Asymptotic concentration probabilities of MLEs for a oTEF (Statistical Inference and Modelling)

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(1)140 Asymptotic concentration probabilities of MLEs for a oTEF. 筑波大学赤平昌文(Masafumi Akahira) (University of Tsukuba) 1. はじめに. パレート (Pareto) 分布はファイナンス,物理学,水文学,地質学,天文学等の分野でよく用いられ,その性質も研究されていて (Johnson et al. [JKB94], Arnold [Ar15], Vancak et al. [VGBB15]), それを含む片側切断指数型分布族 (one‐sided truncated exponential family of distributions, 略して oTEF) は有用である.いま,切断母数 \gamma と自然母数. \theta. をもつ oTEF. \mathcal{P}. の分布から得られた大きさ. n. の無作. 為標本に基づいて, \gamma を局外母数として \theta の推定問題を考える.従来, \gamma が既知のときの \theta の最尤推定量 (maximum likelihood estimator, 略して MLE) \theta_{ML}^{\gamma} と \gamma が. 未知のときの \theta のMLE \hat{\theta}_{ML} と最大条件付き尤度推定量 (maximum conditional likelihood estimator, 略して MCLE) \hat{\theta}_{MCL} は同じ漸近正規分布をもつことが知られ,その意味ではそれらの推定量は1次の漸近的同等性をもつ (Bar‐Lev [BL84]). しかし,. のときの. \gamma. \theta. が既知のときは,. \gamma. に関する情報はすべて与えられているので,. \gamma. が未知. のMLE \hat{\theta}_{ML},\hat{\theta}_{MCL} は \hat{\theta}_{ML}^{\gam a} より何らかの意味で劣っているはずで,さ. らに漸近的に高次の次数までの解析によって,その差異の解明が望まれた.最近,それらの推定量を偏り補正した後で,それらの確率展開に基づいて2次の漸近分散を. 求めて比較すると \hat{\theta}_{ML} と \hat{\theta}_{MCL} は \hat{\theta}_{ML}^{\gam a} よりは良 \langle ないことが分かった (Akahira [A16], [A17], [A18]). 本稿では,oTEF. \mathcal{P}. において,. \gamma. を局外母数として自然母数. \theta. の推定問題を考え. る.そして \hat{\theta}_{ML} と \hat{\theta}_{ML}^{\gam a} の分布の Edgewort h 展開を用いて,それらの比較をもっと. 精密に真の母数 \theta の周りでの集中確率を3次の次数,すなわち n^{-1} の次数まで漸近的に比較し,その差異の構造を把握する.結果的には,その差異は2次の漸近分散の差の形に帰着され得ることが分かる. 2. 片側切断指数型分布族 \mathcal{P}. まず,. る ) 密度. X_{1}, X_{2} ,. ...,. X_{n} ,. . . . をたがいに独立に,いずれも (Lebesgue 測度に関す. f(x;\theta,\gamma)=\begin{ar ay}{l } a(x)e^{\theta u(x)}/b(\theta, \gamma) (c<\gamma\leq x<d) , 0 （その他） \end{ar ay}. (2.1). をもつ片側切断指数型分布族 ( oTEF) \mathcal{P} の分布に従う確率変数列とする.ただし, -\infty\leq c<d\leq\infty とし, a(\cdot) は非負値で,ほとんど至るところ連続で, u(\cdot) は区間.

