随伴関手定理

随伴関手定理

alg-d

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2021 年 6 月 15 日

左随伴関手は余極限と交換するのであった．では逆に，余極限と交換する関手は左随伴 になるのだろうか? ある条件の下であればこれが成り立つ，という定理が随伴関手定理で ある．これを理解する上で重要なのが「随伴はKan拡張である」という事実(定理2)で ある．

定義. F: C →D，E: C →U を関手として左Kan拡張F^†E が存在するとする．F^†E が任意の関手H: U →V と交換するとき，F^†E は絶対左Kan拡張であるという．

定義から明らかに次が成り立つ．

命題 1. F: C →D，E: C →U，L: D →U を関手，η: E ⇒L◦F を自然変換とする．

D

C^η =⇒ U

F

E L

このとき⟨L, η⟩^がF に沿ったE の絶対左Kan拡張である

⇐⇒^任意の圏V ^と関手K: D → V^，H: U → V^{，自然変換}θ: HE ⇒ KF ^{に対して，}

ある自然変換τ: HL⇒K が一意に存在して，次の等式が成り立つ．

D V

C U

F

E K

H

⇒= L η ^τ =⇒

=

D V

C U

F

E K

⇒= H θ

定理 2. F: C →Dを関手とするとき以下の条件は同値である．

(1) F は右随伴を持つ．

(2) F に沿ったid_C の絶対左Kan拡張⟨F^†id_C, η⟩^{が存在する．}

(3) F に沿ったid_C の左Kan拡張⟨F^†id_C, η⟩^{が存在し，}F が左Kan拡張F^†id_C と交 換する．

D

C C D

η =⇒

F

idC

F^†id_C

=⇒id

F◦(F^†idC)

F

=

D

C C D

=⇒^{F η}

F

idC

F◦(F^†idC)∼=F^†F

F

またこのときF ⊣F^†idC でありηがそのunitである．

証明. (1 =⇒ 2) F ⊣G: C →Dを随伴として，その unitをη，counitをεとする．任 意の圏X ^と関手K:C →X^，H: D→X^{，自然変換}θ: K ⇒HF ^を取る．

τ :=

D D X

C C

=⇒

θ F

idC

id_D

G

=⇒

ε

H

K

と定義すれば

D X

C C

F

id_C G H

K

=⇒

η ^τ =⇒

=

D D X

C C C

F

id_C G idD

F H

id_C K

=⇒

η ^ε =⇒ ^θ =⇒ =

D X

C C

F

H

id_C

⇒= K θ

である．逆にτ が

D X

C C

F

idC

G H

η K

=⇒

τ =⇒

=

D X

C C

F

H

idC

K θ =⇒

を満たせば

D X

C

G H

K τ =⇒

=

D D X

C C

F

id_C G H

η K

=⇒

τ =⇒

idD

G ε =⇒

=

D D X

C C

θ =⇒

F

id_C idD

G ε =⇒

H

K

となるから，このようなτ は一意である．故に⟨F^†idC, η⟩^は絶対左Kan拡張である．

(2 =⇒ 3) 明らか．

(3 =⇒ 1) G:=F^†idC と置く．絶対性から左Kan拡張F^†F =F ◦(F^†idC) =F Gも 存在する．F^†F の普遍性によりε: F G ⇒idD が一意に存在してεF ◦F η = idF が成り 立つ．

D D

C C

F

id_C G idD

F

=⇒

η ^ε =⇒

=

D D

C C

F

idD

id_C id_F F

=⇒

故に後はGε◦η_G = id_Gを示せばよい．その為には，左Kan拡張⟨G, η⟩^{の普遍性から}

D D

C C C

F

id_C G idD

F

=⇒

η ^ε =⇒ G

id_C

=⇒^η =

D D

C C C

F

id_C G idD

=⇒

η

G

id_C

=⇒^idG

を示せばよいが，それは明らか．

この定理の具体例として，終対象を考えると次の系を得る．

系 3. 圏C が終対象1を持つ⇐⇒colim(idC)が存在する．

また，このときcolim(idC)∼= 1^{が成り立つ．}

証明. ^終対象1^{とは対角関手}∆ : C →C⁰ ∼=1^{の右随伴である．}

1

C =⇒ C

∆

idC

1

(=⇒) 終対象1，即ち∆の右随伴が存在するから，定理2により左Kan拡張∆^†idC が 存在する．ところで∆^† ∼= colim^{だったから}colim(id_C)が存在することが分かり，また colim(id_C)∼= 1^{も分かる．}

