確率統計及び演習

2019

確統

II.exm-1.2

.

確率統計及び演習

II

小テスト

1

の予備知識

1

・同時確率と条件付き確率との関係

f_XY(x, y) =f_X|Y(x|y)f_Y(y) =f_Y|X(y|x)f_X(x).

統計学(7.24) (exm19-1.6)

・同時確率と周辺確率の関係

fX(x) = { ∑

y_jfXY(x, yj) X

，

Y

が離散型確率変数の場合

統計学(7.7)

∫_∞

−∞f_XY(x, y)dy X

，Y が連続型確率変数の場合

統計学(7.8)

. (exm19-1.7)

・ガウス

(Gauss)

積分

∫ _∞

−∞

e^−z2dz=√

π .

桑村p.225

川薩四(8.7) (exm19-1.8)

・確率変数の独立性

確率変数

X

と

Y

が独立

⇔ f_XY(x, y) =f_X(x)f_Y(y).

統計学(7.22)

前園(1.4)’ (exm19-1.9)

・ベイズの定理：

X

と

Y

が離散型確率変数の場合

f_X|Y(x|y) = f_Y|X(y|x)f_X(x)

∑

x_ifY|X(y|xi)fX(xi).

統計学(4.17)

^{前園 定理1.7’} (exm19-1.10)

・モーメント母関数

統計学§5.3

数理統計p.20 M_X(t) =E[e^tX] =

{ ∑

xifX(xi)e^txi X

が離散型確率変数の場合

∫_∞

−∞f_X(x)e^txdx X

が連続型確率変数の場合

, (exm19-1.11) d

dtlogM_X(t) t=0

=E[X], d²

dt²logM_X(t) t=0

=E[X²]−E[X]²=V[X]. (exm19-1.12)

・正規分布に従う独立な確率変数

X

と

Y

の和

前園p.35 (2.3)’

西川p.80定理3.8

統計学p.151 X∼N(µ₁, σ₁²), Y ∼N(µ₂, σ²₂) =⇒ aX+bY ∼N(

aµ₁+bµ₂, a²σ₁²+b²σ₂²)

. (exm19-1.13)

・中心極限定理

^{確統I L11}

前園§3.4

西川p.87定理4.3

統計学§8.2

^{数理統計 定理6.12}

確率変数

X₁, X₂,· · · , X_n

が，母平均

µ，母分散σ²

の独立同分布に従うとする。

Zn=

(X₁+X₂+· · ·+X_n

n −µ

) √ n

σ (exm19-1.14)

は

n→ ∞

の極限で

N(0,1²)

に従う。すなわち

nlim→∞P(a < Z_n < b) =

∫ b a

√1

2πe^−12z2dz . (exm19-1.15)

2019

確統

II.exm-1.3

.

確率統計及び演習

II

小テスト

1

の予備知識

2

・ 母平均

µ

，母分散

σ²

の正規分布

N(µ, σ²)

の確率密度関数とモーメント母関数

MX(t)

f(x;µ, σ²) = 1

√2πσ²e^{−(x−µ)22σ2} , MX(t) = exp (

µt+σ²t² 2

)

. (exm19-1.16)

特に

µ= 0

，

σ= 1

の正規分布，

N(0,1²)

，を標準正規分布と呼ぶ。

・ 確率変数

X

が正規分布

N(µ, σ²)

に従うとき，次の確率変数

Z

は標準正規分布

N(0,1²)

に従う：

Z =X−µ

σ . (exm19-1.17)

・ 標準正規分布

N(0,1)

に従う確率変数

Z

に対する上側確率

Q(z0) =P(z0≤Z) =

∫ _∞

z0

√1

2πe^−z2/2 dz (exm19-1.18)

の値の表。

^{前園 付表1}

^{西川 数表B.1}

^{統計学 付表1}

と同じ。

\

4 2 0 2 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

z0

( )0

Q z

z0

が負の値の場合は次の関係式を用いる：

Q(z₀) +Q(−z₀) = 1. (exm19-1.19)

^{数理統計 付表1}

の表の値，

I(z0) =P(0≤Z < z0) =

∫ z₀ 0

√1

2πe^−z2/2dz , (exm19-1.20)

とは以下の関係がある：

Q(z0) = 1

2−I(z0). (exm19-1.21)