スル ー ス ・ゲ ー トの 自励 振 動 に 関 す る実 験
中央大学理工学部
正会員
林
泰
造
同
大学院
学生員 ○渡
部
忠
明
1.ま え が きゲ ー トの振 動 は ダ ムの ク レス ト ・ゲ ー トの よ うな 自 由流 出 の場 合 は,あ ま り問 題 とな らな い が,ス
ル ー ス ・ゲー トの よ うな 潜 り流 出の 場 合 に は大 き な問 題 とな って くる 。今 日,各 所 で取 水 や 流 量,水
位 調 節 を主 目的 と した 大 型 ゲ ー トが建 設 され てい る 。 こ の ゲ ー トは放 流 時 に は屡 々潜 り流 出 とな る こ
とが あ るの で,ゲ ー トの 設 計 に あ た って は振 動 に 関 して 十 分 考 慮 しな け れば な らな い 。
ゲ ー トをい ろい ろな 流 れ の 状態 に置 い た場 合,規 則 振 動 を起 す場 合 と不 規 則 振 動 を起 す 場 合 が 認 め
られ る。 不 規 則振 動 は 不 規 則 な 外 力 に よ って 起 こ してい る もの で あ るが,外 力 に ゲ ー トの 固有 振 動 と
共 振 す る よ うな 周 波数 要 素が 相 当 に あ る とゲ ー トは共 振 して 規 則 振 動 をは じめ る。 ゲ ー トに とって 危
険 と考 え られ るの は,こ の よ うな規 則振 動 で あ る。
従 来 の研 究 に よ れは ゲ ー トが 規 則振 動 を起 す 場 合 に は,そ の 原 因 は ゲ ー ト リップ よ りの 渦 の排 出周
期 と ゲ ー トの 固 有振 動 周 期 とが 共振 を起 す よ うな 状 態 に な っ た こ とに よ る,す なわ ち,渦 との共 振 が
一番 大 きな振 動 を起す 原 因 と考 え られ て き た。 しか し筆 者 らは,こ れ以外にももっ と重要な振動発生
の 原 因 か あ り得 る と考 えて,そ の原 因 に つ き研 究 し,ゲ ー ト振 動 の機 構 に つ いて 解 析 を行 った 。
2.ゲ ー トの 規 則 振 動 発 生 の 原 因 図-1は 後 出 図-6に 示 さ れ る よ う な 寸 法 の 模 型 ス ル ー ス ・ゲ ー トの 振 動 変 位 波 形 を示 す 。t= 0で 与 え ら れ た わ ず か ば か りの 撹 乱 変 位 が,時 間 と と も に 指 数 関 数 的 に 自 ら増 幅 して 大 き な 振 幅 の 規 則 振 動 と な っ て い る こ とが 認 め られ る 。 そ こ で この よ う な 微 小 撹 乱 変 位 が な ぜ 増 幅 され て ゆ くか に つ い て,以 下 に ま ず 現 象 的 な 考 察 を試 み る 。 ゲ ー トの 下 降 時 と上 昇 時 とで は ゲ ー ト リ ッ プ に 沿 っ た 流 れ の 流 況 は,一 般 に は 異 な る は ず で あ る 。 図-2に 比 較 して 示 し た よ うに,ゲ ー ト下 降 時 (同 図-(a))に は,ゲ ー ト リ ッ プ に 沿 う 境 界 層 は 比 較 的 剥 離 しに く く な り,ま た 逆 に ゲ ー ト上 昇 時(同 図-(b))に は,境 界 層 は ゲ ー ト リ ッ プ か ら比 較 的 剥 離 しや す く な る 。(a)の 場 合 に は ゲ ー ト リ ッ プ 面 に 沿 う高 流 速 と 曲 率 の た め ゲ ー ト リ ッ図-1振
動 変 位 波形
(a) During the period of downward movement
(b) During the period of upward movement
図-2ゲ ー ト リ ッ プ 付 近 の 流 況
プ 面 に 沿 っ て 低 圧(場 合 に よ っ て は 負 圧)を 生 じる た め に,ゲ ー トを さ ら に 下 方 に 引 下 げ よ う とす る ダ ウ ン プ ル が 増 大 す る 。 しか し,(b)の 場 合 に は 境 界 層 が 早 く剥 離 す る た め ゲ ー ト リ ッ プ下 面 に 沿 っ
