
分の1．
5
（
sec
）
0
−L5
−
Exact
Response
一
ω 凶f
＝0，
1
−一一
一
一
（aAt
＝
1
．
0
・
一…一
・
catSt
＝3，
0
Fig
．
2
．
』
Vibratio
ロCharacterist
亘cs with α’
Method
剛 性 （
κう と 履 歴
に依 存
す る非 線
形 部
分
の剛 性 （
K
塁
，
濫
．
匸〉
に分 離
し，線 形 部
分 に は無
条件 安定
なα法
を，
非
線 形 部 分
に は条
件付
き安 定
であ る予 測 子
一
修
正
子 法 を用
い て積 分
す るも
の で あ る。
つ ま り非
線
形
な剛 性 （
Kn
，
Kn＋
1｝
が負 担 す
る復 元 力
の内
，
非線 形 部
分
の剛
性
が負担
す る復 元 力
を 予測 子
変位
（
d
。，d
。 ＋1）
か ら求
め，
残 り
はす
べ て線 形 部 分
の剛 性
が負 担
す る もの と し て， a 法 を用
い て修
正子
変
位 （
dn．
1）を求
め る方 法
であ
る。
a−OS
法
の ア リゴ リズ
ム を，
以 下
の よう
に提 案
する。
Ma
。 、．
1＋〔
1
＋ a）
Cvri
＋1一
αCv
。＋（
1
＋α）
・
（
K
’d
。 ． 、＋Kfi
爿d
。 ． 、）
一
α（
1
【 厂d。
＋ κ肱 ）
＝
（
1
十α）
Pn
＋ i一
αPn ’・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
t・
・
・
・
・
・
・
…
（
9
｝
dn
＋i1’
dn
＋AtVn
＋ △t2
（
1
／
2
−
fi
｝
an……・
……
（
10
）
dn
＋i＝
dn
＋ 匸＋ △tZS
？ari
、
i…………・
…………・
・
（
11
）
Vn＋ 且
；
Vn 十Atl
（
1
一
γ）
an
十 γan
＋
，
1
・
・
・
・
・
…
一・
・
…
〔
12
）
な お，
上式
に現
れるす
べ て の記号
ぽ，既
に定義
し た と お りであ る。3．
3
α
一
〇S
法
の仮 動 的 実 験
へ の適 用 手 順
こ こ で は
1
自 由 度 系
を考
え，
そ の復 元 力 特 性
が，Fig．1
の よ う に非 線 形
であ
る とす
る。ま
た，
対 象 と
す る系 を式 （
9
）
の よ うに定
式化
し，
線 形 部 分
の剛 性
と し て，
予 備 加 力
な どか ら推 定
し た系
の初期
剛性
を用
いることにす
る。 a−
OS
法 を仮 動 的
実
験
に適 用
す る た め の具 体
的
な手 順
を，
以 下
のよ う
に提 案
する。
n
ステップ
まで の情 報
か ら，
式 （
10
）
を 用いて，
予測 子
変位
（
dn
＋i）
を計 算 す
る。予
測
子変位
ま で試 験 体
を加 力
して，
その と きの復 元
力 （
fn
＋
T）を計 測
す る。
dn
＋ 、か ら，
n
＋1
ス テップ
におけ
る非 線 形 部 分
の復
元 力 （
五
刊一K
「d
。 ．）を計 算 す
る。を
式 （
9
｝
の鴈
＋id 。 ＋ 、の項
に代
入 し，
α法 を 用
い てfl
多正 子 変 位 （
dn
．1｝を計 算
する。〜
を
繰
り返
すことにより，
順 次応 答 を 求
め る。
こ の
手 順
に布
い て，
予
測子 変 位
に対 応
す る．
復
元 力
（f
。 ． 、）
は陽
に求
吟
ら れ る の で，OS
こ法 同 様
，
α一
〇S
法
は仮 動
的実
験
の原 理
に完 全
に適 合
して いる。 ま た，
式
（
9
）
か ら・
a＝
P
の場
合
，
α一
〇S
法
はOS 法
に一
致
し，
また，
もし系
の実
際の剛 性 （各 増 分 区間 内
で の割
線
剛性 ）
が仮
定
し た初 期 弾 性 剛 性
に等
しい な ら，
そ の増 分 区
間内
に お い て，
α一
QS
法
は a法
に一
致
す
る。
tt
’
3
．
4
α
一
〇S
法の安 定
と精 度
α一
〇S
法
の安 定 特
性
線 形 部 分
の剛
性
と して初期弾性
剛
性
を用
いる場 合
，
系
の剛 性
が初 期 弾 性 剛 性
に等
しい な ら，
α一
〇S
法
は， α法
に一
致 す
るの で，−
1
／
2
≦α≦o
に おいて無 条 件 安 定
であ
る19）。一
方 系
の復 元 力 特 性
が非 線 形
であ
る場 合
，各増 分
区
間内
にh
’
ci
る実 際
の剛 性 （
割 線
剛性 ）
は初 期 弾 性
剛性
と は異
な り，
こ の 違い が α一
〇S
