は『2018 年度確率統計及び演習

2019

確統

II.0.1

確率統計及び演習 II

数理情報学科・3年次配当・前期・学科固有科目・選択・２単位

2019

確統

II.0.2

講義計画

No. 回数

【入力属性:◎】

【学外公開】

【入力属性:◎】担当者

【学外公開】

【入力属性:◎】学修内容

【学外公開】

キーワード

【入力属性:△】

1 L01

  飯田 晋司

  多変数の確率分布１：同時確率,周辺確率,条件付き確率(離散型確率変数の 場合) 

   2 L02

  飯田 晋司

  多変数の確率分布２：同時確率,周辺確率,条件付き確率(連続型確率変数の 場合)，確率変数の独立性

 

   3 L03

  飯田 晋司

  多変数の確率分布３：独立な確率変数の性質，ベイズの定理，モーメント 母関数１：モーメント母関数の定義

 

   4 L04

  飯田 晋司

  モーメント母関数２：正規分布のモーメント母関数，キュミュラント母関 数 

   5 L05

  飯田 晋司

  モーメント母関数３：2項分布とポアソン分布のモーメント母関数，確率変 数の和の確率分布，大数の弱法則

 

   6 L06

  飯田 晋司

  モーメント母関数４：中心極限定理，２つの確率変数に対するモーメント 母関数，正規母集団１：２次元正規分布の確率密度関数

 

   7 L07

  飯田 晋司

  正規母集団２：２次元正規分布の母共分散行列とモーメント母関数

   

  8 L08

  飯田 晋司

  正規母集団３：標本平均の従う確率分布，標準化された標本の2乗和の従う 確率分布，カイ2乗分布

 

   9 T01

  飯田 晋司

  小テスト１

   

  10 L09

  飯田 晋司

  正規母集団４：t分布，F分布，母数の推定１：不偏推定量，母比率の区間 推定 

   11 L10

  飯田 晋司

  母数の推定2：正規母集団の母平均，母分散の区間推定  

   12 L11

  飯田 晋司

  母数の推定3：２つの正規母集団の母平均の差，母分散の比の区間推定  

   13 L12

  飯田 晋司

  母数の推定3：対応のある2標本の母平均の差の区間推定，仮説検定１：手 順と用語の紹介

 

   14 T02

  飯田 晋司

  小テスト２

   

  15 L13

  飯田 晋司

  仮説検定２：適合度の検定，独立性の検定

   

 

プリント中の

^確統I

は『2018 年度確率統計及び演習

I』の講義を示します。

^前園

は参考文献，“

概説

確率統計

(サイエンス社) ”を示します。

^前園演習

は参考文献，

“詳解演習

確率統計

(

サイエンス社

) ”

を示します。

^西川

は参考文献，

“

確率統計

(

サイエンス社

) ”

を示します。

^統計学

は参考文献，“統計学入門

(東京大学出版会) ”を示します。

^数理統計

は参考文献，“数理統計学

(裳華房) ”を示します。

また，以下は

1

年の科目「微積分及び演習

I,II」や「線形代数及び演習I,II」での参考文献を示します：

^桑村

は参考文献，

“

桑村『微分積分入門』

(

裳華房

) ”

を示します。

^川薩四

は参考文献，“川野，薩摩，四ツ谷『微分積分＋微分方程式』(裳華房) ”を示します。

^三宅線形

は参考文献，“三宅『線形代数学』(培風館) ”を示します。

オフィスアワー： 月曜

6

講時

(1-513)，木曜6

講時

(1-513) url: http://www.math.ryukoku.ac.jp/ iida/lecture/lecture.html

2019

確統

II.0.3

★ 成績評価の方法

・予定されている

2

回の小テストの両方に

60

点以上をとるか，あるいは定期試験に

60

点以上をとることで合格 とします。最終成績は，合格の場合は小テストの平均点

(

小数点以下切り上げ

)

と定期試験の点数の高い方，

不合格の場合は定期試験の点数，となります。

・小テストと定期試験で参考文献は持込不可です。電子機器

(

電卓，携帯電話，

PC

等

)

の使用はできません。

・公式や数表等をまとめた，まとめのプリントを試験問題とともに配布します。

・解答で分数や

√

は少数になおす必要はありません。答に加減乗除が現れていてもかまいません。

【例】次の確率密度関数

f(x)，

f(x) =







0 x <0 6x(1−x) 0≤x <1

0 1< x

, (0.3.1)

に従う確率変数

X

について，

0≤X <1/3

となる確率

P

を求めなさい。

【答】

P =

∫ 1/3 0

f(x)dx= 6

∫ 1/3 0

( x−x²

) dx= 6

[x² 2 −x³

3 ]x=1/3

x=0

(0.3.2)

= 6 (1

18− 1 81

)

(0.3.3)

= 7

27. (0.3.4)

上の例の場合は，解答は

(0.3.3)

まででかまいません。

2019

確統

II.1

.