(⇐=) 定理2により∆が∆^†idC ∼= colim(idC)と交換することを示せばよいが，それ は明らか．

∆^† ∼= colim^が絶対左Kan拡張であることから，次の命題が分かる．

命題 4. J が終対象1を持てば，関手F: J →C の余極限は存在しcolimF ∼=F(1)． 証明. 系3で見た通り∆^†idJ = 1であり，これは絶対左Kan拡張である．

1

J =⇒ J C

∆

idI

1

F

1

J =⇒ C

∆

F F(1)

よってcolimF ∼= ∆^†F ∼=F ◦(∆^†id_J)∼=F(1)である．

命題 5. P ∈Cbが表現可能⇐⇒^コンマ圏y↓P が終対象を持つ．

証明. (=⇒) P = y(c)^とする．y↓P = y↓y(c) ={⟨d, θ⟩ |d ∈C, θ: y(d)⇒y(c)}^で，

yは忠実充満なのでy↓P ∼= idC ↓cが分かる．よって終対象id_c: c→cが存在する．

(⇐=) コンマ圏y↓P が終対象⟨c, θ⟩を持つとすれば，各点左Kan拡張y^†y ∼= id ^と命 題4^によりP ∼= colim(y↓P →C −→^y C)b ∼=y(c)^である．

終対象におけるこの性質を一般化したものが終関手である(例9も参照)． 定義. 関手K: I →J が終関手(final functor^*1)

⇐⇒C を圏，F: J →C を関手とする．もし余極限colimF K が存在すればcolimF も 存在し，普遍性から得られる射colimF K →colimF が同型を与える．

補題 6. F: C →D^，E: C →U ^で，左Kan^拡張⟨F^†E, η⟩が存在すると仮定する．

D

C U

η =⇒

F

E F^†E

*1cofinal functor^{と呼ぶ場合もある．}

このときG: D→Bに対して

左Kan拡張⟨(GF)^†E, σ⟩^{が存在する}⇐⇒^左Kan拡張⟨G^†(F^†E), τ⟩^{が存在する．}

B

D

C U

=====⇒

σ F

E G

(GF)^†E

B

D

C =⇒=⇒^ητ U

F

E F^†E G

G^†(F^†E)

更に，これらが存在するとき(GF)^†E =G^†(F^†E)，σ =τ_F ◦ηである．

証明. (=⇒) 左 Kan 拡張 ⟨(GF)^†E, σ⟩ ^{が存在するとする．}⟨F^†E, η⟩ ^{の普遍性により} τ: F^†E ⇒(GF)^†E◦Gが存在して，σ =τF ◦ηとなる．

B

D

C =====⇒ =⇒=⇒^ητ U

F σ

E F^†E G

(GF)^†E

⟨(GF)^†E, τ⟩ ^がG ^に沿った F^†E ^の左 Kan拡張であることを示せばよい．任意の関手 S: B→U とθ: F^†E ⇒SGを取る．

B

D

C =====⇒ =⇒=⇒^ητ U

F σ

E

G S

=⇒

θ ρ

(GF)^†E の普遍性から，ρ: (GF)^†E ⇒ S が一意に存在してρGF ◦σ = θF ◦η となる．

σ =τ_F ◦η だったからρ_GF ◦τ_F ◦η =θ_F ◦ηである．よって左Kan拡張F^†E の普遍性 からρG◦τ =θとなる．従って⟨(GF)^†E, τ⟩^がGに沿ったF^†Eの左Kan拡張である．

(⇐=) 左Kan拡張⟨G^†(F^†E), τ⟩^{が存在するとする．}⟨G^†(F^†E), τF ◦η⟩^がGF に沿っ たE の左Kan拡張であることを示せばよい．任意の関手S: B → U とθ: E ⇒ SGF を取る．