(2) 141 141. (\gamma, d) 上で絶対連続で du(x)/dx\not\equiv 0 とする.また, \gamma\in(c, d) について. \Theta(\gamma) :=\{\theta 0<b(\theta, \gamma):=\int_{\gamma}^{d}a(x)e^{\theta u(x)}dx<\infty\} とし,任意の \gamma\in(c, d) について \Theta\equiv \Theta (のは空でない開区間であると仮定する. なお,密度 (2. 1) をもつ oTEF を厳密には下側切断 (lower‐truncated) 指数型分布. 族とも言う.上記の \mathcal{P} について,切断母数 \gamma を局外母数として自然母数 \theta の最尤推定が行われ, \gamma が既知のときの \theta のMLE \theta_{ML}^{\gamma}, \gamma が未知のときの \theta のMLE \hat{\theta}_{ML}. と MCLE \hat{\theta}_{MCL} が同じ漸近正規分布をもつことが示された ([BL84]). 最近,偏り. 補正後にはそれらの2次の漸近分散を比較して, \hat{\theta}_{ML} と \hat{\theta}_{MCL} は同じ2次の漸近分散をもつが, \hat{\theta}_{ML}^{\gam a} の2次の漸近分散より小さ \langle はならないことが示され,その差. 異も具体的に求められた ([A16], [A17], [A18]). 本稿では,上記の設定の下で \gamma を. 局外母数として, \theta の推定量 \hat{\theta}_{ML}^{\gam a} と \hat{\theta}_{ML} の確率展開に基づいて,それらの分布の Edgeworth 展開を求め,それらの集中確率を漸近的に3次の次数,すなわち n^{-1} の次数で比較し,その差異の構造を探る. いま, X=(X_{1}, \ldots, X_{n}) とし,その順序統計量を X_{(1)}\leq\cdots\leq X_{(n)} とする.また, \mathcal{P} において \log b(\theta, \gamma) は \theta の狭義凸関数で, \theta について無限回偏微分可能であり,各 j=1,2 , . . . について. \lambda_{j}(\theta, \gam a):=\frac{\partial^{j} {\partial\theta^{j} \log b(\theta, \gam a) は畷 X_{1}) の j 次のキュムラントになる. 3. においてまず, \gamma \leq \mathcal{P}. \gamma. が既知のときの \theta の MLE の3次の漸近分布 x_{(1)}. :=. \min_{1\leq i\leq n}x_{i},. x=(x_{1}, \ldots, x_{n}) が与えられたとき,. x_{(n)}. :=. <. \max_{1\leq i\leq n^{X_{t}}}. d. となる. \theta の尤度関数は. L^{\gamma}( \theta;x):=\frac{1}{b^{n}(\theta,\gamma)}\{\prod_{i=1}^{n}a(x_{i}) \}\exp\{\theta\sum_{i=1}^{n}u(x_{i})\} になる.ここで,. \gamma. が既知のときには密度 (2.1) をもつ oTEF は正則な指数型分布. 族であることに注意.このとき, \theta の尤度方程式. \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}u(x_{i})-\lambda_{1}(\theta, \gamma)=0 の解は一意的で,それを. \hat{\theta}_{ML}^{\gamma}(x). とすれば,. \theta_{ML}^{\gamma}=\hat{\theta}_{ML}^{\gamma}(X). が. \theta. のMLE になる. (Barndorfff‐Nielsen [BN78], [BL84]). ここで, \lambda_{i}=\lambda_{i}(\theta, \gamma)(i=2,3,4) とし. Z_{1}:= \frac{1}{\sqrt{\lambda_{2}n} \sum_{i=1}^{n}\{u(X_{i})-\lambda_{1}\}, U_ {\gamma}:=\sqrt{\lambda_{2}n}(\hat{\theta}_{ML}^{\gamma}-\theta) とお \langle . このとき,次のことを得る ([A16], [A17])..

