確率統計及び演習

2019

確統

.

確率統計及び演習II (2019年度 前期) 小テスト２ 2019.7.16

【1】連続な値をとる確率変数X1 とX2 の同時確率密度関数が次式で与えられている(a^，b^，c^，D^は定数)^： f(x1, x2) =D exp

(−a

2x²1−bx1x2−c 2x²2

)

. (exm19-4.1)

X1 とX2 の母平均が E[X1] = 0，E[X2] = 0，母分散がV[X1] = 5

3^，V[X2] = 1

6 ^，X1 とX2 の母共分散が Cov[X1, X2] = 1

3 ^とする。

(1) a，b，cの値を求めなさい。

(2) E[1] =

∫ _∞

−∞

∫ _∞

−∞

f(x1, x2)dx1dx2= 1が満たされるように定数Dを定めなさい。

【2】サイコロをn回投げるとき，1か2の目がでた回数をX，3の目がでた回数をY，それ以外の目(4,5,6)がでた回数を Z とする。(従って，X+Y +Z=nとなる。)ただし，サイコロの目の出る確率は全て1

6^{であるとする。}

(1)モーメント母関数

MXY(t1, t2) =E [

e^t1X+t2Y ]

(exm19-4.2) を求めなさい。

(2)Xの母分散V[X]，Y の母分散V[Y]，およびXとY の母共分散Cov[X, Y]を求めなさい。

【3】ある都市である施策のアンケート調査(賛成・反対の二択)を行い，賛成者の比率pの信頼係数95％の信頼区間を求め たい。信頼区間の幅を0.2とするためには調査人数nを約何人にすればよいか？ただし，n^{は十分大きく}2^{項分布を正} 規分布で近似できるとし，賛成者の比率の点推定値

(賛成者の人数 調査人数

) は約 1

2であることが予想される。

【4】ある工場における製品20個の重量を調べたところ，標本平均がX¯= 201 g，不偏標本分散がs²= 2.48 g² であった。

これらの測定値が正規母集団から無作為に抽出されたとして，以下の問いに答えなさい。

(1)母平均µの信頼係数95％の信頼区間を以下のように表すとき，AとB を求めなさい：

A−B < µ < A+B . (exm19-4.3)

(2)母分散σ² の信頼係数95％の信頼区間を以下のように表すとき，CとDを求めなさい：

C < σ² < D . (exm19-4.4)

(3)母平均µの信頼係数95％の信頼区間の幅，2B を(1)の場合の約 1

2にするために必要な標本数を答えなさい。た だし，標本数が変化しても標本平均と不偏標本分散の値はあまり変わらないとする。

【5】２つのタイプA，Bの電球の寿命をを調べたところ，次の結果が得られた：

電球のタイプ 標本数 標本平均(時間) 不偏標本分散(時間²)

タイプA (X) 10 1363 41013

タイプB (Y) 8 1121 12816

(1) ２つのタイプの電球の寿命のデータ，{X1,· · ·, X10}^と{Y1,· · ·, Y8}が，母分散が等しく，母平均がそれぞれ µXとµY である独立な正規母集団から無作為に抽出されたと仮定する。母平均の差µX−µY の信頼係数95％の 信頼区間を以下のように表すとき，AとB を求めなさい：

A−B < µX−µY < A+B . (exm19-4.5) (2) ２つのデータが，母分散がそれぞれσ²XとσY² である独立な正規母集団から無作為に抽出されたと仮定して，分

散の比，σ²_Y

σ_X^{2 ，の信頼係数}95％の信頼区間を

C < σ²_Y

σ_X² < D (exm19-4.6)

と表すとき，CとDを求めなさい。

2019

確統

.

