第 5 章 初等関数

第

5

実変数に対して定義されている初等関数を，次の条件を満たすように，複素変数zに拡張する。

(i) z=x+i0（実数）のとき，実変数関数に一致する。

(ii) 正則関数である。

5.1

定義 z=x+iy のとき

f(z) = e^z = e^x( cosy+isiny) (5.1)

ただし，e = 2.71828· · · は自然対数の底である。

上で定義した指数関数は

(i) f(x+i0) = e^x，すなわち，実変数に対する指数関数に一致。

(ii) 複素平面上のすべての点で正則（微分可能性２の定理より）。

(1) 関数f(z) =u(x, y) +iv(x, y) = e^xcosy+ie^xsiny が定義される。

(2) 偏導関数が存在し連続である。

∂u

∂x = e^xcosy ∂u

∂y = −e^xsiny

∂v

∂x = e^xsiny ∂v

∂y = e^xcosy (3) Cauchy-Riemannの方程式が成り立つ。

∂u

∂x = ∂v

∂y, ∂u

∂y =−∂v

∂x

注意：１ 複素変数z の指数関数を exp (z) と表すこともある。

注意：２ 複素変数の指数関数e^z は，実数の場合のような eのz 乗という意味ではない。

43

44 第5 章 初等関数

導関数・指数法則 複素変数の指数関数に対して，導関数・指数法則など，実関数の場合と同 様の式が成り立つ。

(1) de^z

dz = e^z (5.2)

(2) e^z1e^z2 = e^z1+z2, e^z1

e^z2 = e^z1−z2 (5.3)

(3) e⁰ = 1, (e^z)ⁿ= e^nz (nは自然数) (5.4)

(4) |e^z| = 0 (5.5)

複素変数の指数関数は実関数と異なる性質ももつ。

(5) e^iθ = cosθ+isinθ Eulerの公式 (5.6)

(6) e^z+2πi= e^z, 虚数の周期2πiをもつ周期関数 (5.7)

(7) |e^z|= e^x, argz=y+ 2nπ (nは整数) (5.8)

Euler の公式

第１章では，実関数e^x において形式的に実数x に虚数を代入してEuler の公式を示した。複 素変数に対する指数関数の定義によって，Euler の公式が正当化される。

Re z Im z

Reω Imω

2π 2π 2π

図5.1: 指数関数の周期性 指数関数の周期性（図5.1）

複素変数z+ 2πiに対する指数関数は定義より

e^z+2πi = e^x+(y+2π)i = e^x[ cos(y+ 2π) +isin(y+ 2π) ] となるが，三角関数（実関数）の周期性

cos(y+ 2π) = cosy, sin(y+ 2π) = siny より，指数関数の周期性

e^z+2πi = e^x( cosy+isiny) = e^z

が得られる。これは，実変数の場合にはない重要な特性である。

指数関数の写像

関数ω =f(z) = e^z を写像としてみると，z=x+iy の虚部y については周期2π の周期関数 であるから，xが等しくy が2π の整数倍だけ異なる無数のz が，ω 平面上の同一点に写像さ れる（図 5.1）。

また，ω=u+iv とおくと，u= e^xcosy，v= e^xsiny であるから，これをx とy について 解くと

x= 1

2log (u²+v²), u

cosy = v

siny (= e^x >0)

である。従って，たとえば，z 平面上の直線 x=a，y=b（a,bは実定数）は，それぞれ x = a → u²+v² = e^2a 円

y = b → u

cosb = v

sinb >0 半直線 に写像される（図 5.2）。b= 0 のときは u 軸の正の部分に写像される。

Re z Im z

Reω Imω

f Re z

Im z

Reω Imω

f

図5.2: 指数関数による直線の写像

指数関数の周期性から，ω= e^z の逆関数は多価関数であり，ω 平面上の１点がz 平面上の無 数の点に写像される（図 5.1 の逆変換）。

46 第5 章 初等関数

5.2

定義

logz= log|z|+iargz (5.9)

この定義は，z=re^iθ に対する対数関数を形式的に計算した結果に一致する：

logz= log

re^iθ

= logr+ log e^iθ = logr+i θ

対数関数ω = logzは無限多価関数である。１つのz に対して，実部（log|z|^）が同じ で虚部（argz）が 2π の整数倍だけ異なる無数の ω が対応する（図 5.3）。

Reω Imω

Re z Im z

2π 2π 2π

図5.3: 多価関数である対数関数

対数関数logzが無限多価関数になるのは偏角に原因がある。そこで，次の定理に示すように，

偏角（定義域）に制限を加えることによって，１価関数が定義できる。

定理 5.1 対数関数 logz は，

領域|z|>0, α <argz < α+ 2π （α は実定数）で１価，正則であり，

導関数は次の式で与えられる：

d

dz(logz) = 1

z (5.10)

logz の主値 特に，偏角の定義域を−π < θ ≤π とし，これをargz の主値といいArgzで 表す。このように１価関数として定義された対数関数をlogz の主値といい Logz で表す：