(3) 142 定理3.1 片側切断指数型分布族 ( oTEF) \theta_{ML}^{\gamma} について U_{\gamma} の確率展開は. \theta. のMLE. V_{\theta}(U_{\gamma})=1+ \frac{1}{n}(\frac{5\lambda_{3}^{2} {2\lambda_{2}^{3} -\frac{\lambda_{4} {\lambda_{2}^{2} )+O(\frac{1}{n\sqrt{n} )=:1+\frac{1}{n}\tau( \theta, \gamma)+O(\frac{1}{n\sqrt{n} ). (3..1). へ. \mathcal{P}. において,. \gamma. が既知のときの. U_{\gam a}=Z_{1}-\frac{\lambda_{3}{2\lambda_{2}^{3/2}\sqrt{n}Z_{1}^{2}+\frac {1}{2n}(\frac{\lambda_{3}^{2}{\lambda_{2}^{3}-\frac{\lambda_{4}{3\lambda_{2}^ {2})Z_{1}^{3}+ ( \frac{1}{n\sqrt{n} ) ら. である.また, U_{\gamma} の2次の漸近平均,漸近分散はそれぞれ. E_{\theta}(U_{\gamma})=- \frac{\lambda_{3} {2\lambda_{2}^{3/2}\sqrt{n} +O(\frac {1}{n\sqrt{n} )=\cdot\frac{1}{\sqrt{n} \mu(\theta, \gamma)+O(\frac{1}{n\sqrt{n} ) である.. さらに, U_{\gamma} の3次の漸近キュムラント. \kappa_{3,\theta}(U_{\gamma}),. 4. 次の漸近キュムラント. \kappa_{4,\theta}(U_{\gamma}). を求める.. 定理3.2. 定理3.1と同じ設定の下で, U_{\gamma} の3次,4次の漸近キュムラントは,そ. れぞれ. \kap a_{3}(U_{\gamma})=E_{\theta}[\{U_{\gamma}-E_{\theta}(U_{\gamma})\}^{3}]=- \frac{2\lambda_{3} {\lambda_{2}^{3/2}\sqrt{n} +O(\frac{1}{n\sqrt{n} ). =: \frac{1}{\sqrt{n} \beta_{3}(\theta, \gamma)+O(\frac{1}{n\sqrt{n} ) \kap a_{4}(U_{\gamma})=E_{\theta}[\{U_{\gamma}-E_{\theta}(U_{\gamma})\}^{4}]-3 \{V_{\theta}(U_{\gamma})\}^{2}=\frac{1}{n}(\frac{12\lambda_{3}^{2} {\lambda_{2}^ {3} -\frac{3\lambda_{4} {\lambda_{2}^{2} )+O(\frac{1}{n\sqrt{n} ) =: \frac{1}{n}\beta_{4}(\theta, \gamma).+O(\frac{1}{n\sqrt{n} ) (3.2) ,. である.. このとき,定理3. 1, 定理3.2より. \hat{\theta}_{ML}^{\gam a} の分布の Edgeworth 展開は. P_{\theta}\{\sqrt{\lambda_{2}n}(\hat{\theta}_{ML}^{\gamma}-\theta)\leq t\}= P_{\theta}\{U_{\gamma}\leq t\}. = \Phi(t)-\frac{\mu}{\sqrt{n} \phi(t)-\frac{\beta_{3} {6\sqrt{n} (t^{2}-1) \phi(t)-\frac{\beta_{4} {24n}(t^{3}-3t)\phi(t) ‐. ‐. \frac{\beta_{3}^{2} {72n}(t^{5}-10t^{3}+15t)\phi(t)-\frac{1}{2n}(\tau+\mu^{2}) t\phi(t). \frac{\beta_{3}\mu}{6n}t(t^{2}-3)\phi(t)+o(\frac{1}{n}). (narrow\infty). (3.3). になる (Kendall and Stuart [KS69], Bhattacharya and Ghosh [BG78], Akahira. [A81]). ただし, \phi(\cdot), \Phi,(\cdot) をそれぞれ標準正規分布 N(0,1) の密度関数,累積分布関数とし, \mu=\mu(\theta, \gamma), \beta_{i}=\beta_{i}(\theta, \gamma)(i=3,4), \tau=\tau(\theta, \gamma) とする..