確率統計及び演習

小テスト２の予備知識

★2次元正規分布

前園§2.8

統計学§7.3

数理統計p.58, p.71

確率変数X= (X1, X2)^T が2次元正規分布N(µ, V)に従う場合，同時確率密度は以下となる：

f_X(x) = 1

2π√

detV exp (

−1

2(x−µ)^TA(x−µ) )

, ただし，x= (x1, x2)^T,

= 1

2π√

detV exp (

−1 2

∑2 i,j=1

Aij(xi−µi) (xj−µj) )

. (exm19-4.7)

確率密度関数は次のパラメータで決まる：

母平均(^ベクトル) µ= (µ1, µ2)^T, µi=E[Xi], (exm19-4.8)

母共分散行列 V =A⁻¹, Vij=E

[

(Xi−µi)(Xj−µj) ]

=

{ V[Xi] ; i=j 分散

Cov[Xi, Xj] ; i̸=j 共分散 . (exm19-4.9)

★中心極限定理

^{確統I L11}

前園§3.4

西川p.87定理4.3

統計学§8.2

^{数理統計 定理6.12} 確率変数X1, X2,· · ·, Xnが，母平均µ，母分散σ²の独立同分布に従うとする。

Zn=

(X1+X2+· · ·+Xn

n −µ

) √n

σ² (exm19-4.10)

はn→ ∞^の極限でN(0,1²)に従う。すなわち

nlim→∞P(a < Zn< b) =

∫ b a

√1

2πe^−12z2dz . (exm19-4.11)

★3項定理

(

p+q+r )n

=

∑n x=0

n∑−x y=0

nCx n−xCy p^xq^yr^n−x−y. (exm19-4.12)

★２つの確率変数X，Y に対するモーメント母関数

MXY(t1, t2) =E [

e^t1X+t2Y ]

. (exm19-4.13)

∂²logMXY(t1, t2)

∂t²₁

t₁=t₂=0

= V[X], ∂²logMXY(t1, t2)

∂t²₂

t₁=t₂=0

=V[Y],

∂²logMXY(t1, t2)

∂t1∂t2

t1=t2=0

= E[XY]−E[X]E[Y] = Cov[X, Y]. (exm19-4.14)

★標本数が多い場合の２項分布の母比率の区間推定

^{確統I L11}

前園(5.6)

統計学§11.5.3

数理統計§9.3

ある事象Aが起きる確率p(これを母比率と呼ぶ)を推定する。n回の試行を行い，k回Aが起きたとする。nが十分大きい 場合，確率pの信頼係数1−αの信頼区間は近似的に

ˆ

p−z(α/2)

√p(1ˆ −p)ˆ

n < p < pˆ+z(α/2)

√p(1ˆ −p)ˆ

n ,

西川(8.6)

統計学(11.59) (exm19-4.15) となる。ここでpˆ= k

n ^は確率pの点推定値。z(α/2)は，標準正規分布で，上側確率が α

2 ^{となる領域の下限}z0を表す：

z(α/2) =z0, ただし Q(z0) =

∫_∞

z₀

√1

2πe^−z2/2dz= α

2. (exm19-4.16)

例えば

z(0.05/2) = 1.96, z(0.01/2) = 2.58. (exm19-4.17)

2019

確統

★正規母集団の母平均の区間推定

^{確統I L11}

前園§5.3

統計学§11.5.1

数理統計p.157

母平均がµの正規母集団から無作為に標本{X1, X2,· · ·, Xn}が抽出された場合，母平均の信頼係数1−αの信頼区間は X¯−

√s²

n tα/2(n−1) < µ < X¯+

√s²

n tα/2(n−1)

西川(8.3) (exm19-4.18)

となる。ここでn^{は標本数，}X¯^{は標本平均，}s²は不偏標本分散を表す：

X¯=X1+X2+· · ·+Xn

n , s²= 1

n−1

∑n i=1

(Xi−X¯)2

. (exm19-4.19)

また，t_α/2(n−1)は自由度n−1のt分布の上側確率α/2に対するtの値を表す。数値は表4-2を参照。

★正規母集団の母分散の区間推定

^{確統I L13}

前園p.83

統計学§11.5.1

数理統計§9.2

母分散がσ²の正規母集団から無作為に標本{X1, X2,· · ·, Xn}が抽出された場合，母分散の信頼係数1−αの信頼区間は n−1

χ²_α/2(n−1) s² < σ² < n−1

χ²_1−α/2(n−1) s²

西川(8.4)

統計学(11.45) (exm19-4.20)

となる。ここで nは標本数，s²は不偏標本分散(exm19-4.19)を表す。また，χ²α/2(n−1)は自由度n−1のχ²分布の上側 確率α/2に対するyの値を表す。数値は表5-1を参照。

★母分散が等しい２つの正規母集団の母平均の差の区間推定

前園p.98’

