- 数学 1 -
第２学年Ｃ組 数学科学習指導案
指導者 東樹 靖範（Ｔ１） 土屋 博之（Ｔ２） １ 単元名 連立方程式 ２ 単元について （１）単元観 本単元は，中学校学習指導要領の中で「数と式」の領域に位置づけられており，二元一次方程式 とその解の意味や二元一次方程式を連立させることの必要性と意味及び連立二元一次方程式の解の 意味を理解し，解を求めることができるようにするとともに，具体的な場面で連立二元一次方程式 を活用する能力を育てることをねらいとしている。この学習を通して，代数的な操作のよさを理解 するとともに，数と式，方程式に対しての概念や性質の理解をいっそう深めていくことになる。 中学１年次では，文字を使った計算や式の値を求めること，等式の性質や移項の考え方を用いた 方程式の解き方を学習している。中学２年次ではこれまで，２つの文字を含んだ式の加減や等式の 変形について学習をしており，連立方程式の考え方の基本となっている。そして，本単元は次章の 一次関数や３年次の二次方程式を学習する上での基礎となり，とても大切な内容と考える。 ＜単元の系統図＞ 【中学校第 1 学年】 【中学校第 2 学年】 【中学校第 3 学年】 （２）生徒の実態（男子 19 名，女子 16 名，計 35 名） 本単元を学習するにあたり，本対象生徒に前提学力や事前学力，数学の授業に関する調査を実施 した。結果は以下の通りである。 ・正の数・負の数 ・正の数・負の数の計算 ・文字を使った式 ・文字式の計算 ・方程式 ・方程式の利用 ・式の計算 ・文字式の利用 ・連立方程式とその解き方 ・連立方程式の利用 ・関数 ・比例 ・反比例 ・比例・反比例の利用 ・一次関数 ・一次関数と方程式 ・一次関数の利用 ・平方根 ・根号をふくむ式の計算 ・多項式の計算 ・因数分解 ・式の計算の利用 ・二次方程式とその解き方 ・二次方程式の利用 ・関数y=ax2 ・いろいろな関数の利用- 数学 2 - ≪実態調査①≫ 通過率 （5 月 19 日実施 ２年Ｃ組 N＝３３） 問 題 通過率 誤 答 例 前 提 学 力 (1) －５－３ 97.0％ －７ (2) －５ｙ－２ｙ 69.7％ －７ｙ２，７ｙ，10ｙ (3) －３ｘ＋５ｙ ＋） ３ｘ－７ｙ 93.9％ 13ｙ，－6ｘ－2ｙ (4) ４ｘ＋ｙ －）－２ｘ＋ｙ 69.7％ 2ｘ＋2ｙ，－2ｘ＋2ｙ，2ｘ＋ｙ，6ｘｙ，4ｘｙ (5) a＝－5 のとき， 4－3a の値 72.7％ －11，－60 無回答４ (6) x＝3，y＝－2 のとき， 5x－4y の値 75.8％ 23xy，15x＋8y，6 無回答１ (7) 方程式 －3ｘ＝18 81.8％ ６，21 無回答３ (8) 方程式 7ｘ－4＝－18 78.8％ ２，－21 無回答５ 事 前 学 力 (9) 方程式 2ｘ＋3ｙ＝8 2ｘ＋ ｙ＝4 ① この方程式の名前 ② この方程式の解 ③ この方程式に興味があるか ① 正答 30.3％ 誤答 15.2％ 無回答 54.5％ ② 正答 33.3％ 誤答 18.2％ 無回答 48.5％ ③ 興味がある 54.5％ 興味がない 39.4％ 無回答 6.1％ ≪実態調査②≫ 情意面の調査 （5 月 19 日実施 ２年Ｃ組 N＝３３） とてもあてはまる ややあてはまる あまりあてはまらない 全くあてはまらない Q1，数学の内容に興味をもって授業に 取り組んでいる。 １１ １５ ４ ３ Q2，数学の授業では，学習問題(○学) を解決するために，「これまで習っ て(わかって)いる内容を利用でき ないだろうか」と考えている。 １１ １５ ５ ２ Q3，数学の授業では，これまで習った ことを生かし，図や表，式などを使 い な が ら 自 ら す す ん で 学 習 問 題 (○学)を解決しようとしている。 ９ １４ ８ ２ Q4，数学の授業では,気づいたことや わかったことを発表したり，級友に 伝えたりしようと思っている。 ９ １５ ３ ６ Q5，数学の授業では，まとめ(○ま)を生 かして練習問題に取り組んでいる。 １４ １０ ８ １ Q6，数学の授業が終わった後，その日 に学んだことや理解したことを次 の授業に生かそうと考えている。 ６ １９ ５ ３ 生徒はこれまで，正負の数や文字式の計算，方程式について学習してきている。実態調査①(1)よ り，代数和による計算の通過率は良いが，(2)のように文字をふくむ計算になると，乗法と混同して 回答する生徒が見られる。また，縦書きによる式の計算では，(4)の減法で正しく計算できない生徒