B

D

C U

=⇒^η=⇒^τ

F

E

G S

=⇒

θ ρ

µ

F^†E の普遍性から µ: F^†E ⇒ SG が一意に存在して µF ◦ η = θ となる．よって G^†(F^†E)の普遍性からρ: G^†(F^†E) ⇒S が一意に存在してρG◦τ =µとなる．このと きρ_GF ◦(τ_F ◦η) =θ である．従って⟨G^†(F^†E), τ_F ◦η⟩^がGF に沿ったE の左Kan拡 張である．

命題 7. 右随伴関手は終関手である．(よって右随伴の例として終対象を考えれば命題4 が得られる．)

証明. L ⊣ K: J → I を随伴，F: J → C を関手とする．F K の余極限⟨colimF K, µ⟩ が存在したとすると，この⟨colimF K, µ⟩^は∆^に沿ったF K ^の左Kan^{拡張である．一} 方K ∼= L^†id_C は絶対左 Kan拡張であるから，次の図式全体は ∆ = ∆◦L に沿った F =F ◦idC の左Kan拡張を与える(補題6)．

1

I

J ^µη =⇒=⇒ J C

L

id_J K

F

∆

colimF K

それはcolimF であったから，普遍性から得られる射colimF K → colimF が同型とな ることが分かる．

終関手は圏の連結性を使って特徴付けることができる(命題8)． 定義. Cを圏，a, b∈C を対象とする．aとbを結ぶzigzagとは

a →c0 ←c1 → · · · ←cn−1 →cn ←b

の形の図式のことをいう．

定義. 圏Cが連結⇐⇒C ≠ 0で，任意の対象a, b∈C を結ぶzigzagが存在する．

命題 8. 関手K: I →J が終関手⇐⇒^任意のj ∈J に対してj↓K が連結．

証明. (=⇒) j ∈ J とする．F := HomJ(j,−) : J →Setと定義すると，今 K が終関手 だからcolimF K ∼= colimF ^である．colimF ∼= 1^となる．

...

) a ∈Setについて自然に

HomSet(colimF, a)∼= Hom_Set^J(F,∆a)∼= ∆a(j) =a ∼= HomSet(1, a) だから米田の補題によりcolimF ∼= 1^である．

よって，colimF K ∼=`

i∈IF Ki

/∼^{だから，ある}i∈Iに対してF Ki̸=∅^でなけれ ばならない．即ちHomJ(j, Ki)̸=∅^だからj↓K ̸=0^{が分かる．}

また，colimF K ∼= colimF ∼= 1^{となるためには任意の}f ∈F Ki₀，g ∈ F Ki₁ に対し てf ∼gとならなければならない．よってj ↓K が連結となることが分かる．

(⇐=)C^を圏，F: J →C^{を関手として}F K^の余極限⟨colimF K, µ⟩^{が存在するとする．}

i∈Iに対してµ_i: F Ki→colimF KはCの射である．j ∈Jを取る．j↓K ̸=0^だから，

ある対象⟨i, f⟩ ∈j↓Kが存在する．このiとf を使ってτj :=µi◦F f: F j →colimF K と定める．

i j ^f Ki F j ^{F f} F Ki ^µi colimF K このτj はwell-definedである．

...

) ⟨i, f⟩,⟨i^′, f^′⟩ ∈j ↓K に対して µi ◦F f = µi^′ ◦F f^′ を示せばよい．j ↓K が連 結だからzigzag ⟨i, f⟩ → ⟨i0, f0⟩ ← ⟨i1, f1⟩ → · · · → ⟨in, fn⟩ ← ⟨i^′, f^′⟩^{が存在する．}

このとき次の図式は可換である．

i Ki F Ki

i0 Ki0 F Ki0

i1 Ki₁ F Ki₁

j F j colimF K

... ... ...

in Ki_n F Ki_n

i^′ Ki^′ F Ki^′

f f0

f1

f_n

f^′

F f F f0

F f1

F fn

F f^′

µi

µi0

µi1

µ_in

µ_i′

故にµ_i◦F f =µ_i′◦F f^′ である．

このτj は自然変換τ: F ⇒∆(colimF K)^{を定める．}

...

