多重調和関数を用いた軸対称数値積分法
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(2) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vol.10,N(L2,2000. 本 数 値 積 分 で は,ま. ず 積 分 さ れ る 関 数 を 補 間 す る 必 要 が あ る.は. 関 数 を 用 い た 境 界 積 分 方 程 式 に よ り 補 間 す る 方 法 を 示 す.つ と 内 部 の 任 意 位 置 の 点 や 線 で 表 現 す る.本 ら か さ が 減 少 す る が,逆. 論 文 で は,関. じめ に 軸 対 称 多 重 調 和. ま り,関. 数(分 布)を 境 界 形 状. 数 に ラ プ ラ シ ア ン を 掛 け る と,滑. に 積 分 す る と 滑 ら か さ が 増 す こ と を 活 用 す る.軸. 対 称 問題 にお け. る ラ プ ラ シ ア ン は 次 式 で 定 義 さ れ る.. 分 布 す る 領 域 内 デ ー タ の 値ws1(r,z)に. 式(2,1)の. ラ プ ラ シ ア ン を 掛 け る と,次. の ボア ソン方. 程 式 を 近 似 的 に 満 足 す る も の と す る[6,7,8].. た だ し,ws2はr-z平 式 に よ っ て 一 点Pに. 面 に 面 状 に 分 布 す る も の と し,WP。. は 面 積Aに. 一 様 に 分 布 す るWA、. 集 ま っ た デ ィ ラ ッ ク の デ ル タ 関 数 の 強 さ と す る.. こ の 関 数WP、 は 軸 対 称 熱 伝 導 方 程 式 に お け る リ ン グ 状 の 熱 源 に 相 当 す る.同 z平 面 で 線 状 の も の と し,一. な お,W,月. はws,.1を. 連 立 積 分 方 程 式 に よ り,分. た,分. よ びWP3を. ど の 強 さ を 求 め る.. 用 い て 補 間 す る こ と が で き る.っ. の. が 得 ら れ,更. はr-. 布 は 一 般 に 高 次 の 曲率 和 を用 い な. 含 ま な い 次 式 が 成 立 す る と す る.. 布 を 表 現 す る た め のW㌔.1な. 実 際 の 計 算 に お い て,F=2お 、士. 様 に,WL、. 般 に 次 式 が 成 立 す る と す る.. はW・ の 曲 率 和 の よ う な も の で あ る,ま. く て も 表 現 で き,f=Fで. rg只. が 次. に 式(2.6),(2.7)よ. り 次 の 重 調 和 方 程 式 が 得 ら れ る.. ま り,式(2.2),.
(3) 多重調和関数を用 いた軸対称数値積分法. こ れ は,薄 り,本. 板 理 論 に お け る 点 荷 重WP3が 作 用 す る 薄 板 の 変 位ws1の. 理 論 の 補 間 で は 薄 板 の 変 位w㍉ が 与 え られ て お り,逆. 式 と 同 じ形 式 で あ る.っ. に 未 知 の 点 荷 重wP3を 求 め る こ と. に 相 当 す る.梁. の た わ み の 式 と 同 等 な 自 然 ス プ ラ イ ン に お い て,両. す る よ う に,本. 理 論 で も 薄 板 の 縁 で も モ ー メ ン トに 相 当 す るws2を0と. 数 を 求 め る.薄. 板 の 場 合 か ら 分 か る よ う に 点 荷 重 が 作 用 す る 点 で の モ ー メ ン トws2(曲. 和)は. 無 限 と な る.F=3を. 用 い る と,曲. ま. 端 の モ ー メ ン トを0と. 率 和w㍉ は 無 限 に な ら な い が,境. 置 く こ と に よ り未 知 率. 界 に お け る未 知 数 が. 増 加 す る. 積 分 方 程 式 を 用 い て,未 な る.軸. 知 のWP3な ど で 求 め る た め に,軸. 対称 問題 の多 重 調和 関数 が 必要 と. 対 称 問 題 の 多 重 調 和 関 数 は 三 次 元 の 場 合 の 多 重 調 和 関 数 か ら得 ら れ る.三. 次元問. 題 のf重 調 和 関 数Tε3エ ・ は 次 式 で 与 え ら れ る.. 軸 対 称 問 題 の ラ プ ラ ス の 方 程 式 の 基 本 解Tu】1(P,Q)は,三 (P,Q)を. 次 元 問 題 に お け る 基 本 解T`3〕1. 円 周 方 向 に 積 分 す る こ と に よ り 求 め る こ と が で き る.. 式(2110)の. た だ し,KOお. 点Qに お け る 単 位 法 線nに 関 す る 微 分 係 数 は 次 式 で 与 え ら れ る[2].. よ びEOは. は 次 式 で 与 え ら れ る.. 第 一 種 お よ び 第 二 種 完 全 楕 円 積 分 で あ り[1],上. 式 のC1お. よ びm。2.
