多重調和関数を用いた補間および数値積分法
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(2) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vol.8,Nα4,1998. 458. 2.理. 2.1多. 論. 重 調 和 関 数 に よ る補 間. 領 域 積 分 を 含 ま な い 多 重 調 和 関 数 を 用 い た 境 界 積 分 方 程 式 に よ り 補 間 す る 方 法 を 示 す. っ ま り,分. 布 を 境 界 形 状 と 内 部 の 任 意 位 置 の 点 や 線 で 表 現 す る.本. ラ シ ア ン を 掛 け る と,滑 す る.分. ら か さ が 減 少 す る が,逆. か り や す く す る た め,二. 論 文 で は,関. 数 に ラプ. に 積 分 す る と滑 ら か さ が 増 す こ と を活 用. 次 元 の 場 合 に つ い て 示 す.分. 布 す る 領 域 丙 デ ー タ の 値ws. 、(x,y)が 次 の ボ ア ソ ン 方 程 式 を 近 似 的 に 満 足 し て い る とす る.. た だ し,ws2は て 一 点Pに. 面 状 に 分 布 す る も の と し,WP・. は 面 積Aに. 一 様 に 分 布 す るWA、. が次 式 に よっ. 集 ま っ た デ ィ ラ ッ ク の デ ル タ 関 数 と す る.. こ の 関 数WP2は. 熱 伝 導 方 程 式 に お け る 点 熱 源 に 相 当 す る.同. 様 に,WL、. は 線 状 の も の,WD、. 線 状 で し か も ポ テ ン シ ャ ル 論 に お い て 二 重 層 と な っ て い る も の と し,一. は. 般 に次式 が成 立す. る と す る.. な お,Wf.、. はWfの. き る の で,f=Fで. 曲 率 和 で あ る.ま. た,分. 布 は 一 般 に 高 次 の 曲 率 和 を用 い な くて も表 現 で. はws・.・ を 含 ま な い 次 式 が 成 立 す る と す る.. 連 立 積 分 方 程 式 に よ り,分. 布 を 表 現 す る た め のWP,月 な ど の 強 さ を 求 め る.. 二 次 元 問 題 の ラ プ ラ ス 式 の 基 本 解T・(P,Q)お. よ び,そ. の 単 位 法 線nに 関 す る 微 分 係 数 は 次. 式 で 与 え られ る[2].. た だ し,rは2点Pお. 点 状 のwp6の. よ びQ間. 数 をM,線. の 距 離 で あ る1ま. 状 のWLfお. よ びWDfの. た,次. の 多 重 調 和 関 数Tfを. 形 状 をr、. お よ びr。. と し,領. 考 え る.. 域 Ω の 境 界 をr.
(3) 多 重調 和 関 数 を用 い た補 間 お よ び数値 積 分 法45g と す る と 、 式(2.1)∼(2.7)お. よ び グ リー ン の 定 理 を 繰 り返 し 使 用 す る こ と に よ り 次 式 が 得. ら れ る[6,7,8ユ.. た だ し,滑. ら か な 境 界 上 で はc=0.5,領. 域 内 部 で はc=1で. あ る.ま. た,式(2.8)のWSfは. 同様. に 次 式 で 与 え ら れ る.. n次. 元 問 題 の 場 合,次. 式 に よ り 式(2.8)のf重. 多 重 調 和 関 数T・お よ び,そ. た だ し,sgnOは. 調 和 関 数Tζ. の 法 線 方 向 微 分 係 数 は 一 般 に 次 式 で 与 え ら れ る[9].. 符 号 関 数 で あ り,(2f)!!=2f(2f-2)…4・2で. 三 次 元 の 場 合 は,式(2.3)に. が 求 め ら れ る.. あ り,0!!=1で. あ る[1].. お い て 面 状 の も の も 除 い た 三 次 元 的 に 分 布 し た も の を グ リー. ン 定 理 に よ り 面 積 分 に 置 き 換 え る.三 す る 微 分 係 数 は 次 式 で 与 え ら れ る.. 次 元 の 場 合 の 高 次 基 本 解T,お. よ び そ の 単 位 法 線nに. 関.