統計学§11.5.2

数理統計§9.4

母平均µX，母分散σ² の正規母集団１からm個の標本，{Xi∼N(µX, σ²), i= 1,· · ·, m}，を無作為に抽出し，母平均µY， 母分散σ² の正規母集団２からn個の標本，{Yj∼N(µY, σ²), j= 1,· · ·, n}，を無作為に抽出した。２つの正規母集団は独 立とする。このとき，母平均の差，µX−µY，の信頼係数1−αの信頼区間は

X¯−Y¯−tα/2(m+n−2)

√ s²

(1 m+1

n )

< µX−µY < X¯−Y¯+tα/2(m+n−2)

√ s²

(1 m+1

n )

統計学(11.49) (exm19-4.21)

となる。ここで，

X¯ =X1+X2+· · ·+Xm

m , Y¯ = Y1+Y2+· · ·+Yn

n (exm19-4.22)

はそれぞれの標本の標本平均。またそれぞれの標本の不偏標本分散，

s²_X= 1 m−1

∑m i=1

(Xi−X¯)2

, s²_Y = 1 n−1

∑n i=1

(Yi−Y¯)2

, (exm19-4.23)

から作られた

s²=(m−1)s²_X+ (n−1)s²_Y

m+n−2 =

∑_m

i=1

(Xi−X¯)2

+∑_n

i=1

(Yi−Y¯)2

m+n−2 (exm19-4.24)

は プールした(合併した)不偏標本分散 と呼ばれる。

★２つの正規母集団の母分散の比の区間推定

前園§6.4’

統計学§11.5.2

数理統計§9.5

母平均 µX，母分散σ²_X の正規母集団１からm個の標本，{Xi ∼N(µX, σ²_X), i= 1,· · ·, m}，を無作為に抽出し，母平均 µY，母分散σ²Y の正規母集団２からn個の標本，{Yj∼N(µY, σY²), j= 1,· · ·, n}，を無作為に抽出した。２つの正規母集 団は独立とする。このとき，母分散の比，σ_Y²

σ_X^{2 ，の信頼係数}1−αの信頼区間は F1−α/2(m−1, n−1) s²_Y

s²_X < σ_Y²

σ²_X < Fα/2(m−1, n−1) s²_Y s²_X

統計学(11.55) (exm19-4.25)

となる。ここで，s²_Xとs²_Y はそれぞれの標本の不偏標本分散(exm19-4.23)。Fα/2(m−1, n−1)は自由度m−1, n−1の F-分布の上側確率α/2に対するF の値を表す。数値は表5-2を参照。なお，次の関係がある：

F1−α(m, n) = 1

Fα(n, m).

統計学p.208 (exm19-4.26)

.