(4) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌VoL10,N(L2,2000. 軸 対 称 重 調 和 関 数TD]、. と そ の 法 線 微 分 は 次 式 で 与 え ら れ る. 隻. 更 に,T【. 月,は. 次 式 と な る.. 一 般 に ,軸. 対 称 問 題 のf重. 式(2.21)の. 積 分 は 次 式 の 関 係 を 用 い る こ と に よ り,順. ま た,多. 重 調 和 関 数T,は. 調 和 関 数T〔 」1,は 式(2.9)よ. 次 式 の 関係 が あ る 。. り 次 式 で 与 え ら れ る.'. 次 求 め る こ と が で き る[4]..
(5) 203. 多重調和 関数 を用いた軸対称数値積分法. 点 状 のWP,の (2.5)お. 数 をM,線. 状 のW㌧. の 形 状 をr、. と し,領. 域 Ω の 境 界 をrと. す る と,式(2。1)∼. よ び グ リ ー ン の 定 理 を 繰 り 返 し 使 用 す る こ と に よ り 次 式 が 得 ら れ る[2,6].. た だ し,滑. ら か な 境 界 上 で はc=0.5,領. 域 内 部 で はc=1で. あ る.ま. た,式(2.24)のws,は. 同様. に 次 式 で 与 え ら れ る.. ス プ ラ イ ン 関 数 を 用 い た 補 間 法 で は,碁. 盤 目 状 に 並 ん だ デ ー タ が 必 要 で あ る が,本. 手法で. は ラ ン ダ ム な 位 置 に あ る デ ー タ を 使 用 す る こ と が で き る. 2.2数. 値積 分. 任 意 境 界 形 状 内 で 定 義 さ れ た 分 布 量 の 数 値 積 分 方 法 を 示 す.分 間 し た 後,数. 値 積 分 す る.グ. リ ー ン の 定 理 を 活 用 し,領. の 三 次 元 問 題 の 場 合 の 関 数 ψ,お よ び,そ. 布 を 式(2.2)∼(2.5)で. 域 積 分 を 境 界 積 分 に変 換 す る た め. の 法 線 方 向 微 分 係 数 は 次 式 で 与 え ら れ る[5].. 軸 対 称 問 題 の 積 分 に 必 要 な 関 数 ψ 【月,は,式(2.26)を. こ の 関 数 ψ 口]・ に も 次 式 の 関 係 が 成 立 す る.. 補. 円 周 方 向 に 積 分 し て 得 ら れ る..
(6) 関 数 ψ[月,を. 分 布ws1が. 具 体 的 に 示 す と,次. 式(2.2)∼(2.5)を. 式 の よ う に な る.. 満 足 し て い る 場 合,式(2,29)お. よ び グ リー ン の 定 理 よ り 次 式 が. 得 ら れ る[5]。. た だ し,pは. 任 意 点 を 示 し,積. 軸 対 称 体 の 体 積 と な り,次. 分 値 は 点pの 位 置 に よ ら な い.式(2。37)に. 用 い る こ と に よ り,分. 式(2.37>,(2.38)に. お い て 点pは,任. 領 域 外 で も よ い.. 場 合,. 式 で 表 わ す こ と が で き る.. 式(2.37),(2.38)を. お,点pは. お い てws、=1の. 布 量ws1の. 平 均 値 を 算 出 す る こ と が 可 能 で あ る.. 意 の 位 置 の 点 で よ く,ど. の 位 置 で も 同 じ 値 に な る.な.