- 数学 3 - が見られた。そして, (5)～(8)では式の値を求めたり方程式を解いたりすることができず,無回答に なってしまう生徒もいる。このことから,本単元を学ぶにあたって必要となる文字式の計算や式の値， 方程式を解くことがしっかり定着していない生徒が多いことがわかる。 連立方程式については，調査日の時点でまだ出会ったことがない方程式であったが，実態調査① (9)より半数以上の生徒が連立方程式に興味を示していることがわかる。また，実態調査②から，こ れまでの数学の授業に対して意欲的に取り組んでいる生徒が多いことがわかる。一方で，授業での 問題解決に消極的な生徒も少なくない。このような生徒は，実態調査①の通過率も思わしくない。 このことから，どの生徒でも数学の学習内容に楽しさを感じながら，主体的に連立方程式の学習に 取り組むための授業の工夫が必要であると考える。 ＜座席表＞
12 M.K 1 A.Y 20 O.R 4 I.K 22 K.Y 23 O.S 27 I.K 26 H.T 3 I.S 35 H,Y 11 K.H * 19 N.H 33 T.H 18 U.R 24 S.G 25 S.R 17 C.Y
8 T.M 30 M.I 13 H.T 7 Y.M 29 I.R 16 N.Y 15 H.Y 2 I.S 10 N.A 14 T.R 31 H.M 21 A.T 36 I.Y 34 S.G 6 T.Y 9 H.A 28 T.H 32 O.N
*は特別支援学級在籍の生徒の席 （３）指導観 今年度の本校の研究主題は「一人ひとりのよさを認め合える生徒の育成～わかる授業の実践と人 権教育の充実～」である。また，本校数学科では「課題解決のための時間を確保するとともに，学 習形態を工夫することでわかる授業を目指す」を努力点としている。先の実態調査より，授業での 問題解決に消極的な生徒がいることがわかった。これは，授業で指示される活動内容が理解できな かったり，計算の基礎でつまずいていたりするからだと推測する。そこで，そのような生徒に対し て，個に応じてきめ細やかな指導が必要であると考え，ティーム・ティーチング(T.T)による指導形 態をとる。 また，生徒が連立方程式の必要性を理解し，具体的な場面で活用できるようにするために，身近 なものを題材に導入しながら，生徒が既習内容を生かして主体的に問題解決できるような授業を目 指す。その際，気づいたことをノートに記録したり，ペア及び小グループで伝え合ったり，挙手し て発表したりするなど，生徒の活動意欲をお互いに認め合い，クラス全員で問題解決した達成感を 味わえるような指導を心がけることで，研究主題に迫っていきたい。 なお，連立方程式の解き方について，今回は加減法から扱うことにした。これは，生徒の実態に 基づいて考えたとき，中学校第２学年で縦書きの式の加減について既習の上，文字を消去した後の 方程式が代入法より簡単な式の形になることから，生徒にとって計算しやすく，連立方程式を解く ことがより楽しく感じることができるのではないかと考えたからである。 教卓
- 数学 4 - ３ 単元の目標 (1) 連立方程式の特徴やよさに気づき，問題解決に連立方程式を進んで活用しようとする。 （関心・意欲・態度） (2) 連立方程式の解き方やそのアイデアを発見することができる。また，問題解決の場面で数量の関 係を整理し，連立方程式をつくることができる。（数学的な見方や考え方） (3) 連立方程式を代入法や加減法を使って解くことができる。(数学的な技能) (4) 連立方程式に関する用語・記号についての意味や，連立方程式を解く手順や問題解決までの手順 を理解する。 (知識・理解) ４ 指導計画 １４時間扱い（本時３／１４） 節・項 時 配 目標 学習活動 評価基準 ２章 連立方程式 １節 連立方程式 とその解き方 １ 連立方程式と その解 １ 連立方程式の必要性 を理解する。 ・3 点シュートと 2 点シュートの本数 について考える。 ○求めたい数量が 2 つある問題を解決することに関心をもち，既習 の内容を活用して考えようとしている。（関） ○求めたい数量が 2 つある問題を，既習の内容を活用して考えるこ とができる。（見） １ 2 元 1 次方程式とそ の 解 , 連 立 方 程 式と その解の意味を理解 する。 ・2 元１次方程式とそ の解の意味を知る。 ・連立方程式とその 解の意味を知る。 ○連立方程式とその解に関心をもち，連立方程式の解を求めようと している。（関） ○2 元 1 次方程式や連立方程式の解を求めることができる。（技） ○2 元１次方程式とその解, 連立方程式とその解の意味を理解して いる。（知） ２ 連立方程式の 解き方 １ （ 本 時 ） 連立方程式は，1 つの 文 字 を 消 去 し て ,一 次方程式にすれば解 け る こ と を 理 解 す る。 ・具体的な問題で，2 つの式を比べて 1 つ の 文 字 を 消 去 す る 方法を考える。 ・文字の係数の絶対 値 が 等 し い 場 合 の 連立方程式を解く。 ○連立方程式を解くことに関心をもち，1 つの文字を消去して一次 方程式にして解こうとしている。（関） ○具体的な問題で，2 つの式を比べて 1 つの文字を消去する方法を 考えることができる。（見） ○連立方程式は，1 つの文字を消去して一次方程式にすれば解ける ことを理解している。（知） １ 加減法を理解し，そ れを用いて連立方程 式を解くことができ る。 ・文字の係数の絶対 値が等しくない場 合の連立方程式を 解く。 ○加減法を使って連立方程式を解こうとしている。（関） ○文字の係数の絶対値が等しくない場合の連立方程式で，1 つの文 字を消去する方法を考えることができる。（見） ○連立方程式を，加減法を用いて解くことができる。（技） １ 代入法を理解し，そ れを用いて連立方程 式を解くことができ る。 ・具体的な問題で， 一方の式を他方の 式に代入し，文字 を消去する方法を 考える。 ○代入法を使って連立方程式を解こうとしている。（関） ○具体的な問題で，一方の式を他方の式に代入し，文字を消去する 方法を考えることができる。（見） ○連立方程式を，代入法を用いて解くことができる。（技） １ かっこをふくむ連立 方程式や，係数に小 数や分数をふくむ連 立方程式を解くこと ができる。 ・かっこをふくむ連 立方程式を解く。 ・係数に小数や分数 をふくむ連立方程 式を解く。 ○かっこや係数に小数や分数をふくむ連立方程式を解こうとして いる。（関） ○かっこや係数に小数や分数をふくむ連立方程式を解くことがで きる。（技） ○かっこや係数に小数や分数をふくむ連立方程式の解き方を理解 している。（知）
- 数学 5 - １ A＝B＝C の形をした 連立方程式を解くこ とができる。また， 係数に文字をふくむ 連 立 方 程 式 に つ い て，その文字の値を 求 め る こ と が で き る。 ・A＝B＝C の形をし た連立方程式を解 く。 ・係数に文字をふく む連立方程式に解 を代入して，その 文 字 の 値 を 求 め る。 ○A＝B＝C の形をした連立方程式を解こうとしている。（関） ○A＝B＝Cの形をした連立方程式で，2 つの方程式をつくる方法を 考えることができる。（見） ○A＝B＝Cの形をした連立方程式を解くことができる。（技） １ いろいろな連立方程 式を解くことができ る。 ・連立方程式を適当 な方法で解く。 ○連立方程式を解くことに関心をもち，連立方程式を解こうとして いる。（関） ○いろいろな連立方程式を解くことができる。（技） ２節 連立方程式 の利用 １ 連立方程式の 利用 ５ 連立方程式を利用し て , い ろ い ろ な 問題 を解決することがで きる。 ・連立方程式を使っ て文章題を解く手 順を確認する。 ・個数と代金,速さ・ 時間・道のり,割合 に関する問題を連 立方程式を利用し て解決する。 ○具体的な事象を連立方程式でとらえることに関心をもち，連立方 程式を問題の解決に利用しようとしている。