(4) 143. 4. \mathcal{P} において \gamma が未知のときの \theta の MLE の3次の漸近分布. まず, \gamma\leq x_{(1)}, x_{(n)}<d となる. x=. 尤度関数は. (x_{1}, . . . , x_{n}) が与えられたとき, (\theta, \gamma) の. L( \theta, \gamma;x)=\frac{1}{b^{n}(\theta,\gamma)}\{\prod_{i=1}^{n}a(x_{i})\} \exp\{\theta\sum_{i=1}^{n}u(x_{i})\}. (4.1). になる.ここで, \theta, \gamma のそれぞれの MLE を \hat{\theta}_{ML},\hat{\gamma}_{ML} とすれば,(4.1) から \hat{\gamma}_{ML}= X_{(1)} になり, L( \hat{\theta}_{ML}, X_{(1)};X)=\sup_{\theta\in\Theta}L(\theta, X_{(1)};X) になるので, \hat{\theta}_{ML} は尤度方. 程式を満たす,すなわち. \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}u(X_{i})-\lambda_{1}(\hat{\theta}_{ML}, X_{(1)} =0 になる.また,. T:=n(X_{(1)}-\gamma) とする.このとき,次のことを得る ([A16], [A17]) .. 定理4.1 片側切断指数型分布族 ( oTEF). \hat{\theta}_{ML}. を. \gamma. が既知のときの \theta のMLE. \hat{\theta}_{ML}^{\gam a}. \mathcal{P}. において,. \gamma. が未知のときの. \theta. のMLE. と同じ2次の漸近的偏りをもつように補正. した MLE を. \hat{\theta}_{ML}*:=\hat{\theta}_{ML}+\frac{1}{k(\hat{\theta}_{ML},X_{(1)} \lambda_{2}(\hat{\theta}_{ML},X_{(1)} n}\{\frac{\partial\lambda_{1} {\partial\gamma} (\hat{\theta}_{ML}, X({\imath}) \}, とする.ただし, k(\theta, \gamma) :=a(\gamma)e^{\theta u(\gamma)}/b(\theta, \gamma) とする.このとき, \hat{U}^{*} \sqrt{\lambda_{2}n}(\hat{\theta}_{ML}. -\theta) の確率展開は. :=. \^{U}\bul et=Z_{1}-\frac{\lambda_{3} {2\lambda_{2}^{3/2}\sqrt{n} Z_{ \imath} ^ {2}-\frac{1}{\sqrt{\lambda_{2}n} (\frac{\partial\ ambda_{1} {\partial\gam a})(T- \frac{1}{k})+\frac{\delta}{\lambda_{2}n}Z_{1}(T-\frac{1}{k}). +\frac{1}{2n}(\frac{\lambda_{3}^{2} {\lambda_{2}^{3} -\frac{\lambda_{4} {3\lambda_{2}^{2} )Z_{1}^{3}-\frac{1}{k^{2}\lambda_{2}n (\frac{\partialk} {\partial\theta})(\frac{\partial\ambda_{1} {\partial\gam a})Z_{1}+O_{p} (\frac{1}{n\sqrt{n} ). である.ただし, k=k(\theta, \gamma) ,. \delta:=\frac{\lambda_{3}{\lambda_{2}(\frac{\parti l\ambda_{1} {\parti l\gam a})-\frac{\parti l\ambda_{2}{\parti l\gam a} とする.. さて,. \hat{\theta}_{ML^{*}. の3次の漸近分布を求めるために. P_{\theta,\gamma}\{\sqrt{\lambda_{2}n}(\hat{\theta}_{ML}\cdot-\theta)\leq t\}= P_{\theta,\gamma}\{\hat{U}^{*}\leq t\}=E_{\theta,\gamma}[P_{\theta,\gamma}\{\hat {U}^{*}\leq t|T\}]. (4.2). とする.いま,(2.1) より, (X_{(2)}, \ldots, X_{(n)}) の (n-1)! 個の置換の確率置換 (Y_{2}, \ldots, Y_{n}) が存在し, X_{(1)}=x_{(1)} が与えられたとき, Y_{2} , . . . , 瑞がたがいに独立.