の1サ イ クル に つ い て 考 え て み る と,ゲ ー トの 下 降 時 に も 上 昇 時 に も,ダ ウ ン プ ル が 働 い て い る こ と に は 変 りは な い が,し か しそ の 値 は 下 降 時 の 方 が 上 昇 時 の 値 よ り常 に 大 きい 。そ こ で,こ の 力 の 差 引 き の 差 に よ りな され る 仕 事 量 分 が1サ イ ク ル ご と に ゲ ー トに 運 動 の エ ネ ル ギ ー と して 蓄 え ら れ て ゆ き,振
動 が増 幅 して ゆ くも の と考 え られ る 。 した が って,ゲ ー トの 固 有振 動 は何 らか の 原 因で 一 度 生 ず る と
以 後 この よ うな機 構 で 自 ら増 幅 して ゆ くか ら,い わ ゆ る 自励 振 動 で あ り,そ の 発生 振 動 の周 期 は 固 有
振 動 周期 そ の もの で あ る。 次に こ の現 象 に つ い て,さ
らに 定量 的 な解 析 を以 下 に行 う。 ゲー トの 質量
をm,ゲ
ー トを懸 垂 してい る ロー プ(以 下"バ ネ"と 略 称す る)の バ ネ定数 をk,バ ネ の変 位 を,y(下
向 き を正 の方 向)と 置 く と,ゲ ー トの 運 動 を記 述 す る方 程 式 は 周 囲 水 に よ る摩擦 を無 視 す る と
(1)
と 記 さ れ る 。 こ こ に F:ゲ ー トに 作 用 す る ダ ウ ン プ ル(下 向 き を 正) で あ る 。 と こ ろ で,既 述 の よ うにFの 値 に は ゲ ー トの 変 位 速 度yが 重 要 な 役 割 を も つ 。 す な わ ち,一 般 にFは F=function(y;ゲ ー ト形 状,寸 法,水 位 差,開 度,etc.)(2)
と 考 え ら れ る が,上 式 に お い て は,y以 外 の も の はFに 対 す る 諸 パ ラ メ ー タ ー で あ る と考 え る と,Fを 次 の よ う に 置 く こ とが で き る。(3)
た だ し,Vは ゲ ー ト下 の 水 流 の 流 出 速 度 で あ る 。Fを こ の よ う に 考 え て(3)式 を(1)式 に 代 入 す る と(4)
と 記 さ れ る 。 そ こ で,い ま(5)
と 置 く 。 こ こ にy0=平
衡 点 にお け るバ ネ の 変 位
ξ=平 衡 点 近 傍 にお け る ゲー トの変 位
で あ る 。(5)式 を(4)式 に 代 入 す る と,(6)
と な る 。 と こ ろ で,ξ/V≪1で あ る か ら,F(-ξ/V)を ゲ ー トの 平 衡 点 近 傍 で 展 開 す る と(7)
と な る 。 た だ し,F0,F0',… … は ξ/V=0の 時 のF,F',… … の 値 で あ る 。(7)式 を(6)式 に 代 入 し,ky0=F0で あ る こ と を考 慮 す る と(6)式 は(8)
とな る 。 この 式 は 変 位 ξに対 す る振 動 方 程式 とな って い るが,上 式 か ら明 らか な よ うに,F0'>0な
ら
ば振 動 は減 衰 す る し,F0'<0な
らは振 動 は増 幅 す る。 した が って,ゲ
ー トが 振 動(自 励 振 動)を 発生
す る条 件 は
(9)
と な る 。 次 に,ゲ ー トの ξ/Vの 値 に つ い て 考 察 す る 。 い ま,(10)
と置 くと,θ は 図-3(α)か
ら見 られ る よ うに,
振 動 中 の ゲ ー トに対 して 流 出 水 流 の 相対 的 な"入
射 角 度"を 表 わす も ので あ る。 ξ/Vの
値 は一 般
に非 常 に小 さ くtanθ≒
θと考 え られ る の で,
(11)
と近 似 さ れ る。 し た が っ て,ゲ ー トに 作 用 す る ダ ウ ン プ ル は(a)Gate during the upward movement.
