関数 ∫が

LEBESGUE積 分 とDENJOY積 分の間 に在 る幾つかの積分について 川崎敏治 (日本大学工学部/玉り^￨1大学工学部非常勤講師)

積分は、長 さ・面積・体積 の拡張概念であるとともに、微分の逆演算 としての側面 も持 っている。前者の意味で積分 を捉 える とき、現代では Lebesgtle積 分 を考えるの が一般的であ り、収束定理や Fubi」 の定理等応用上十分 な性質 を持 ってい る。 しか し、Lebesgue積分だ けでは不十分な場合 もあ り、その よ うな場合 には広義

Lebesgue

NenrtOn積

関数 ∫が

分可能であるとは、ある関数

_{存在 して至 る処で} F′

が成 り立つ ことである。至る処微分可能 とい う条件はきつ過 ぎるので、もう少 し条件を緩 め、可算個の点を除いて ^F′

が成 り立つ、 とした ものを広義 Nev‐

_{分可能 と} い う。

羮

_聯 椰 曇

鋭 癬 懲 鞣

うな収束定理が存在 しなしヽ 故に、この両者 を包含 し、尚■つ、収東定理を持つよう な積分が必要になる。 この解が、Perron積 分であ り、

_{分であ り、} Henstock―

Kurzwell積 分である。 これ らは独立に定義が与え られているが、その後の研究で同 値

分可能関数の集合が

す る

あることが分かつている。また、応用上十分 な収東定理 も得 られている。

Dettoy PerrOrHenstock̲Kllrzweil積

分によつて、積分の持つ

の lll面 を融合す ることが可能になった。だが、Lebesgue積 分 と

分 を包含す るよ うな最小 の積分は存在 しないのだろ うか

と言 う疑間が出て来る。 これに解 を与えたのが、

2000年

_頃、

orltOに よって

分 と名付けられたものである。

_{分可能関数}

の集合は、

分可能関数の集合及び

分可能関数の集合を包含 し、

逆に、

分可能関数 は必ず Lebesgue積 分可能関数 と

輛

分可能関数 との和 で書ける。また、

_には、

さんである

よつ て σ積分 と名付け られたものが与えられた。σ積分可能関数の集合は、 ^Lebesg■

分可能関数の集合及び広義

分可能関数の集合を包含 し、逆に、

分可能 関数は必ず ^Lebe・ sgue積 分可能関数 と広義

分可能関数 との和で書ける。

女は言及 していないが、θ積分可能な関数の集合 は広義 Lebesgue積 分可能な関数の 集合も含む。 ⁾

2010 Mathenatics Subject Clossifcation. Primary 26A36; Secondary 26-439.

Key uonls and ^phrases. Gintegral, C-integral, Lebesgue integral, Improper Lebesgue integral, Denjoy irrtegral, McShane integral, Henstock-Kurzweil integral.

L

川崎敏治

本稿 では、以上 の種 々の積分 について、その定義 と包含関係 について述べ る。 ま た、これ らの積分の定義を俯厳す るとこれ らの積分の間に別 の積分の存在が見えて く る。 これ らの積分の存在 について得 られ た最新 の結果 について も述べ る。

l PRELIMINARIES

Throughout thお paper we denote ty(L)(S),(L° )(S)and(D・)(S)the class of all

Lebesgue integrable blctions,the class of all improper Lebesgue integrable functions