(4) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vol.8,Nα4,1998. ス プ ラ イ ン 関 数 を 用 い た 補 間 法 で は,碁. 盤 目状 に 並 ん だ デ ー タ が 必 要 で あ る が,本. は ラ ン ダ ム な 位 置 に あ る デ ー タ を 使 用 す る こ と が で き る.し ス プ ラ イ ン 関 数 を 使 用 す る 方 法 と 比 較 し て 利 点 は な い.ま 程 式 を 用 い る 必 要 は な い が,一. か し,一. た,一. 手 法で. 次 元 問 題 の 場 合 は,. 次 元の場 合 は境 界積 分方. 次 元 の 場 合 も 同 じ 形 式 で 表 現 で き,f重. 調 和 関 数Tfは 一 般 に. 次 式 で 与 え ら れ る.. CADな. ど に お い て は,補. 間 され た 分 布 の 微 分 値 が 重 要 な 働 き を す る の で,補. の 勾 配 を 求 め る 式 を 示 す.式(2.8)をx、. ↓. 上 式 に お い て,r,・=∂r/∂x、 に 次 式 で 与 え ら れ る.. で あ る.三. で 微 分 す る と,次. σ. 間 され た 分 布. 式 が 得 られ る.. ムv. 次 元 の 場 合 の 関 数. ∂T`/∂n,. ∂2Tf/∂Xi∂nは. 一. 般.
(5) 多重調和関数を用 いた補 間および数値積分法. 2.2数. 値積 分. 任 意 境 界 形 状 内 で 定 義 さ れ た 分 布 量 の 数 値 積 分 方 法 を 示 す.分 間 し た 後,数 に,新. 値 積 分 す る.グ. リー ン の 定 理 を 活 用 し,領. た に 関 数 ψ 。=1を定 義 し,次. 二 次 元 の 場 合,分. 布Ws、. 布 を 式(2.8)∼(2.9)で. 補. 域 積 分 を境 界 積 分 に 変 換 す る た め. 式 で 与 え ら れ る 関 数 ψ,を 使 用 す る.. が 式(2.1)∼(2.4>を. 満 足 し て お. り,Ws,二Ws1ψ. 。を 用 い,式(2. .24)お. よ び グ リ ー ン の 定 理 よ り 次 式 が 得 ら れ る.. た だ し,pは 式(2.10)と. 領 域 内 の 任 意 点 を 示 し,積. 分 値 は 点pの. 同 様 に 次 式 に よ り 式(2.25>の. 関 数 ψfが. 二 次 元 の 場 合,関. 位 置 に よ ら な い. 求 め ら れ る.. 数 ψfお よ び そ の 法 線 方 向 微 分 は 次 式 で 与 え ら れ る.. n次 元 問 題 の 場 合,.
(6) 日本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vo1.8,Nα4,1998. 式(2.25),(2.29)を (2.25),(2.29)に る.同. 用 い る こ と に よ り,分 お い て 点pは,領. 布 量 の 平 均 値 を 算 出 す る こ と が 可 能 で あ る.式. 域 内 の 任 意 の 位 置 の 点 で よ く,ど. 様 に 三 次 元 問 題 の 場 合 も 計 算 す る こ と が で き,関. の位 置 で も 同 じ値 に な. 数 ψ ・お よ び そ の 法 線 方 向 微 分 係 数. は 次 式 で 与 え ら れ る.. 三 次 元 問 題 の 場 合,式(2.29)に 算 す る こ と が で き,関. よ り領 域 の 体 積 が 得 ら れ る.一. 次 元 問 題 の 場 合 も 同様 に 計. 数 ψ,お よ び そ の 法 線 方 向 微 分 係 数 は 次 式 で 与 え ら れ る. _2f. 2.3積. 分 方程 式 の活 用例. 実 際 の 計 算 に お い て,境 (2.8)か. ら(2.9)のWs2か. ら れ て い な い.そ. 界 上 お よ び,い. らWsFお. よ び,そ. こ で 次 に,こ. 二 次 元 問 題 と し,F=2お. 2. 与 え ら れ て い る が,式. れ ら の 法 線 方 向 の 微 係 数 やWL・,WP,は. れ ら の 値 を 求 め る 方 法 を 示 す.分. よ びWP,を. が 得 ら れ,式(2.8>,(2.9)よ. く っ か の 内 点 で のws1は. 用 い る.式(2.1>,(2.4)よ. り 連 立 積 分 方 程 式 は 次 式 に な る.. り. へ. 曹富7く き'A、A吊'AA、. 通 常,与. え. か り や す く す る た め に,.