) s: j →j^′とする．⟨i, f⟩ ∈j↓K，⟨i^′, f^′⟩ ∈j^′↓Kを任意に取ればτj =µi◦F f， τj^′ =µi^′ ◦F f^′ となる．

i j Ki F j F Ki

colimF K

j^′ F j^′

i^′ Ki^′ F Ki^′

f

f^′

F f

F f^′

µi

µ_i′

s F s

このときwell-definedの証明と同様に連結性からµ_i◦F f =µ_i′ ◦F f^′◦F sとなるこ とが分かる．故にτ は自然変換である．

この τ が F から ∆への普遍射を与えることを示せばよい．その為に a ∈ C を対象，

θ: F ⇒ ∆a を自然変換とする．このときθK: F K ⇒ ∆a は自然変換である．故に余 極限 ⟨colimF K, µ⟩ ^{の普遍性から射} h: colimF K → a が存在して，i ∈ I に対して

h◦µi =θKi となる．

i F Ki

colimF K i^′ F Ki^′

a

t

µi

F t

µ_i′

θKi

θ_Ki′

h

よってτ の定義とθ_j の自然性からh◦τ_j =h◦µ_i◦F f =θ_Ki◦F f =θ_j が分かる．

i j Ki F j F Ki

colimF K a

f F f

µi

θ_j

θ_Ki

h

またcolimF K の普遍性からhの一意性も分かり，τ はF から∆への普遍射である．

例 9. 圏C の対象c∈Cに対して関手K: 1→CをK(∗) :=cにより定めると c∈C が終対象⇐⇒K が終関手

証明. (=⇒)a ∈Cを終対象とすると，任意のa∈C に対してa↓K =1が連結だから命 題8によりK は終関手である．

(⇐=)K を終関手とする．任意の対象a ∈C^{に対して，}K^{の定義より}a↓K ^{は離散圏で} ありa↓K = Hom_C(a, c)となる．K が終関手だからa↓K は連結なのでHom_C(a, c) = 1 しかあり得ない．よってaからcへの射は唯一つであり，cは終対象である．

さて，いよいよ本題の随伴関手定理を示していく．

定理10(General Adjoint Functor Theorem). C, Dを圏，Cは余完備で関手F: C →D は余連続であるとする．更に，任意のd∈Dに対してある集合S ⊂ Ob(F ↓d)が存在し て次を満たすとする(この条件を解集合条件(solution set condition)と呼ぶ)．

任意の⟨c, f⟩ ∈F ↓dに対してある⟨s, k⟩ ∈S と射⟨c, f⟩ → ⟨s, k⟩^{が存在する}

F s

F c d

F s^′

k f

k^′

このときF ^{は右随伴を持つ．}

証明. ^各d∈D^に対してcolim(F ↓d−→^P0 C)が存在することを示せばよい．

...

) ^余極限colim(F ↓d −→^P0 C) = colim(F ↓d −→^P0 C −−→^idC C)^{が存在したとする．}

1 D

F ↓d C C

⇒ = F idC

d

P0

このとき各点左Kan拡張F^†id_C が存在する．今F が余連続だから，F は各点左Kan 拡張F^†id_C と交換する．従って定理2によりF は右随伴を持つ．

d ∈ Dとする．解集合条件を満たす集合S ⊂ Ob(F ↓d)を取り，S ⊂F ↓dを充満部 分圏とみなす．K: S →F ↓d^{を包含関手とすれば，}S ^がsmall^でC^{は余完備だから，余} 極限colim(S −→^K F ↓d−→^P0 C)が存在する．従って，後はK が終関手であることを示せ ばcolim(F ↓d−→^P0 C)の存在が分かる．

⟨c, f⟩ ∈F↓dとする．⟨c, f⟩ ↓K が連結であることを示せばよい．まず，解集合条件か ら明らかに⟨c, f⟩ ↓K ̸=0^{である．次に}⟨⟨s₀, k₀⟩, g₀⟩,⟨⟨s₁, k₁⟩, g₁⟩ ∈ ⟨c, f⟩ ↓K とする．