(7) 多重調和 関数 を用いた軸対称数値積分法. 2.3積. 分方 程 式の 活 用例. 実 際 の 計 算 に お い て,境 (2.24)か. ら(2.25>のWs2か. え ら れ て い な い.そ. らWs,お. こ で,こ. つ ま り,式(2.6),(2.7)を. 式(2.39>お. 界 上 お よ び,い. 離 散 化 し,境. た だ し,上 (P)に. よ びW%を. 通 常,与. 用 い る 場 合 で 示 す.. 連 立 積 分 方 程 式 は 次 式 に な る.. 界 に 対 し て 一 定 要 素 を 用 い る こ と に す る.ws,(Q)を 成 分 に 持 つ ベ ク ト ル をV・,WP3〈. ωを成 分 に 持 っ ベ ク. 離 散 化 す る と 次 式 が 得 ら れ る.. HIW1=G玉V、+H2W2-G2V2-GP2WP3. た だ し,pお 化 し,r」. し,式(2.39)を. は 与 え ら れ て い る が,式. れ ら の 法 線 方 向 の 微 係 数 やWLf,WP,は. れ ら の 値 を 求 め る 方 法 を,F=2お. 成 分 に 持 つ ベ ク トルW,,∂ws,(Q)/∂nを. (2.41). よ び,そ. 用 い る 場 合,式(2.24),(2.25)の. よ び(2.40)を. トル をWP3と. く つ か の 内 点 で のw㍉. よ びqは. 内 点 を 示 す も の と す る と,Hl,G、,H、,G、. で 線 積 分 を 行 っ た 場 合,次. 添 え 字PはWP、. 関 し て 式(2.40)よ. お よ びGP、. は,点iで. 離 散. 式 の 成 分 を 持 つ マ ト リ ッ ク ス で あ る.. を 与 え る 点 で あ る こ と を 示 す.F=2の り 次 式 が 得 ら れ る,. 場 合 を 考 え て い る の で,ws、.
(8) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌VoL10,Nα2,2000. 上 式 よ りV1,V、 W(pP)を. お よ びWP、. を 求 め る こ と が で き る.つ. 与 え る と,Ws1(Q>お. よ びWs2(Q)の. る.任. 意 点 の 補 間 値 は,式(2.39)よ. をN1点. 使 用 し た 場 合,(FN。+N1)行. る と,連 ま た,F=2お. 界 上 で の 値W、. 定 要 素 を 用 い,境. 界 をN。 分 割 し,内. の 連 立 方 程 式 を 解 か な け れ ば な ら な い.大. 用 い る 場 合,式(2.37)は. と内点で の値. 境 界 上 で の 法 線 方 向 の 傾 き とWP、 の 強 さ が 得 ら れ. り 計 算 す る.一. 立 方 程 式 が 大 き く な る の で,F=2お よ びWP,を. ま り,境. よ びwp、 を 用 い る 式(2.55)が 次 式 と な る.. き いFを. 点 用い. 実 用 上 便 利 で あ る..
(9) 3.活. 用. 例. 本 積 分 法 の 有 効 性 を 示 す た め に 円 環 体 の 体 積Vと 円 環 体 の 断 面 図 を 示 す.比. た だ し,Sはr-z平 960881x106で. 重 ρ を1と す る と,こ. 場 合,式(2.38)か. 界 積 分 を 用 い た 式(2.38)で. ら 分 か る よ う に,計. モ ー メ ン トJの 厳 密 な 値 は,式(3.2)よ. Fig.3に る.球. れ ら の 積 分 は 次 式 と な る.. 面 上 の 而 積 で あ る.R1=60,R・=50と. あ り,境. L628812×101°. 二 次 慣 性 モ ー メ ン トJを 求 め る.Fig.2は. で あ っ た.た. 示 す 半 径Rの. だ し,境. 球 の 体 積Vと. し た 場 合 の 体 積 は,式(3.1)の 計 算 し た 値 は2.957124XlO6で. 算 に 内 点 は 不 要 で あ る.ま り1.621082523x101°. あ っ た.こ. た,ws1=r2で. で あ り,式(2.56)の. 2.. Boundary. の. あ る 二 次慣 性 数値積 分値 は. 界 に 一 定 要 素 を 使 用 し た. 二 次 慣 性 モ ー メ ン トJを 求 め る.た. だ し,比. の 厳 密 な 二 次 慣 性 モ ー メ ン トJは 次 式 で 与 え ら れ る.. Fig.. 値 は2.. discretization. and. in. points. of. torus. 重 ρ は1と. す.
(10) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌VoL10,Nα2,2000. Fig.3.Boundarydiscretizationandinternalpointsofsphere. (a)16points. (b)12points. fig.A.Boundary 半 径R=50と は5.2335x105で. し た 場 合 の 球 の 厳 密 な 体 積 は5.23598xlO5で あ っ た.ま. 08で あ り,式(2.56)の 最 後 に,次. pointsofcylinder. dlscx・etiZatiQllandlnterml. た,二. あ り,境. 界 積 分 を用 い て 計 算 した 値. 次 慣 性 モ ー メ ン トJの 厳 密 な 値 は,式(3.3)よ. 数 値 積 分 値 は5.2814x108で. の 定 積 分 を 計 算 し た.. あ っ た,. り5.2598x1.