(b)Equivaient stationar ystate,
図-3
(12)
と 記 さ れ る。 こ の こ と か ら(9)式 は(13)
と書 き直 されFが
θの 値 に対 して 右 下 り特 性 を持 つ場 合 に,不 安 定 とな る こ とが わ か る。
3.ゲ ー トの ダ ウ ン プ ル の 特 性 Fの θに 関 す る 特 性 を 調 べ る た め に 図-3(b) の よ うに ゲ ー ト を 固 定 し,底 面 の 角 度 を θだ け 傾 け て,こ の 時 のFの 値 を 測 定 す れ ば,Fと θ と の 関 係 が 求 め られ る 。 図-4は,こ の よ う に して 測 定 し た 実 験 結 果 を 図 示 した も の で あ る 。 同 図 か ら わ か る よ うに(∂F/∂ θ)0<0で あ り,こ の よ う な ゲ ー トは 動 的 に 不 安 定(Dynamically un-stable)で あ る こ と が 明 瞭 に 認 め られ る。4.自
励 振 動 で あ る こ との検 証 の た め の 実験
(1)実
験 の ね らい
前 節 まで に記 述 した 機 構 に よ り 自励 振 動 が 起 こ
され るの で あ れ ば,ゲ ー トの 振 動数fは
ゲー トの
固有 振 動 数
図-4ダ
ウ ン プル と入 射 角 度 の 関 係
(14)
と 一 致 す る は ず で あ る 。 た だ し, W=mg:ゲ ー トの 重 量で あ る 。 ま た,上 流 側 水深,下 流 側 水 深 及 び ゲ ー ト開 度 を一定 に保 っ た ま ま ゲ ー ト重 量Wだ
け を変化
させ て も振 動 は持 続 し,ゲ ー トの固 有 振動 数 だ けが,そ のWの 変 化 に応 じた値 だ け 変化 す るは ず で あ
動 数fは1/√Wに
比 例 して減 少 して ゆ くは ず で あ る 。 この こ との 検証 の ため に,以 下 に述 べ る実験
を行 っ た。
(II)実
験 装置
実験 に使 用 した 水路 は,長
さ5m,幅2m,深
さ0.5mの
鋼 製 水路 で あ り,そ の 側 壁 の一 部 は横
か らの観 察 がで き る よ うに ガ ラ ス張 りと した もの
で あ る。模 型 ゲ ー ト懸 垂 の た めに は,図-5に
模
式 的 に 示 され る懸 垂 方 式 を使 用 した 。 この 懸 垂 方
式で は,模 型 ゲー トは 水 平 に 引張 られ た二 対 の 水
平 引張 り絃 と一 対 のバ ネに よ って,実 験 水 路 中 に
"宙 吊 り"に 保 持 され るた め外 部 との 接触 に よ る
摩擦 力 は生 ぜ ず,微 小 な起 振 力 を も検 出す る こ と
が で き る。 この懸 垂 方 式 で は水 平 引張 り絃 が長 い
た め,ゲ
ー トが鉛 直 方 向 に変 位 した場 合 に,水 平 引張 り絃 に 生ず る 鉛直 分
力は 微 少 で あ る 。 した が って,水 平 引張 り絃 はバ ネ に ほ とん ど影 響 しない
か ら,こ の 懸 垂系 は鉛 直方 向 の 動 き に対 して,単 にバ ネ に よ って 保 持 され る
一 自由度 の バ ネ 系 と等 価 で あ る と思 わ れ る。 よ って,ゲ ー ト懸 垂 系 の 固 有
振 動数 は(14)式
で 与 え られ る 。実 験 に使 用 した 模 型 ゲ ート形 状 は図-6
に 示 され る 。