（関） ○具体的な問題のなかから数量の間の関係を見いだし，連立方程式 をつくることができる。（見） ○求めた解が問題に適しているかどうかを，問題の場面に戻って考 えることができる。（見） ○連立方程式を利用して問題を解決するときの手順を理解してい る。（知） 問題 １ ５ 本時の指導 （１）目標 ・連立方程式を解くことに関心をもち，1 つの文字を消去して一次方程式にして解こうとしている。 （関心・意欲・態度） ・具体的な問題で，2 つの式を比べて 1 つの文字を消去する方法を考えることができる。 （数学的な見方や考え方） ・連立方程式は,1 つの文字を消去して一次方程式にすれば解けることを理解している。 (知識・理解) （２）授業観 本時では，数当てクイズとして，生徒が２数の和と差をヒントに２数を当てる活動を行う。この 活動を通して，二元一次方程式や連立方程式とその解の意味について復習するとともに，和と差を 表す２つの等式にある数に注目することで，加減法の考え方を見通すための一助としたい。そして， これを連立方程式で考えたとき，上の式と下の式をたしたりひいたりすることで，どちらか 1 つの 文字が消去され，一次方程式になって解けるようになっていることを発見させたい。また，文字の 係数の絶対値が等しい他の連立方程式でも，同じ考え方でどちらかの文字を消去することができ， 一次方程式として解くことができることに気づかせたい。このことにより，生徒は文字の係数の絶 対値に注目すれば連立方程式が解けることを理解できるであろうと考える。 （３）展開 時配 学習内容と学習活動 指導・支援 ※主発問 ○評価(方法) 資料等
- 数学 6 - ８ ２ ５ 20 【見出す】 １ 素材（学習課題）をつかむ。 ・和が８，差が２ ・和が 13，差が５ ・和が 39，差が 11 ・和が
2
1
，差が6
1
では？ ・和が－216 ，差が 438 では？ ２ 学習問題を設定する。 【調べる】 ３ 「数あてクイズ」の答えを等式に表す ことで，問題解決の見通しを立てる。 ５＋３＝８ ９＋４＝13 25＋14＝39 ５－３＝２ ９－４＝５ 25－14＝11 ①たす 5+5＝8+2 9+9＝13+5 25+25＝39+11 ②ひく 3+3＝8-2 4+4＝13-5 14+14＝39-11 ③式の変形 8-3＝2+3 13-4＝5+4 39-14＝11+14 【深める】 ４ 全体でそれぞれの気づきを比較・検討 する。
2
8
y
x
y
x
5
13
y
x
y
x
11
39
y
x
y
x
・「数あてクイズ」として，生徒に学習課題を提示 する。 ・「数あてクイズ」を時間を決めて自力解決させる。 早く解決できた生徒には，２数をどのように発見 したかプリントに書いておくように伝える。 ・T1，T2 ともに生徒の活動を支援する。 ・生徒に発見の仕方を発表させる。 ・和を分解した考えを表に表し，二元一次方程式と その解について想起させる。 ・２数を x,y としてそれぞれ二元一次方程式をつく り，連立方程式とその解についても復習する。 ・連立方程式の解がクイズの答えになることを確認 する。 ・２数の和や差が分数であったり，負の数が入った り，２桁や３桁となったりすると２数が発見しづ らくなることを生徒と共有する。そして，連立方 程式を使って簡単に発見できる方法がないか考え ていくことを学習問題にしていく。 ・ノートに書かせる。 ※３題に共通して言えることは何だろうか。 ・はじめは「数あてクイズ」の答えを基に，黒板に それぞれの等式を書いていき，２つの等式にある 具体的数値の関係に注目させる。 ・自力解決させ，気づいたことはノートに書くよう に指示をする。 ・T1 は机間指導によって生徒の気づきを確認する。 T2 は，手が止まっている生徒に式の見方などを支 援していく。 ・生徒の自力解決の状況を判断し，近くの生徒と話 し合う時間を設ける。 ・生徒の考えを発表させる。その際，気づきの内容 が共有できるよう，発表の聴き方にも言及する。 ・T1 は，それぞれの気づきに対し，黒板に書いて ある等式を使って確認する。 学習課題 の掲示物 ２つの数があります。 ２つの数をたすと， になります。 ２つの数の大きい方から小さい方をひくと， に なります。 ２つの数は何と何でしょう。 連立方程式を解く方法を考えよう- 数学 7 - ３