(7) 多重調和関数を用 いた補 間および数値積分法. 式(2.36)お. よ び(2.37)を. 離 散 化 し,境. 成 分 に 持 っ ベ ク トルW・,∂ws・(Q)/∂nを トル をWP、. と し,式(2.36>を. た だ し,pお 化 し,r」. よ びqは. 界 に 対 し て 一 定 要 素 を 用 い る こ と に す る.WSf(Q)を 成 分 に 持 つ ベ ク ト ル をVf,wp(m),を. 離 散 化 す る と 次 式 が 得 ら れ る,. 内 点 を 示 す も の と す る と,H、,G1,H2,G2お. で 線 積 分 を 行 っ た 場 合,次. を 与 え る 点 で あ る こ と を 示 す.F=2の. (P)に. り 次 式 が 得 ら れ る.. た だ し,GP1は,次. ま た,式(2.36)に. よ びGP、. 離 散. 場 合 を 考 え て い る の で ,W・ 、. 式 の 成 分 を 持 っ マ ト リ ッ ク ス で あ る.. お い て,値W(pP)の. は ,点iで. 式 の 成 分 を 持 つ マ ト リ ッ ク ス で あ る.. た だ し ・ 上 添 え 字Pはwp・ 関 し て 式(2.37)よ. 成 分 に持 つ ベ ク. 内 点 を 活 用 す る と 次 式 が 得 ら れ る..
(8) 464日. 本 応 用 数 理 学 会 論 文 誌Vol.8,Nα4,1998. た だ し,H,,G,,H、,G、. W2=0と. は,次. 置 く と,式(2.38),(2.44),(2.46)よ. 上 式 よ りVユ,V2お W(pP)を る.任. お よ びGP・. よ びWP,を. 与 え る と,Ws,(Q)お. 求 め る こ と が で き る.つ よ びWs2(Q)の. 定 要 素 を 用 い,境. 3.活. 用. 用 い る 式(2.52)が. ま り,境. 界 上 で の 値W、. 境 界 上 で の 法 線 方 向 の 傾 き とWP3の. り 計 算 す る.式(2.52)で 界 をN・ 分 割 し,内. の 連 立 方 程 式 を 解 か な け れ ば な ら な い.二 2お よ びWP,を. ト リ ッ ク ス で あ る.. り 次 式 が 得 ら れ る.. 意 点 の 補 間 値 は,式(2.36)よ. 置 い て も よ い.一. 式 の 成 分 を 持 つ マ. はW2=Oと. と内点で の値 強 さが 得 られ. 置 い た が,V2=0と. 点 をN、 点 使 用 し た 場 合,(FN。+N1)行. 次 元 問 題 の 場 合,連. 立 方 程 式 が 大 き く な い,F=. 実 用 上 便 利 で あ る.. 例. 外 形 の 形 状 お よ び 内 点 が 与 え ら れ た 場 合 の 補 間 例 を 示 す.図1(a)に 点 の 高 さ が 与 え ら れ て い る.式(2.52)に. よ り補 間 さ れ た 形 状 を 図1(b)に. は 顔 の外 形 形 状 と 内 示 す.本. 補 間 法で. は 与 え ら れ た 外 形 形 状 お よ び 内 点 を 必 ず 通 る 滑 ら か な 自 由 曲 面 が 得 られ る. 次 に,数. 値 積 分 の 例 を 示 す.図1の. 例 か ら も分 か る よ うに本 数 値 積 分 法 を用 い る と任 意. 外 形 形 状 の 数 値 積 分 を 行 う こ と が で き る が,精. 図2(a),(b)に,外. 度 を 確 か め る た め に 次 式 の 積 分 を 行 っ た.. 形 形 状 お よ び 数 値 積 分 に 使 用 し た 内 点 を 示 す.L=10の. 場 合,式(3.1)の.
(9) .多重調 和 関 数 を用 いた 補 間 お よ び数値 積 分 法. (a). Given. data. (b) Obtained Fig.. (a). 1. Interpolation. 81 Fig.. shape by. integral. equation. (b). points 2.. Region. (Human. and. internal. points. face).
(10) Fig.. 3.. Volume. of. half. sphere. Internalpoints. (a)Boしmdarydiscretization(b) Fig.4.Tripleintegral. 厳 密 な 値 は40.528で は40.516と 次 に,半. な っ た.た. 数 値 積 分 で は 図2(a)の. だ し,境. し た 場 合,厳. 場 合 で は40.531で. あ り 図2(b)の. 場合で. 界 に 一 定 要 素 を 使 用 し た.. 球 の 体 積 を 求 め た.図3に. 球 の 半 径Rを10と 最 後 に,次. あ り,本. 外 形 形 状 お よ び 数 値 積 分 に 使 用 し た 内 点 を 示 す.半. 密 な 値2094.4に. 対 し て,本. 数 値 積 分 の 値 は2092.0で. あ っ た.. 式 の 三 重 積 分 の 場 合 の 数 値 積 分 を 行 っ た. LLL πyπZ. (3.2). )siii( OOO. 三 次 元 分 布 を 補 間 す る に はFニ3と. L. し,境. dxclydz. LL. 界rに. 界 の 要 素 分 割 と 使 用 し た 内 点 を 示 す.L=10と. 関 し て 面 積 分 を 使 用 す る.図4(a)J(b)に し た 場 合,上. 式 の 厳 密 な 値 は258・0で. 境 あ り,本.