Logz= log|z|+iArgz (5.11)

対数関数の主値は

(i) θ= 0 のとき，実関数に一致。

(ii) 複素平面から原点と負の実軸を除いた集合で連続である。

定理 5.2 対数関数の主値 Logz は，

領域 |z|>0,−π <Argz < π で１価，正則であり，

導関数は

d

dz(Logz) = 1

z (5.12)

である。（注意：領域は Argz=π を含まない）

対数関数は次の性質をもつ（z=x+iy）。

(1) e^logz =z (5.13)

(2) log e^z =z+ 2nπi (n= 0,±1,±2,· · ·) (5.14)

(3) Log e^z=z (5.15)

(4) log (z₁z₂) = logz₁+ logz₂ (5.16)

(5) logz₁

z2 = logz₁−logz₂ (5.17)

(6) zⁿ= exp (nlogz) (z= 0, n= 0,±1,±2,· · ·) (5.18) (7) z^1/n= exp

1

nlogz

(5.19) 注意１： (2)で，一般に log e^z =z

注意２： (4)の式は次のように解釈する。対数関数logzは無限多価関数であり，等号は，両 辺の無限個の値のうち適当なものを選べば，両辺が等しく，しかも一方の辺のとる値は 他方の辺も必ずとることを意味する。

従って，一般に logzⁿ=nlogz (n= 1,2,· · ·)

注意３： (4)で，主値をとると，一般に Log (z1z2)= Logz1+ Logz2

多価関数 f(z) について

(1) ある領域で正則である１価関数をf(z) の分枝という。

(2) 特異点からなる直線（曲線）を 分枝せっ線という。

(3) すべての分枝せっ線に共通な特異点を分岐点 という。

対数関数 logz の場合，α <argz < α+ 2π を定義域とする１価関数は１つの分枝である。こ のとき，argz=α が分枝せっ線であり，原点が分岐点である。

１つの分枝である主値 Logz を主枝という。このとき，argz= 0 が分枝せっ線であり，原点 が分岐点である。

48 第5 章 初等関数

対数関数の写像 複素数z は極形式でz=re^i(θ+2nπ) と書けるので，対数関数の定義logz= logr+iargz から，ω=f(z) = logz=u+iv とおくと，

u= logr, v=θ+ 2nπ

である。たとえば，z 平面上の原点を中心とする円は，ω 平面の虚軸に平行な直線に写像され る（図5.4の上図）。また，z平面の原点からでる半直線は，ω 平面の実軸に平行な無限個の直 線に写像される（図5.4 の下図）。

|z| = r → u = logr （虚軸に平行な直線）

argz = θ+ 2nπ → v = θ+ 2nπ （実軸に平行な直線）

Re z Im z

Reω Imω

f

Re z Im z

Reω Imω

2π 2π 2π 2π

f

図5.4: 対数関数の写像

5.3

実変数に対する三角関数・双曲線関数は，指数関数で表すと次の通りである。

sinx= e^ix−e^−ix

2i cosx= e^ix+ e^−ix 2 sinhx= e^x−e^−x

2 coshx = e^x+ e^−x 2

(5.20)

三角関数 複素変数に対する三角関数・双曲線関数を次の式によって定義する。

定義

sinz= e^iz−e^−iz

2i , cosz= e^iz+ e^−iz

2 (5.21)

sinhz= e^z−e^−z

2 , coshz= e^z+ e^−z

2 (5.22)

上で定義した三角関数・双曲線関数は (i) z=x+i0 のとき，実関数に一致。

(ii) e^±iz, e^±z は整関数であるから，sinz，cosz，sinhz，coshzも整関数（正則）。

複素変数の三角関数・双曲線関数は，実関数の場合と同様に，次の性質をもつ。これらの性質 は，すべて指数関数の性質を用いて導くことができる。

(1) sin (−z) =−sinz, cos (−z) = cosz (5.23)

(2) sin²z+ cos²z= 1 (5.24)

(3) sin (z₁±z₂) = sinz₁cosz₂±cosz₁sinz₂ (5.25) (4) cos (z₁±z₂) = cosz₁cosz₂∓sinz₁sinz₂ (5.26) (5) d sinz

dz = cosz, d cosz

dz =−sinz (5.27)

(6) sin 2z= 2 sinzcosz, cos 2z= cos²z−sin²z (5.28) (7) sin

z+π

2

= cosz, cos

z+ π 2

=−sinz (5.29)