1 多変数の確率分布

^{確統I L06}

前園§2.4

数理統計§4.1

1.1 2 変数の離散型確率分布

同時確率分布

確率変数

X

のとる値が

{x1, x2,· · · }

，確率変数

Y

のとる値が

{y1, y2,· · · }

，とする。

『X

=x_i

かつ

Y =y_j

となる確率』を 同時確率 あるいは 結合確率 と呼ぶ。この確率分布を記号

f_XY(x, y)

で表す：

P(X =x, Y =y) =fXY(x, y).

^{西川 定義2.2}

統計学(7.1) (1.1)

【例

1.1

】２枚のコイン

A,B

を無作為に投げて表裏を見る。コイン

A

が表

(

裏

)

の場合

X = 1 (X = 0)

，コイン

B

が表

(裏)

の場合

Y = 1 (Y = 0)，とする。同時確率 fXY(x, y)

の値は次の表のようになる：

y

＼

x 0 1

計

0 fXY(0,0) =1

4 fXY(1,0) =1

4 P(Y = 0) =fY(0) =1 2

1 fXY(0,1) =1

4 fXY(1,1) =1

4 P(Y = 1) =fY(1) =1 2

計

P(X= 0) =fX(0) =1

2 P(X= 1) =fX(1) =1

2 1

表

1-1 2

つのコインの同時確率分布

【例

1.2】次の6

枚のカードから無作為に

1

枚のカードを引く:

♡7 ♡8 ♡9 ⋄8 ♠9 ♣9

X =

数，Y

= 0(赤札)，1(黒札)

とすると，同時確率

f_XY(x, y)

の値は次の表のようになる：

y

＼

x 7 8 9

計

0 fXY(7,0) =1

6 fXY(8,0) =1

3 fXY(9,0) =1

6 P(Y = 0) =fY(0) =2 3

1 fXY(7,1) = 0 fXY(8,1) = 0 fXY(9,1) =1

3 P(Y = 1) =fY(1) =1 3

計

P(X= 7) =f_X(7) =1

6 P(X= 8) =f_X(8) =1

3 P(X= 9) =f_X(9) =1

2 1

表

1-2 6

枚のカードの同時確率分布 周辺確率分布

'

&

$

%

同時確率分布

f_XY(x, y)

から，X や

Y

の単独の確率分布が求められる：

fX(x) =∑

y_j

fXY(x, yj), fY(y) =∑

x_i

fXY(xi, y).

統計学(7.7) (1.2)

表の周辺にあるので，それぞれ

X

，

Y

の 周辺確率分布 と呼ばれる。

2019

確統

II.2

条件付き確率

西川§1.5.1

前園§1.2’

'

&

$

% Y =y_j

が起きているという条件の下での，事象

X=x_i

が起きる確率

(

条件付き確率

)

を

P(X =x_i|Y =y_j)

と表す。このとき，以下が成り立つ

P(X =xi, Y =yj) =P(X=xi|Y =yj)P(Y =yj) =P(Y =yj|X =xi)P(X =xi). (2.1)

また，この確率分布を記号

f_X|Y(x|y)

で表す：

P(X =xi|Y =yj) =fX|Y(xi|yj), P(Y =yj|X=xi) =fY|X(yj|xi). (2.2) 注意!

前園§1.2では条件付き確率P(X=xi|Y =yj)はP_{Y=yj}({X=xi})の様に表されている。

条件付き確率の性質

'

&

$

%

∑

x_i

f_X|Y(xi|yj) = 1, ∑

y_j

f_Y|X(yj|xi) = 1.

統計学(7.19) (2.3)

・同時確率との関係

fXY(xi, yj) =f_X|Y(xi|yj)fY(yj) =f_Y|X(yj|xi)fX(xi).