S⊂

R into R,respectwoし allld■

Ve recall that a gallge 

_,可 intO(0,∞ ₎ and a■ 6ne McShane partitiOn Of m inten7al lα _,司

R iS a collection{(ム _,Zん )￨

た_=1,… ■。}of nCl‐^O、℃rlap●ng mten山 ム ⊂ レ

^,倒

^,d satお

み⊂(″た一δ_(・た

),″

(2ん ))allld 

￨≦

^{then w sリ}

that the collectiOn ls a δ―■ne partial McShane partition MOreover,lf  τん∈ム

^for any

,then a 

ne NIIcShane partition and a 

lcShane partition are ca■

flne partial Perron partition,respectively

ヽ

Ve say that a function∫

^that F′

^on lα ,琲

denote by(N)(b,4)the clι tt Of all Newton mtegrable flulc■

_,司

In l・

31 B Bong10rno,Di Pi

s gave a nunimal collstructlve integr就 lon

ed the C― integral,which contains the Lebesgue illtegal

_―司

br the C integrttilityヽ Me denoteけ

_{,切 )the Clそ邸}

frOm lα

from an inteⅢ

_[α ,d intO R iS improper

and a function F[Om

[α ,司 into R suc・ h that F′

On[α ,Jヽ

_,倒 )the Cla.ss Of all improper Nen7ton integrable functions from lα _,‖ mtO R In 14]D BonttOrnO ga■

,

whidh cont」ns the Lebesgue integral and the improper Nen7ton integral Furthermore

in 14]D Bonjorno gaw sOme criteria for the C―

_(θ )(b,4) the dass of all 

integrable functions froln[α _,司

integral,tlle C―

restricted DenJoy lntegral

ヽ

Ve knon7 that the Lebesgue integral and the restricted DellJ町 lntegral are equiv―

alent to the McShane inteFal and the HexlstOck KurzweilintegraL respectⅣ

ely The

IcShane integral and the He tock Kurzweilintegral are R■

Deanition l.1.A inctionノ 缶om an intend iα

_,可

there exists a constant A such that fOr any positive number 

LIBESGUE積

分 と

分の間に在 る幾つかの積分について

such that

Ito ^I

l)- J(cr)llrl - ^Al . ,

I r=-' ^I

for any d-fine McShane partition {(/r,rn) I k : 1,...,,to}. The constant A is the value of the McShane integral of / ^{and we denote by}

A:(MS)[ y6a,-Ot[ _rcta,.

J la,bl ^{J l",U}

We denote by (MS)([a, b]) the class of all McShane integrable firnctions from _[a, ^b]

into R.

Definition 1.2. A function / ^{from an interval} [a, b] into IR is Henstock-Kurzweil integrable if there exists a consta,nt ,4 such that for any positive number e there exists a gauge d such that

l'to ^I

l)-/("*)lr*t - ^el.,

tEi

for any d-fine McShane partition {({, ^{11) I fr} : l, . . _{. ,} ka} with z1 € 4,thatis, d-fine Perron partition. The constant ,4 is the value of the Henstock-Kurzweil integral of /

and we denote by

A:(HK)[ _Jlo,DI rOW:@\[ fbta,

Jl",bl

We denote by (HK)([a, b]) the cla,ss of all Henstock-Kurzweil integrable functions from _[a, b] into R.

In _[5] D. Bongiorno showed a criterion for the improper Lebesgue integral as follows.

Theorem I.1. A lunction f fiom an intenal fa,bl into ^W is imryroper Lebesgue integmble if ^and, only if there edst a constant A anil a finite ^subset N c [a,b) ^such that for ^{any positiue number} e there erists a gauge 5 stch that

It{

lly(c*)l/rl _- ^Al <,

l;= ^I

lor ^ang 6-fine McShane par-tition {(1*, ur) _{| k --} l, . . . ,lrq1,} sati,sfuing u" e ^11" wheneuer

xp€N. Morcouer

A: (1.) [ ^y61a'

J _ta,bl

The theorem above gives a- Riemann type definition for the improper Lebesgue

integal. In _[1], see also [2,3], B. Bongiorno gave the C-integral, which is ab6 a

Riemann tlpe integral, as follows.