(11) 多重調和関数 を用 いた補間および数値積分法467 数 値 積 分 の 値 は256・4で あ っ た ・ た だ し,境 ガ ウ ス 積 分 を 使 用 し た.プ. 界 は 一 定 要 素 を 使 用 し,領. 域 境 界 の 面積 分 に は. ロ グ ラ ム 作 成 を 容 易 に す る た め に ,一 定 要 素 を 使 用 し た が,数. 値 積 分 の精 度 を 向 上 させ る に は 境 界 に 対 して 高 次 の 要 素 を使 用 す る 必 要 が あ る .. 4.結. 言. 任 意 外 形 形 状 の 領 域 内 の 分 布 の 補 間 方 法 を,多 し た.本. 重 調 和 関 数 お よ び 積 分 方 程 式 を用 い て 示. 補 間 法 で は 任 意 外 形 形 状 の 領 域 内 の 分 布 が 補 間 で き る の で ,従. 数 を 用 い る 場 合 に 比 べ て 活 用 しや す い.ま. た,同. 来 のス プライ ン関. 様 に 本 数 値 積 分 法 は任 意 外 形 形 状 の 領 域. の 数 値 積 分 が 可 能 で あ る.. 参考文 献. [1]Abramowitz,M.andStegun,A.,HandbookofMathematicalFunctions. ,. p.258,Dover,NewYork,1970. [2]Brebbia,C.A.,Telles,J.C.F.andWrobel,L.C.,BoundaryElementTechniques ‐TheoryandApplicationsinEngineering. 素 解 析. 一理. 論. と 応. ,Springer-Verlag,(1984),境 用,田. 中 正. 隆 訳,(1984),pp.46-70,丸. 界. 要. 善.. [3]ChalesA.Micchelli,InterpolationofScatteredData. ,Constructive. Approximation,Vol.2,pp.12-22,1986. [4]市. 田 浩. 三,吉. 本. 富. 士 市,ス. プ. ラ イ. ン 関 数. と そ. の 応. 用,教. 育. 出 版,(1979).. [5]NiraDyn,lnterpolationofScatteredDatabyRadialFunctions, inTopicsinMultivariateApproximation,Eds.C. .KChui,. L.L.SchumakerandF.1.lltreras,pp.47-61. ,(1987),AcademicPress,. London. [6]Nowak,A.J.,andNeves,A.C.,TheMultipleReciprocity$oundary ElementMethod,ComputationalMechanicsPublication. ,Southampton,. Boston,(1994}. [7]Ochiai,Y'.andSekiya,T.,GenerationofFree-FormSurfaceinCADforDies. ,. AdvancesinEngineeringSoftware,Vo1.22,pp.113-118 [8]落. 合 芳. 博,境. 界 積. 分 方 程. 式. に. ,1995. よ る. 曲 面 の 創. 成. 法,機. 械. 学 会. 論 文. 集. ,C編,Vol.60,NO,. 570,pp.709-714,(1994). [9]Ochiai,1'.andSekiya,T.,SteadyHeatConductionAnalysisby I皿provedMultiple-ReciprocityBoundaryElementMethod. ,Engineering. AnalysiswithBoundaryElements,Vol.18,pp.111-117 [10]桜. 井. 明,Cに. よ る. ス プ. ラ イ. ,(1996}. ン 関 数,東. 京. 電 機. 大 学. 出 版. 局,1993..
(12) 468日. 本 応 用 数理 学 会 論文 誌Vo】.8,Nα4,1998. 落 合 芳 博(正 1975年 博 士.大. 会 員)〒577-8502東. 大 阪 市 小 若 江3の4の[email protected]. 大 阪 府 立 大 学 機 械 工 学 科 卒 業,1977年. 大 阪 府 立 大 学 工 学 研 究 科 修 士 課 程 修 了.工. 阪 府 立 産 業 技 術 総 合 研 究 所 主 任 研 究 員,現. 在,近. 学. 畿 大学理 工学部 二部機 械 工学科. 講 師 (1997年12.月4日. 受 付). (1997年12月4日. 受 付).
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