統計学(7.24) (2.4)

f_X|Y(xi|yj) = fXY(xi, yj)

fY(yj) , f_Y|X(yj|xi) =fXY(xi, yj) fX(xi) .

統計学(7.18) (2.5)

・周辺確率との関係

fX(xi) =∑

y_j

f_X|Y(xi|yj)fY(yj), fY(yj) =∑

x_i

f_Y|X(yj|xi)fX(xi).

統計学(7.9) (2.6)

【問

2.1

】【例

1.2

】の確率分布について以下の問いに答えなさい。

(1) E[(9Y + 1)X]

を求めなさい。

(2) 9

の札が出る

(X = 9)

という条件のもとで赤札が出る

(Y = 0)

条件付き確率，f

_Y|X(0|9)，を求めなさい。

(3)

赤札が出る

(Y = 0)

という条件のもとで

9

の札が出る

(X = 9)

条件付き確率，f

_X|Y(9|0)，を求めなさい。

【答

2.1】

(1)

E[(9Y + 1)X] = 1

6×(0 + 1)×7 + 1

3×(0 + 1)×8 + 1

6×(0 + 1)×9 +1

3 ×(9 + 1)×9 = 106

3 . (2.7) (2) (2.5)

より

f_Y|X(0|9) = fXY(9,0) fX(9) = 1/6

1/2 = 1

3. (2.8)

(3) (2.5)

より

f_X|Y(9|0) = f_XY(9,0) fY(0) = 1/6

2/3 = 1

4. (2.9)

2019

確統

II.3

.

σ[sigma]シグマ，θ [theta]シータ

1.2 2 変数の連続型確率分布

X，Y

が連続型確率変数の場合は，f

_XY(x, y)

は 同時確率密度関数 を意味する。 『(X, Y

)

が領域

A

に属する

確率』が

(和の代わりに)

以下のような積分で表される：

P((X, Y)∈A) =

∫ ∫

A

fXY(x, y)dxdy .

統計学(7.5)

前園p.31’

^{西川 定義3.2’} (3.1)

【例

3.1】ダーツを的に向かって投げる場合を考える。(X, Y)

をダーツが的に当たった場所の座標，同時確率密度

関数を

fXY(x, y) = 1

2πσ² e^{−x2 +y}

2

2σ2 (3.2)

とする。このとき，ダーツが的の中心，(X

= 0, Y = 0)，から半径R

の円内に当たる確率

P

は次となる：

P =

∫ ∫

x²+y²≤R²

f_XY(x, y)dxdy= 1 2πσ²

∫ ∫

x²+y²≤R²

e^{−x2 +y}

2

2σ2 = 1

2πσ²

∫ 2π 0

dθ

∫ R 0

dr r e^−r

2 2σ2

= 2π

2πσ²

[−σ²e^−r

2 2σ2

]^r=R

r=0

= 1−e^−R

2

2σ2. (3.3)

上の

3

つ目の等式では，積分変数を

(x, y)

から

(r, θ)

に変換した

桑村p.223

川薩四§8.3

：

x=rcos(θ), y=rsin(θ), dxdy⇒rdrdθ . (3.4)

離散型確率変数の場合の式で，和を積分に置き換えた式が成り立つ：

'

&

$

%

・X ，Y の 周辺確率密度関数

fX(x) =

∫ _∞

−∞

fXY(x, y)dy , fY(y) =

∫ _∞

−∞

fXY(x, y)dx .

統計学(7.8) (3.5)

・Y

=y

を与えたときの

X

の 条件付き確率密度関数

f_X|Y(x|y) =fXY(x, y)

fY(y) = fXY(x, y)

∫_∞

−∞fXY(x, y)dx.

統計学(7.18) (3.6)

・条件付き確率密度関数と周辺確率密度関数の関係

f_X(x) =

∫ _∞

−∞

f_X|Y(x|y)f_Y(y)dy , f_Y(y) =

∫ _∞

−∞

f_Y|X(y|x)f_X(x)dx . (3.7)

【問

3.1】次の同時確率密度関数

fXY(x, y) =

√3

π e^{−x2+4xy−7y2} (3.8)

について，周辺確率密度関数

fX(x)，f_Y(y)

を求めなさい。

2019

確統

II.4

.