(5) 144 に,いずれも密度. g(y;\theta,x_{(1)} =\{ begin{ar ay}{l} \frac{a(y)e^{\thetau(y)} {b(\theta,x_{(1)} (x_{(1)}\leqy<d), 0 （その他） \end{ar ay}. (4.3). をもつ分布に従う確率変数になる (Quesenberry [Q75], [BL84]). ここで,(4.3) は正則な指数型分布族の密度であるから,. T. を与えたとき \hat{U}^{*} の条件付分布は. Edgeworth 展開可能になる.そこで,定理4. 1より \hat{U}^{*} の漸近条件付平均,漸近条件付分散,3次,4次の漸近条件付キュムラントを求める.. 定理4.2 定理4.1と同じ設定の下で, \hat{U}^{*} の漸近条件付平均,漸近条件付分散,3 次,4次の漸近条件付キュムラントは. E_{\theta,\gamma}( \hat{U}^{*}|T)=-\frac{\lambda_{3} {2\lambda_{2}^{3/2} \sqrt{n} +O_{p}(\frac{1}{n\sqrt{n} )=\frac{1}{\sqrt{n} \mu(\theta, \gamma)+O_{p} (\frac{1}{n\sqrt{n} ). ,. V_{\theta,\gam a}(\hat{U}^{*}|T)=1+\frac{1}{n}(\frac{5\lambda_{3}^{2} {2\lambda_{2}^{3} -\frac{\lambda_{4} {\lambda_{2}^{2} )+\frac{k\xi^{2} {\lambda_ {2}n \frac{k}{n}(T-\frac{1}{k})+O_{p}(\frac{1}{n\sqrt{n} ) =:1+ \frac{1}{n}\tau_{T}^{*}(\theta, \gamma)+O_{P}(\frac{1}{n\sqrt{n} ) , ( |T)=E_{\theta,\gamma}[\{\hat{U}^{*}-E_{\theta,\gamma}(\hat{U}^{*}|T)\}^{3}|T] =- \frac{2\lambda_{3} {\lambda_{2}^{3/2}\sqrt{n} +O_{p}(\frac{1}{n\sqrt{n} )= \frac{1}{\sqrt{n} \beta_{3}(\theta, \gamma)+ ら ( \frac{1}{n\sqrt{n} ) , \kap a_{4,\theta,\gamma}(\hat{U}^{*}|T)=E_{\theta,\gamma}[\{\hat{U}^{*}- E_{\theta,\gamma}(\hat{U}^{*}|T)\}^{4}|T]-3\{V_{\theta,\gamma}(\hat{U}^{*}|T)\}^ {2} 丁ー. \kappa_{3,\theta,\gamma}. (4.4). Û. =\frac{1}{n}[\frac{12\lambda_{3}^{2} {\lambda_{2}^{3} -\frac{3\lambda_{4} {\lambda_{2}^{2} +\frac{6}{\lambda_{2} \{2(k\lambda_{2}+\delta)-2k\xi^{2}+ \frac{4k\xi\lambda_{3} {\lambda_{2} \}(T-\frac{1}{k})] + O_{p}(\frac{1}{n\sqrt{n} ) =: \frac{1}{n}\beta_{4,T}(\theta, \gamma)+O_{p}(\frac{1}{n\sqrt{n} ). (4.5). である.ただし, \xi=u(\gamma)-\lambda_{1} とする.. 注意4.1 \hat{U}^{*} の漸近条件付分散と4次の漸近条件付キュムラントの 1/n の次数の項は T に依存し,漸近条件付平均と3次の漸近条件付キュムラントの 1/\sqrt{n} の次数の項は U_{\gamma} の漸近平均,3次の漸近キュムラントのそれらと一致する.. 定理4. 1, 定理4.2より. \hat{\theta}_{ML}^{*}. の条件付分布の Edgeworth 展開は. P_{\theta,\gamma}\{\sqrt{\lambda_{2}n}(\hat{\theta}_{ML^{*} -\theta)\leq t|T\}= P_{\theta,\gamma}\{\hat{U}^{*}\leq t|T\}. = \Phi(t)-\frac{\mu}{\sqrt{n} \phi(t)-\frac{\beta_{3} {6\sqrt{n} (t^{2}-1) \phi(t)-\frac{\beta_{4,T} {24n}(t^{3}-3t)\phi(t).