(III)実 験 及 び 実 験 結 果 実 験 は 徐 々 に,ゲ ー トに 対 して コ ン ク リ ー ト製 ブ ロ ッ ク を載 荷 し て1.5kg∼42.5kgの 範 囲 を 一 様 に 付 加 して ゆ き,そ の 時 の 振 動 数 を 測 定 した 。 図-7は,そ の よ うに して 得 られ た 実 験 結 果 と理 論 値(14)と を 比 較 し て 示 した も の で あ る 。 図 に 見 ら れ る よ うに,Wが 増 大 す る ほ ど,実 際 に 振 動 す る振 動 数 は 碓 か に 減 少 して は い る が,な お か つ 理 論 値f=(1/2π)√gk/Wに は 完 全 に は 一 致 し な い 。 しか し,と も か く実 際 の 振 動 数 は 予 想 通 り1 減 少 の 傾 向 を示 し な が ら振 動 は 持 続 し,こ の こ と か ら,こ こ に 発 生 して い る 振 動 は 自 励 振 動 で あ る こ と が,か な り 明 らか と さ れ た 。 しか しな が ら, こ の 完 全 に は 一 致 しな い 原 因 は,前 節 ま で の 理 論 の み を も っ て し て は 未 だ 明 ら か で な い の で,さ ら 図-5ゲ ー ト懸 垂 装 置 図-6模 型 ゲ ー ト形 状図-7実
際 の振 動 数 と理論 振 動 数 との 比較
に,こ の 原 因 を 研 究 す る た め に 次 節 に 示 す よ う な 解 析 を 行 っ た 。4.理
論値 と一致 しない 原 因 につ い て の 考察 と近 似 計 算
図-8に
示 す よ うに,ゲ ー トの 厚 みLの 中点 を原 点 に と
り,流 れ の方 向 にx軸,鉛
直 下 方 にy軸 を とる 。 また,大
ざ っぱ な近 似 と して ゲ ー ト リップ形 状 を図示 の よ うな 矩 形
と考 えて計 算 を行 う。 ゲ ー ト下 部 を流 れ る水 流に つ い て の
連 続 の 方程 式 は
(15)
と記 さ れ る 。 こ こ に,A:ゲ ー ト下 の 水 流 の 断 面 積,v: ゲ ー ト下 の 流 速,ξ:ゲ ー トの 変 位,B:ゲ ー トの 幅 で あ る 。 ま た,ゲ ー ト下 を 流 れ る 水 流 の 運 動 方 程 式 は,(16)
図-8近 似 計 算 の モ デ ル た だ し,ρ:水 の 密 度,p:ゲ ー ト下 面 に 作 用 す る 圧 力,c:摩 擦 損 失 水 頭 係 数(cv2が 損 失 水 頭 を 表 わ す)で あ る 。 こ こ で,(17)
と置 く。 こ こ に,A0,v0,p0は そ れ ぞ れ 平 衡 状 態 に お け る 断 面 積,流 速,圧 力 で あ り,ま た,ξ, η',〆 は そ れ ぞ れ 平 衡 点 近 傍 の 変 位,流 速,圧 力 の 変 動 量 で あ る。(17)式 を(15)式,(16)式 に 代 入 し,Bξ≪A0,v'≪v0,p'≪p0と 考 え て ξ,v',p'の2次 以 上 の 項 を 無 視 す る と(15)式 及 び(16) 式 よ り,そ れ ぞ れ 次 式 を得 る 。(18)
(19)
た だ し,こ の 場 合 ゲ ー トの 運 動 は,こ こ で は 暫 く の 間 与 え られ た も の で あ る と し,し た が って ξ は 既 知 量 で あ る と 考 え る 。(18)式 を 積 分 す る と(20)
た だ し,a=A0/B:ゲ ー ト開 度,g(t):こ れ か ら定 め る べ き 関 数 で あ る 。(20)式 を(19)式 に 代 入 し て 整 理 す れ ば,次 式 を 得 る 。(21)
上 式 を積 分 して
とな る。2つ の 境 界 条 件x=±L/2でp'=0か ら η(t)及 びg(t)が 決 ま る。 そ の 結 果p'は