確率統計及び演習

小テスト２ の予備知識２

標準正規分布の表

^{前園 付表1}

^{西川 数表B.1}

^{統計学 付表1}

\

4 2 0 2 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

z0

( )0

Q z

表

∫ _∞

z0

√1

2πe^−z2/2 dzの値の表。

t

分布の表

^{前園 付表3}

^{西川 表B.2}

^{統計学 付表2}

^{数理統計 付表2} α

ν

∞

㪇㪅㪈㪇㪇 㪇㪅㪇㪌㪇 㪇㪅㪇㪉㪌 㪇㪅㪇㪈㪇 㪇㪅㪇㪇㪌

㪈 㪊㪅㪇㪎㪏 㪍㪅㪊㪈㪋 㪈㪉㪅㪎㪇㪍 㪊㪈㪅㪏㪉㪈 㪍㪊㪅㪍㪌㪎

㪉 㪈㪅㪏㪏㪍 㪉㪅㪐㪉㪇 㪋㪅㪊㪇㪊 㪍㪅㪐㪍㪌 㪐㪅㪐㪉㪌

㪊 㪈㪅㪍㪊㪏 㪉㪅㪊㪌㪊 㪊㪅㪈㪏㪉 㪋㪅㪌㪋㪈 㪌㪅㪏㪋㪈

㪋 㪈㪅㪌㪊㪊 㪉㪅㪈㪊㪉 㪉㪅㪎㪎㪍 㪊㪅㪎㪋㪎 㪋㪅㪍㪇㪋

㪌 㪈㪅㪋㪎㪍 㪉㪅㪇㪈㪌 㪉㪅㪌㪎㪈 㪊㪅㪊㪍㪌 㪋㪅㪇㪊㪉

㪍 㪈㪅㪋㪋㪇 㪈㪅㪐㪋㪊 㪉㪅㪋㪋㪎 㪊㪅㪈㪋㪊 㪊㪅㪎㪇㪎

㪎 㪈㪅㪋㪈㪌 㪈㪅㪏㪐㪌 㪉㪅㪊㪍㪌 㪉㪅㪐㪐㪏 㪊㪅㪋㪐㪐

㪏 㪈㪅㪊㪐㪎 㪈㪅㪏㪍㪇 㪉㪅㪊㪇㪍 㪉㪅㪏㪐㪍 㪊㪅㪊㪌㪌

㪐 㪈㪅㪊㪏㪊 㪈㪅㪏㪊㪊 㪉㪅㪉㪍㪉 㪉㪅㪏㪉㪈 㪊㪅㪉㪌㪇

㪈㪇 㪈㪅㪊㪎㪉 㪈㪅㪏㪈㪉 㪉㪅㪉㪉㪏 㪉㪅㪎㪍㪋 㪊㪅㪈㪍㪐

㪈㪈 㪈㪅㪊㪍㪊 㪈㪅㪎㪐㪍 㪉㪅㪉㪇㪈 㪉㪅㪎㪈㪏 㪊㪅㪈㪇㪍

㪈㪉 㪈㪅㪊㪌㪍 㪈㪅㪎㪏㪉 㪉㪅㪈㪎㪐 㪉㪅㪍㪏㪈 㪊㪅㪇㪌㪌

㪈㪊 㪈㪅㪊㪌㪇 㪈㪅㪎㪎㪈 㪉㪅㪈㪍㪇 㪉㪅㪍㪌㪇 㪊㪅㪇㪈㪉

㪈㪋 㪈㪅㪊㪋㪌 㪈㪅㪎㪍㪈 㪉㪅㪈㪋㪌 㪉㪅㪍㪉㪋 㪉㪅㪐㪎㪎

㪈㪌 㪈㪅㪊㪋㪈 㪈㪅㪎㪌㪊 㪉㪅㪈㪊㪈 㪉㪅㪍㪇㪉 㪉㪅㪐㪋㪎

㪈㪍 㪈㪅㪊㪊㪎 㪈㪅㪎㪋㪍 㪉㪅㪈㪉㪇 㪉㪅㪌㪏㪊 㪉㪅㪐㪉㪈

㪈㪎 㪈㪅㪊㪊㪊 㪈㪅㪎㪋㪇 㪉㪅㪈㪈㪇 㪉㪅㪌㪍㪎 㪉㪅㪏㪐㪏

㪈㪏 㪈㪅㪊㪊㪇 㪈㪅㪎㪊㪋 㪉㪅㪈㪇㪈 㪉㪅㪌㪌㪉 㪉㪅㪏㪎㪏

㪈㪐 㪈㪅㪊㪉㪏 㪈㪅㪎㪉㪐 㪉㪅㪇㪐㪊 㪉㪅㪌㪊㪐 㪉㪅㪏㪍㪈

㪉㪇 㪈㪅㪊㪉㪌 㪈㪅㪎㪉㪌 㪉㪅㪇㪏㪍 㪉㪅㪌㪉㪏 㪉㪅㪏㪋㪌

㪉㪈 㪈㪅㪊㪉㪊 㪈㪅㪎㪉㪈 㪉㪅㪇㪏㪇 㪉㪅㪌㪈㪏 㪉㪅㪏㪊㪈

㪉㪉 㪈㪅㪊㪉㪈 㪈㪅㪎㪈㪎 㪉㪅㪇㪎㪋 㪉㪅㪌㪇㪏 㪉㪅㪏㪈㪐

㪉㪊 㪈㪅㪊㪈㪐 㪈㪅㪎㪈㪋 㪉㪅㪇㪍㪐 㪉㪅㪌㪇㪇 㪉㪅㪏㪇㪎

㪉㪋 㪈㪅㪊㪈㪏 㪈㪅㪎㪈㪈 㪉㪅㪇㪍㪋 㪉㪅㪋㪐㪉 㪉㪅㪎㪐㪎

㪉㪌 㪈㪅㪊㪈㪍 㪈㪅㪎㪇㪏 㪉㪅㪇㪍㪇 㪉㪅㪋㪏㪌 㪉㪅㪎㪏㪎

㪉㪍 㪈㪅㪊㪈㪌 㪈㪅㪎㪇㪍 㪉㪅㪇㪌㪍 㪉㪅㪋㪎㪐 㪉㪅㪎㪎㪐