(6) 145 ‐. ‐. \frac{\beta_{3}^{2} {72n}(t^{5}-10t^{3}+15t)\phi(t)-\frac{1}{2n}(\tau_{T}^{*}+ \mu^{2})t\phi(t). \frac{\beta_{3}\mu}{6n}t(t^{2}-3)\phi(t)+o(\frac{1}{n}). (narrow\infty). (4.6). になる.また. E_{\theta,\gamma}(T)= \frac{1}{k}+O(\frac{1}{n}) , E_{\theta,\gamma}(T^{2})= \frac{2}{k^{2} +O(\frac{1}{n}) であるから ([A16] , [A17]), (3.1), (3.2), (4.4), (4.5) より. E_{\theta,\gam a}(\tau_{T}^{*})=\frac{5\lambda_{3}^{2} {2\lambda_{2}^{3} - \frac{\lambda_{4} {\lambda_{2}^{2} +\frac{\xi^{2} {\lambda_{2} +O(\frac{1}{n})= \tau+\frac{\xi^{2} {\lambda_{2} +O(\frac{1}{n}) E_{\theta,\gamma}(\beta_{4,T})=\frac{12\lambda_{3}^{2} {\lambda_{2}^{3} -\frac {3\lambda_{4} {\lambda_{2}^{2} +O(\frac{1}{n})=\beta_{4}+O(\frac{1}{n}). ,. となるので. E_{\theta,\gamma}[V_{\theta,\gamma}( \hat{U}^{*}|T)]=1+\frac{\tau}{n}+ \frac{\xi^{2} {\lambda_{2}n}+O(\frac{1}{n\sqrt{n} ) E_{\theta,\gamma}[ \kap a_{4,\theta,\gamma} (\^{U}* |T)]=\frac{\beta_{4} {n}+O( \frac{1}{n\sqrt{n} ) となるから,. ,. (4.2), (4.6) より. P_{\theta,\gamma}\{\sqrt{\lambda_{2}n}(\hat{\theta}_{ML}\cdot-\theta)\leq t\}. = \Phi(t)-\frac{\mu}{\sqrt{n} \phi(t)-\frac{\beta_{3} {6\sqrt{n} (t^{2}-1) \phi(t)-\frac{\beta_{4} {24}(t^{3}-3t)\phi(t). \frac{\beta_{3}^{2} {72n}(t^{5}-10t^{3}+15t)\phi(t)-\frac{1}{2n}(\tau+ \frac{\xi^{2} {\lambda_{2} +\mu^{2})t\phi(t) - \frac{\beta_{3}\mu}{6n}t(t^{2}-3)\phi(t)+o(\frac{1}{n}). ‐. (4.7). となる.ここで, \hat{\theta}_{ML}^{\gam a} と \hat{\theta}_{ML^{*} の分布の Edgeworth 展開 (3.3), (4.7) を比較すると t\phi(t) の係数のみが異なっていることに注意. へ. 5. へ. \theta_{ML}^{\gamma}, \theta_{ML^{*}} の集中確率による漸近的比較前節で得られた推定量 \hat{\theta}_{ML}^{\gamma},\hat{\theta}_{ML^{*} の分布の Edgeworth 展開 (3.3), (4.7) から,. \hat{U}_{\gamma}=\sqrt{\lambda_{2}n}(\hat{\theta}_{ML}^{\gamma}-\theta),\hat{U} ^{*}=\sqrt{\lambda_{2}n}(\hat{\theta}_{ML}\cdot-\theta). 母数. \theta. に留意して,それらの推定量の真のの周りでの集中確率の漸近的な差を求めると,任意の非負の数 c_{1}, c_{2} について. 2n[P_{\theta}\{-c_{1}\leq\hat{U}_{\gamma}\leq c_{2}\}-P_{\theta,\gamma}\{-c_{1} \leq\hat{U}^{*}\leq c_{2}\}]. = \frac{\xi^{2} {\lambda_{2} \{c_{2}\phi(c_{2})+c_{1}\phi(c_{1})\}+0(1) (narrow \infty). (5.1).