川崎敏治

Deanition l.3.A functiOnノ

Om an int‐

_Iα

^C―

cdsts a collst,ntス such that fOr ary positlve n1lmber 

 there exlsts a gauge 

隆側引 刊ぐ

fOr枷_{り み}ine McShane partition{(4,■ ん

)￨ん =1,̲,祐 }SatlSけ

)<

:,Where d(f,2)=infν ^cr  υ―″ I The constant A ls the value Of the C integral of∫

a■ld we denote ty

スイ の1劇 ズ0虚

We denote by・

,4)the class of an C―

l D BonJOmO ga、

Dennition l.4.A functim∫ 肝

om an inter■

,l into R b O integrable if there

函 飢

a∞

_,司

 there exLStS a gauge 

唐同剰 刊ぐ

for any卜■ne McShme palltition{(4,・ に

)￨た

}satlSサ

(1)Σ

(2)■

ん∈ム Whenever″た∈Ⅳ

The constant A is the value of the C-integral of / and we denote by

A- _@) J t",bl [ ^raw

We denote Uy (C)([o, A]) the class of all C-integrable functions from _[a, b] into IR.

2. Dpr.rNrrroNs oF NEw INTEGRALS

In this section firstly we defrne new integrals. By observing the definitions of the McShane, the improper Lebesgue in the sense of Theorem 1.1, the Henstock-Kurzweil integrals, C-integral a.nd C-integral, we become aware of the following two integrals.

Definition 2.1. A function / ^from an interrral _[a, b] into ^IR is C.-integrable if there exist a constant ,4 and a finite subset ff c [a, b] such that for any positive _{number e} there exists a gauge d' such that

,ii

]f 1(:,rytlrl- rl ..

Ir=r

LEBESG硼積分とDENJOY積分の間に在る幾つかの積分について

for any 

_)￨ん

(1)Σ

(2)″ た∈ム

^Whenever■

The cOllstant A is the value of the Cホ ーintegral ofノ alld We denOte by

C

∪

A: (e)

lp,o,f ^@)a".

We denote by (C-)([o, b]) the class of all C.-integrable firnctions from _[o, b] into IR.

Definition 2.2. A function / ^{from an interval} [o, b] into lR is i-integrable if there exist a consta.nt A and a countable subset N c [a, b] such that for any positive number e there exists a gauge d such that

leo

lf l{"u)lr*l - ^Al . ^u

l;=

foranyd-fineMcShanepartition{(/r,cr)lk:1,...,h}satisfyingrn€lr,whenever

np e N. The constant A is the value of the Lintegral of / ^{and we denote by}

A: ^(L)

|,,,,,r(do,

we denote uy (Z)([a, b]) the class of all Lintegrable functions from _[a, b] into R.

By the definitions of these integrals ars e[finin the following relations.

(N)

^⊂

∩

∩

(C)  ^⊂ (C・)⊂ (0)     ^‖

∪

(MS)    

^∪

￨￨

(L) 

⊂ (L拿

^⊂

The d》 ove rdatiolls of inclllsion ae proper.We give sOme exaIIlples to check these.TO shOw these,we proⅥ de the S出oHeIIstOck type lemmas.The f0110wing is

the Saks― Helllstock type lemma for the C・ ― _integral.

TheOrem 2.1.IJ∫

∈ _{(C・ )(レ}

^θ

^{θ α}

_{s αル づι} e szbscι

Ⅳ ⊂ b,可

εん

流αι」

^Or 

 pο ^sづ

^jυ

crc cttsts a gα

 sucん

魯^FO囲 くの五胴引ぐ

ル

^r 

^jο

)￨ん

_}sα

(1)Σ

^(ム

川崎敏治

(2)●

^{た∈ム 硫 eπ}

^{er  τん∈Ⅳ}

PrO″

,J),there exお ^{ts a〔 遍} te subset  _{Ⅳ ⊂ し}

that for any

ber 

 there exlsts a gauge 

 such that

隆瑚

^1,司 胴引 ^<:

for any 

た1

Σ

Ed(ム

)<:

た=1

枷d at cみ

whenever,た

=1,̲,為

Σくみ^,・

0<:

た=1

md2ん ∈みwhenever aた ∈Ⅳ

,alld let{41λ

intervals sat輌

∪ム^=レ

^,4

ん‐

1

and 42∩ 43=O ifた

L SinCe∫

^{L此 qダ} able cllll eaChム

=祐 +1,̲,ん 1),

there exLts a gaugeぬ

sllcll that

置いロイつ

^<満

for any 61-fi:re McShane pa.rtition {(Ia,c*,) l2 -- t,. ^. , t(k)} satisfying

翔 山永満

and z1p € [; ^{whenever ry,2 € N} . Without loss of generality it may be assumed

that d1 ( _{5 for any} k: h+ 1,...,&r. Note that

Σ

鼻

4430J<:+た 二1満 ^=:

LEBESGUE積

分 と

分の間に在 る幾つかの積分について

Therefore we obt」n

隆←

く の五胴→

く

瑞 ^=:

ヽ lorα

"℃

r we obtttn

i「

_{lЮ J}

く の

1,可 Ю _J

)￨ム ￨―

≦

IΣ]ノ^(″

た

̀￨― (σ

)Jl,̀∫ (0)d・

た」^{i111!l (∫(″}κ′^)￨こに^, )

十

ヽ ｌ １

／

あ

リハ    Ю  胸 Ｊ 

観

ム√    Ｃ

σ      ト

一＜ 

   瓶

鋼  鰤

′                       く

′ ／

︲ ヽ   ヽ                 と

倒         脚

Σ¨  Σ ¨

Ⅲ      綱

鰊    

＋

ｒ

t,+r:"'

!

The following is the Sa.ks-Henstock type lemma for the Lintegral. The proof is similar to Theorem 2.1.

Theorem 2,2. Il f ^€ (ixt", bl), then there uists a countable subset N _{C la,bl} such that Jor any positiae number e thet'e edsts a gauge 6 such that

*o1 - f

!l/("*)lrtl ^-1L1 | y14a,l<e

;lJ'-|

Jor ^{ony 6-fine} partial _McShane partition {(/*, ro) _I fr : 1, . .. .,len} satisfyi,ng xs e Ie wheneuer xp € N.

The Safts-Herstock type lemma for the improper Lebesgue integral also holds, see

t5l.

Theorem 2.3.JJr C(L*)([α,1),仇

^{em tん ε} お お α fπ

^bSeι  Ⅳ ⊂ _{[α ,‖} θυ

流

rの

 _pο ^SCtね

κ お α′

̀毬

δ  suc力 ι λ

き

く

引ぐ

ル

rα

=β

πe pa琵づα

J Mcttα

Jο

{(4,2た )ん =1,一

}Sat猛

Cみ

We show that the abclve relations of inclusion alle prOper

Theorem 2.4.7λc a羽

"ι

s aルπ^cれοηノ

^Sucλ

(C)(10,11)

P"″ Let rl be a h∝

th缶

R deaned by

嗣 ={∫ η ←L為 _{―満 輛 満 ),f″ ∈他 以}

r″ ∈

_{0,1},

arld let Fl be a inction ddnedけ

・^0=ぽ →^dnれ,fπ ∈Q以

lf r C(0,1}

Since rlお COnth¨us on(0,1)alld

鳥 101副・ ^0と

=脇

0■0=Q

we obtin fl c(Lり (10,11)and hence」lc(C幸)(10,ll)HOWい′

er■ /(C)(10,11)

,ほ th 

 such that

島

Σ^D■(τた)(b ―αた

)―

)一 ^FI(aた

ん=1

for any 

)￨ん =1,̲,祐

Σ

^<bた

0<:

L=■

For any natural n―

ber η  let

% =

硫 =

1‑

1‑

2

LEBESCUE積

分 と

分の間に在 る幾つかの積分について

NOte that{[%,b』

■

0‑に

島 ^,

Fl(b.) = b.(1‑姑

)=赫

S翼

裾11堀∫it[:Ce{L (1 み・^)+α.(1‑C2)lncN}お

a strictly decreashg sOquence

O<編(1‑b.l+a.(1‑■

0,

^(転

(1‑%))=∞

■ ‐

1

we cm take a st五ctけ 旋

reashg■

姑(Dく δ

(0)arld

ε

<Σ _(硫

た=1

Then{([%(0,硫←1,0)￨ん =1,̲,島_}L a ιine partial McSha■ le partitbn and satistes

      LO     A。

Σ 《降頸り

^,bバ

,0=Σ

0<Σ

0‑鴫

<:

た

=1      

=1       

H…

Σ ]lrl(0)(慨 ^。 )一 ^鶴 。 )) (Fl(垢 (→ )一

FI(皓

← )))￨

ん

恥

=Σ_]IFl(磁←^{))一 Fl(Q(→)￨}

ん

恥

=Σ

_E(ら

^a.(。

⁾⁾⁾

た‐

1

>ε

arld hence L L a contradiction

Theorem 2.5.動 θ 鵬おaルπCttοπ∫^{s● cん}力αιノC(0)(10,1)れ

tノ

P"″

Let r2 be a inctbn ttom p,4油

ん0={ π^+⇒・し

^{ln I⇒ .―}

10        _川崎敏治

and let F2 be a■

島0={Iばれ^+⇒

^Z―

^'(ハ

where■ and Fl are the nctlorls h Thnell1 2 4 SInce弓 _(■)=r2(ω

)fOr any

α ∈ _(再 ≒ ,:),η CN,We obtain J2∈

)(p,1)and hence r2 C(∂

)(10,11)Indeed,81lme that r2∈ (C°

●

Ⅳ ⊂ [0,l SuCh that for any p∝

ε宙 th  εく l there exlsts a gauge  δ  such that

局

Σ〕^lf2(●た^)(bた 一αん

)一 (F2(bた )一 F2←

))￨く

た=1

for any 

ine partid McShm partticlxl{(レ

,仇 ],2た )lλ

胃焉惜1ぶ監1統^gIよ貞^liん ∈Ⅳ

Shce Ⅳお

^6」

any natural nllmberれ let

鶴

編=轟 十

1‑

Note that{[鶴 ,Ll}迪 mutualv山_loint and

F2(鶴)=  lpO+1)o73 p)o+1‑PO+1)鈴

)

=―plp+1)(O+1レ嘔^{‑1)(1‑pat)} 2Po+1)

1‑ブ 1‑議

ン0+1)

F2(妹)=

:π

■

π

●0+1)妹 ―p)0+1‑plP+1)慨

)

pO+1)(0+1)磁 ‑1)(1‑メ蹴) 1

,+2η

^π

Since the sequence{ρ

CN}

is a strictly decreashg sequence tendtt to o and

O<pO+1)((lp+1)磁 _{‑1)(1‑p硫}

_)十

)十

■ ‐

1

LEBESGUE積分と

^DEN」

        11

we can take a strictly im万

nce{η

<計

ε

<Σ PO+⇒

0‑り 0‑口

0)+(O+lLO一

0‑脚

OD<:̲

ん‐

1

Then{(Lo,kJ,芦

)lλ

}La 

^6¨

on and

を

転 湖 ^,轟

=を

リ ー 轟

<魯 PO十

⇒ く

錢 。 一 つ

∂

^{に 一}

"Ц

^胡

1

<―

ε

Ho藤翔∝

を 卜

(詰 )し

Qが

Q列

=Σ

_E F2(硫

^F2(α

(0)￨

た‐ 1

=ΣEPO+1)((0+1)b.(た

)‑1)(1 pb.(た

^21→

.(ん ))) ん

>ε

alld hence it is a contradttion        □ Theorem 2.6.2ι〜碗 おαルπ^ctjο

t t Sucλ  ttat√ c(■ _)(Ю

/(L*)(Ю ,J)