【答

3.1】(3.5)

より次が得られる：

fY(y) =

∫ _∞

−∞

fXY(x, y)dx=

√3 π e^−7y2

∫ _∞

−∞

e^−x2+4xydx=

√3 π e^−7y2

∫ _∞

−∞

e^{−(x−2y)2+4y2}dx

=

√3 π e^−3y2

∫ _∞

−∞

e^−z2dz=

√3

π e^−3y2. (4.1)

上式の

4

つ目の等式では，積分変数を

x

から

z=x−2y

に変換し，5 つ目の等式では以下の公式を用いた：

∫ _∞

−∞

e^−z2dz=√

π .

桑村p.225

川薩四(8.7) (4.2)

同様に

fX(x) =

∫ _∞

−∞

fXY(x, y)dy=

√3 π e^−x2

∫ _∞

−∞

e^−7y2+4xydy=

√3 π e^−x2

∫ _∞

−∞

e⁻⁷(^y−²7x)²⁺⁴7x²dy

=

√3 π√

7e^−37x2

∫ _∞

−∞

e^−z2dz=

√ 3

7π e^−37x2. (4.3)

となる。上の式の

4

つ目の等式では，積分変数を

y

から

z=√ 7

( y−2

7x )

に変換した。

確率変数の独立性

前園p.9’

『確率変数

X

と

Y

が独立』

⇔

『同時確率

(

密度

)

関数が周辺確率

(

密度

)

関数の積になる』，つまり次が成り 立つ：

f_XY(x, y) =f_X(x)f_Y(y)

統計学(7.22)

前園(1.4)’ (4.4)

【例

4.1】

・

X

と

Y

が独立な場合： 【例

1.1

】【例

3.1

】， ・

X

と

Y

が独立でない場合： 【例

1.2

】【問

3.1

】

X

と

Y

が独立な確率変数の場合に成り立つ性質

前園p.55 '

&

$

%

E[ϕ₁(X)ϕ₂(Y)] = E[ϕ₁(X)]E[ϕ₂(Y)], (4.5)

E[X Y] = E[X]E[Y],

統計学(7.26)(7.35) (4.6)

V[aX+bY] = a²V[X] +b²V[Y],

統計学(7.36)’ (4.7)

Cov[X, Y] = 0,

統計学(7.27) (4.8)

fX|Y(x|y) = fX(x), fY|X(y|x) =fY(y).

統計学(7.23) (4.9)

(4.9)

は

X(Y)

が起きる確率に

Y(X)

の影響がないことを示す。

注意 ! X

と

Y

が独立でない場合にも成り立つ性質：

E[aϕ₁(X, Y) +bϕ₂(X, Y)] = a E[ϕ₁(X, Y)] +b E[ϕ₂(X, Y)], (4.10) V[aX+bY] = a² V[X] +b²V[Y] + 2ab Cov[X, Y],

統計学(7.37a)’ (4.11)

Cov[X, Y] = E[(X−µX)(Y −µY)] =E[XY]−E[X]E[Y].

統計学(7.14)(4.12)

ここで，

µX=E[X]

，

µY =E[Y]

。

Cov[X, Y]

は

X

と

Y

の

(

母

)

共分散

(covariance)

と呼ばれる。

前園p.55

^{西川 定義2.9}

統計学(7.11)

数理統計§4.2

2019

確統

II.5

1.3 ベイズの定理

前園§1.4

西川§1.5.2

統計学§4.5.3

数理統計p.6

(2.4)，(2.5)，(2.6)

を組み合わせると

Y

についての条件付き確率

f_X|Y(x|y)

と

X

についての条件付き確率

f_Y|X(y|x)

の間の関係が得られる。この関係式をベイズの定理

(公式)

と呼ぶ。

ベイズ

(Bayes)

の定理

'

&

$

%

・X と

Y

が離散型確率変数の場合

f_X|Y(x|y) = fY|X(y|x)fX(x)

∑

xif_Y|X(y|xi)fX(xi).