法の安
定
と精 度
を特 徴
一 63 一
づ
け
る。 α一
〇S
法
の安 定 特 性
を導
く た めに，
あ る剛 性
（
K
）
を有
す る1
自 由度
系
にa
−OS
法 を適 用 す る
こと を 考
え る。
剛 性（
K
｝
に対
す る仮
定
し た線 形 剛 性
の比
と して，
θと
いう
パラ
メー
タを
導
入 す
る と，
式
（
9
）
におけ
る剛
性
は次 式
の よう
にな る。κ’＝ θκ
，
κ
暑
＝K
譯
＋ 1＝ （1
一
θ）K ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
13
＞
上式
を式
（
9
）
に代
入 す る と，次式
が得
ら れ る。
Ma
． ．、＋（
1
＋α）
CVn．
、一
αC
”。＋（
1
＋α）
・
1
θK
（
dn
＋
i−
dn
＋1）
十Kdn
＋
i｝
−
al θK
（
dn
−
d
の
十
Kd
湯
＝
（
1
十α）
Pn
＋i−−
aPn’
……・
・
…・
・
……
（
14
）
上 式
に式 （
11
）
，
（
12 ）
を 代 入
し，α n
．1 につ い て整 理 す
る と，
次 式
が得
ら れ る。an＋1＝＝
一
［
（
1
十 α）
CIVn
十△t
（
1
一
γ）
α冠
一
αCVn
十
（
1
十a）
Kdn
＋1−
al θK
（
dn− dO
十Kd
π｝
一
（
1
十α）
Pn
＋L十aPA］
／
IM
十 △t（
1
十α）
γC
十
At2
（
1
十α）
fl
θKl ・
…・
…………
………
（
15
）
式 （
ll
）
よ り，
dn＝dn
＋ム ガβ
απ で あ る。 し た がっ て，
式
（
15 ）
，
（10＞
は次
の よ うに変形
で きる。
an＋1；
一
［
（
1
十α）
C
iVn
十At
（
1一
γ）
a
．｝
−
aCVn＋
（
1
＋α）
Kdn
＋i一
αIAt
’β
θK
α．＋ κd
冠
一
（
1
十α）
Pn＋
1十 apn／
lM
十At
（
1
十a）
γC
十∠
1t2
（
1
十α）
β
θκ卜
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（
16 ）
dn＋
1＝
（in
十4
‘塩十（
Att
／
2
）
α n……・
・
……・
…・
（
17
）
こ こ で
，
非 減 衰 系
を考
え，
外 力項
を ゼロ と お く と，
n
ステップ と
n
＋1
ステップ
の間
の予 測 子 変 位
と速 度
と加
速 度
の関 係
が，
式
（
12
）
，
（
16
）
，
（
17
）
よ り，次
式
の よ う な漸 化 式
で表
さ れ る。
｛
x
． ． ，e
＝t［
A
］
IXn
｝
，
IXn
＋il＝ldn
＋LVn
＋lan
＋tlT［
・・
一
［
蠹囎
囃
姻
］
こ こ で，
……・
・
…・
…・
…・
・
……・
…・
…
（
18 ）
μ
＝一
（
t・At
）
ヲ
11
＋（
ωAt
）
2θ（
1
＋ a鳳
げ＝
KIM
ε＝ μ
（
1
十a〕
，
卯＝ μ
11
／
2
十（
1
／
2
）
a一
解 ｝
・
……
（
19）
式 （
18
）
の［
A
］
は，増 幅
マ ト リックス（
Amplification
Matrix
）と 呼
ば
れ， こ の固 有 値 が
a−QS
法
の解
の安定
・
精 度 特 性
を規 定 す
る。
増 幅
マトリ
ック ス の固
有 値
は次式
で表
せ る。λ3
− 2A
，λ 2十A
，λ一A3；e・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
（
20
）
こ こ で，
A
，＝
＝
（
2
十μ一
8
）
／
2
，A2＝1− 2
ε，
A3＝−
s………・
……・
…・
………
（
21
）
s
＝ μ1
α1十ea
（
1
一
α＞
2／
41
…・
……・
………・
……
（
22
）
式
（
20 ）
に おい て， toAt
の値
にか か わ らず
1
λ1
≦1
な らば
，
a−OS
法
は無 条
件安 定
で あ る。 こ こ で，
toAt
＝
OQ と す る と，式 （
19
）
、
（22
）
よ り，
一
64
一
0
1
一
λ
12
一 一 一 一 一 一 一 一
＿ 一 一
一
一
〇．
6
0
（
a
）
Values
of
λ12fer
e ＝1
1
λ
，21
1
α0．
5
0
．
6
0
α
（
b
）
Values
ofl
λ121fbr
θ＞l
Fig
．
3
Eigenvalue
Characteristics
in
α一
〇S
Method
θ＝