㪉㪎 㪈㪅㪊㪈㪋 㪈㪅㪎㪇㪊 㪉㪅㪇㪌㪉 㪉㪅㪋㪎㪊 㪉㪅㪎㪎㪈

㪉㪏 㪈㪅㪊㪈㪊 㪈㪅㪎㪇㪈 㪉㪅㪇㪋㪏 㪉㪅㪋㪍㪎 㪉㪅㪎㪍㪊

㪉㪐 㪈㪅㪊㪈㪈 㪈㪅㪍㪐㪐 㪉㪅㪇㪋㪌 㪉㪅㪋㪍㪉 㪉㪅㪎㪌㪍

㪊㪇 㪈㪅㪊㪈㪇 㪈㪅㪍㪐㪎 㪉㪅㪇㪋㪉 㪉㪅㪋㪌㪎 㪉㪅㪎㪌㪇

㪋㪇 㪈㪅㪊㪇㪊 㪈㪅㪍㪏㪋 㪉㪅㪇㪉㪈 㪉㪅㪋㪉㪊 㪉㪅㪎㪇㪋

㪍㪇 㪈㪅㪉㪐㪍 㪈㪅㪍㪎㪈 㪉㪅㪇㪇㪇 㪉㪅㪊㪐㪇 㪉㪅㪍㪍㪇

㪈㪉㪇 㪈㪅㪉㪏㪐 㪈㪅㪍㪌㪏 㪈㪅㪐㪏㪇 㪉㪅㪊㪌㪏 㪉㪅㪍㪈㪎

㪉㪋㪇 㪈㪅㪉㪏㪌 㪈㪅㪍㪌㪈 㪈㪅㪐㪎㪇 㪉㪅㪊㪋㪉 㪉㪅㪌㪐㪍

㪈㪅㪉㪏㪉 㪈㪅㪍㪋㪌 㪈㪅㪐㪍㪇 㪉㪅㪊㪉㪍 㪉㪅㪌㪎㪍

表

自由度νのt分布の上側確率αに対 するtの値，tα(ν)の表。

P(tα(ν)< T) =αとなる。

2019

確統

χ²

分布の表

^{前園 付表4}

^{西川 表B.3}

^{統計学 付表3}

^{数理統計 付表3}

表

χ²_α(k)< Y)

=αとなる。

F

分布の表

^{前園 付表5}

^{統計学 付表4}

^{数理統計 付表4}

表

分布の上側確率

に対する下限の値の表

確率統計及び演習II (2019年度 前期) 小テスト２略解

【1】

(1) 指数関数の肩の部分を(exm19-4.7)の形に書き表す：

−a

2x²₁−bx1x2−c 2=−1

2(x1, x2)A ( x1

x2

) , A=

( a b b c

)

. (exm19-4.27)

(exm19-4.9)より

A =V⁻¹= ( ₅

3 1 1 3 3

1 6

)₋1

= 6 ( ₁

6 −¹₃

−¹₃ ⁵₃ )

=

( 1 −2

−2 10 )

(exm19-4.28) なので，

a= 1, b=−2, c= 10. (exm19-4.29)

(2) detV = 1

6 (exm19-4.7)より，

D= 1

2π√ detV =

√6

2π . (exm19-4.30)

【2】

(1) 1か2の目が出る確率は1

3^，3の目が出る確率は1

6，それ以外の目が出る確率は 1 2^なので M(t1, t2) = E

[

e^t1X+t2Y ]

=

∑n x=0

n∑−x y=0

nCx n−xCy

(1 3

)x ( 1 6

)y ( 1 2

)n−x−y

e^t1x+t2y

=

∑n x=0

n∑−x y=0

nCx n−xCy

(1 3e^t1

)x( 1 6e^t2

)y( 1 2

)n−x−y

(exm19−4.12)