統計学(4.17)

^{前園 定理1.7’} (5.1)

・X と

Y

が連続型確率変数の場合

f_X|Y(x|y) = f_Y|X(y|x)fX(x)

∫_∞

−∞f_Y|X(y|x^′)f_X(x^′)dx^′ . (5.2)

【問

5.1】(2013

年度統計検定

2

級 問

9

を一部変更)

ある病気の発生率が７パーセントであることが知られている。この病気のある診断法の性能が次の表のように なっている。ある人がこの検査を受けたところ陽性であった。この人が実際に病気にかかっている確率を求めな さい。

病気の有無＼診断結果 陽性 陰性 計 罹病している

0.82 0.18 1.00

罹病していない

0.13 0.87 1.00

表

5-1

【答

5.1】確率変数X

と

Y

を考え，診断結果が陽性

(陰性)

の場合は

X = 0 (X = 1)

とし，病気に罹患している

(していない)

場合を

Y = 0 (Y = 1)

とすると，表の内容は以下のようになる；

fX|Y(0|0) = 0.82, fX|Y(1|0) = 0.18, fX|Y(0|1) = 0.13, fX|Y(1|1) = 0.87. (5.3)

また，f

_Y(0) = 0.07

である。これらのデータから確率

f_Y|X(0|0)

を求める問題である。

f_Y|X(0|0) = fXY(0,0)

f_X(0) = f_X|Y(0|0)fY(0)

f_XY(0,0) +f_XY(0,1) = f_X|Y(0|0)fY(0)

f_X|Y(0|0)f_Y(0) +f_X|Y(0|1)f_Y(1)

= 0.82×0.07

0.82×0.07 + 0.13×(1−0.07) ≈0.32 (5.4)

となる。

2019

確統

II.6 (参考)

ベイズの定理を用いた母数の推定

統計学p.79

例として，コインを

n

回投げて

k

回表が出たというデータがある場合を考えよう。このコインの表が出る確率

θ

を推定する。標本数

n

が十分大きく，二項分布が正規分布で近似できる場合に確率

0.95

で成り立つ次の不等式

θˆ−1.96

√

θ(1ˆ −θ)ˆ

n < θ < θˆ+ 1.96

√

θ(1ˆ −θ)ˆ

n , θˆ= k n

統計学(11.59) (6.1)

から，母比率

θ

の

(信頼係数0.95

の) 信頼区間を得た。

^{確統I L12}

前園§5.4

西川§8.4

数理統計§9.3

この場合，θ の値は定まっていて，

θˆ

が確率変数と考えた。

一方，

θ

が確率変数で，確率密度

fΘ(θ)

に従い，いろいろな値をとるとする考え方があり， ベイズ統計学 と 呼ばれている。

このとき，ベイズの定理，

f_Θ|D(θ|D) = f_D|Θ(D|θ)fΘ(θ)

∫f_D|Θ(D|θ^′)f_Θ(θ^′)dθ^′ , (6.2)

は，観測データがないときに予想した

θ

の確率密度，

fΘ(θ)

，に

(n

回のうち

k

回表が出たという

)

データ

D

を付け 加えて，“より良い” 確率密度，f

_Θ|D(θ|D)，を得るための道具として使われる。ここで，f_Θ(θ)

を

(データを得る

前の確率分布という意味で) 事前分布 ，f

_Θ|D(θ|D)

を

(データを得た後の確率分布という意味で)

事後分布 と呼ぶ。また，

f_D|Θ(D|θ) = _nC_k θ^k (1−θ)^n−k (6.3)

は，仮定された確率モデルに含まれるパラメータ

(

母数

)

，

θ

，が特定の値をとる場合に，観測データ

D

が生じる 確率で， 尤度関数 と呼ばれる。例えば

fΘ(θ)

が区間

(0,1)

の一様分布で，n

= 20，k= 5

の場合の事後分布は

f_Θ|D(θ|D) = 325584θ⁵(1−θ)¹⁵ (6.4)

となる

(図6-1)。

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 5

95%

|_D( | )D

fΘ ^θ

θ2

θ1

θ

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 5

θ fΘ( )^θ

࠺࡯࠲

図

6-1

事前分布

fΘ(θ)

と事後分布

f_Θ|D(θ|D)

この場合について，

fΘ|D(θ|D)

から確率

0.95

となる区間を求めると

0.101 < θ < 0.456 (6.5)

となる。このような区間は

(信頼区間と区別して)

信用区間 と呼ばれる。( なお，n

= 20

は十分大きな標本数 ではないが，この場合の

(24.6)

による信頼区間は

(0.060,0.440)

である。

)

ここでは説明を簡単にするためパラメータが

1

個の場合を考えたが，上の手順が実際に用いられるのは，複雑

な現象を説明するための多数のパラメータを含む確率モデルを作る場合である。

2019

確統

II.7

.