①たす
2x ＝10 2x ＝18 2x ＝50 x ＝5 x ＝9 x ＝25 5＋y＝8 9＋y＝13 25＋y＝39 y＝3 y＝4 y＝14
②ひく
2y＝6 2y＝8 2y＝28 y＝3 y＝4 y＝14 x＋3＝8 x＋4＝13 x＋14＝39 x＝5 x＝9 x＝25 x＝5,y＝3 x＝9,y＝4 x＝25,y＝14
6
1
2
1
y
x
y
x
438
216
y
x
y
x
6
1
,
3
1
y
x
x
111
,
y
327
Ａ
12
2
5
4
2
3
y
x
y
x
Ｂ
2
2
3
14
5
3
y
x
y
x
【まとめあげる】 ５ 本時の学習のまとめをする。 ※これらの気づきを連立方程式でみるとどうだろ うか。 ・最初の課題で表した連立方程式で，生徒の気づき がどうなっているか確認する。 ・上の式と下の式をたす，もしくはひくことで，ど ちらかの文字が消去されていることや，一次方程 式になって解けるようになることを確認する。 ただし，ひくことが気づきで出ていない場合は， ここでは触れないでおく。 ・消去された文字の値は，どちらかの式に分かった 文字の値を代入すればよいことを確認する。 ・代入法につながる気づきが出ている場合は，別の 時間で扱うことを伝える。 ・学習問題を設定する前に出題した，分数や負の数 をふくむクイズを問題解決させる。その際，T2 は 手が止まっている生徒の問題解決の支援をする。 ※他の連立方程式ではどうだろうか。 ・Ａについて，解き方を自力で判断する時間を設け た後，近くの生徒と解き方の話し合いをさせる。 ・ＢについてもＡと同様に行う。ただし，先の気づ きでひくことが出なかった場合は、ここで文字を 消去する方法を検討する時間を設ける。 ・Ａ,Ｂともに，一次方程式にするところまで導く。 ・文字の係数の絶対値が１以外で等しい連立方程式 でも，上の式と下の式をたしたりひいたりするこ とで，いずれかの文字を消去して一次方程式にし， 解けることを確認する。 ・「消去する」の用語を紹介する。 ○具体的な問題で，2 つの式を比べて 1 つの文字を消 去する方法を考えることができたか。 （数学的な見方や考え方/観察・ノート） ・ノートに書かせる。 ○連立方程式は，1 つの文字を消去して一次方程式に すれば解けることを理解できたか。 (知識・理解/観察・ノート) ２つの文字のうち，いずれかの文字を消去し，一次方程式の形にすれば連立方程式が 解ける。- 数学 8 - 10 ２ ６ 適用問題に取り組む。 ７ 本時の振り返りをする。 ・数学学習カードの記入をする ・次時の予告をする ・Ａ,Ｂの連立方程式の解を求めさせる。 ・机間指導により，できている生徒には丸付けをし ていく。また，生徒の解き方を把握し，それぞれ 指名して黒板に書いてもらう（T1,T2）。 ・早く解けた生徒には，教科書の問題を進めるよう に伝える(T1)。逆に，問題が解けていない生徒に 対しては個別指導をする(T2)。 ○連立方程式を解くことに関心をもち，1 つの文字 を消去して一次方程式にして解こうとしている か。（関心・意欲・態度/観察・ノート） （４）板書計画 6/13 ○学 例 ３ｘ－2ｙ＝4 3ｘ＋5ｙ＝14 →十の位 5ｘ＋2ｙ＝12 3ｘ＋2ｙ＝2 5＋3＝8 9＋4＝13 25＋14＝39 ３ｘ－2ｙ＝4 3ｘ＋5ｙ＝14 5－3＝2 9－4＝5 25－14＝11 ＋)5ｘ＋2ｙ＝12 －) 3ｘ＋2ｙ＝2 ・ ・ ｘ＋ｙ＝8 ｘ＋ｙ＝13 ｘ＋ｙ＝39 ・ ・ ｘ＋ｙ＝８ ｘ 3 4 5 … ｘ－ｙ＝2 ｘ－ｙ＝5 ｘ－ｙ＝11 ・ ・ ｙ 5 4 3 … ｘ－ｙ＝２ ｘ 3 4 5 … ｙ 1 2 3 … ○ま ・分数や負の数 ・・・発見しづらい ２つの文字のうち，いずれかの文字を消去し，一次方程式の形に すれば連立方程式が解ける。 ２つの数があります。 ２つの数をたすと， になります。 ２つの数を大きい方から小さい方 でひくと， になります。 ２つの数は何と何でしょう。 連立方程式を解く方法を考えよう