P"げ Let r3 be a inction from p,l intO R dehed by

嗣^={lばれ^+り_{' ら}

II[旨

^'(ハ L

and let F3 be a function deflned by

鳥

0={謹

r″ ∈_{:lπ ∈N}U{0},

川崎敏治

whre rl¨ d Fl are the hК tblls in Th∞rem 24.Then J3 C(■

_)(Ю

(L拿)(p,1)Indeed,d¨ eん

^{撻 血}

Oた・,剖 ^{0山 =Q}

by Theorem l l there e血ts a mte subset札

⊂

that for any p‐ itive

nlimber 

ε

を ・に 。 降 ^JI<舟

for any d"-fine McShane partition {(1",r,o,'*) lk:1,...,f',} ^of ffr,i] ^satisfying

r,-& € ^{l,-,x whenever} rnl € Nn. It is obvious that N" : {#, *}. t.t

r": -o{rnt")l

_1轟 ,判

It holふ th就

=繭

hOtt loss of genα

(・ ― 島(・),C+島^(″

))⊂

δ_(r)=ら(・)fOr any c c(轟^,奇),δ (:)=min{こ (:),あ 1(:)}fOr anyれ ∈

N

宙th π≧

^2 allld 

(0)<:宙

Let{(4,0〜 )￨た =1,̲,b}be a 

)￨ん

_}satお

c=亜^n{η

_lム

,:)≠

ヽ １

︐ ノ ー ニ η

／

′

︲ ヽ ヽ

Σ ■

れ ９ Σ

＋ ″

■ み

■

１ 一

Σ

Ｃ 際

Ｌ

９ 〒 ん ﹇

︲

︲

︲

︲     十 ４       ム

亀         ｍ ψ

鼠 

ＩＬ ｌｒ

﹄〒 んＨ     

側 鵬

Σ 料 Ｌ 睛

鵬 調

４      

′ ／

︱ ︑

剛  闘 瀾

︲一陽 臓

＝厠

■ Ｆ

＋Σ

＜ 一

+ 

 _r3(■

)￨ム

I・C[=≒,÷

￨

LEBSGUE積

分 と

分の間に在 る幾つかの積分について

十二■_(l)卜 ∩

[石:T,制

_￨￨

13

″

４

Σ

ん

４ 弔

＋

■ １ｌ

Ｊ ｌ 一２

４

ヽ １

︐

′ １ 一 ２

／ ｉ

ヽ

Σ ■

＋ 轟

By…

≦

L桑 ,1卜

^01・

ε

″一

ε ＋

口一

やん ロ

＋

ー 一 ９

ThereFore

<e

and hence /s € (iX[0,4). However, einoe it can be shox/tr simitarly to Theorem 2.b

thst /s d (C.Xlo,ll), w€ obtai! /' ^d (r'Xlo,{). tr Theonen2.7. Therceolstuatunctionf wclrtlnt/ e (e)(tO,tl) _b?r/ I GrXlO, ^1l).

十

黒 ^lJ31aヰ

∩[轟^,』

^￨―

OJ

十

1(ル

拿)/1uLcト

ト

.:l rL)0(Ulc・

,:])r3(Zい

し

<轟 十鶉^. ￨

￨き

・

轟

井 ^+多

く

ラ 岳 ₌

川崎敏治

Praげ

∞m∝ted∞mpOnents of Ю^,Jヽ σ,let r4 be a hCtiollttom Ю^,珂 鼠o R dehed by

ｒ ｉ ｌ く

︱

︱ ヽ

漁

^場

0,

and let f'a be a function defined by

fα C(%,ら

_),p∈

_∈α

′

︱ く ｉ ｔ

■ ●

認彎≠と_Sinが

跡霧ち^{, if Z∈ (%,ら}

^),p∈

0,       if a∈

士

[協

∞

untable subset 

,J suCh that for any positive nunlber 

Σ ^IF4(τん)(bん ―αた

)―

) F4(α

た‐

1

for any■

_{,鍼 l,2ん}

aん ∈したム1地^eneVer aた ∈Ⅳ Since Ⅳおcountable and σお

^per偽

行 ∫鞘 嘲 ぶ 轟 」観 悧 ∬ 猟 ∴ 他

祠

aqt' : o.pk) +

bq* : ap(q) *

毛藤 ₎

―

COS編

),

LEBESCUE積

分 と

分 の間 に在 る幾つかの積分について

Note that{[%,.,場_,2]}ね

mutually di可

Щ %0‑写

^{げ 協}

^{詞 2}

1 (:π ― 卜

π)2'