階乗(factorial) n! =n·(n−1)· · · ·2·1，0! = 1

nC_k= n!

k!(n−k)!= n(n−1)· · ·(n−k+ 1)

k! n個のものからk個を取り出す組み合わせの数

2 モーメント母関数

期待値

E[e^tX]

を モーメント母関数 あるいは 積率母関数 と呼ぶ。母平均

E[X]

や母分散

V[X] =E[X²]− E[X]²

，を求めるのには

E[X^k]

の計算が必要だが，指数関数のテイラー展開

e^tX =

∑∞ k=0

t^k

k!X^k = 1 +tX+t²

2X²+· · · (7.1)

より，モーメント母関数は全ての

E[X^k]

の情報を持つ。

モーメント母関数

統計学§5.3

数理統計p.20 '

&

$

% MX(t) =E[e^tX] =

∑∞ k=0

t^k

k!E[X^k].

統計学(5.40) (7.2)

MX(t) = { ∑

xif_X(x_i)e^txi X

が離散型確率変数の場合

∫_∞

−∞fX(x)e^txdx X

が連続型確率変数の場合

.

統計学(5.41) (7.3)

MX(0) =E[1] = 1, d^kMX(t) dt^k

t=0

=E[X^k].

統計学(5.42) (7.4)

『

X

と

Y

が同じモーメント母関数を持つ』

⇐⇒

『

X

と

Y

が同じ確率分布に従う』，つまり，次が成り立つ：

MX(t) =MY(t) ⇐⇒ fX(z) =fY(z). (7.5)

(参考) E[e^tX]ではなくE[e^itX]を考える場合がある。E[e^itX]を確率変数Xの 特性関数 と呼ぶ。

前園p.61 E[e^itX]は存在するが，E[e^tX]は存在しない(期待値の級数や積分が発散する)場合がある。

【問

7.1】離散型確率変数X

が二項分布

B(n, p)

^{確統I L09}

前園p.18

統計学§6.2

数理統計p.29

に従う

(確率p

で 表の出るコインを

n

回投げた時，表の出る回数が

X)

。モーメント母関数

MX(t)

を求めなさい。また，(7.4) よ り，母平均と母分散を求めなさい。

【答

7.1】

fX(x) =nCxp^x(1−p)^n−x x= 0,1,· · ·, n

西川(2.1)

統計学(6.6) (7.6)

より，

MX(t) =

∑n x=0

nCxp^x(1−p)^n−x e^tx=

∑n x=0

nCx

(pe^t)x

(1−p)^n−x= (

pe^t+ 1−p )n

.

統計学p.130 (7.7)

上の最後の等式で二項定理

(a+b)ⁿ=

∑n x=0

nC_x a^xb^n−x

^{前園 定理1.5}

西川p.37 (7.8)

を用いた。次に，

dM_X(t)

dt =

d (

pe^t+ 1−p )n

dt =n

(

pe^t+ 1−p )n−1 d

(

pe^t+ 1−p ) dt =npe^t

(

pe^t+ 1−p )n−1

, (7.9) d²M_X(t)

dt² = npde^t dt

(

pe^t+ 1−p )n−1

+npe^t d

(

pe^t+ 1−p )n−1

dt

= npe^t (

pe^t+ 1−p )n−1

+npe^t (n−1) (

pe^t+ 1−p )n−2

pe^t (7.10)

2019

確統

II.8

.

∫ _∞

−∞e^−z2dz=√ π (4.2)

より，

E[X] = dMX(t) dx

t=0

=np , E[X²] = d²MX(t) dx²

t=0

=np+n(n−1)p² (8.1)

なので，母平均

E[X]

と母分散

V[X]

は以下となる：

E[X] =np , V[X] =E[X²]−E[X]²=np(1−p).