(7) 146 とな \mathfrak{h} ,. また島. \{-c_{1}\leq\hat{U}_{\gamma}\leq c_{2}\}\geq P_{\theta,\gamma}\{-c_{1}\leq\hat {U}^{*}\leq c_{2}\}+0(\frac{1}{n}). となる.従来,. \hat{\theta}_{ML}^{\gam a}. に対する. \theta_{ML^{*}\ovalbox{\t\smal REJ CT}. (narrow\infty). の2次の漸近損失が. d_{n}(\hat{\theta}_{ML}*,\hat{\theta}_{ML}^{\gamma}) :=n\{V_{\theta,\gamma} (\hat{U}^{*})-V_{\theta}(U_{\gamma})\}=\frac{\xi^{2} {\lambda_{2} +o(1) (nar ow\infty) となることは分か \vee\supset ているので ([A16] , [A17]), (5.1) から \theta_{ML^{*}} に対する \hat{\theta}_{ML}^{\gam a} の集中確率の増加量も n^{-1} の次数において \xi^{2}/\lambda_{2} に比例していることが分かる.こ. \xi^{2}/\lambda_{2}. u(X_{1}) の分散 \lambda_{2}=V_{\theta.\gamma}(u(X_{1}))=E_{\theta,\gamma}[\{u(X_{1})- \lambda_{1}\}^{2}] に対する X_{1}=\gamma での u(X_{1}) の値畷 \gamma ) から \lambda_{1} までの距離の比として表現されている.よっこで,. は. て,集中確率の観点からも \gamma が未知のときの \theta の補正 MLE \hat{\theta}_{ML^{*} による推定において, \gamma の代わりに \gamma のMLE を用いる影響が \xi^{2}/\lambda_{2} の比例式で表現される. 6. おわりに. 本稿では,片側切断指数型分布族 \mathcal{P} において, \gamma が下側切断母数の場合に自然母数 \theta のMLE について論じたが, \theta のMCLE についても同様に論じることができ, また, \gamma が上側切断母数の場合にも変換によって下側切断母数の場合に帰着できる. さらに,切断パレート分布を含む2つの切断母数と自然母数をもっ両側切断指数型分布族の場合にも拡張できる.一方, \theta と \gamma の立場を変えて, \theta を局外母数として, \gamma の推定問題について,漸近分散による2次の漸近損失が考えられているが ([A17]) , ここでも集中確率の観点から上記と同様に考察できるであろう. 参考文献. [A81] Akahira, M . (1981). On asymptotic deficiency of estimators. Austral. J. Statist., 23(1), 67‐72. [A16] Akahira, M . (2016). Second order asymptotic comparison of the MLE and MCLE of a natural parameter for a truncated exponential family of distributions. Ann. Inst. Statist. Math., 68, 469‐490.. [A17] Akahira,. M.. (2017). Statistical Estimation For Truncated Exponential. Families. Springer Briefs in Statistics, JSS Research Series in Statistics, Springer, Singapore.. [A18] 赤平昌文 (2018). 統計的推測理論の深化と進展のヒストリー.日本統計学会誌,47(2), 51‐76. [Ar15] Arnold, B. C. (2015). Pareto Distributions. 2nd ed., CRC Press, Boca Raton.. [BL84] Bar‐Lev, S.. K.. (1984). Large sample properties of the MLE and MCLE. for the natural parameter of a truncated exponential family. Ann. Inst. Statist. Math., 36, Part A, 217‐222..

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