Щ 嘲 =

1

(,+2m)2

Since{(I%,.,場

,J,Z)9,れ

■

Σ Σ]lr4(Z)(bq,.―

^%,・ ) (F4(b9,● )一

))￨=Σ EΣ E F4(場

F4(a9,.)￨=∞

9‐

1‑1       9̲1.̲1

there exlsts{(laた

_,鍼 ￨,Z)￨た

 _,島

_{(lα

島

Σ

^]f4(Z)(bた

)― (F4(bた ) F4(α

た‐

1

1t ls a cOntradiction       

_□

_ttmctjο

^Sucん

tノ

_(∂

P"げ We Sh"h the proOf Of 

Ъ ∞ rem 2 7 that f4 C(N)(Ю _,司 )and hence r4 C

(0)(Ю

,J)blltム

^{)(Ю ,1)・}

Theorem 2.9,7he 前 おαル

^2ctづ

^{suCλ  ttα}

(Z)(Ю

J We sb h the proof of Theorelll1 2 7 that i C(N)(Ю

(C拿

Theorem 2.10.=Leπ

 eaお お α漁筋

れノ

昴

"α ιノ∈ (L)(10,ll)bιげ イ (Cネ )(10,1)

P"″ WeShOW in the proofofTheorem 2 6 that i C(■ )(p,J)butん

/(Cネ )(Ю ,J)

□

3 PROPERTIES OF THE C・

In thtt s∝

tion we gl a cHtaion for the Cネ ̲integrabi■

Dennition 3.1.Let F be an hten7al hnction On lα

,4 and let 

 be a inite subset

us olll E⊂ レ ,司

η such that

Σ]IF(4)￨<ε

た‐

1

for any 

ine partial McShalle palltition{(ム

)￨ん

_}Satisfy蛇

(1)α^た∈

^{E fOr awお}

8憂

(4)Σ

￨<η

We denote by ACc,(E,Ⅳ )the Class of all C*― absoluteし contillluo intα

ith resp∝ t tOブ

¨us onレ

_,司

 and a sequence{E屁

sets such that嘱

ACGco(b,4)the Class of a■

Cネ

genertted absdutely continuous interval functiollls On lα _,可

Lemma 3.1.fr F∈

ACGσ

_,4)α

_[α

ttι

^bSCt 

^,司

ucλ

t rar aη

ge 

6● cん ιλαι

局

Σ

^F(4)<ε

た

‑1

カ

^r ant/δ

̀νι

^ttα

_{{(4,・ )￨ん}

_}satjttjη

81焉

讐 ザ ‰究蒜 tcⅣ

P"げ ShCC F c ACGc

_(la,司 ),there exlst a 6ite subset  Ⅳ ⊂ し ,倒 alld a sequence

准

^,可

π

itive n117nber  ε  and for any natural nu面

 such that

恥

Σ ^F(4)￨く

_2‐

¹

■

=1

for any硫

le part比 loll{(4,・

)￨た

8焉

^iた

(4)Σ担

LEBESGUE積

分 と

分の間に在 る幾つかの積分 について

Since lE∩ E滉

￨=0,thOC Ottts an opell set Oれ

_"(・

)},Whα ^e O乳

the complemellt of Om Then祀

ΣEIF(4)￨<2m+1

ε

1

for any硫―■ne partial McShane partttion{(4,τ た)ん ^{=1,… ,祐}

}SatiS取

(3)atld(4)De■^ne 

^δ

)fOr any=∈

コ 隣

^∞

∞

Σ

^)￨=Σ Σ ^{I■ 0≦} ェラ 岳

ε

た

‑1        

=12■ cFπ

for any 

)￨ん

^ing

(2)Σ

(3)●^た∈み

Whenever zた

□

LexIIurla 3.2.IJFむ d権

'abJe ct r c lα

,4,tん ^Cπ

̀υ

e nυ

ber 

α珈"お α

 _pο

^jυ

tmber 

 sucλ

lF(ι

)一 F(S)一 FК ^a)(ι

S)￨<ε (2d(Is,tl,2)+ι

^s)