前園p.50,53

西川p.55例2.4

統計学(6.8) (8.2)

【問

8.1

】連続型確率変数

X

が正規分布

N(µ, σ²)

^{確統I L09}

前園p.24

統計学§6.6

数理統計p.36

に従う。モーメ ント母関数

M_X(t)

を求めなさい。また，(7.4) より，母平均と母分散を求めなさい。

【答

8.1】

fX(x) = 1

√2πσ²exp (

−(x−µ)² 2σ²

)

西川(3.6)

統計学(6.19a) (8.3)

より，

M_X(t) = 1

√2πσ²

∫ _∞

−∞

exp (

−(x−µ)² 2σ² +tx

)

dx= 1

√2πσ²

∫ _∞

−∞

exp (

−x²−2(µ+σ²t)x+µ² 2σ²

) dx

= 1

√2πσ²

∫ _∞

−∞

exp



−

(

x−(µ+σ²t) )2

−2µσ²t−σ⁴t² 2σ²



dx

= exp (

µt+σ²t² 2

) 1

√π

∫ _∞

−∞

e^−z2dz= exp (

µt+σ²t² 2

)

. (8.4)

上の

4

つ目の等式では積分変数を

x

から

z= x−(µ+σ²t)

√2σ

に変換し，(4.2 ) を用いた。次に，

dM_X(t)

dt =

dexp (

µt+^σ2₂^t2 )

dt = exp

(

µt+σ²t² 2

) d (

µt+^σ2₂^t2 )

dt = exp

(

µt+σ²t² 2

) (µ+tσ²) ,(8.5)

d²M_X(t) dt² =

dexp (

µt+^σ2₂^t2 ) dt

(µ+tσ²) + exp

(

µt+σ²t² 2

)d(

µ+tσ²) dt

= ((

µ+tσ²)2

+σ² )

exp (

µt+σ²t² 2

)

(8.6)

より，

E[X] = dMX(t) dx

t=0

=µ , E[X²] = d²MX(t) dx²

t=0

=µ²+σ² (8.7)

なので，母平均

E[X]

と母分散

V[X]

は以下となる：

E[X] =µ , V[X] =E[X²]−E[X]²=σ².

前園p.51,55

統計学(6.20),(6.21) (8.8)

正規分布のモーメント母関数

正規分布

N(µ, σ²)

に従う連続型確率変数

X

のモーメント母関数：

MX(t) = exp (

µt+σ²t² 2

)

.

統計学p.131 (8.9)

【問

8.2】確率変数X

のモーメント母関数を

M_X(t)

とするとき，確率変数

Y =aX+b (a，b

は定数) のモーメン ト母関数

MY(t)

を求めなさい。また，

(7.4)

より，

X

と

Y

母平均と母分散の関係を導きなさい。

【答

8.2

】

MY(t) =E[e^tY] =E[e^t(aX+b)] =E[e^tb e^atX] =e^tb E[e^atX] =e^tb MX(at). (8.10)

2019

確統

II.9

次に

dMY(t)

dt =

d (

e^tbM_X(at) ) dt =de^tb

dt MX(at) +e^tb dMX(at) dt

= be^tb MX(at) +e^tb dMX(s) ds

s=at

d(at) dt =e^tb

(

bMX(at) +aM_X^′ (at) )

. (9.1)

ここで，M

_X^′ (t)

は

MX(t)

の

1

階導関数を表す。また，

d²MY(t)

dt² = d dt

( e^tb

(

bMX(at) +aM_X^′ (at) ))

=de^tb dt

(

bMX(at) +aM_X^′ (at) )

+e^tbd dt

(

bMX(at) +aM_X^′ (at) )

= be^tb (

bM_X(at) +aM_X^′ (at) )

+e^tb (

baM_X^′ (at) +a²M_X^′′(at) )

= e^tb (

b²M_X(at) + 2abM_X^′ (at) +a²M_X^′′(at) )

. (9.2)

ここで，

M_X^′′(t)

は

MX(t)

の

2

階導関数を表す。

従って，

E[Y] = dMY(t) dx

t=0

=e⁰ (

bMX(0) +aM_X^′ (0) )

=bE[1] +aE[X] =b+aE[X], (9.3) E[Y²] = d²MY(t)

dx²

t=0

=e⁰ (

b²MX(0) + 2abM_X^′ (0) +a²M_X^′′(0) )

=b²E[1] + 2abE[X] +a²E[X²]

= b²+ 2abE[X] +a²E[X²], (9.4)

なので，母平均

E[Y] =E[aX+b]

と母分散

V[Y] =V[aX+b]

は以下となる：

E[aX+b] = aE[X] +b ,

前園(3.2)

統計学(5.25b,c)

^{確統I L05} (9.5)

V[aX+b] = E[Y²]−E[Y]²=a²E[X²] + 2abE[X] +b²−(

aE[X] +b )2

=a² (

E[X²]−E[X]² )

= a²V[X].