即ちg0: ⟨c, f⟩ → ⟨s0, k0⟩^，g1: ⟨c, f⟩ → ⟨s1, k1⟩^である．

s₀ c

s₁

g0

g1

F s₀

F c d

F s₁

F g0

k0

f

F g1

k1

C が余完備だから，左の図式のpushout c^′ が存在する．またF が余連続だから，F c^′ も

pushoutである．

s0

c c^′

s1 g0

g1

F s0

F c F c^′ d

F s1 F g₀

k₀

F g1

k₁

よってpushoutの普遍性により，射F c^′ →dが一意に伸びる．

F s0

F c F c^′ d

F s1 F g0

k₀

F g₁

k1

解集合条件により，この射F c^′ →dはある⟨s₂, k₂⟩ ∈S を使ってF c^′ →F s₂ −→^k2 dと書 ける．

F s0

F c F c^′ F s2 d

F s1 F g₀

k₀ k2

F g1

k₁

このとき次の図式を得る．

s₀

c s₂

s₁

g0

g1

F s₀

F c F s₂ d

F s₁

F g0

k0

F g1

k1

k2

この図式は可換である．故に⟨c, f⟩ ↓K が連結であることが分かる．

補 題 11. C, D, U を 圏 で U は well-copowered か つ 余 完 備 と す る ．F: C → D， S, T: C →U ^を関手，φ: S ⇒ T をエピな自然変換とする．このときKan^拡張F^†S ^が

存在するならばF^†T も存在する．

D

C U

η =⇒ ⇒ φ F

S T F^†S

証明. d∈Dに対してcolim(F ↓d−→^P0 C −→^T U)が存在することを示せばよい．

各点Kan拡張によりF^†S(d)∼= colim(F ↓d −→^P0 C −→^S U)である．⟨c, f⟩ ∈F ↓dに対 して，標準的な射をσ_⟨c,f⟩: Sc→ F^†S(d)と書く．これと自然変換φ: S ⇒ T を合わせ て，次の可換図式を得る．

F^†S(d)

Scj T cj σ_{⟨cj ,fj⟩}

φ_cj

F^†S(d)

Sc_i T c_i

σ_⟨ci,fi⟩

φ_ci id

今U は余完備だから，次の図式のようにpushoutを取ることができる．また，pushout の普遍性から点線の射が延びる．

F^†S(d) u_j

Sc_j T c_j

mj

φ_cj

F^†S(d) ui

Sc_i T c_i

mi

φ_ci id

仮定からφc_i はエピ射で，エピ射のpushoutはエピ射だから，miもエピ射である．U が

well-copoweredかつ余完備だから，miたちの余極限vを取ることができる．

F^†S(d) uj

Scj T cj φ_cj

F^†S(d) ui

Sci φ_ci T ci

v

v = colim(F ↓d −→^P0 C −→^T U)であることを示そう．その為に任意のθ: T P₀ ⇒∆w を 取る．

F^†S(d) u_j

Sc_j T c_j

φ_cj

F^†S(d) ui

Sci φ_ci T ci

v

w

θ_{⟨cj ,fj⟩}

θ_⟨ci,fi⟩

このとき θ ◦φ: SP0 ⇒ ∆w が得られるから，普遍性により F^†S(d) → wが一意に延 びる．よって pushoutの普遍性からui → wが一意に延びる．よって v の普遍性から v→wが一意に延びる．以上によりv∼= colim(F ↓d−→^P0 C −→^T U)である．

定理12(Special Adjoint Functor Theorem). C, Dが圏で，Cは余完備，well-copowered で，small generating set Sを持つとする．このとき関手F: C →Dに対して

F が余連続⇐⇒F が右随伴を持つ．

証明. (⇐=) 明らか．

(=⇒) Kan拡張F^†idC が存在することを示せばよい．

generating set S ⊂ C を充満部分圏とみなし，K: S → C を包含関手とする．S が smallでC が余完備だからKan拡張K^†K，(F K)^†K が存在する．

D

C

S C

=====⇒ =⇒η K

K K^†K F

(F K)^†K

故 に 補 題 6 よ り F^†(K^†K) も 存 在 し て ，F^†(K^†K) ∼= (F K)^†K が 成 り 立 つ ．ま た idC: C →Cを考えれば，Kan拡張の普遍性によりφ: K^†K ⇒idC が一意に取れる．

C

S ^η =⇒ C

K

K K^†K

idC

φ =

C

S C

=⇒

id_K K

K idC

φ^{はエピ射である．}

...

