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Lebesque 積分

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Academic year: 2024

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[0,1] 上のリーマン可積分関数級数 {fn} がこの距離のコーシー級数であると仮定すると、測定するのは自然です。この場合、リーマンは可積分です。

Riemann 積分の定義, Darboux の定理

として定義します。ここでは、Δがすべてのセクションを移動すると仮定します。 (1.1) から、すぐに Z. ステップ関数の定義、積分 9 が成り立ちます。したがって。

階段関数の定義,積分

10 第 1 章 リーマン積分、ステップ関数、ゼロセット 以下の点に注意してください...

零集合の定義と特徴づけ

私は積分理論から測度理論を導き出す立場にあるので、積分を使用して零集合の特徴付けも行います。証明: e をゼロセットとします。すべての ≤ >0 に対して、一連の {Bi} 間隔 e⊂ が存在します。

基本補題

Lebesgue の判定条件

証明: まず、f(x) がリーマン可積分であるとします。ダルブーの定理 1.1.1 および系 1.1.1 による。

一般化

ここで、リーマン積分の概念を拡張して考えてみましょう。これでステップ関数ができました。 1.4.2 より、このようにして構築された積分理論がリーマン積分です。

Lebesgue 積分 19

クラス L +

ここで、f(x)∈L+ の積分 I(f) を定義しましょう。 。したがって、I(hn)≦I(fn)となる。このことから、I(hn) は有界であることがわかります。したがって、定義から。

クラス L, Lebesgue 積分可能な関数

次に、ルベーグ積分の簡単な性質を見てみましょう。証明: まず、定義から、 φ=f−g,f,g∈L+ と書くことができます。さらに、定義により、hn%g a.e.

Beppo Levi の定理

当てはまる場合、結果 2.4.1 と同じ結論が適用されることに注意してください。 。

Lebesgue の定理

が適用されます。また、L(Φ)は単調関数級数の極限遷移に対して閉じている。実際に、ルベーグの定理を級数の形で表してみましょう。ルベーグの定理が必ずしも普遍的ではない例を挙げてみましょう。 。

ルベーグの定理 29 が成り立つはずですが、α≧1 の場合は R1 になります。そして、積分の極限と限界関数の積分は必ずしも一致しないが、限界関数の積分が評価できる場合がある。そうしましょう。この場合、lim infn→1fn(x) =f(x)∈L (したがって、所有権の制限にほぼ達します)。

L の完備性

X|φ(x)|dx を定義しましょう。この場合、k · k は L1 上のノルムになります。 証明: {φn} の特定の部分列 {φnk} が極限 φ∈L を持つことを示せば十分です。それの訳は。言い換えれば、ほぼどこでも 0 に等しい関数は 0 とみなされます。同様に、ほぼどこでも同じ関数は、(L,k · k) でも同じです。 。

証明: すべての f ∈L+ が、H の適切なシーケンス {hn} の (k k に関する) 極限であることを示すだけで十分です。 ちなみに、L+ の定義から、Xf(x) dx と呼ばれるものが存在します。と呼ばれた。現在。

Fubini の定理

フビニの定理 33 (2) 以下は積分に適用されます。 .II) φn∈E はどこでも単調数列であり、さらに ØØ.Wφ(x, y)dxdy に続きます。系 2.4​​.1 から、g(y) はほぼ所有限界値であることに注意してください。したがって、Y および y∈Y\e˜ の空集合 ˜e が存在する場合、gn(y) は有限 g(y) に収束します。したがって、この場合、x の関数列 φn(x, y) は増加列 Z になります。 2この証明では、関数の値として +1 も許容されます。

ここで、Z を W のゼロセットとし、χ(x, y) を Z の特性関数とします。関数 φ(x, y) の可積分性が W に従うかどうかという問題は、証明が存在するため重要です。このステートメントは一般に偽ですが、関数を非負の「測定可能な関数」に限定すると真になります。可測関数については第 3 章で説明しますが、ここでは定義をしておきます。次の例では、被積分関数は積分可能ではありません。 。

Lebesgue 積分の応用

可測関数と測度論 41

  • 可測集合
  • 可測集合上での積分
  • Lebesgue による Lebesgue 積分
  • 空間 L p (X)

は測定可能な関数です。 E が可測で、χE が積分可能である場合、μ(E) は E の測度と呼ばれます。E が可測で、χE が積分可能でない場合、μ(E) =1 と定義します。 . であるため、F も可測であり、μ(F) = 0 です。まず、可測集合のいくつかの単純なプロパティが定義から得られます。

Xχn(x)dx が収束する場合、ベッポ レヴィの定理 2.4.1 によれば、χE は積分可能であり、可測関数でもあります。さらに、a≦bの場合、max{min{φ, b}, a}も可測関数となる。ルベーグの可測集合の定義を与えてみましょう。 。

問題 3.4.2 を使用すると、χE(x) は積分可能であるため、測定可能です。さらに、R。f(x) が X で測定可能である場合、|f(x)|p も X で測定可能であることに注意してください。

導関数と不定積分 61

有界変動関数

次のようにして実行できます。 c が春分点の場合、その春分点に c を加えて再度 Δ で表します。 2 つの非減少関数の差として表される関数は、有界変動です。これにより、非減少関数の差が得られます。実際、補助定理 4.2.1 を区間 [a, x] に適用すると、a≤y≤x となります。

これは、T(x) が減少していないことを示しています。 T(x)−f(x) が減少しないことを確認するには、このステートメントで他の分解が明らかに可能です。たとえば、P(x) =1。不定積分の微分と全変分。 69証明: fn(x) が定理 4.2.3 の証明で定義されていると仮定します。 η < x の場合。

不定積分の微分と総変動量

この場合、有限数の点を除いて、Φ0n(x) =Φn(x) となります。ベッポ・レヴィの定理を区間 [a, x] に適用すると、任意の点 x∈[a, b] で Φn(x) →F(x) がわかります。したがって。

絶対連続関数

表記上、F(x) が [a, b] 上で絶対連続であることが必要かつ十分です。証明: まず、F(x) ∈L(a, b) の不定積分として記述した場合、F(x) が絶対連続であることを示します。したがって、F(x) = Rx となります。これは、n が任意の ≤ >0 に対して十分に大きい場合、Z b を意味します。

次に、F(x) が絶対連続である場合、それはある f(x)∈L(a, b) の不定積分であることを示します。まず、F(x) が有界変動であることを確認します。定義上、F(x) は有限の変動です。ここで、T(x) =VF(a, x) と設定すると、T(x) は絶対連続になります。実はP.

参照

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