^{前園 定理3.2}

統計学(5.29b,c)

^{確統I L05} (9.6)

【問

9.1

】確率変数

X

と

Y

が独立な場合，

Z =X+Y

のモーメント母関数を求めなさい。

【答

9.1】

MZ(t) =E[e^tZ] =E[e^t(X+Y)] =E[e^tX e^tY]^(4.5=⁾E[e^tX]Ee^tY] =MX(t)MY(t). (9.7)

モーメント母関数の性質

'

&

$

%

・aX

+b

のモーメント母関数

M_aX+b(t) =e^tbM_X(at). (9.8)

・

X

と

Y

が独立なときの，

X+Y

のモーメント母関数

MX+Y(t) =MX(t)MY(t).

統計学(7.28)

数理統計p.61 (9.9)

【問

9.2】独立な確率変数X

と

Y

がそれぞれ次の正規分布に従うとする：

X ∼N(µ1, σ₁²), Y ∼N(µ2, σ₂²). (9.10)

このとき，Z

=aX+bY

が従う確率分布を

(9.8)，(9.9)

を用いて求めなさい。

2019

確統

II.10

.

d dt

(f(t) g(t) )

=f^′(t)g(t)−f(t)g^′(t) g(t)²

【答

9.2】(8.9)

より

M_X(t) = exp (

µ₁t+σ²₁t² 2

)

, M_Y(t) = exp (

µ₂t+σ₂²t² 2

)

(10.1)

なので，

MZ(t)^(9.9=⁾MaX(t)MbY(t)^(9.8=⁾MX(at)MY(bt) = exp (

(aµ1+bµ2)t+a²σ₁²+b²σ²₂

2 t²

)

(10.2)

となる。この式と

(8.9)

を比較して，Z

=aX+bY

は母平均が

aµ₁+bµ₂

，母分散が

a²σ²₁+b²σ₂²

の正規分布に従 うことがわかる。

正規分布に従う独立な確率変数の和

前園p35 (2.3)’

西川p.80定理3.8

統計学p.151

X ∼N(µ1, σ₁²), Y ∼N(µ2, σ²₂) =⇒ aX+bY ∼N(

aµ1+bµ2, a²σ²₁+b²σ²₂ )

. (10.3) 注意 !

正規分布の例のように，同じ種類の確率分布に従う独立な確率変数

X

と

Y

の和，

Z=X+Y

， もまた 同じ種類の確率分布

(ただしパラメタは別でもよい)

に従うとき, この確率分布は 再生的 であるという。

モーメント母関数の対数，

logMX(t), (

キュミュラント母関数 と呼ばれる

)

を考えると，

d

dtlogMX(t) =M_X^′ (t) MX(t), d²

dt²logMX(t) = M_X^′′(t)MX(t)−(M_X^′ (t))²

MX(t)² (10.4)

となるので，以下が成り立つ：

d

dtlogMX(t) t=0

= M_X^′ (0)

M_X(0) =E[X], (10.5)

d²

dt²logMX(t) t=0

=

M_X^′′(0)M_X(0)−( M_X^′ (0)

)2

MX(0)² =E[X²]−( E[X]

)2

=V[X]. (10.6)

キュミュラント

(cumulant)

母関数

数理統計p.20

logM_X(t) = tE[X] + t²

2V[X] +· · ·, (10.7)

MX(t) = exp (

tE[X] +t²

2V[X] +· · ·)

. (10.8)

独立同分布

(i.i.d.)

^{確統I L09}

確率変数

{X₁, X₂,· · ·, X_n}

が, たがいに独立で, すべて同じ確率分布に従うとする。これを

{X₁, X₂,· · ·, X_n}

は独立同分布に従う

(i.i.d.=independent and identically-distributed)

という。

【例

10.1

】箱の中に入ったカードを無作為に

n

枚取り出す試行を考えよう。取り出したカードを毎回箱に戻す場合

(

復元抽出

)，k

枚目のカードの数字

Xk

は独立同分布の確率変数となる。取り出したカードを箱に戻さない場 合

(

非復元抽出

)

も，箱の中のカードの枚数が取り出すカードの枚数に比べて十分大きい場合は，カードの数 字は近似的に独立同分布の確率変数であるとみなせる。

西川p.130注意6.1

統計学p.110

数理統計p.27