) c∈ C に対してφc: K^†K(c) →cがエピ射であることを示せばよい．各点Kan 拡張の構成を思い出せば，φc はK^†K(c)∼= colim(K ↓c→S →C) = colim

⟨c,f⟩∈K↓ccの 普遍性から定まる射である．

cj

c

ck fj

f_k

cj

K^†K(c) c ck

f_j

fk

φ_c

u, v: c→ dを射で，u ̸=v とする．Sがgenerating setだったから，あるs ∈ Sと

g: s→cが存在してu◦g̸=v◦gとなる．このとき⟨s, g⟩ ∈K↓cである．

c_j

K^†K(c) c d

c_k

fj

f_k

φc u

v

よってu◦φc ̸=v◦φc でなければならない．故にφc はエピ射である．

D

C C

η =⇒ ⇒ φ F

K^†K idC

F^†(K^†K)

よって補題11によりF^†idC が存在する．

双対的に，以下の定理も成り立つ．(証明は同様である．)

定理 13. G: D →C を関手とするとき以下の条件は同値である．

(1) Gは左随伴を持つ．

(2) Gに沿ったidDの右Kan拡張⟨G^‡idD, ε⟩^{が存在し，任意の関手}K: D→X が右 Kan^拡張G^‡idD と交換する．

C

D D X

ε

=⇒

G

id_D G^‡idD

id

⇒ =

K◦(G^‡idD)

K

=

C

D D X

=⇒

G

id_D

G^‡K

K

(3) Gに沿ったidD の右Kan拡張 ⟨G^‡idD, ε⟩^{が存在し，}Gが右 Kan拡張 G^‡idD と 交換する．

またこのときG^‡idD ⊣G^でありε^がそのcounit^である．

定理 14 (General Adjoint Functor Theorem). C, Dを圏，Dは完備で関手G: D→C は連続であるとする．更に，任意のc ∈C に対してある集合S ⊂ Ob(c↓G)が存在して 次を満たすとする．(この条件を解集合条件と呼ぶ)

任意の⟨d, f⟩ ∈c↓Gに対してある⟨s, k⟩ ∈S と射⟨s, k⟩ → ⟨d, f⟩^{が存在する} Gs

c Gd

Gs^′

k f

k^′

このときGは右随伴を持つ．

定理 15(Special Adjoint Functor Theorem). C, Dが圏で，Dは完備，wellpoweredで，

small cogenerating setS を持つとする．このとき関手G: D→C に対して Gが連続⇐⇒Gが左随伴を持つ．

また，関手の表現可能性について次の定理が分かる．

定理 16. Dを完備な圏，G: D→Setを連続な関手で解集合条件を満たすとする．この ときGは表現可能関手である．

証明. General Adjoint Functor TheoremによりGは左随伴関手F: Set→D を持つ．

このときd ∈ Dと1 ∈ Setに対して Hom_D(F(1),−) ∼= HomSet(1, G−) ∼= G である．

故にGは表現可能関手である．

定理 17. D を完備，wellpoweredな圏で，small cogenerating set S を持つとする．こ のとき関手G: D →Setに対して以下は同値である．

(1) Gが連続である．

(2) G^{が左随伴を持つ．}

(3) Gが表現可能関手である．

証明. 1 ⇐⇒ 2はSpecial Adjoint Functor Theoremである．

(2 =⇒ 3) Gの左随伴関手をF: Set→Dとすれば1∈Setに対して Hom_D(F(1),−)∼= HomSet(1, G−)∼=G

である．故にGは表現可能関手である．

(3 =⇒ 1) 表現可能関手HomD(d,−)は連続だから明らか．

定理 18. C を余完備な圏，Dを圏とする．A ⊂Cを小さい稠密部分圏とするとき 関手F: C →Dが余連続⇐⇒F が右随伴を持つ．

証明. (⇐=) 明らか．

(=⇒) Kan 拡張F^†id_C が存在することを示せばよい．包含関手K: A → C が稠密だ からK^†K ∼= idC である．またAが小圏でC が余完備だから(F K)^†K も存在する．

D

C

A =====⇒ =⇒^idK C

K

K idC

F

(F K)^†K

故に補題6よりF^†idC も存在する．