(11) 多重調和関数を用 いた軸対称数値積分法. Fig.4(a),(b)に. 境 界 の 要 素 分 割 と 使 用 し た 内 点 を 示 す.R=10,A=B=50と. 厳 密 な 値 は2.22816x105で り,Fig.4(b)の. あ る 。 式(2.56)の. 場 合2.216041×105で. 用 し た が,数. 数 値 積 分 の 値 は,Fig.4(a)の. あ っ た.た. の 線 積 分 に は ガ ウ ス 積 分 を 使 用 し た.プ. し た 場 合,上. だ し,境. 式の. 場 合2.227573x105で. 界 は 一 定 要 素 を 使 用 し,領. ロ グ ラ ム 作 成 を 容 易 に す る た め に,一. 域 境 界. 定 要 素 を使. 値 積 分 の 精 度 を 向 上 させ る に は境 界 に 対 して 高 次 の 要 素 を 使 用 す る 必 要 が あ. る.. 4.結. 言. 任 意 外 形 形 状 の 軸 対 称 数 値 積 分 法 を,軸 間 し た 後,こ. 対 称 多 重 調 和 関 数 お よ び 積 分 方 程 式 を 用 い て補. れ ら の 補 間 値 を 用 い て 数 値 積 分 す る 方 法 を 示 し た,本. 1つ 下 が り,一. 手 法 で は積 分 の 次 数 が. 次 元 の 数 値 積 分 に 変 換 す る こ と が で き る こ と が 示 さ れ た,ま. を 分 割 す る 必 要 が な く,実. 用 上 の 利 点 が 示 さ れ た,本. 数 値 計 算 に 実 用 上 必 要 な 関 数 を 具 体 的 に 示 し た.計. た,積. 分領 域. 数値 積 分 に必要 な 関数 の誘 導 方法 と 算 例 に よ り工 業 的 に使 用 で き る 精 度 が. 得 ら れ る こ と が 明 ら か に さ れ た.. モ. 参考 文 献 [1]. Abramowitz,b9.andStegun,A.,HandbookofMathematicalFunctions, pp.590-592,Dover,NewYork,1970.. [2). Brebbia,C.A.,Telles,J.C.F.andWrobel,L.C.,BoundaryElementTechniques ‐TheoryandApplicationsinEngineering. 素 解. [3]. 析 一理. 論. と 応. ,Springer-Verlag,(1984),境. 用,田. 中 正 隆. 訳,(1984),pp。96-100,丸. 界. 要. 善.. Davis,P.J.andRabinowitz,P.,MethodsofNumericalIntegration,Academic Press,pp.344-417,London,184.. P雪1し. 謄D. ﹁lJ. P ■■し. 4. Gradshtey,1.S.andRyzhik,1.M.,大. lI■一. 落. 合 芳. 博,多. 重. 調. 和. 関 数. を 用. い た 補. 間. 槻. 義. 彦 訳,数. お. よ び 数. 値 積. 学 大. 公 式 集,p.158,(1983),丸 用. 数 理. 善.. 分 法,日. 本 応. 学 会. 械. 文 集,C編,VoL60,NO.. Vol.8,No.4,pp.457-468,(1998).. [6]. Ochiai,Y.andSekiya,T.,GenerationofFree‐FormSurfaceinCADforDies, AdvancesinEngineeringSoftware,Vo1.22,pp.113-118,1995.. [7]. 落. 合 芳. 博,境. 界 積. 分 方. 程. 式. に. よ る. 曲 面 の 創. 570,pp.709-714,(1994).. [s]. Ochiai,Y.andSekiya,T.,SteadyHeatConductionAnalysisbyImproved Multiple‐ReciprocityBoundaryElementMethod,EngineeringAnalysiswith BoundaryElements,Vo1.18,pp.111-117,(1996}.. 成. 法,機. 学 会 論. 論 文. 誌,.
(12) 210. [9]森. 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌VoL10,No.2,2000. 正 武,室. 落 合 芳 博(正. 田 一 雄,杉. 原 正 顕,数. 会 員)〒577-8502東. 値 計 算 の 基 礎,pp.65-80,(1992),岩. 大 阪 市 小 若 江3の4の10chiai@陀2.kindai.ac.jp. 1975年 大 阪 府 立 大 学 機 械 工 学 科 卒 業,1977年 博 士.大. 波.. 大 阪 府 立 大 学 工 学 研 究 科 修 士 課 程 修 了.工. 阪 府 立 産 業 技 術 総 合 研 究 所 主 任 研 究 員,現. 在,近. 学. 畿 大学総 合理 工学研 究科 助教 授. (1999年7月6日. 受 付). (2000年3月30日. 最 終 稿 受 付).
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図
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