(8) sin (z+π) =−sinz, cos (z+π) =−cosz (5.30) (9) sin (z+ 2π) = sinz, cos (z+ 2π) = cosz (5.31)

(10) sinh (−z) =−sinhz, cosh (−z) = coshz (5.32)

50 第5 章 初等関数

(11) cosh²z−sinh²z= 1 (5.33)

(12) sinh (z₁±z₂) = sinhz₁coshz₂±coshz₁sinhz₂ (5.34) (13) cosh (z₁±z₂) = coshz₁coshz₂±sinhz₁sinhz₂ (5.35)

(14) d

dzsinhz= coshz, d

dzcoshz= sinhz (5.36)

複素変数をz=x+iyとすると，次の関係式が成り立つ。

(15) sinz= sinxcoshy+icosxsinhy (5.37)

(16) cosz= cosxcoshy−isinxsinhy (5.38)

(17) sinhz= sinhxcosy+icoshxsiny (5.39)

(18) coshz= coshxcosy+isinhxsiny (5.40)

(19) |sinz|²= sin²x+ sinh²y, |cosz|² = cos²x+ sinh²y (5.41)

(20) sinz= sinz, cosz= cosz (5.42)

注意： 実変数の場合と異なり，(19) より，|sinz|^，|cosz|> 1 となることがある（y = 0 の とき）。

三角関数と双曲線関数の間に次の関係式が成り立つ。

(21) sinh (iz) =isinz, cosh (iz) = cosz (5.43)

(22) sinhz=−isin (iz), coshz= cos (iz) (5.44) (23) sin (iy) =isinhy, cos (iy) = coshy (y は実数) (5.45)

他の三角関数・双曲線関数 他の三角関数はsinz，coszによって，双曲線関数はsinhz，coshz によって，実関数の場合と同じ形で定義される。

tanz= sinz

cosz cotz= cosz

sinz secz= 1

cosz cosecz= 1 sinz tanhz= sinhz

coshz cothz= coshz

sinhz sechz= 1

coshz cosechz= 1 sinhz

(5.46)

5.4

定義 z= sinω のとき，ω= sin⁻¹zを 逆正弦関数といい，z= sinhω のとき，ω= sinh⁻¹z を 逆双曲線正弦関数 という。同様に，他の逆三角関数・逆双曲線関数も定義される。逆三角 関数・逆双曲線関数は，いずれも多価関数であり，次のように対数関数を用いて表すことがで きる。ただし，右辺の対数において，2nπi（n= 0,±1,±2,· · ·）の差異は無視する。（注意：

根号√ _{は２価関数である。）}

sin⁻¹z = 1 i log

iz+1−z²

(5.47) cos⁻¹z = 1

i logz+z²−1 (5.48)

tan⁻¹z = 1 2ilog

1 +iz 1−iz

(5.49) cot⁻¹z = 1

2ilog z+i

z−i

(5.50)

sec⁻¹z = 1 i log

1 +√

1−z² z

(5.51)

cosec⁻¹z = 1 i log

i+√

z²−1 z

(5.52) sinh⁻¹z = log

z+z²+ 1

(5.53) cosh⁻¹z = log

z+z²−1

(5.54) tanh⁻¹z = 1

2log

1 +z 1−z

(5.55) coth⁻¹z = 1

2log

z+ 1

z−1

(5.56)

sech⁻¹z = log

1 +√

1−z² z

(5.57)

cosech⁻¹z = log

1 +√

z²+ 1 z

(5.58)

52 第5 章 初等関数

5.5

複素変数（z= 0）に対して，複素数c のべきを次の式で定義する。

定義

z^c= exp (clogz) (z= 0 ) (5.59)

注意 対数関数logz が多価関数であるので，複素数のべきz^c も多価関数である。２つの実 数aとb を用いてc=a+i b と表すと，

z^c = exp

(a+i b) (log|z|+iargz)

= expalog|z| −bargz+iaargz+blog|z|.

対数関数の分枝を１つ定めると，z^c はその領域で１価，正則である。主値をとると z^c = exp (cLogz) = exp

alog|z| −bArgz

+i

aArgz+blog|z|. 複素数のべき z^c には次の性質がある。

(1) 1

z^c =z^−c (z= 0) (5.60)

(2) d

dz(z^c) =c z^c−1 (5.61)

複素変数z に対して，複素数 cのz のべきを次の式で定義する。

定義

c^z = exp (zlogc) (c= 0 ) (5.62)

注意 対数関数が多価関数であるので，複素数のべきc^z も多価関数である。

d

dz(c^z) = ( logc)c^z (5.63)

が成り立つ。

特例 cが自然対数の底eであるときは，特例として，対数関数の主値をとるものと約束する：

e^z= exp (zLog e) (5.64)

Log e = log|e|+i0 = 1 であるので，指数関数の定義に一致する。