力

r my tntettα

_lα ,叶

P"げ

Since Fぉ dlttentiabL at r∈ _[α ,4,there e廊

Live nllnlber 

that

lF(ξ )一 F(■)― FК

for aw ξ∈(τ―δ,・

+δ _{)∩ [α ,司}  Tllerefore for any inte口

_{)∩ Iα ,‖}

we obtain

F(ι )一

「

(工

)(ι

≦

IF(t)一 F(″)一

)(ι

^)一

F′

)(″

S)￨

<εレー2+ε_lS― ″￨

=ε

□ TheoretxL 3.1.乃

απυ  F∈

_(b,倒

θ お お 法

_)力

れ ο st eυ cη

・

^{ι λ}

_{お ノ}

_{)([α ,司}

_航αι∫

^F(lα

^ι

ωett π∈

_{[α ,可}

即=0ル→山

lor ^{any interval} I _{C la,bl.}

Omtlergaり

Й

,F deFned ab00e rOr a,y∫ ∈

Fc ACGσ (la,可

3M′ Note that,r F c ACCc・

_(la,司

(la,倒

tion 9 141.By 17,Theorell1 9.171 there eDriCS ttF(la,■ )fOr almost every c c lα ,倒

Let

岳 Ц し

,O dOC面

}

Then lEl :0, and by Leoma 3.f there trists a fnite sub6€t ff c [o, b] such that for any pooitive number e with e < ;l ^tUere exists a gauge fi ^{such that}

Io

!trtr.lt. i

for any d1-fine partisl Mc.Shaoe partition {(I*, cr) _I ft: 1,...,h}

(1) ₄ € E for any lc;

(2) )'.Pra(rr,or) < |;

(3) rp € Is wheneven c1 € lV.

ll x _Q. E, then by L,emna 3.2 there e*isto a positive _number fi(o) ^{such that}

Iru, -

"u, - !*rrv, ^orrr- _"r

| .

t'rzarr",'1,,,) ^{+ r} - ^s)

for any interval [s,i] c ^(c - 62(t),x+&(n)) n _{[o,b]. Let}

,("):

{ ,;[;]: ^,:,:AE,

and let

l@)=[ o' ^rrne E'

I *rrc,ql, ^rratE.

E={・

LEBESCUE積_分とDENJCIY積分の間に在る幾つかの積分について        19

Then we obt」n

lシ

一 則

￨≦ 1恩

・ ^0卜

田― ・

≦ Σ〕^IF(4)￨十 Σ〕

^￨ノ

^{)￨み ￨―}

⁾

2■

■

<:十

忍手^O<4'C°

^{+降 )}

< :+i;2・

:+子

^{(b一 α}

ε

< z十

二十

】

= 

for any interval r⊂ し

^,司 alld fOr allly 

ine McShane partitiOn{(4,″

=

1,… _,た。

}of r Satぉ

わ¹ 冴惜り

:艦 ^iた

Conversely let∫ c(C拿 _{)([α ,切}

Ц

O=0ル

for any intttd f⊂

lα

_{[α ,司 ,￨ノ}

π }・

^{Ⅳ お}

∝

cepting 6ite subset of lα ,d in the de■ nhim ofthe C°

 such that

Σ『。

J41‑F(4)<:

た=1

for any 

)￨ん

}sttlSサ ing

8焉 ^[ザ

Ld η^=尭

^If'お

^for anyた

Σ ^IF(4)￨ ≦ ^Σ

^Iノ

^Iノ

^{)￨ム ￨―}

ん

^た

^ん =1

く

￨十

< 

tr

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E -rnail ad,ilrcs s : toshiharu. kauasaki@nif ty ^. ne . j p