=

(1 3e^t1+1

6e^t2+1 2

)n

=

(2e^t1+e^t2+ 3)n

6ⁿ . (exm19-4.31)

(2) (exm19-4.14)より V[X] = ∂²

∂t²₁ logM(t1, t2) t₁=t₂=0

= ∂²

∂t²₁nlog (

2e^t1+e^t2+ 3) t₁=t₂=0

= n ∂

∂t1

2e^t1 2e^t1+e^t2+ 3

t₁=t₂=0

= 2n

9 , (exm19-4.32)

V[Y] = ∂²

∂t²₂ logM(t1, t2) t1=t2=0

= ∂²

∂t²₂nlog (

2e^t1+e^t2+ 3) t1=t2=0

= n ∂

∂t2

e^t2 2e^t1+e^t2+ 3

t1=t2=0

= 5n

36, (exm19-4.33)

Cov[X, Y] = ∂²

∂t1∂t2

logM(t1, t2) t₁=t₂=0

= ∂²

∂t1∂t2

nlog (

2e^t1+e^t2+ 3) t₁=t₂=0

= n ∂

∂t2

2e^t1 2e^t1+e^t2+ 3

t₁=t₂=0

=− 2n e^t1 e^t2 (

2e^t1+e^t2+ 3 )2

t₁=t₂=0

=−n

18. (exm19-4.34)

【3】(exm19-4.15)より，信頼係数95％の信頼区間の幅は 2z(0.05/2)

√p(1ˆ −p)ˆ

n = 2×1.96×

√p(1ˆ −p)ˆ

n (exm19-4.35)

となる。pˆ= 1

2と予想されるので，信頼区間の幅が0.2とするためには 0.2 = 2×1.96× 1

2√

n (exm19-4.36)

が成り立つ必要があるので，

n= (1.96

0.2 )2

≈96. (exm19-4.37)

2019

確統

【4】

(1) (exm19-4.18)で

n= 20, X¯= 201, s²= 2.48, α= 0.05 (exm19-4.38) の場合。表4-2より，t_0.05/2(20−1) =t0.025(19) = 2.093なので，

A= 201, B= 2.093

√2.48

20 ≈0.74. (exm19-4.39)

(2) (exm19-4.20)で

n= 20, s²= 2.48, α= 0.05 (exm19-4.40) の場合。表5-1より，

χ²_0.05/2(20−1) =χ²_0.025(19) = 32.85, χ²_1−0.05/2(20−1) =χ²_0.975(19) = 8.907 (exm19-4.41) なので，

C= 19

32.85 2.48 ≈1.43, D= 19

8.907 2.48 ≈5.29. (exm19-4.42) (3)信頼区間の幅は2t_α/2(n−1)

√ s²

n^{。普遍標本分散の値}s² は標本数nが変わってもあまり変わらず，t_0.05/2(n−1) の値もn= 20のt0.05/2(19) = 2.093からn=∞^のt0.05/2(∞) = 1.96までとあまり変化しないので，信頼区間 の幅を1/2にするには，標本数を2²= 4倍にする必要がある。従って，調査する製品数を20×4 = 80個とすれ ばよい。

【5】(exm19-4.21)や(exm19-4.25)で

m= 10, n= 8, X¯= 1363, Y¯ = 1121, s²X= 41013, s²Y = 12816 (exm19-4.43) の場合。

(1) (exm19-4.24)よりプールした不偏標本分散は s²=(10−1)×41013 + (8−1)×12816

10 + 8−2 =9×41013 + 7×12816

16 = 458829

16 = 28677. (exm19-4.44) また，表4-2より

tα/2(m+n−2) =t0.05/2(10 + 8−2) =t0.025(16) = 2.120 (exm19-4.45) となる。従って(exm19-4.21)より

A= 1363−1121 = 242, B= 2.120×

√

9×41013 + 7×12816 16

( 1 10+1

8 )

≈170. (exm19-4.46)

(2) 表5-2より

F0.05/2(10−1,8−1) =F0.025(9,7) = 4.823, F1−0.05/2(10−1,8−1) = 1

F0.025(7,9) = 1

4.197 (exm19-4.47) なので，(exm19-4.25)より

C= 1

4.197×12816

41013 ≈0.074, D= 4.823×12816

41013 ≈1.51 (exm19-4.48)

となる。